chuyen de luong giac ( hay)

Công thức lợng giác và PT lợng giác Đại số và giải tích lớp 11 I/ Công thức l ợng giác: 1, Bảng g/trị l ợng giác của các góc đặc biệt : 30 0 (/6 ) 45 0 (/4) 60 0 (/3) 90 0 (/2) 120 0 (2/3) 135 0 (3/4) 150 0 (5/6) 180 0 ( ) Sin 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0 Cos 3 2 2 2 1 2 0 - 1 2 - 2 2 - 3 2 -1 Tan 1 3 1 3 //// - 3 -1 - 1 3 0 Cot 3 1 1 3 0 - 1 3 -1 - 3 //// 2, Các công thức cơ bản cần nhớ: sin 2 + cos 2 = 1 tan .cot =1 1 2 cos = 1+ tan 2 1 2 sin = 1+ cot 2 3, Công thức về góc : Góc đối: và - sin(-) = - sin cos(-) = cos tan(-) = - tan cot(-) = - cot Góc bù: và - sin(-) = sin cos(-) = - cos tan(-) = - tan cot(-) = - cot Góc: và + sin(+) = - sin cos(+) = - cos tan(+) = tan cot(+) = cot Góc phụ: và 2 - sin( 2 -) = cos cos( 2 -) = sin tan( 2 -) = cot cot( 2 -) = tan Góc : và 2 + sin( 2 +) = cos cos( 2 +) = -sin tan( 2 +) = -cot cot( 2 +) = -tan 4, Công thức cần nhớ: Công thức cộng: cos(a b) = cosa.cosb m sina.sinb sin(a b) = sina.cosb cosa.sinb tan(a b) = tan tan 1 tan .tan a b a b m Công thức nhân đôi: sin2a = 2 sina.cosa cos2a = cos 2 a- sin 2 a = 2cos 2 a - 1 = 1- 2sin 2 a GV: Phạm Xuân Trung 1 0915 673 504 C«ng thøc lỵng gi¸c vµ PT lỵng gi¸c §¹i sè vµ gi¶i tÝch líp 11 C«ng thøc h¹ bËc 2: ( §ỵc suy ra tõ c«ng thøc nh©n ®«i). 1 2 2 2 cos a cos a + = 1 2 2 2 cos a sin a − = 1 2 2 tan 1 2 cos a a cos a − = + C«ng thøc biÕn tÝch thµnh tỉng: cosa.cosb = 1 2 [cos(a+b)+ cos(a-b)] sina.cosb = 1 2 [sin(a+b)+sin(a-b)] sina.sinb = 1 2 [cos(a-b)- cos(a+b)] C«ng thøc biÕn tỉng thµnh tÝch: cosa + cosb = 2 cos 2 a b+ .cos 2 a b− cosa - cosb = -2 sin 2 a b+ .sin 2 a b− sina + sinb = 2 sin 2 a b+ .cos 2 a b− sina - sinb = 2cos 2 a b+ .sin 2 a b− tana ± tanb = sin( ) cos .cos a b a b ± cota ± cotb = sin( ) sin .sin a b a b ± Chó ý: mét sè ct hay dung trong biÕn ®ỉi 1+ sin2x = ( sinx + cosx) 2 1- sin2x = ( sinx - cosx) 2 1- cos2x = 2sin 2 x 1+ cos2x = 2cos 2 x tanx + cotx = 2 sin 2x sinx + cosx = 2 ( ) 4 cos x Π − sinx - cosx = 2 s ( ) 4 in x Π − cosx- sinx = 2 ( ) 4 cos x Π + cos3x = 4cos 3 x - 3cosx sin3x = 3sinx - 4sin 3 x Ví dụ: Chứng minh rằng: 1. 4 4 2 2 cos sin 1 2sin cosx x x x+ = − 2. xxxx 2266 cossin31sincos −=+ Ví dụ: Tính ) 4 11 cos( π − , 4 21 π tg Ví dụ: Rút gọn biểu thức: )3cos()2cos() 2 cos( xxxA ++−++= ππ π Ví dụ: 1. Biến đổi thành tổng biểu thức: xxA 3cos.5cos = 2. Tính giá trò của biểu thức: 12 7 sin 12 5 cos ππ = B Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức: 3xsin 2x sinsin ++= xA GV: Ph¹m Xu©n Trung 2  0915 673 504 Công thức lợng giác và PT lợng giác Đại số và giải tích lớp 11 II/ Ph ơng trình l ợng giác: A. PT l ợng giác cơ bản : 1/ phơng trình: sinx = m = sin - Đk để pt có nghiệm là: -1 m 1 - nghiệm của pt là: 2 2 x k x k = + = + (kZ) - nghiệm của các pt đặc biệt: + sinx=1 x= 2 +k2 + sinx=-1 x= - 2 +k2 + sinx= 0 x= k - trong trờng hợp m không xác định đợc