Chuyên đề Lượng giác 1 (Mathscope)

NG GIÁC MT S  VÀ NG DNG TP 1 : BING GIÁC VÀ H THNG VÕ ANH KHOA  HOÀNG BÁ MINH VÕ ANH KHOA  HOÀNG BÁ MINH NG GIÁC MT S  VÀ NG DNG TP 1 : BING GIÁC VÀ H THNG TP. H CHÍ MINH, THÁNG 7  2011 LU CuNG GIÁC  MT S  VÀ NG Dc biên son vi m cp, b sung kin thc cho hc sinh THPT và mt s bc n mng kin thc này trong quá trình hc tp và làm vic.  cun sách này, ngoài ving khái nim và dng bài tn, chúng tôi s ch s và ng dng ca môn hc này  các bn hiNó xut phát t i sao chúng ta li phi hc nó  n : - Phần I : Nêu lý thuyt cùng ví d minh hc hiu và bit cách trình bày bài. ng thra các dng gp trong quá trình làm bài trên lp ca hc sinh THPT.  phn này, chúng tôi s trình bày mt s  bn c có th nm v - Phần II : Trong quá trình tham kho và tng hp tài liu, chúng tôi s vào phn này các dng toán khó nhm giúp cho các hc sinh bng, rèn luy giNG GIÁC thành thp phi nhng dng toán này. - Phần III : Chúng tôi s i gii gi ý cho mt s c kim tra l, li gii ho tham kho thêm. Trong quá trình biên son, m gng bng vic tham kho mng rt ln các tài liu có sn và tip thu có chn lc ý kin t các bng nghi dn hoàn thin cukhi nhng thiu sót bi tm hiu bit và kinh nghim còn hn ch, chúng tôi rt mong nhc ý kia bc gn xa. Chi tit liên h ti : anhkhoavo1210@gmail.com minh.9a1.dt@gmail.com CÁC TÁC GIẢ VÕ ANH KHOA  HOÀNG BÁ MINH. LI C Trong quá trình biên son, cn nhng bcung cp tài liu tham kho và vui lòng nhn kim tra li tng phn ca bn tho hoc bu kin hoàn thành cun sách này : - Tô Nguyn Nht Minh c T Tp.HCM) - Ngô Minh Nht  Tp.HCM) - Mai Ngc Thng  Tp.HCM) - Trn Lam Ngc (THPT Chuyên Tr - Nguyn Huy Hoàng (THPT Chuyên Lê Hng Phong Tp.HCM) - Nguyn Hoài Anh (THPT Chuyên Phan Bi Châu Tp.Vinh) - c Minh c T Nhiên Hà Ni) và mt s thành viên di MC LC TẬP 1 : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG CHƯƠNG 1 : SƠ LƯỢC VỀ KHÁI NIỆM VÀ LỊCH SỬ 1 CHƯƠNG 2 : CÁC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 4 2.1 CHNG MINH MNG THNG GIÁC 7 BÀI TP T LUYN 15 2.2 TÍNH GIÁ TR CA BIU THC 21 BÀI TP T LUYN 33 2.3 CHNG THNG GIÁC SUY T NG THC C 36 BÀI TP T LUYN 45 2.4 CHNG MINH BIU THNG GIÁC KHÔNG PH THUC VÀO BIN S 46 BÀI TP T LUYN 51 CHƯƠNG 3 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 52 3.1 CHNG THNG GIÁC TRONG TAM GIÁC 55 BÀI TP T LUYN 77 3.2 CHNG MINH BNG THNG GIÁC TRONG TAM GIÁC 81 BÀI TP T LUYN 133 3.3 NHN DNG TAM GIÁC VÀ TÍNH CÁC GÓC TRONG TAM GIÁC 143 BÀI TP T LUYN 191 ĐỌC THÊM : TÓM LƯỢC TIỂU SỬ CÁC NHÀ KHOA HỌC CÓ ẢNH HƯỚNG ĐẾN LƯỢNG GIÁC 199 TÀI LIU THAM KHO 205 c v khái nim và lch s 1  C V KHÁI NIM VÀ LCH S I. KHÁI NIỆM Trong toán hng giác hng giác là các hàm toán hc cc dùng khi nghiên cu tam giác và các hing có tính