Tài liệu Chuyên đề số phức

CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC http://violet.vn/kinhhoa Ngc Vinh 1 số phức PHN I. CC DNG TON VN 1 dạng đại số của số phức Cộng, trừ, nhân, chia số phức A. TểM TT KIN THC 1. Số phức Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực và i thỏa mãn i 2 = -1 đợc gọi là một số phức. a đợc gọi là phần thực, b đợc gọi là phần ảo, i đợc gọi là đơn vị ảo. Tập các số phức đợc kí hiệu là . Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R . Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo. 0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo. 2. Hai số phức bằng nhau ' z a+bi (a,b ), z' a'+b' i (a',b' ); z z' ' a a b b 3. Cộng, trừ hai số phức z a+bi (a,b ), z' a'+b' i (a',b' ) z + z' (a + a' ) + (b + b') i, z z' (a - a') + (b - b' )i Số đối của số phức z = a + bi là số phức ; - z = - a bi. 4. Nhân hai số phức z a+bi (a,b ), z' a'+b' i (a',b' ); zz' ' ' ( ' ' )aa bb ab a b i 5. Môđun của số phức, số phức liên hợp z = a +bi (a, b ) thì môđun của z là 2 2 z = a +b z = a +bi (a, b ) thì số phức liên hợp của z là z = a - bi. Ta có: 2 2 2 zz' = z z' , zz a b z , z + z' = z + z', zz'=z z', z = z * z là số thực khi và chỉ khi z = z 6. Chia cho số phức khác 0 Nếu z = a + bi (a, b ) khác không thì số phức nghịch đảo của z là 1 -1 z = z 2 z . Thơng của z' cho z khác không là: z' z'z -1 z'z z zz . Ta có: ' ' ' ' , z z z z z z z z . 7. Biểu diễn hình học của số phức Số phức z = a + bi (a, b ) đợc biểu diễn bởi M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng phức. Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo Số phức z = a + bi (a, b ) cũng đợc biểu diễn bởi vectơ ( ; )u a b , do đó M(a; b) là điểm biểu diễn của số phức z = a + bi (a, b ) cũng có nghĩa là OM biểu diễn số phức đó. Ta có:Nếu ,u v theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC http://violet.vn/kinhhoa Ngc Vinh 2 u v biểu diễn số phức z + z', u v biểu diễn số phức z z -1 , k ( )u k biểu diễn số phức kz, OM u z , với M là điểm biểu diễn của z. B. Các dạng bài tập I. Xác định tổng, hiệu, tích, thơng của các số phức 1) Phơng pháp giải p dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân, chia hai số phức, chú ý các tính chất giao hoán, kết hợp đối với các phép toán cộng và nhân. 2) Các ví dụ Ví dụ 1: Tìm phân thực, phần ảo của các số phức sau a) i + (2 - 4i) - (3 - 2i); b) 3 3 ( 1 ) (2 )i i Bài giải a) Ta có: i + (2 - 4i) - (3 - 2i) = ((0 + 2) + (1 - 4)i) + (- 3 + 2i) = (2 - 3) + (-3 + 2)i = -1 - i. Vậy số phức đã cho có phần thực là - 1, phần ảo là - 1. b) Sử dụng các quy tắc cộng, trừ, nhân hai số phức ta có 3 3 2 2 3 3 3 3 ( 1 ) ( 1) 3( 1) 3( 1) 2 2 , ( 2 ) ( 2) ( ) 8i i i i i i i i Do đó nhận đợc kết quả của bài toán là 2 + 10i Ví dụ 2: Tính 1 1 3 2 2 i Bài giải Ta có : 1 3 1 3 1 3 2 2 2 2 1 2 2 1 3 1 3 2 2 2 2 i i i i i Ví dụ 3: Tính 2 3 2009 1 i i i i Bài giải Ta có: 2010 2 3 2009 1 (1 )(1 )i i i i