là sin của góc đặc biệt nào, ta dùng nghiệm arcsin 2 arcsin 2 x m k x m k = + = + (kZ) 3/ phơng trình: tanx = m = tan - TXĐ: x 2 +k (kZ) - nghiệm của pt là: x k = + (kZ) - nghiệm của các pt đặc biệt: + tanx=1 x= 4 +k + tanx=-1 x= - 4 +k + tanx= 0 x= k - trong trờng hợp m không xác định đợc là tan của góc đặc biệt nào, ta dùng nghiệm arctanx m k = + (k Z) 2/ phơng trình: cosx = m = cos - Đk để pt có nghiệm là: -1 m 1 - nghiệm của pt là: 2 2 x k x k = + = + (kZ) - nghiệm của các pt đặc biệt: + cosx=1 x= k2 + cosx=-1 x= +k2 + cosx= 0 x= 2 +k - trong trờng hợp m không xác định đợc là cos của góc đặc biệt nào, ta dùng nghiệm arc 2 arc 2 x cosm k x cosm k = + = + (kZ) 4/ phơng trình: cotx = m = cot - TXĐ: x k (kZ) - nghiệm của pt là: x k = + (kZ) - nghiệm của các pt đặc biệt: + cotx=1 x= 4 +k + cotx=-1 x= - 4 +k + cotx= 0 x= 2 +k - trong trờng hợp m không xác định đợc là cot của góc đặc biệt nào, ta dùng nghiệm arccotx m k = + (k Z) Vớ duù: 1) Giaỷi caực phửụng trỡnh : a) = 1 sin2 2 x b) 2 cos( ) 4 2 x = c) 03) 6 2sin(2 =+ x d) 03) 3 cos(2 =+ x e) 12cos2sin =+ xx f) xxx 2cossincos 44 =+ 2) Giaỷi caực phửụng trỡnh: GV: Phạm Xuân Trung 3 0915 673 504 Công thức lợng giác và PT lợng giác Đại số và giải tích lớp 11 a) 4 4 1 cos sin 2cos2x x x+ = c) 024sin)cos(sin4 44 =++ xxx b) 6 6 sin cos cos 4x x x+ = d) 3 3 1 sin .cos cos .sin 4 x x x x = e) 4) 2 .1(sincot =++ x tgtgxxgx B.Các ph ơng trình th ờng gặp: PT thuần nhất bậc 2,bậc 3 đối với một hàm số l ợng giác sinx, cosx, tanx,cotx: - Tổng quát: a.sin 2 x+b.sinx+c = 0 (1) a.sin 3 x+b.sin 2 x+c.sinx+d = 0 (2) - Cách giải: Đặt Sinx = t , điều kiện của t là: -1 t 1 sau đó thay vào (1) và (2) giải pt theo ẩn t , tìm x=? Chú ý: Nếu đặt t theo sin hoặc cos thì có đk của t nh trên, còn nếu đặt t theo tan hoặc cot thì đk của t là R. Vớ duù : giai cac phuong trinh sau: a) 2 2cos 5sin 4 0x x+ = b) 5 cos2 4cos 0 2 x x + = c) 2 2sin 4 5cosx x= + d) 2cos cos2 1 cos2 cos3x x x x= + + e) 4 4 1 sin cos sin2 2 x x x+ = f) 0)2 2 cos()cos(sin2 44 =+ xxx g) 4 4 sin cos 1 2sin 2 2 x x x+ = h) 0cos.sincossin 44 =++ xxxx k) 0 sin22 cos.sin)sin(cos2 66 = + x xxxx l) 32cos) 2sin21 3sin3cos (sin5 += + + + x x xx x PT bậc nhất đối với sinx và cosx: - Tổng quát: a.sinx + b.cosx = c (1) - ĐK cần và đủ để (1) có nghiệm là: a 2 +b 2 c 2 - Cách giải: chia hai vế của (1) cho 2 2 a b+ ta đợc pt: 2 2 a a b+ .sinx + 2 2 b a b+ .cosx = 2 2 c a b+ (2) Đặt sin = 2 2 b a b+ và cos = 2 2 a a b+ (2) sinx.cos + cosx. sin = 2 2 c a b+ sin( x+ ) = 2 2 c a b+ GV: Phạm Xuân Trung 4 0915 673 504 Công thức lợng giác và PT lợng giác Đại số và giải tích lớp 11 - chú ý : ở pt dạng này sau khi đa về (2) thì 2 2 b a b+ và 2 2 a a b+ có thể là giá trị lg giác của các góc đặc biệt nh 3 ; 4 ; 6 . Vớ duù : Giaỷi caực phửụng trỡnh : a) + = cos 3 sin 1x x b) 2sin3cos =+ xx c) 4 4 4(sin cos ) 3sin 4 2x x x+ + = d) x tgx cos 1 3 = e) 3 1sincos2 