Chuyên đề Tổ hợp và xác suất

Trường THPT chuyên Hùng Vương Lớp 11 chuyên toán TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Những người thực hiện: NGUYỄN THỊ THÙY DUNG (Nhóm trưởng) NGUYỄN THỊ THU AN CAI VIỆT HOÀNG Năm học: 2014 - 1015 TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Chuyên đề: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT PHẦN MỞ ĐẦU Mục tiêu - Hiểu nắm phương pháp giải toán liên quan đến xác định số phần tử xác định khả xảy biến cố - Biết cách áp dụng thực tiễn đời sống nhờ tổ hợp xác suất Phân công thực Dung (Viết tay) - Nhị thức Niu-tơn An (Viết tay) - Xác suất Hoàng (Đánh máy) - Quy tắc đếm - Bìa Số trang tương ứng với người đánh máy, không tương ứng với người viết tay PHẦN NỘI DUNG Bạn đọc xem trang xem mục lục trang cuối Nhóm Dung (NT), An, Hoàng Chuyên đề: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT A LÍ THUYẾT I Hai quy tắc đếm Quy tắc cộng Giả sử công việc thực theo phương án A phương án B Có n cách thực phương án A m cách thực phương án B Khi công việc thực n + m cách Quy tắc cộng cho công việc có nhiều phương án: Giả sử công việc thực theo k phương án A1, A2, , Ak Có n1 cách thực phương án A1, n2 cách thực phương án A2, … nk cách thực phương án Ak Khi công việc thực n1 + n2 + … + nk cách Quy tắc cộng mở rộng: Cho hai tập hợp hữu hạn A B Khi số phần tử A  B số phần tử A cộng với số phần tử B trừ số phần tử A  B, tức A B  A  B  A B Quy tắc nhân Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A B Công đoạn A làm theo n cách Với cách thực công đoạn A công đoạn B làm theo m cách Khi công việc thực theo nm cách Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn: Giả sử công việc bao gồm k công đoạn A1 , A2 , , Ak Công đoạn A1 thực theo n1 cách, công đoạn A2 thực theo n2 cách, …, công đoạn Ak thực theo nk cách Khi công việc thực theo n1n2 nk cách II Hoán vị, chỉnh hợp tổ hợp Hoán vị a) Định nghĩa Cho tập hợp A có n (n  1) phần tử Khi xếp n phần tử theo thứ tự, ta hoán vị phần tử tập A (gọi tắt hoán vị A) b) Số hoán vị Cho số nguyên dương n Kí hiệu Pn số hoán vị tập hợp có n phần tử Ta có Định lí 1: Số hoán vị tập hợp có n phần tử Pn  n !  n  n  1 n   Nhóm Dung (NT), An, Hoàng Chuyên đề: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Chỉnh hợp a) Định nghĩa Cho tập hợp A gồm n phần tử số nguyên k với  k  n Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự, ta chỉnh hợp chập k n phần tử A (gọi tắt chỉnh hợp chập k A ) b) Số chỉnh hợp Cho số nguyên n k với  k  n Kí hiệu Ank số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử Ta có: Định lí 2: Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử 1  k  n  Ank  n  n  1 n    n  k  1 6   2974 cách chọn VD16: Có nhà toán học nam, nhà toán học nữ nhà vật lí nam Lập đoàn công tác người cần có nam nữ, cần có nhà toán học nhà vật lí Hỏi có cách ? Giải: Số cách chọn nhà toán học nam, nhà toán học nữ, nhà vật lý nam 1 C5 C3 C4  60 Số cách chọn nhà toán học nữ , nhà vật lý nam C3 C4  18 Số cách chọn nhà toán học nữ, nhà vật lý nam C3 C4  12 Tổng số cách chọn đoàn công tác 60  18  12  90 cách VD17: Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) số câu hỏi dễ không Giải: Mỗi đề kiểm tra có số câu dễ 3, nên có trường hợp sau: Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó, có C152 C102 C51 đề Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó, có C152 C101 C52 đề Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó, có C153 C101 C51 đề Vậy tất có C152 C102 C51  C152 C101 C52  C153 C101 C51  56875 đề Nhóm Dung (NT), An, Hoàng 16 Chuyên đề: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT VD18: Một lớp học có bàn đôi Thầy giáo chủ nhiệm tính xếp học sinh lớp theo 1560 sơ đồ khác số chỗ ngồi vừa đủ cho số học sinh lớp Hỏi lớp có học sinh Giải: Gọi n số học sinh lớp Lớp học bàn ngồi hai bạn, chọn bạn n bạn lớp xếp vào bàn hai chỗ chỉnh hợp chập n hay An2 Mặt khác có 1560 sơ đồ lớp khác nên ta có n  n  1 n  ! n! An2  1560   1560   1560  n  n  1  1560  n  !  n  !  n  40  n  n  1560     n  39(ktm) Vậy lớp có 40 học sinh Bài tập tương tự Bài 1: Một người dự định ăn trưa với ba ăn: khô, canh tráng miệng Một cửa hàng cơm có 10 loại thức ăn khô, loại canh loại tráng miệng Hỏi vào cửa hàng cơm nói người ăn có cách chọn thực đơn Đáp số: 120 cách Bài 2: Đường từ tỉnh A đến tỉnh B phải qua cầu C Từ A đến C có đường, từ B đến C có đường a) Có đường từ A đến B b) Đi đường có cách từ A đến B lại từ B trở A Đáp số: a) 12 đường, b) 144 cách Bài 3: Từ nhóm học sinh gồm nam nữ, thầy giáo cần chọn em tham dự lễ mít tinh trường với yêu cầu có nam nữ Hỏi có cách chọn ? Đáp số: 1260 cách chọn Bài 4: Một lớp có 10 học sinh nam 10 học sinh nữ Cần chọn học sinh để làm công tác "Mùa hè xanh" Hỏi có cách chọn học sinh phải có nhất: a) Hai học sinh nữ hai học sinh nam b) Một học sinh nữ học sinh nam Đáp số: a) 10800 cách, b) 15000 cách Bài 5: Một đội văn nghệ có 15 người gồm 10 nam nữ Hỏi có cách lập nhóm đồng ca gồm người, biết nhóm phải có nữ Đáp số: 3690 cách Bài 6: Trong đua ngựa có 10 ngựa đua Hỏi: a) Có khả chọn ngựa nhất, nhì, ba ? b) Có khả chọn ngựa ? Nhóm Dung (NT), An, Hoàng 17 Chuyên đề: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Vấn đề 3: Sử dụng quy tắc tổ hợp để giải toán hình học Phương pháp Khác với hai vđ trên, vấn đề tương đối phức tạp phải tư đại số lẫn hình học Để làm tốt phần cần có kiến thức hình học phải chắn, cần ý học lớp điểm, đường thẳng, mặt phẳng, đa giác… Ví dụ VD1: a) Có tất đường chéo tứ giác lồi n cạnh ? b) Đa giác lồi có số cạnh số đường chéo ? Giải: a) Đa giác lồi n cạnh gồm có n đỉnh Chọn số n cạnh để nối thành đoạn n  n  1 thẳng tổ hợp chập n hay Cn2  đoạn thẳng nối liền đỉnh Các đoạn thẳng gồm cạnh đường chéo n  n  1 n  n  3 n  Vậy số đường chéo 2 n  n  3 n b) Số cạnh số đường chéo Giải ta n  hay ngũ giác lồi có số cạnh số đường chéo VD2: Xác định số cạnh đa giác lồi biết số đường chéo gấp đôi số cạnh Giải: n  , n  3 Giả sử đa giác lồi có n cạnh  Khi đa giác lồi có n đỉnh Nối hai n đỉnh ta cạnh đường chéo Có Cn cách nối n đỉnh Suy tổng số cạnh đường chéo Cn Số đường chéo Cn  n Theo giả thiết số đường chéo gấp đôi số cạnh nên n  n  1 n  ! n! Cn2  n  2n  Cn2  3n   3n   3n 2! n  ! 2! n  !  n  n  1  6n  n    n    n  Vậy đa giác lồi có cạnh VD3: Có đường chéo hình thập giác lồi ? Giải: Nhóm Dung (NT), An, Hoàng 20 Chuyên đề: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Hình thập giác lồi có 10 đỉnh Nối 10 đỉnh ta cạnh đường chéo, có C202  45 cách nối Suy tổng số cạnh đường chéo 45 Mặt khác hình thập giác lồi có 10 cạnh Vậy có 45−10=35 đường chéo VD4: Tìm số giao điểm tối đa của: a) 10 đường thẳng phân biệt b) đường tròn phân biệt Từ kết câu suy số giao điểm tối đa tập hợp đường nói Giải: a) Hai đường thẳng phân biệt có tối đa giao điểm ⇒ Số giao điểm tối đa 10 đường thẳng phân biệt là: 1.C102  45 điểm b) Hai đường tròn phân biệt có tối đa giao điểm ⇒ Số giao điểm tối đa đường tròn phân biệt là: 2.C62  30 điểm Vì đường thẳng đường tròn có tối đa 12 giao điểm Do số giao điểm tối đa 10 đường thẳng đường tròn là: 10.12 = 120 điểm Vậy số giao điểm tối đa tập hợp đường cho là: 45 + 30 + 120 = 195 điểm VD5: Trong hệ trục toạ độ Oxy, chọn điểm trục Ox điểm trục Oy Nối điểm trục Ox điểm trục Oy ta 40 đoạn Hỏi 40 đoạn có tối đa giao điểm góc phần tư thứ hệ trục toạ độ Oxy Giải: Một giao điểm góc phần tư thứ xác định cách chọn điểm Ox điểm Oy Chọn điểm điểm trục Ox tổ hợp chập hay C82 Chọn điểm điểm trục Oy tổ hợp chập hay C52 Số giao điểm tối đa đạt đoạn 40 đoạn đồng quy Vậy theo quy tắc nhân có tất C82 C52  280 giao điểm tối đa Bài tập tương tự Bài 1: Cho đa giác lồi n đỉnh: a) Đa giác có đường chéo ? b) Có tam giác đỉnh đa giác ? c) Có đường chéo qua đỉnh A đa giác ? d) Có tam giác có đỉnh A hai đỉnh lại đỉnh đa giác ? n  n  3 n  n  1 n   Đáp số: a) đường chéo, b) tam giác, c) n  đường chéo, d)  n  1 n   tam giác Nhóm Dung (NT), An, Hoàng 21 Chuyên đề: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Bài 2: Cho họ gồm m đường thẳng song song cắt họ gồm n đường thẳng song song khác Hỏi có hình bình hành tạo thành ? Đáp số: Cm2 Cn2 hình bình hành Bài 3: Cho n điểm mặt phẳng cho ba điểm thẳng hàng Tìm n cho số tam giác mà đỉnh trùng với điểm cho gấp đôi số đoạn thẳng nối từ điểm ? Đáp số: n  Bài 4: Cho điểm mặt phẳng cho ba điểm thẳng hàng: a) Có đường thẳng mà đường thẳng qua điểm nói ? b) Có tam giác với đỉnh điểm nói ? Đáp số: a) 21 đường thẳng, b) 35 tam giác Bài 5: Trong mp cho đa giác có 20 cạnh Có tam giác có đỉnh đỉnh đa giác cho đồng thời cạnh cạnh đa giác ? Đáp số: 800 tam giác Bài 6: Cho đa giác A1 A2 A2 n  n  2, n   nội tiếp đường tròn tâm O a) Tính số tam giác lập nên (đỉnh tam giác đỉnh đa giác) b) Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm gấp 20 lần số hình chữ nhật có đỉnh đỉnh đa giác, tìm n Đáp số: a) C2n tam giác, b) n  * * * Nhóm Dung (NT), An, Hoàng 22 ... TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Chuyên đề: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT PHẦN MỞ ĐẦU Mục tiêu - Hiểu nắm phương pháp giải toán liên quan đến xác định số phần tử xác định khả xảy biến... tập hợp có n phần tử Ta có Định lí 1: Số hoán vị tập hợp có n phần tử Pn  n !  n  n  1 n   Nhóm Dung (NT), An, Hoàng Chuyên đề: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Chỉnh hợp a) Định nghĩa Cho tập hợp. .. ngồi vào ghế dài cho: a) Ất ngồi b) Giáp Canh ngồi đầu hai ghế Đáp số: a) 720 cách, b) 240 cách * * * Nhóm Dung (NT), An, Hoàng 19 Chuyên đề: TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Vấn đề 3: Sử dụng quy tắc tổ hợp