cht tung giác ca mi t l chiu dài hai cnh ca tam giác vuông chc t l chiu dài gin thng ni c bit trên vò khía cnh hi ng giác là chui vô hn hoc là nghim cu này cho ng giác có th i s là mt s thc hay mt s phc bt k. ( D th hàm sin ) II. LỊCH SỬ Nhng nghiên cu mt cách h thng và vic lp bng giác c cho là thc hiu tiên bi Hipparchus (1) (180-p bng tính  dài các cung tròn và chiu dài c (2) tip tc phát trin công trình, tìm ra công thc cng và tr cho   và   , c công thc h bc, cho phép ông lp bng tính vi bt k  chính xác cn thit nào. Tuy nhiên, nhng b tht truyn. Các phát trin tip theo din ra  , công trình ca Surya Siddhanta (3) (th k 4-5) a góc và nn th k i  R dùng c n v n 8 ch s thp phân. Các công trình u tiên này v c phát trin nhm phc v c, c th  ng h mt tri. c v khái nim và lch s 2  ng cách ti các ngôi sao gn, gia các mc gii hn hay trong các h thng hoa tiêu v tinh. Rc áp dng vào nhic khác : quang hc, phân tích th n t hc, lý thuyt xác sut, thng kê, sinh hc khoa, hóa hc, lý thuyt sa chn hng hc, h Ta ly ví d t mt bài toán sau trích t Lucia C. Hamson, Daylight, Twilight, Darkness and Time : Vic mô hình hóa v s gi chiu sáng ca mt tri là hàm thi gian trong i nhi khác nhau. Cho bit Philadelphia nm     Bc, tìm hàm biu th s gi chiu sáng ca mt tri ti Philadelphia. Chú ý rng m vi mt hàm s sin mà b di chuyn và kéo T cao ca Philadelphia, thi gian chiu sáng kéo dài 14,8 gi vào ngày 21 tháng 6 và 9,2 gi vào ngày 21 tháng 12, v cng cong (h s kéo u dc) là :        H s nào mà chúng ta c  th hình sin theo chiu ngang nu i gian  trong ngày? Bchu k ca mô hình nên là 365. n ca  là , nên h s kéo u ngang là : c v khái nim và lch s 3     ý rng cong bu mt chu trình ca nó vào ngày 21 tháng 3, ngày th 80 c chúng ta phi phi dch chuyng cong v bên ph. Ngoài ra, chúng ta ph hình hóa s gi chiu sáng ca ca mt tri  Philadelphia vào ngày th  ca ng hàm s :              i ng giác 4  CÁC BING GIÁC I. BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG CÓ LIÊN QUAN ĐẶC BIỆT Ta gc bit vi cung  là các cung : - i vi  :  - Bù vi  :   - Hiu  vi  :   -    vi  :                  cos      sin      tan      cot      Ngoài ra, có mt s ng giác khác :           II. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC 1. CÔNG THỨC CƠ BẢN                                            [...]... minh [ ] 2 .1. 10 Chứng minh ừ ứ ớ ọ 2 .1. 11 Chứng minh 2 .1. 12 Chứng minh √ (ĐHQG Hà Nội 20 01) 16 Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 2 .1. 13 Chứng minh (ĐH Phòng Cháy Chữa Cháy 20 01) 2 .1. 14 Chứng minh √ (ĐHQG Hà Nội 19 95) 2 .1. 15 Chứng minh 2 .1. 16 Chứng minh 2 .1. 17 Chứng minh 2 .1. 18 Chứng minh 2 .1. 19 Chứng minh ( ) ( ) 2 .1. 