Chuyên đề Lượng giác

TRƯỜNG THPT chuyên Hùng Vương Lớp 11 chuyên toán TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Những người thực hiện: NGUYỄN THỊ THÙY DUNG (Nhóm trưởng) NGUYỄN THỊ THU AN CAI VIỆT HOÀNG Nă m họ c: 2014 - 1015 TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHẦN MỞ ĐẦU Mục tiêu - Hiểu nắm phương pháp giải phương trình lượng giác thường gặp - Biết cách vận dụng linh hoạt phương pháp thủ thuật tính toán Phân công thực Dung (Viết tay) - Kiến thức - Dạng 3: Phương pháp đặt ẩn phụ - Dạng 4: Các phương trình lượng giác có điều kiện An (Đánh máy) - Dạng 5: Một số phương trình khác - Bài tập tổng hợp Hoàng (Đánh máy) - Dạng 1: Phương pháp đưa phương trình - Dạng 2: Phương pháp đưa phương trình tích - Bìa - Thiết kế, kiểm tra Số trang tương ứng với người đánh máy, không tương ứng với người viết tay PHẦN NỘI DUNG Bạn đọc xem trang xem mục lục trang cuối Nhóm Dung(NT), An, Hoàng Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A KIẾN THỨC CƠ BẢN Nhóm Dung (NT), An, Hoàng Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Cung liên kết a) Cung đối: cos   x   cos x; sin   x    sin x; b) Cung bù: cos   x    cos x; sin   x   sin x; c) Cung phụ:        cos   x   sin x; sin   x   cos x; tan(  x)  cot x; cot   x   tan x 2  2  2  d) Cung  : cos   x    cos x; sin   x    sin x; e) Cung       x    sin x; sin   x   cos x; 2  2  : cos  Công thức lượng giác a) Công thức cộng: cos  a  b   cos a cos b  sin a sin b sin(a  b)  sin a cos b  cos a sin b tan a  tan b tan(a  b)   tan a tan b cot a cot b  cot(a  b)  cot a  cot b b) Công thức nhân đôi: sin 2a  2sin a.cos a cos 2a  cos a  sin a  2cos a    2sin a tan a tan 2a   tan a c) Công thức nhân ba sin 3a  3sin a  4sin a cos3a  4cos3 a  3cos a d) Công thức hạ bậc  cos 2a  cos 2a sin a  ; cos a  2 3sin a  sin 3a 3cos a  cos3a sin a  ; cos3 a  4 e) Công thức biến đổi tích thành tổng Nhóm Dung(NT), An, Hoàng Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC cos(a  b)  cos(a  b) 1 sin a sin b   cos(a  b)  cos(a  b)  sin a cos b  sin(a  b)  sin(a  b)  cos a cos b  f) Công thức biến đổi tổng thành tích ab a b cos a  cos b  2cos cos 2 ab a b cos a  cos b  2sin sin 2 ab a b sin a  sin b  2sin cos 2 ab a b sin a  sin b  2cos sin 2 g) Công thức tính theo tan a t 2t t 1 1 t2 cos a  1 t2 2t tan a  1 t2 sin a  Hằng đẳng thức thường dùng sin a  cos a  1 sin a  cos a   sin 2a sin a  cos a   sin 2a 1  tan a  cos a 1+cot a  sin a  sin 2a   sin a  cos a  Nhóm Dung (NT), An, Hoàng Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Phương trình lượng giác m  VN  sin f ( x)  m   f ( x)  arcsin m  k 2  f ( x)    arcsin m  k 2 m    x    k 2 sin x  sin     x      k 2 VN  cos f ( x)  m   f ( x)  arccos m  k 2  f ( x)   arccos m  k 2  m  m   x    k 2 cos x  cos     x    k 2 tan f ( x)  m  f ( x)  arctan m  k ; tanx  tan   x    k cot f ( x)  m  f ( x)  arc cot m  k cotx  cot   x    k Phương trình thường gặp a) Phương trình bậc hai a.sin f ( x)  b.cos f ( x)  c   Thay sin f ( x)   cos f ( x) a.cos f ( x)  b.sin f ( x)  c   Thay cos2 f ( x)   sin f ( x) a cos f ( x)  