i i . Mà 2010 1 2i . Nên 2 2 3 2009 1 1 i i i i i , 2 3 2009 1 1i i i i i . Ví dụ 4: Tính 100 (1 )i Bài giải Nhận thấy 2 (1 ) (1 )(1 ) 2i i i i . Suy ra 100 2 50 50 50 50 50 (1 ) ((1 ) ) ( 2 ) ( 2) ( ) 2i i i i . Ví dụ 5: Cho số phức 1 3 2 2 z i . Hãy chứng minh rằng: ; 1 2 2 3 1 0; 1.z z z z z z . Bài giải Do 1 3 2 2 2 z i . Nên 1 3 1 3 2 1 ( ) ( ) 1 0 2 2 2 2 z z i i ; CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC http://violet.vn/kinhhoa Ngc Vinh 3 Lại có 1 3 1 1 1 3 2 2 1 2 2 1 3 2 2 i i z i . Suy ra 1 2 z z z . Hơn nữa ta có 3 1 z . Ví dụ 6: Tìm số phức z, nếu 2 0zz . Bài giải Đặt z = x + yi, khi đó 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 ( ) 0 2 0 0 0 0 (1 ) 0 0 0 0 2 0 (1 ) 0 0 0 0, 0 1 0 (do 1 0) 0 z x yi x y x y x y xyi x x y y y y x y x y y y xy x x x x x x y y y x x y z 0 0, 1 0, 1 0, 0 x y x y y x Vậy có ba số phức thoả mãn điều kiện là z = 0; z = i; z = - i. II. Biểu diễn số phức trong mặt phẳng toạ độ 1) Phơng pháp giải Để biểu diễn một số phức cần dựa vào định nghĩa và các tính chất sau: Nếu số phức z đợc biểu diễn bởi vectơ u , số phức z' đợc biểu diễn bởi vectơ 'u , thì z + z' đợc biểu diễn bởi 'u u ; z - z' đợc biểu diễn bởi 'u u ; - z đợc biểu diễn bởi u . 2) Các ví dụ. Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z. Tìm tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau a) 1 2z i ; b) 2 z i z . Bài giải a) Đặt z = x + yi suy ra z - 1 + i = (x - 1) + (y + 1)i. Nên hệ thức 1 2z i trở thành 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 2 ( 1) ( 1) 4.x y x y Vậy tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn giả thiết là đờng tròn tâm I(1; - 1) bán kính R = 2. b) Gọi A (- 2 ; 0), B(0 ; 1). Khi đó 2 z i z ( 2)z z i hay là M(z)A = M(z)B. Vậy tập hợp các điểm M(z) là đờng trung trực của đoạn thẳng AB. Nhận xét: Với phần b ta có thể thức hiện cách giải nh đã làm ở phần a. Tuy nhiên để thể thực hiện cách giải nh vậy là ta đã dựa váo nhận xét sau: Nếu véctơ u của mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thì độ dài của vectơ u là u z , và từ đó nếu các điểm A, B theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì 'AB z z . CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC http://violet.vn/kinhhoa Ngc Vinh 4 Ví dụ 2: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện 3 2 3 2 z i . Tìm số phức z có modul nhỏ nhất. Bài giải Xét biểu thức 3 2 3 2 z i (1). Đặt z = x + yi. Khi đó (1) trở thành 3 9 2 2 ( 2) ( 3) ( 2) ( 3) . 2 4 x y i x y Do đó các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn (1) nằm trên đờng tròn ( ) tâm I(2; -3) và bán kính R = 3 2 . Ta có z đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi điểm M nằm trên đờng tròn ( ) và gần O nhất. Do đó M là giao điểm của ( ) và đờng thẳng OI, với M là giao điểm gần O hơn. Ta có OI = 4 9 13 . Kẻ MH Ox. Theo định lí talet có 3 13 9 6 13 9 2 13 3 13 3 2 2 13 MH OM MH OI 6 13 9 78 9 13 26 2 13 MH . Lại có 3 13 2 13 3 26 3 13 2 2 13 13 13 OH OH . Vậy số phức cần tìm là : 26 3 13 78 9 13 13 26 z i . Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số phức z, w, ta có z w z w . Đẳng thức xảy ra khi nào? Bài giải Gọi A, B, C lần lợt là các điểm biểu diễn của các số phức z, w, z + w. Ta có , ,z OA w OB z w OC . Từ OC OA + AC suy ra z w z w . Hơn nữa OC = OA + AC khi và chỉ khi O, A, C thẳng hàng và A thuộc đoạn thẳng OC. Khi O A (hay z 0) điều đó có nghĩa là có số k 0 để AC kOA tức là w = kz. (Còn khi z = 0, rõ ràng z w z w ). Vậy z w z w khi và chỉ khi z = 0 hoặc nếu z 0 thì tồn tại k R để w = kz. c. bài tập 1. Chứng minh rằng với mọi số phức z, w ta đều có z w z w . Dấu bằng xảy ra khi nào? 2. Trong mặt phẳng phức, bốn điểm phân biệt A, B, C, D theo thứ tự biểu diễn các số phức z, w, u, v thoả mãn các tính chất: O H 2 M I - 3 x y CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC http://violet.vn/kinhhoa Ngc Vinh 5 a) 1z w u v ; b) z + w + u + v = 0. 3. Cho số phức z = m + (m - 3)i, m R a) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên đờng phân giác thứ hai y = - x; b) Tìm m để biểu diễn của số phức nằm trên hypebol 2 y x ; c) Tìm m để khoảng cách của điểm biểu diễn số phức đến gốc toạ độ là nhỏ nhất. 4. Xác định tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức thoả mãn hệ thức 3 z z i . 5. Xét các điểm A, B, C trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số phức 4 2 6 ; (1 )(1 2 ); 1 3 i i i i i i . a) Chứng minh ABC là tam giác vuông cân; b) Tìm số phức biểu diễn bởi điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình vuông. VN 2 Căn bậc hai của số phức và phơng trình bậc hai A. Kiến thức cần nhớ I. Định nghĩa căn bậc hai của số phức Cho số phức w mỗi số phức z thoả mãn z 2 = w đợc gọi là một căn bậc hai của số phức w. a) Nếu w là số thực + w < 0 thì có hai căn bậc hai: &wi wi + w 0 thì có hai căn bậc hai: &w w . b) Nếu w là số phức khi đó ta thực hiện các bớc: + Giả sử w= a + ib, đặt z = x + iy là một căn bậc hai của w tức là: 2 z w khi đó ta có hệ: 2 2 (1) 2 (2) x y a xy b Bình phơng 2 vế của (1) và (2) rồi cộng lại ta đợc 2 2 2 2 x y a b Do vậy ta đợc hệ: 2 2 2 2 2 2 (1) (2') x y a x y a b Giải hệ tìm đợc 2 x và 2 y suy ra x và y để tìm z. Chú ý: Theo (2) ta có nếu b > 0 thì x, y cùng dấu. Nếu b < 0 thì x, y trái dấu. II. Công thức nghiệm của phơng trình bậc hai hệ số phức Cho PT: 2 0; (1) ( , , , 0)ax bx c a b c a và có 2 4b ac + Nếu 0 pt có hai nghiệm là 1 2 ; 2 2 b b x x a a Trong đó là một căn bậc hai của . + Nếu = 0 thì pt có nghiệm kép: 1 2 2 b x x a . B. Các dạng bài tập I. Giải phơng trình bậc nhất 1) Phơng pháp giải CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC http://violet.vn/kinhhoa Ngc Vinh 6 Biến đổi phơng trình về dạng Az + B = 0, A, B , 0 A . Viết nghiệm B z A 2) Ví dụ Ví dụ 1: Giải phơng trình 2iz + 1 - i = 0 Bài giải Nghiệm của phơng trình là (1 ) 1 1 1 1 2 2 2 2 2 i z i i i . II. Tính căn bậc hai và giảiphơng trình bậc hai 1) Phơng pháp giải Sử dụng công thức tính căn bậc hai của số phức để tính căn bậc hai. Sử dụng công thức nghiệm của phơng trình bậc hai để tìm nghiệm của phơng trình với chú ý phải đa về đúng dạng của phơng trình. 2) Các ví dụ Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau: ) 5 12 ) 8 6 ) 33 56 ) 3 4 a i b i c i d i Bài giải a) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -5 + 12i tức là 2 2 2 5 12 2 5 12x iy i x y ixy i 2 2 2 2 2 2 2 2 5 4 5 2 12 13 9 x y x x y xy x y y 2 3 x y Do b = 12 > 0 nên x và y cùng dấu từ đó có 2 3 x y hoặc 2 3 x y Vậy -5 + 12i có 2 căn bậc hai là z 1 =2+3i và z 2 = -2-3i. b) Tơng tự ta gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 8+ 6i tức là 2 2 2 8 6 2 8 6x iy i x y ixy i 2 2 2 2 2 2 2 2 8 9 8 2 6 10 1 x y x x y xy x y y 3 1 x y Do b= 6> 0 nên x và y cùng dấu từ đó có 3 1 x y hoặc 3 1 x y Vậy 8 + 6i có 2 căn bậc hai là 3+i và -3-i. c) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 33 - 56i tức là 2 2 2 33 56 2 33 56x iy i x y ixy i 2 2 2 2 2 2 2 2 33 49 33 2 56 65 16 x y x x y xy x y y 7 4 x y Do b = -56 < 0 nên x và y trái dấu từ đó có 7 4 x y hoặc 7 4 x y Vậy 2 căn bậc hai của 33 - 56i là 7- 4i và -7+i4. d) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -3 +4i tức là 2 2 2 3 4 2 3 4x iy i x y ixy i CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC http://violet.vn/kinhhoa Ngc Vinh 7 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 3 2 4 5 4 x y x x y xy x y y 1 2 x y Do b = 4 > 0 nên x và y cùng dấu từ đó có 1 2 x y hoặc 1 2 x y Vậy 2 căn bậc hai của -3 + 4i là 1 + 2i và -1-2i. Ví dụ 2: Giải các phơng trình sau: 2 2 ) 3 4 5 1 0; (1) ) 1 2 0; (2)a x i x i b x i x i Bài giải a) Ta có 2 3 4 4 5 1 3 4i i i Theo kết quả ví dụ 1d) thì có hai căn bậc hai là 1+ 2i và -1 - 2i. Do đó pt (1) có hai nghiệm là: 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 2 3 ; 1 2 2 i i i i x i x i b) Tơng tự ta có 2 1 4 2 8 6i i i Theo kết quả ví dụ 1b) thì có hai căn bậc hai là 3 + i và -3 - i. Do đó pt (2) có hai nghiệm là: 1 2 1 3 1 3 1; 2 2 2 i i i i x x i Chú ý: PT (2) có thể dùng nhẩm nghiệm nhờ a + b + c = 0 Ví dụ 3: Giải các phơng trình sau: 2 2 3 ) 3 2 0; (1); ) 1 0; (2); ) 1 0 (3)a x x b x x c x Bài giải a) Ta có = 1 2 - 4.3.2 =-23<0 nên ta có hai căn bậc hai của là: 23 & 23 i i . Từ đó nghiệm của pt (1) là: 1 2 1 23 1 23 ; 6 6 i i x x b) Tơng tự ta có = -3 < 0 có hai căn bậc hai là: 3 & 3 i i nên (2) có các nghiệm là: 1 2 1 3 1 3 ; 2 2 i i x x c) Ta có 2 2 1 0 (3) 1 1 0 1 0; (*) x x x x x x Theo b) ta có (*) có hai nghiệm là 1 2 1 3 1 3 ; 2 2 i i x x . Từ đó ta có các nghiệm của pt (3) là: 1 2 3 1 3 1 3 1; ; 2 2 i i x x x ( Các nghiệm của pt (3) đợc gọi là căn bậc ba của 1). Ví dụ 4: Chứng minh rằng nếu một phơng trình bậc hai với hệ số thực có nghiệm phức thì cũng nhận là nghiệm. Bài giải CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC http://violet.vn/kinhhoa Ngc Vinh 8 Giả sử PT bậc hai: 2 0; , , , 0ax bx c a b c a nhận số phức là nghiệm tức là ta có: 2 0a b c . (1) Lấy liên hợp hai vế của (1) và sử dụng tính chất liên hợp của số thực bằng chính nó thì ta đợc: 2 2 0 0a b c a b c . Điều này chứng tỏ là nghiệm của pt. áp dụng: Chứng tỏ 1+i là một nghiệm của phơng trình 2 3 3 5 0x x i . Tìm nghiệm còn lại của pt đó. Ví dụ 5: Phát biểu và chứng minh định lí đảo và thuận của định lí Vi-et của phơng tình bậc hai với hệ số phức. Thuận: Nếu hai số 1 2 &x x là hai nghiệm của phơng trình 2 0; , , , 0ax bx c a b c a thì 1 2 1 2 & b c x x x x a a . Chứng minh Theo công thức nghiệm của pt bậc hai với hệ số phức ta có: 1 2 2 2 1 2 2 2 2 . 2 2 4 b b b x x a a a b b b c x x a a a a Đảo: Nếu hai số ; thoả mãn: & .S P thì ; là nghiệm của pt: 2 0x Sx P .(1) Chứng minh Ta có: 2 (1) 0 0 x x x x x x Điều này chứng tỏ ; là nghiệm của (1). áp dụng: Lập phơng trình bậc hai có các nghiệm 4 3 ; 2 5i i Bài giải Theo bài ra ta có: 2 8 i và . 4 3 2 5 23 14i i i Theo kết quả Vd5 ta đợc pt bậc hai cần lập là: 2 2 8 14 23 0x i x i Ví dụ 6: Tìm m để phơng trình: 2 3 0x mx i có tổng bình phơng 2 nghiệm bằng 8. Bài giải Theo bài ra ta có: 2 2 2 1 2 1 2 1 2 8 2 8x x x x x x (1). Theo Vi-et ta có 1 2 1 2 3 x x m x x i Thay vào (1) ta đợc 2 2 6 8 8 6m i m i . Tức m là một căn bậc hai của 8+6i. Theo kết quả Vd1b ta có 2 giá trị của m là: 3 + i và -3 - i. Ví dụ 7: Giải hệ phơng trình 2 2 1 2 1 2 5 2 (1) 4 (2) z z i z z i Bài giải CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC http://violet.vn/kinhhoa Ngc Vinh 9 Từ (2) ta có 2 2 1 2 1 2 2 15 8 .z z z z i Kết hợp với (1) ta có 1 2 5 5z z i vậy ta có hệ phơng trình: 1 2 1 2 4 5 5 z z i z z i Do đó 1 2 ,z z là nghiệm của phơng trình 2 4 5 5 0z i z i . Ta có 5 12i theo Vd1a ta biết có hai căn bậc hai là: 2 + 3i và -2 - 3i. Vậy ta có 1 2 4 2 3 3 2 4 2 3 1 2 2 i i z i i i z i Hoặc 1 2 1 2 3 z i z i . Ví dụ 8: Cho 1 2 ,z z là hai nghiệm của phơng trình 2 1 2 3 2 1 0i z i z i . Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 ) ) ) z z a A z z b B z z z z c C z z Bài giải Theo Vi-et ta có: 1 2 1 2 3 2 3 2 2 2 3 2 3 3 1 2 1 1 2 1 2 3 3 1 2 i z z i i i z z i i a) Ta có 2 2 1 2 1 2 3 2 2 2 3 2 1 2 1 2 11 30 2 6 4 2 2 2 3 3 3 3 9 9 A z z z z i i i b) 1 2 1 2 3 2 2 2 3 2 1 2 1 2 5 2 2 1 10 2 3 3 3 3 9 9 B z z z z i i i c) Ta có 2 2 1 2 1 2 6 26 2 18 1 2 1 2 3 3 z z A i C z z i . Ví dụ 9: Giải pt: 4 2 6 25 0z z (1) Bài giải Đặt 2 .z t Khi đó (1) có dạng: 2 6 25 0t t (2). Ta có: ' 16 có hai căn bậc hai là 4i và - 4i nên pt (2) có hai nghiệm là 1 3 4t i và 2 3 4t i . Mặt khác 3 + 4i có hai căn bậc hai là: 2 + i và -2 - i còn 3 - 4i có hai căn bậc hai là: 2 - i và -2 + i nên pt (1) có 4 nghiệm là: 1 2 3 4 2 ; 2 ; 2 ; 2z i z i z i z i C. bài tập Bài 1: Tìm các căn bậc hai của các số phức sau: CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC http://violet.vn/kinhhoa Ngc Vinh 10 a) 8+6i b) 3+4i c) 3 1 3 i i d) 1 1 1 1 i i e) 2 1 1 i i f) 2 1 3 3 i i Bài 2: Gọi 1 2 ;u u là hai căn bậc hai của 1 3 4z i và 1 2 ;v v là hai căn bậc hai của 2 3 4z i . Tính 1 2 u u 1 2 v v ? Bài 3: Giải các phơng trình sau: 2 2 2 2 2 ) 2 2 1 0; ) 5 14 2 12 5 0 ) 80 4099 100 0; ) 3 6 3 13 0 ) cos sin cos sin 0. a z iz i b z i z i c z z i d z i z i e z i z i Bài 4: Tìm các căn bậc ba của 8 và -8. Bài 5: Giải các phơng trình trùng phơng: 4 2 4 2 ) 8 1 63 16 0; ) 24 1 308 144 0a z i z i b z i z i Bài 6: Cho 1 2 ,z z là hai nghiệm của phơng trình: 2 1 2 2 3 0z i z i . Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau: 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 3 3 3 3 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 ) ) ) 1 2 1 2 ) ) ) z z a A z z b B z z z z c C z z d D z z e E z z z z f F z z z z z z Bài 7: Giải các hệ PT 2 2 2 4 0 ) ) 2 1 z i z u v uv a b u v i z i z . VN 3 Dạng lợng giác của số phức A. Kiến thức cần nhớ I. Số phức dới dạng lợng giác. 1. Acgumen của số phức z 0 y Cho số phức z 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Khi đó số đo (radian) của mỗi góc lợng b giác tia đầu Ox, tia cuối OM đợc M gọi là một Acgumen của z. O a x Chú ý: + Nếu là Acgumen của z thì mọi Acgumen của z đều có dạng: + k2 , k Z. + Acgumen của z 0 xác định sai khác k2 , k Z. II. Dạng lợng giác của số phức [...]...CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN S PHC Cho số phức Z = a+bi, (a, b R), với r = a 2 b 2 là modun của số phức z và là Acgumen của số phức z Dạng z = r (cos +isin ) được gọi là dạng lượng giác của số phức z 0, còn dạng z = a + bi được gọi là dạng đại số của số phức z II Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác Nếu z = r(cos +isin ), z' = r' (cos '+isin ') (r... một số phức Với z = r(cos +isin ), r > 0, có hai căm bậc hai của z là r (cos i sin ) ; r (cos i sin ) r (cos( ) i sin( )) 2 2 2 2 2 2 B các dạng Bài tập I Viết số phức dưới dạng lượng giác 1) Phương pháp Với mỗi số phức z = a + bi: a b ,sin từ đó suy ra acgumen của z r r Sử dụng công thức lượng giác của số phức cho ta z = r (cos i sin ) 2) Các ví dụ Ví dụ 1: Viết các số phức. .. định như trên Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức z 0 , z 1 , z 2 Khi đó 2 2 OA OB OC 1; AOB ; BOC 3 3 Từ đó suy ra tam giác ABC là tam giác đều C bài tập Bài 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác: 1 i 3 a 1 - i 3 b ( 1 - i 3 )(1 i ) c 1 i 5 d 1 - itan e tan f 1-cos i sin ( R, k 2 , k Z ) i 5 8 Bài 2: Cho 2 số phức: 4 4i và 1+ i 3 Với... - PHN S PHC Tìm Modun và Acgumen của các số phức là đối liên hợp của 2 số phức trên và viết chúng dưới dạng lượng giác 1 Bài 4: Tìm dạng lượng giác của các số phức sau: z ; , biết: z a z = r ( cos i sin ) , r >0; b z = 1 + 3 i Bài 5: Tìm các căn bậc 5 của 1? CMR tổng của chúng bằng 0? Bài 6: Rút gọn hết dấu căn ở mỗi biểu thức sau 