2sincos 2 = xx xx / PT bậc 2, bậc 3 đối với sinx và cosx: - Tổng quát: a.sin 2 x + b.sinxcosx + c.cos 2 x = d (1) a.sin 3 x + b.sin 2 xcosx + c.cos 2 xsinx + d.cos 3 x = e( sinx+ cosx) (2) - Cách giải: + xét cosx= 0 sinx = 1 có thoa mãn (1) hay không, nếu có thì nghiệm của pt là: x= 2 +k + xét cosx 0, chia cả hái vế (1) cho cos 2 x, ta đa về pt bậc 2, bậc 3 theo tanx sau đó đặt tanx = t, tìm t =? x= ? - Chú ý: trong PT dạng này ta phải dùng công thức: 1 2 cos = 1+ tan 2 Vớ duù : Giaỷi phửụng trỡnh: a; 031coscos.sin)31(sin3 22 =++ xxxx b; 3 3 2 4sin 3cos 3sin sin .cos 0x x x x x+ = c; 1 3sin 2 2 tanx x + = PT dạng: - Tổng quát: a.( sinx cosx) + b. sinxcosx = c (1) - Cách giải: Đặt sinx cosx = t , ĐK của t là: 2 2t sinxcosx = 2 1 2 t (2) sau đó thay vào (1) giải PT và tìm t=? thay t vào (2) có sin2x= (t 2 -1) x=? Vớ duù : Giaỷi phửụng trỡnh : sin2 2 2(sin cos ) 5 0x x x + = sin2 4(cos sin ) 4x x x+ = Vớ duù : Giaỷi phửụng trỡnh : a. + + = 3 3 3 1 sin cos sin2x 2 x x b. 1)cos(sin2cossin 33 +=+ xxxx GV: Phạm Xuân Trung 5 0915 673 504 C«ng thøc lỵng gi¸c vµ PT lỵng gi¸c §¹i sè vµ gi¶i tÝch líp 11  Ph ¬ng ph¸p kh¸c: DẠNG 1: C¸c ph¬ng ph¸p hay dïng: Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng giác cơ bản đã biết Ví dụ: Giải phương trình: 0 2 3 2sincossin 44 =−++ xxx  Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số Cơ sở của phương pháp là dựa vào các đònh lý sau đây: A=0 . 0 B=0 A B  = ⇔   hoặc A=0 . . 0 B=0 C=0 A B C   = ⇔    Ví dụ : Giải các phương trình : a. 2 2 2 sin sin 2 sin 3 2x x x+ + = b. 2 2 2 2 sin 3 cos 4 sin 5 cos 6x x x x− = − c. 3 2sin cos2 cos 0x x x+ − = d. 03) 4 sin(2cos222sin =++++ π xxx e, (sinx+1)(2 sinx+1)= cosx Phương pháp 3: - Dïng c«ng thøc h¹ bËc: - Dïng c«ng thøc nh©n ®«i: Ví dụ : Giải các phương trình : a. 01cos2cos3cos =−−+ xxx b. 01cos42coscos4 3 =+−− xxx c. 1 2cos2 8cos 7 cos x x x − + = d. 22cossin 24 =+ xx Phương pháp 4: Dïng c«ng thøc biÕn tỉng thµnh tÝch: Ví dụ : Giải các phương trình a, cos3x+cos5x = sin2x-sin6x b, sin4x+cos5x= sinx + cos2x c, tan2x+tan3x = sin5x d, sin2x+ sin6x- cos8x=-1 Phương pháp 5: Dïng CT biÕn tÝch thµnh tỉng: Ví dụ : Giải các phương trình a, cosx.cos5x = sin2x.sin6x b, sin4x.cos5x + sinx = cos2x c, tan2x.tan3x -1= cos5x d, sin2x+ sin6x- cos8x=-1 Phương pháp 6: PT theo tanx vµ cotx: Ví dụ : Giải các phương trình a, ( ) ( ) 2 tan sin 3 cot cos 5 0x x x x− + − + = b, 2 3tan 6 2 tan 2 4cot 4 sin 8 x x x x − = − c, 3 2 3 1 cos tan 1 sin x x x − = − d, tanx- cotx= sinx +cosx e, 3(tanx+cotx) = 2(2+sin2x) GV: Ph¹m Xu©n Trung 6  0915 673 504 C«ng thøc lỵng gi¸c vµ PT lỵng gi¸c §¹i sè vµ gi¶i tÝch líp 11  Bµi TËp tù lun: Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau 1) 03) 4 sin(2cos222sin =++++ π xxx 2) 07cos2sin 2 5 cos 2 sin 2 3 cos 2 7 sin =++ xx xxxx 3) 6 cos.3) 2 3(cos) 2 2(cos) 2 (cos 222 ππππ =−++++ xxx 4) ) 4 (sin2 2sin1 2sin 2 sin 2 cos 2 44 π + + = − x x x xx 5) xxxx 2sin3cos8sin7cos −=+ 6) 12sincossin2 +=+ xxx Bài 2 : Giải các phương trình lượng giác sau 1. 