b cos f ( x)  c   Thay cos f ( x)  2cos f ( x)  a cos f ( x)  b sin f ( x)  c   Thay cos f ( x)   2sin f ( x) a.tan f ( x)  b cot f ( x)  c   Thay cot f ( x)  tan f ( x) b) Phương trình dạng a sin f ( x)  b cos f ( x)  c - Điều kiện có nghiệm: a  b2  c2 - Chia vế cho a  b , dùng công thức cộng chuyển dạng theo sin cos c) Phương trình đẳng cấp * Dạng a.sin x  b.sin x cos x  c.cos2 x  d - Xét cosx = có thỏa mãn phương trình hay không - Xét cosx  0, chia vế cho cos2x để phương trình bậc theo tanx Có thể thay xét cos x , ta thay việc xét sin x * Dạng a.sin3 x  b.sin x cos x  c.sin x.cos2 x  d cos3 x  - Xét cos x  có thỏa mãn phương trình hay không - Xét cos x  , chia vế cho cos3x để phương trình bậc theo tanx Có thể thay xét cos x , ta thay việc xét sin x Nhóm Dung(NT), An, Hoàng Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC d) Phương trình đối xứng loại 1: a(sin x  cos x)  b.sin x cos x  c - Đặt t  sin x  cos x , điều kiện t  - Thay vào phương trình ta phương trình bậc theo t e) Phương trình đối xứng loại 2: a  tan n x  cot n x)  b(tan x  cot x   - Đặt t  tan x  cot x t  R ; Đặt t  tan x  cot x t  - Chuyển phương trình theo ẩn t f) Phương trình dạng a.sinx + b.cosx = c.sin u(x) + d.cos u(x) (𝑎2 + 𝑏 = 𝑐 + 𝑑 ) Phương pháp giải: Chia vế cho 𝑎2 + 𝑏 𝑐 + 𝑑 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 Pt ⇔ 2 𝑠𝑖𝑛𝑥 + 2 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 2 𝑠𝑖𝑛 𝑢(𝑥) + 2 cos 𝑢(𝑥) √𝑎 +𝑏 √𝑎 +𝑏 √𝑎 +𝑏 √𝑎 +𝑏 ⇔sin𝛼 sinx + cos𝛼 cosx = sin𝛽 sin u(x) + cos𝛽 cos u(x) ⟺ cos ( x – α) = cos ( u(x) – β) g) Các phương pháp giải phương trình lượng giác tổng quát - Phương pháp biến đổi tương đương đưa dạng - Phương pháp biến đổi phương trình cho dạng tích - Phương pháp đặt ẩn phụ - Phương pháp đối lập - Phương pháp tổng bình phương Ngoài số phương pháp cụ thể bổ sung phần B Nhóm Dung (NT), An, Hoàng Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sin x - =  2cos x + cos x - = sin x = cos x = -1  cos x = x=  + k2  x =  + k2   x=   (kZ) + k2  Vậy nghiệm phương trình:   + k2  ,  + k2  ,  + k2  ; ( k Z ) VD6: Giải phương trình: x cot x + sin x (1 + tan x tan ) = Giải ĐK: sin x  0, cos x  Phương trình cos x + sin x (1 +  sin x x )=4 x cos x cos sin x sin cos x sin x + =4 sin x cos x =4  sin x cos x =  sin 2x     k 12 5 x=  k 12 x= (kZ) (kZ) Vậy nghiệm phương trình: x =  12  k , x = VD7: Giải phương trình: cos x + cos y + cos ( x  y ) = Giải Vế trái = (3 + cos 2x + cos y + cos (2x  y) ) Nhóm Dung(NT), An, Hoàng 44 5  k 12 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC = (3 + 2cos ( x  y) cos ( x  y) + 2cos ( x  y )  ) = cos ( x  y ) + cos ( x  y) cos ( x  y) + Đặt: cos ( x  y) = t  VT  t + t + 1 3 ) +  4 =(t+ cos ( x  y) = Dấu xảy  cos ( x  y) = x  y  k 2  x y  x=  y=   y=  ( m, k  Z )  m2  (k  m) x=   1  (m  k )   ( m, k  Z )  (k  m)  (m  k )   6 Vậy nghiệm phương trình: (  (k  m) ; (  (m  k ) ),   (k  m) ;    (m  k ) ) VD8: Giải phương trình: sin 10 x  cos10 x  Giải x  R   sin x   cos x   sin 10 x  sin x cos10 x  cos2 x  sin 10 x  cos10 x  sin x  cos2 x  Dấu xảy  sin 10 x  sin x cos10 x  cos2 x Nhóm Dung (NT), An, Hoàng 45 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sin x  sin x   cos x  cos x  cos x  cos x     k 2 x  k 2 x  (k  Z ) Vậy nghiệm phương trình:   k 2 ; k 2 (k  Z ) VD9: Giải phương trình: 3(sin x  cos x)  sin x   Giải Phương trình  3(sin x  cos x)  sin x cos x   Đặt sin x  cos x  t ;   t   Pttt: 3t  2(t  1)    2t  3t   t  1  (loại) t  t  1  sin x  cos x  1  cos( x   cos( x   4 ) )  1 1  cos 3 3  k 2 4  3 x   k 2 4 x    k 2 x     x    k 2 (k  Z ) (k  Z ) Vậy nghiệm phương trình:   k 2 ; Nhóm Dung(NT), An, Hoàng 46   k 2 ; (k  Z ) Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VD10: Giải phương trình: cos x  sin 3x.cox  sin x  3 sin x  cos x =1 Giải ĐK: sin x  cos x   sin( x +  )0   k2  , ( k  Z )   x    k2  , ( k  Z ) Phương trình  cos2 x  sin 3x.cox  sin 4x  = sin x  cos x  (2 cos x  1) + sin 4x + sin x  sin 4x = sin x  cos x  x+  cos x  sin x = sin x  cos x    sin (2 x  ) = sin ( x  )   x   x   k 2 ( k Z )    x     x   k 2  x    k 2 ( loại ) ( k Z )   k 2 ( thỏa mãn ) x   k 2 Vậy nghiệm cua phương trinh: x   , ( k Z ) VD11: Giải phương trình: tan x  (sin x + 2cos x ) = (sin x + 3cos x ) Giải Đk: cos x  Chia vế cho cos x Phương trình  tan x  ( tan x + ) = (tan x + ) Đặt tan x  = t, ( t  )  u  = tan x Pttt: 3t (t + 1) = (t + 2)  3t  5t + 3t  10 =  ( t  2)(3t  t  5) = t 20  3t  t   Nhóm Dung (NT), An, Hoàng 47 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 179 1 )+ > )  t = ( 3t  t  = 3( t + t + 36 36  tan x  =  tan x + = =3  tan x = arctan + k  ( k Z )  x Vậy nghiệm phương trình: arctan + k  ; ( k  Z ) VD12: Giải phương trình: 3cos x    3(  cos x ).cot x Giải Đk: sin x   x  m ( m  Z ) cos x Phương trình  3cos x    3(  cos x ) sin x cos x  3cos x    3(  cos x )  cos x  cos x  3cos x  =  cos x  3cos x  + 3cos x  cos x =  cos2 x  cos x  cos x   cos x    cos x   cos x   2 cos x   x    k 2 ( k Z )  2 x   arccos( )  k 2  2 Vậy nghiệm phương trình:   k 2 ;  arccos( )  k 2 ( k  Z ) 3 VD13: Cho phương trình: cos 2x  sin 2x  cos x  sin x   Giải Phương trình   sin x  sin x cos x  cos x  sin x   Nhóm Dung(NT), An, Hoàng 48 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  2 sin x  sin x   cos x(1  sin x)   (1  sin x)(2 sin x  7)  cos x(1  sin x)   (1  sin x)(2 sin x  cos x  7)   sin x   sin x  cos x   (vô nghiệm)  sin x   x    k 2 (k  Z ) Vậy nghiệm phương trình:   k 2 (k  Z ) VD14: Giải phương trình: sin x  cos6 x  cos x  Giải Ta có: sin x  cos x  (sin x)  (cos2 x) = (sin x  cos2 x)  sin x cos2 x(sin x  cos2 x) 6 3 =  sin 2 x cos 2 x  4 Phương trình  cos 2 x  = cos2 x  4  cos 2 x  = cos 2x 4  3cos 2 x  cos 2x   cos 2x   cos x  x  k (k  Z )  1 x   arccos  k 2 1 Vậy nghiệm phương trình: k ;  arccos  k 2 ; ( k Z ) = VD15: Giải phương trình: sin x cot x 1 cos x Giải Nhóm Dung (NT), An, Hoàng 49 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC sin 5x  Đk: cos 9x  cos x  cos x sin x  cos 5x sin x  cos x sin 5x  sin 6x  sin 4x  sin 14x  sin 4x  sin 14x  sin x 14x  6x  k 2  14x    6x  k 2 k x   k x  20 10 Phương trình  sin x (k  Z ) (k  Z ) So sánh điều kiện: +) Với x  k :  sin 5x  : 5k  5x   n (n  Z )  5k  4n  k  4m; (m  Z ) -Nếu k = 4m phương trình không thỏa mãn -Nếu k = 4m + r; (0 < r < 4) thì: 5k  5(4m  r )  20m  5r  4n, (r  1,2,3)  cos 9x  : 9k    n ; (n  Z )  9k   4n  k  2m  1; (m  Z )  9x  k  4m   (k  Z ) k  4m   x   m 3 x  m  (k , m  Z )  x   k  k +) x   : 20 10  k  n   2k  4n  sin 5x   x   9 k 9     n   18k  10  20n  cos 9x   x  20 10 Nhóm Dung(NT), An, Hoàng 50 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC k  k Vậy nghiệm phương trình là: ;  20 10 VD16: Tìm nghiệm khoảng (0;  ) phương trình: 5(sin x  cos 3x  sin 3x )   cos x  sin x Giải Đk:  sin 2x  1  5 2x   k 2  (k  Z )  2x   k 2  5 x  k 12  (k  Z )  x  k 12 Ta có: cos 3x  sin 3x  cos3 x  cos x  3sin x  sin x = 3(sin x  cos x)  4(sin x  cos x)(1  sin x cos x)  sin x  = (sin x  cos x)(3  4(1  sin x cos x)) = (sin x  cos x)(1  sin x cos x) =  (sin x  cos x)(1  sin 2x) (cos x  sin x)(1  sin x)   cos x  sin x  5(sin x  cos x  sin x)   cos x Phương trình  5(sin x   cos2 x  cos x   cos x  (loại)  cos x   cos x  x   12 x  m2 (m  Z ) 5  m2 12 Vậy nghiệm phương trình:  12  m2 ; 5  m2 12 (m  Z ) Nhóm Dung (NT), An, Hoàng 51 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VD17: Giải phương trình: cos x Đk: 1   cos x   cos 3x 1  cos x cos x cos 3x Giải cos x  cos x  cos 3x  Phương trình  cos x(1  cos x)  cos x(1  cos x)  cos 3x(1  cos 3x)  Áp dụng BĐT Cô-si cho số dương, ta có: VT  cos x   cos x cos x   cos x cos 3x   cos 3x    2 2 cos x   cos x cos x   cos x cos 3x   cos 3x  cos x  cos x  cos 3x  (Vô nghiệm) Dấu xảy  Vậy phương trình vô nghiệm VD18: Giải phương trình:  sin x  cos x  sin x sin x  cot x Giải Đk: sin x   sin x  cos x  2 sin x cos x 2 cos x  sin x sin x  (1  sin x  cos x) sin x  2 sin x cos x Phương trình   sin x cos x  cos2 x  2 cos x   cos x(sin x  cos x  )     cos x    x   k cos x  sin x  cos x  cos x    sin  x    (loại) 4  (k  Z ) Vậy nghiệm phương trình: Nhóm Dung(NT), An, Hoàng 52   k ; (k  Z ) Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC VD19: Giải phương trình:   cos  x    cos 3x 3  Giải   Đặt t   x    x  t  3   3x  3t    cos 3x   cos 3t Phương trình  cos3 t   cos 3t  cos t  cos x  cos x  12 cos t  cos x   cos t (4 cos t  1)  cos t   cos t  cos t   1 cos 2t  t   t  k   (k  Z )  k  k x  k  2 x  k 2 x  Vậy nghiệm phương trình: (k  Z )   k ; k ;  2  k 2 ; (k  Z ) VD20: Giải phương trình:   cos x   cos x cos x  Giải   k ; (k  Z )  cos x  cos x cos x  sin x cos x Đk: cos x   x  Phương trình   sin x     cos x  cos x  cos x  sin x  cos x    cos x  cos x  sin x    k +) cos x   x   k  x   ; (k  Z ) +)  cos x  cos x  sin x Nhóm Dung (NT), An, Hoàng 53  Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC  cos x(1  cos x)  sin 2 x sin x  Ta có:   cos x(1  cos x)   sin 2 x  sin 2 x   cos x(1  cos x)  sin x  sin x  cos x  (loại, với cos x  cos x  sin 2x  )  cos x   Vậy nghiệm phương trình:  k ; (k  Z ) Bài tập tương tự Giải phương trình sau: 1, sin x(1  cos 2x)  sin 2x  cos x  Đáp số: x    2  k 2 ; x   k ; (k  Z ) 2, cos x  cos 2x  sin x  Đáp số: x    k 2 ; (k  Z ) 