1 3 i 2 2 Bài 7: Cho số phức z = a + bi Một hình vuông tâm là gốc... HP Bài 1 a.Trong các số z thoả mãn : 2 z 2 2i 1 hãy tìm số z có moidule nhỏ nhất b.Trong các số z thoả mãn : z 5i 3 hãy tìm số z có acgumen dương nhỏ nhất 1 c Cho | z | 2009 Tỡm s phc cú modun ln nht z Bài 2 Giải các phương trình sau : a z z n 1 ( n N ) b ( z a ) n z n ( n N , a R, a 0) Bài 3 Cho hai điểm M(z) và I(z1) tương ứng với số phức z=x+yi , x, y R và số phức z1=a+bi a) Chứng... phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau (1 i )10 1 1 a) ; b) cos i sin i 5 (1 3i )7 ; c) z 2009 2009 , nếu z 1 9 z z 3 3 ( 3 i) Bài giải a) Xét số phức 10 5 5 2(cos i sin ) 25 (cos i sin ) (1 i )10 4 4 2 2 9 9 3 3 ( 3 i) 29 (cos i sin ) 2(cos 6 i sin 6 2 2 1 1 4 (cos i sin ) 2 16 1 Vậy phần thực bằng , phần ảo bằng 0 16 b) Xét số phức 7 cos i sin... từ (*) có z = 2sin cos( ) i.sin( ) là dạng số phức cần tìm 2 2 + Nếu sinh < 0, thì từ (*) ta có : z 2sin ( sin i cos ) 2sin cos( ) i.sin( ) là dang lượng giác cần tìm 2 2 + Nếu sinh = 0, thì z = 0, nên không có dạng lượng giác xác định II Các bài tập tính toán tổng hợp về dạng lượng giác của số phức 1) Phương pháp giải Đưa số phức về dạng lượng giác rồi sử dụng các công thức... cos i sin 1 i 12 12 c) Ta có z sin i cos cos( ) i sin( ) Vậy z cos( ) i sin( ) 2 2 2 2 Ví dụ 2: Tuỳ theo góc , hãy viết số phức sau dưới dạng lượng giác (1 cos i sin )(1 cos i sin ) Bài giải Xét số phức z = (1 cos i sin )(1 cos i sin ) , ta có Tính r = a 2 b2 ; http://violet.vn/kinhhoa Tính cos = 11 Ngc Vinh CC CHUYấN LUYN THI I HC 2009 - PHN... thành một tam giác đều Bài giải Xét phương trình z 3 1 trên , có nghiệm dạng z r (cos i sin ) Khi đó r 1 z 3 1 r 3 (cos3 i sin 3 ) 1 3 k 2, k Do đó phương trình trên có đúng ba nghiệm ứng với ba giá trị của k là Với k = 0 ta có z 0 = cos0 + isin0 = 1; 2 2 1 3 i sin i ; 3 3 2 2 4 4 1 3 Với k = 2 ta có z 2 = cos i sin i 3 3 2 2 Nên 1 có ba căn bậc ba đó là các số phức được xác định... tròn tâm I, bán kính R Bài 4 0 x y 1 Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn các số phức z =x+yi thỏa mãn điều kiện sau : y x 2 1 Bài 5 Hóy tớnh tng S 1 z z 2 z3 zn 1 bit rng z cos 2 2 i sin n n Bài 6 Giải phương trình : 2 1 4 3 z a z -z + +z+1 = 0 ( ẩn phụ =z- ); z 2 b (z2+3z+6)2+2z(z2+3z+6)-3z2 = 0 Bài 7 Tìm số thực a, b để có phân tích : f(z) =z4-4z3+7z2-16z+12 =(z2+4)(z2+az+b) Từ đó . của số phức A. Kiến thức cần nhớ I. Số phức dới dạng lợng giác. 1. Acgumen của số phức z 0 y Cho số phức z 0. Gọi M là điểm trong mặt phẳng phức biểu diễn số phức z. Khi đó số đo. hai của số phức và phơng trình bậc hai A. Kiến thức cần nhớ I. Định nghĩa căn bậc hai của số phức Cho số phức w mỗi số phức z thoả mãn z 2 = w đợc gọi là một căn bậc hai của số phức w 1 số phức PHN I. CC DNG TON VN 1 dạng đại số của số phức Cộng, trừ, nhân, chia số phức A. TểM TT KIN THC 1. Số phức Một biểu thức dạng z = a + bi, trong đó a và b là những số thực