3 2sin cos2 cos 0x x x+ + = 8. 2 2 2 sin ( ). cos 0 2 4 2 x x tg x π − − = 2. 2 2 7 sin .cos4 sin 2 4sin ( ) 4 2 2 x x x x π − = − − 9. 2 cos (cos 1) 2(1 sin ) sin cos x x x x x − = + + 3. 9sin 6 cos 3sin2 cos2 8x x x x+ − + = 10. 1 2 cos .sin3 3 tg x tgx x x− = 4. 4 4 sin cos 1 1 cot 2 5sin2 2 8sin2 x x g x x x + = − 11. 1 2cos2 8cos 7 cos x x x − + = 5. 2 4 4 (2 sin 2 )sin3 1 cos x x tg x x − + = 12. 2 cos2 1 cot 1 sin sin2 1 2 x gx x x tgx − = + − + 6. 3 ( 2sin ) 6cos 0tgx tgx x x− + + = 13. 2 cot 4sin2 sin2 gx tgx x x − + = 7. 2 cos2 cos .(2 1) 2x x tg x+ − = 14. 2 cos cos sin .(1 . ) 2 x tgx x x x tgx tg+ − = + DẠNG 2: Phương trình lượng giác có chứa tham số Sử dụng phương pháp sau • Chọn ẩn phụ thích hợp và tìm điều kiện đúng cho ẩn phụ vừa chọn (tùy thuộc vào x) • Chuyển phương trình về phương trình đại số • Lập luận để chuyển bài toán đã cho theo ẩn phụ vừa chọn • Sử dụng phương pháp giải tích hoặc đại số để tìm tham số theo yêu cầu của đề bài Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 02sin 4 1 2coscossin 244 =++−+ mxxxx Bài 2: Đònh m để phương trình : m xx gxtgxxx =++++++ ) cos 1 sin 1 cot( 2 1 1cossin có nghiệm       ∈ 2 ;0 π x GV: Ph¹m Xu©n Trung 7  0915 673 504 C«ng thøc lỵng gi¸c vµ PT lỵng gi¸c §¹i sè vµ gi¶i tÝch líp 11 Bài 3: Cho hàm số: 1)cos cos 2 ()cos cos 4 (2 2 2 =−++ x x mx x Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc ). 2 ;0( π Bài 4: Cho phương trình : 01)cot(3 sin 3 2 2 =−+++ gxtgxmxtg x Tìm tất cả các giá trò của m để phương trình có nghiệm. Bài 5: Xác đònh m để phương trình : 4 4 2(sin x cos x) cos4x 2sin2x m 0+ + + − = có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [0; ] 2 π Bài 6: Cho phương trình : mxxx =−− )sin(cos42sin (1) Tìm tất cả các giá trò của m để phương trình (1) có nghiệm. Bài 7: Tìm m để phương trình : 4 4 6 6 2 4(sin x cos x) 4(sin x cos x) sin 4x m+ − + − = có nghiệm. Bài 8: Cho phương trình cos4 6sin cos 0x x x m + − = Đònh m để phương trình có nghiệm 0; 4 x π   ∈     . Bài 9: Tìm m để phương trình : 0)cos)(sincos.(sin2cos2 =+−+ xxmxxx có nghiệm trên đoạn       2 ;0 π Bài 10: Cho phương trình: mtgx xx xx = − + 22 66 sincos sincos Với giá trò nào của m thì phương trình có nghiệm Bài 11: Cho phương trình: mxx =−+ 44 )1(sinsin Với giá trò nào của m thì phương trình có nghiệm Bài 12: Tìm m để phương trình : 2 2 2sin2x m(1 cos x)+ = + có nghiệm ( cßn nhiỊu d¹ng bµi tËp n÷a, t¸c gi¶ sÏ cËp nhËt sau) GV: Ph¹m Xu©n Trung 8  0915 673 504 . ợng giác của các góc đặc biệt : 30 0 (/ 6 ) 45 0 (/ 4) 60 0 (/ 3) 90 0 (/ 2) 120 0 (2 /3) 135 0 (3 /4) 150 0 (5 /6) 180 0 ( ) Sin 1 2 2 2 3 2 1 3 2 2 2 1 2 0. đối: và - sin(-) = - sin cos(-) = cos tan(-) = - tan cot(-) = - cot Góc bù: và - sin(-) = sin cos(-) = - cos tan(-) = - tan cot(-) = - cot Góc: