Chuyên đề số phức toàn tập

Kể từ năm học 2009 kiến thức về số phức ñược ñưa vào chương trình toán 12 như một phần không thể thiếu trong những ñề thi ðại học – Cao ñẳng- Tốt nghiệp hàng năm.. Bởi ñộ phức tạp của cá

Trang 1

TT Giáo viên & Gia sư tại TP Huế - ðT:0905671232–0989824932

Trang 2

Kể từ năm học 2009 kiến thức về số phức ñược ñưa vào chương trình toán 12 như một phần không thể thiếu trong những ñề thi ðại học – Cao ñẳng- Tốt nghiệp hàng năm Bởi ñộ phức tạp của các bài toán ñược nâng dần từ năm ñầu tiên ñưa vào học tập nên chúng tôi quyết ñịnh hệ thống lại kiến thức về số phức trong chương trình ñể góp một phần trong việc ôn luyện của các em cũng như tham khảo của quý thầy cô

Trong tài liệu này, chúng tôi ñã không sắp xếp theo trình tự bài dạy trong sách giáo khoa mà sắp xếp theo trình tự của kiến thức của số phức Mỗi kiến thức ñược chia thành các mãn về phương pháp học cũng như phương pháp dạy học ñược thuận tiện nhất có thể Những dạng toán ñều có phương pháp giải, các ví dụ mẫu và ñi kèm với nó là các bài tập vận dụng tương tự

Ngoài phần lý thuyết, phần phương pháp giải toán chúng tôi ñã chia thành những chủ ñề dạng toán sau:

Chủ ñề 1: + Tìm số phức

+ Tính giá trị biểu thức số phức + Tìm phần thực, phần ảo của số phức + Rút gọn biểu thức

Chủ ñề 2: Giải phương trình bậc nhất trên tập số phức

Chủ ñề 3 : + Tìm tập hợp ñiểm trong mặt phẳng phức

+ Biểu diễn tập hợp ñiểm lên mặt phẳng phức

Chủ ñề 4 : Chứng minh ñẳng thức số phức

Chủ ñề 5: Giải phương trình bậc hai trên tập số phức với hệ số thực

Chủ ñề 6: ðịnh lý Vi-ét cho phương trình bậc hai trên tập số phức

Chủ ñề 7: Căn bậc hai của số phức

Chủ ñề 8: Giải phương trình bậc hai với hệ số phức

Chủ ñề 9: Dạng lượng giác của số phức và các ứng dụng

Chủ ñề 10: Trích từ các ñề thi tuyển sinh những năm gần ñây

ðể thực hiện ñược tốt hơn trong việc tiếp thu kiến thức về số phức Tác giả khuyên bạn nên ñọc và tham khảo những phần phương pháp cũng như bài tập mẫu của tài liệu, sau ñó bạn ñọc tự mình thực hiện những bài tập tự luyện dưới dạng tương tự ñể nâng cao kỹ năng giải toán của mình ñược tốt hơn

Một phần không thể thiếu ở trong chương trình ôn luyện môn toán là trích các bài toán liên quan ñến số phức từ các ñề thi liên quan của các ñề thi tuyển sinh ñại học và cao ñẳng hàng năm Phần này giúp cho chúng ta có thể hình dung ñược cách ra ñề cũng như phương pháp học phần số phức này như thế nào Tất nhiên theo nhận xét chủ quan của chúng tôi, các phần chúng tôi ñã giới thiệu trong phương pháp nó chưa chắc ñã xuất hiện vào những năm ñã qua nhưng cũng rất có thể xuất hiện vào những năm sắp ñến Ngoài ra, những câu thi của những ñề thi chúng tôi giới thiệu ñầy ñủ và

có hướng dẫn giải ở trong phương pháp giải toán

Tài liệu này dùng ñể giảng dạy chính của các giáo viên dạy luyện thi và các em học sinh luyện thi ñại học Do ñó, nó ñược cập nhật theo thời gian và cũng ñang cố gắng hoàn thiện dần về nội dung và mẫu mã Vì vậy, chúng tôi sẽ cố gắng khắc phục những lỗi có ở trong tài liệu như một việc làm cập nhật thường xuyên ñể tài liệu ñược hoàn thiện dần Cũng chính vì lý do ñó, tài liệu còn nhiều nơi thiếu sót mong quý ñộc giả ñóng góp ý kiến Chúng tôi xin chân thành cám ơn sự ñóng góp ñó như một phần ñóng góp của quý ñộc giả vào công cuộc giáo dục cho nước nhà

Tài liệu ñược hoàn thiệu trên cơ sở của sự giảng dạy nhiều năm kinh nghiệm của thầy Nguyễn Quốc Tuấn và website Xuctu.com Nên tất cả quý vị ñộc giả và các em học sinh còn chưa hiểu bất cứ ñiều gì Nên truy cập vào Xuctu.com ñể xem những Video Tutorial bài giảng trực tiếp của thầy Nguyễn Quốc Tuấn

Huế,tháng 4-2013 Các tác giả

Trang 3

a : ñược gọi là phần thực của số phức

b ñược gọi là phần ảo của số phức với i2= -1

3 Biểu diễn số phức lên mặt phẳng toạ ñộ

Cho số phức z= +a bi ðiểm M(a,b)

trên mặt phẳng toạ ñộ ñược gọi là ñiểm

biểu diễn của số phức lên mặt phẳng

toạ ñộ

Trong ñó trục ox ñược gọi là trục thực

(Re(z)), và trục oy ñược gọi là trục ảo

(Im(z))

4 Môñun(ñộ dài) của số phức

Cho số phức z= +a bi Môñun của số phức z= +a bi ñược ký hiệu là z tương ứng với Môñun của vector OM

Trang 5

2 3

z= + i là -46; Phần ảo của số phức ( )3

Trang 6

Phần ảo của số phứcz= +(2 4i)(3 5− +i) (7 4 3− i)là -4;

Bài tập 2:Tìm các số thực x,y sao cho

x y

Trang 7

Bài tập 3: Thực hiện các phép tính sau:

a.(3 2+ i) (+ −1 3i)(4+i) b.1 2

3 2

i i

+ +

Trang 8

Chủ ñề 2: Giải phương trình bậc nhất trên tập số phức

Trang 9

( )( ) ( )( )

Thông thường dựa vào những bài toán cụ thể ñể giải toán, tìm ra những tập hợp

ñiểm cần tìm Tuy nhiên ta nên lưu ý các ñiểm sau

* Biểu diễn tập hợp dạng

x +y =a lên mặt phẳng toạ ñộ là

ñường tròn tâm O bán kính bằng a

Trang 10

tính ñường viền trong của hình tròn

* Và các dữ kiện ñề bài cho ñể biểu diễn tập số phức lên mặt phẳng cho phù hợp bài toán

Trang 11

ñường tròn tâm O bán kính bằng 1 và có

tính ñường viền ngoài

Kết hợp với phần ảo của z= +a bi thuộc

Hãy biểu diển các số phức z= +a bi lên mặt phẳng toạ ñộ, biết z ≤2 và

a Phần thực của số phức z= +a bi không vượt quá phần ảo của nó

b Phần ảo của z= +a bi lớn hơn 1

c Phần ảo của z= +a bi nhỏ hơn 1, phần thực z= +a bi lớn hơn 1

Hướng dẫn giải

Lý luận như câu 1 ta có các kết quả sau

Trang 12

(Kết quả câu c)

Bài tập 3: Xác ñịnh tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức

z= +a bi thoả mãn mỗi ñiều kiện sau :

Bài tập 4: Xác ñịnh tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng số phức biểu diễn các số phức

z= +a bi thoả mãn mỗi ñiều kiện sau

Giải

Lý luận như câu 1 ta có các kết quả sau

Trang 13

của ñường tròn, cộng với miền ngoài

của ñường tròn tâm O bán kính bằng

1, nhưng không tính ñường viền trong

Ta có hình vẽ minh hoạ sau

Bài tập 5 : Xác ñịnh Tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng số phức biểu diễn các số

phức z= +a bi thoả mãn mỗi ñiều kiện sau

a 2 2

9

4 2

z i

− =+

Bài tập 6: Xác ñịnh Tập hợp các ñiểm trong mặt phẳng số phức biểu diễn các số phức

z= +a bi thoả mãn mỗi ñiều kiện sau

a Phần ảo của số phức không âm và bé hơn 2

b Phần thực của số phức trừ cho 1 lớn hơn môñun số phức ( z )

Chủ ñề 4 : Chứng minh ñẳng thức số phức

Phương pháp :

Dựa vào các bất ñẳng thức ñã học như bất ñẳng thức vector, bất ñẳng thức Cauchy…

Bài tập1 : Cho z1= +a1 b i1 , z2 = +a2 b i2 là hai số phức Chứng minh rằng

ñó a1,a2,b1,b2 ∈R

Ta có:

Trang 14

Nếu ac bd+ < 0 thì bất ñẳng thức (*) hiển nhiên ñúng

Nếu ac bd+ ≥ 0 thì bất ñẳng thức (*) tương ñương với bất ñẳng thức

Trang 15

Nếu ac bd+ ≥ 0 thì bất ñẳng thức (**) luôn luôn ñúng

Nếu ac bd+ < 0 thì bất ñẳng thức (**) tương ñương với

− + là số thực khi và chỉ khi z là số thực ≠-1

Giải (⇒) 1

z a

− + là số thực Hiển nhiên !

Trang 16

Các căn bậc hai của số thực a < 0 là ± i a

Xét phương trình bậc hai a 2

x + bx + c = 0 với a,b,c ∈ R ; và a ≠ 0

i z

Trang 17

2 2

2 4

3 15 6

i z

az + + =bz c với a,b,c ∈ R và a ≠ 0 Gọi z1= +a1 b i1 z2 = +a2 b i2

là hai nghiệm của phương trình trên tập số phức

Trang 18

Chủ ñề 7:Căn bậc hai của số phức

(Dành cho học sinh học chương trình nâng cao)

Giải hệ phương trình (*) là hệ phương trình ñẳng cấp bậc hai Tuỳ thuộc vào từng bài toán cụ thể ta có cách giải tương ứng Tuy nhiên cách giải tổng quát của loại hệ

phương trình này như sau

+ Thử xem x = 0 có phải là nghiệm của hê phương trình hay không

Trang 19

ðây là phương trình bậc hai theo k Giải phương trình này tìm k, rồi thế vào y = kx

Thay y = kx và phương trình (1) hoặc phương trình (2) ñể giải x

Các cặp (x, y) vừa tìm ñược của hệp phương trình tương ứng với các căn bậc hai của

2 2

Ta có:

(2 + 6i)(2 - 6i) = 4+ 36 = 40 Vậy (2 + 6i)(2 - 6i) có hai căn bậc hai là ±2 10

Trang 21

Bài tập 2 : Tìm căn bậc hai của cấc số phức sau

Chủ ñề 8:Giải phương trình bậc hai với hệ số phức

B z

A B z

A

δδ

Với δ là một căn bậc hai của ∆

Bài tập 1: Giải các phương trình sau trên tập số phức

Gọi δ là một căn bậc hai của ∆

(Xem chi tiết tìm căn bậc hai của số phức ở

Trang 22

i i z

Nhận xét z =0 không phải là nghiệm của phương

trình Chia hai vế cho 2

Trang 23

Học sinh tự làm tương tự như câu a

Bài tập 5 : Giải các phương trình sau trên tập số phức

Trang 24

Bài tập 6: Giải các phương trình sau trên tập số phức

Chủ ñề 9: Dạng lượng giác của số phức và các ứng dụng

Phương pháp :

1 ðịnh nghĩa dạng lượng giác của số phức

Cho số phức z= +a bi ≠ 0 (a, b ∈ R) có môñun là 2 2

r= a +b Và một acgumen là ϕ

thì

⇒ z= +a bi = r(cos ϕ +i sin ϕ )

Dạng z=r c( os +isin )ϕ ϕ , với r > 0 ñược gọi là dạng lượng giác của số phức z= +a bi