3, cos x   3(1  cos x) cot x Đáp số: x =   2  k 2 ; x   arccos   k 2 ; (k  Z )   4, sin 2x  cos 2xcos x  cos 2x  sin x  Đáp số: x =   k ; (k  Z ) 5,  tan x(tan x  sin x)  cos x  Đáp sô: x =    k ; (k  Z ) x  x 6, sin    tan x  cos2  2 4 Đáp số: x    k 2 ; x    k ; (k  Z )   7, cos x    cos x    sin x   (1  sin x)  4  4 Đáp số: x  Nhóm Dung(NT), An, Hoàng 54 1  k 2 ; x     k 2 (k  Z ) 2 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 8, sin 2x  sin x  cos x  3  Đáp số: x   k , x  arctan  k ; (k  Z ) 9, 1 (cos x  cos x)  (cos x  cos x)  cos x 2 Đáp số: x    14  k ; x  k 2 ; (k  Z ) 10, Tính tan Giải phương trình:     sin  x    (  1) sin  x    3 6   Đáp số: x  5   k 2 ; x   k 2 ; (k  Z ) 12 11, sin x  cos x  sin x  Đáp số: x  k ; (k  Z ) 12, sin x _ 2008 cos2008 x  2008 Đáp số: x  k ; (k  Z ) 13, 1 15 cos x   2 cot x  tan x   sin 2 x Đáp số: x   14, tan x  cot x   12 82 (tan x tan x  1) cos x Đáp số: x     k ; (k  Z )  k ; (k  Z ) 15,     tan 2 x   cot 2 x    2  cos x  sin x  sin x Đáp số: x  16, 17, cot x  sin 2 x    cot x    k ; (k  Z ) Đáp số: x    k ; (k  Z ) Đáp số: x  5  2k ; (k  Z )  cos6 x  sin x  sin x cos x   sin x Nhóm Dung (NT), An, Hoàng 55 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1  7    sin   x 18, 3  sin x    sin  x       5 Đáp số: x   k ; x   k ; x   k ; (k  Z ) 8 19, 1  sin x  cos x  1  sin x 1  sin x  Đáp số: x  20, 1  sin xcos x  1  cos2 xsin x   sin 2x Đáp số: x  k 2 ; x  Nhóm Dung(NT), An, Hoàng 56   k ; (k  Z ) 18    k ; x   k 2 ; (k  Z ) Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHẦN KẾT Nhận xét người đọc: Nhóm Dung (NT), An, Hoàng 57 Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG 2 A KIẾN THỨC CƠ BẢN Cung liên kết Công thức lượng giác Hằng đẳng thức thường dùng Phương trình lượng giác Phương trình thường gặp B PHƯƠNG PHÁP, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG Dạng 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN Phương pháp: Ví dụ Bài tập tương tự Dạng 2: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH 14 16 Phương pháp 16 Ví dụ 17 Bài tập tương tự 29 Dạng 3: PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ Dạng 4: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN Dạng 5: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC 33 Phương pháp 33 Ví dụ 35 BÀI TẬP TỔNG HỢP 42 Phương pháp 42 Ví dụ 42 Bài tập tương tự 54 PHẦN KẾT Nhóm Dung(NT), An, Hoàng 58 57 ... TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC PHẦN MỞ ĐẦU Mục tiêu - Hiểu nắm phương pháp giải phương trình lượng giác thường gặp - Biết cách... lục trang cuối Nhóm Dung(NT), An, Hoàng Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC A KIẾN THỨC CƠ BẢN Nhóm Dung (NT), An, Hoàng Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Cung liên kết a) Cung đối: cos   x... B Nhóm Dung (NT), An, Hoàng Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC B PHƯ Ơ NG PHÁP, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬ P VẬ N DỤ NG Nhóm Dung(NT), An, Hoàng Chuyên đề: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Dạng 1: PHƯƠNG PHÁP ĐƯA