≠ 0, Và dạng z= +a bi(a, b ∈ R) ñược gọi là dạng ñại số của số phức z

Nhận xét : ðể tìm ñược dạng lượng giác của số phức dạng z=r c( os +isin )ϕ ϕ , r > 0 của số phức z= +a bi (a, b ∈ R), ta cần :

r= a +b là môñun của số phức z= +a bi

• Tìm ϕ sao cho

cos sin

a r b r

ϕϕ

Lưu ý : + z =1 ⇔ z = cos ϕ +isin ϕ (ϕ ∈ R)

+z = 0 ⇒ z = r = 0 còn acgumen củua không xác ñịnh

Các phép toán của số phức dưới dạng lượng giác

Cho hai số phức dạng lượng giác z=r c( os +isin )ϕ ϕ và z' =r'(cos 'ϕ +isin ')ϕ , với r, r’

Trang 25

với mọi số n nguyên dương ta ñều có :

[ (cos sin )]n cos( ) sin( )

z = r ϕ+i ϕ =r  nϕ +i nϕ Khi r = 1 ⇒ [(cosϕ+isin )ϕ ]n = cos( )nϕ +isin( )nϕ

Căn bậc hai và căn bậc n của số phức dạng lượng giác

Cho số phức z=r c( os +isin )ϕ ϕ với r > 0

Khi ñó ta có hai căn bậc hai của z=r c( os +isin )ϕ ϕ là

1 3 3

1 3

3 3 33

4

1(0 )4

Trang 26

Cách khác :

Trang 27

cos sin cos sin

Bài tập 5: Tìm Môñun và acgumen của các số phức sau

Trang 28

ðạ i học -A- 2013-Nâng cao

Cho số phức z= + 1 3i Viết dạng lượng

z i

i z

w= + +z z = + + + +i i = + i

Vậy w = + 2 3i = 13

ðạ i học -B- 2012

Ban nâng cao

Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình 2

z − iz− = Viết dạng lượng giác của z1 và z2

Hướng dẫn giải Phương trình bậc hai 2

z − iz− =

có biệt thức ∆ = 4Suy ra phương trình có hai nghiệm

z

Ban nâng cao

Giải phương trình sau trên tập số phức :

Trang 29

Hướng dẫn giải Phương trình bậc hai 2 ( )

Ban nâng cao

Tính môñun của số phức z thỏa mãn

+

Ban nâng cao

Tìm phần thực và phần ảo của số phức

3

1

i z

ðạ i học -A- 2010

Ban cơ bản

Tìm phần thực và phần ảo của số phức z thỏa mãn

Trang 30

(1 3 )

1

i z

Trong mặt phẳng tọa ñộ Oxy, tìm tập hợp ñiểm

biểu diễn của số phức z thỏa mãn :

( )1

z i− = +i z

Hướng dẫn giải Biểu diễn số phức z= +x yi a b( , ∈ℝ)bởi ñiểm

(2 ) 10

z− + =i và z z = 25 Gọi số phức z có dạng

( , )

z= +x yi x y∈ℝ khi ñó ta có:

Trang 31

Trong mặt phẳng Oxy, tìm tập hợp ñiểm biểu

diễn số phức z thỏa mãn ñiều kiện

(3 4 ) 2

z− − i =

Hướng dẫn giải Tìm tập hợp ñiểm biểu diển của số phức z thỏa

Ban nâng cao

Gọi z1 và z2 là hai nghiệm của phương trình 2

z − z+ + =i Tính giá trị

Ban nâng cao

Trang 32

Ban nâng cao:

Gọi z z1, 2 là hai nghiệm của phương trình 2 ( ) ( )

z − + −i z− i= trên tập số phức Tính giá trị của biểu thức A=z12012+z22012

Cho số phức z= + 1 3i viết dạng lượng giác của số phức 5

z

Tìm số phức z có phần thực lớn nhất, biết số phức z thỏa mãn 100 4 35

3 4

z i z

−

+ +

Định dạng
Số trang	32
Dung lượng	903,93 KB