20 Chứng minh 17 Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 2 .1. 21 Chứng minh 2 .1. 22 Chứng... 2 .1. 13 Nhân 2 vế cho 2 .1. 14 Áp dụng công thức 19 Chương 2 : Các biến đổi lượng giác Viết lại thành 2 .1. 15 a) Để ý b) Sử dụng công thức Ta có điều phải chứng minh tương đương với [ ] 2 .1. 16 a Cần chứng minh Suy ra b Ta có điều cần chứng minh tương đương với 2 .1. 17 Để ý rằng 2 .1. 18 Áp dụng công thức 2 .1. 19 Ta chỉ cần chứng minh ( 20 ) ( ) ( ) ( ) Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 2 .1. 21 Sử dụng công thức... chứng minh 14 ) ) Chương 2 : Các biến đổi lượng giác BÀI TẬP TỰ LUYỆN 2 .1. 1 Chứng minh các đẳng thức sau a b c 2 .1. 2 Chứng minh 2 .1. 3 Chứng minh ( ) ( ) Áp dụng tính tổng : 2 .1. 4 Chứng minh [ ] [ 2 .1. 5 Chứng minh ] , , là nghiệm của phương trình Từ đó suy ra giá trị của 15 Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 2 .1. 6 Cho 3 góc thỏa Chứng minh 2 .1. 7 Chứng minh 2 .1. 8 Chứng minh (ĐHQG Hà Nội 19 96) 2 .1. 9 Chứng... LUYỆN 2 .1. 1 – Sử dụng công thức hạ bậc 2 .1. 3 Đặt Khi đó ( √ √ ) ( √ √ ) Áp dụng tính tổng, viết lại thành Rồi sử dụng công thức đã chứng minh ở trên 2 .1. 4 a) Để ý b) Để ý [ c) Ta có : d) Ta có điều cần chứng minh tương đương với : 18 ] Chương 2 : Các biến đổi lượng giác 2 .1. 5 Sử dụng công thức Cho , ta có : √ Suy ra 2 .1. 6 Áp dụng công thức : 2 .1. 9 Cần chứng minh [ ] 2 .1. 10 Để ý 2 .1. 12 Ta có : 2 .1. 13 Nhân... dụng tính tổng sau : 9 Chương 2 : Các biến đổi lượng giác Giải: Ta có : ( ) Suy ra Vì Nên Bài 5: Cho với Chứng minh Giải: Ta có : ( 10 ) Chương 2 : Các biến đổi lượng giác Nên [ ] Khi - thì thì Vậy ta có điều phải chứng minh Bài 6: Chứng minh (ĐH Đà Nẵng 19 98) Giải: Đặt Ta có : [ ( )] [ ( )] ( ) Do đó Bài 7: Chứng minh 11 Chương 2 : Các biến đổi lượng giác Giải: Ta có điều cần chứng minh tương đương... Giải: Ta có : Do đó, ta có điều phải chứng minh Bài 9: Chứng minh Giải: Ta có : 12 ( ) Chương 2 : Các biến đổi lượng giác ( ) Do đó, ta có điều phải chứng minh Bài 10 : Chứng minh √ (ĐHSP Hải Phòng 20 01) Giải: Đặt Ta có : Áp dụng công thức trên, ta được : Nhân lại, ta được : √ Vậy √ 13 Chương 2 : Các biến đổi lượng giác Bài 11 : Chứng minh rằng ( ( Giải:  Ta có : Sử dụng công thức này, ta được : ………………………………………... của lượng phải tìm Cần nhớ lại công thức Viète bậc 3 sau: Gọi là 3 nghiệm của phương trình thì 21 Chương 2 : Các biến đổi lượng giác { Từ đó có thể suy ra Bài 1: Tính Giải: Ta có : ( Bài 2: Rút gọn biểu thức [ Tính giá trị của ] nếu ( 22 ) ) Chương 2 : Các biến đổi lượng giác Giải: Ta có : Mặt khác √ √ Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau Giải: Ta có : ( ) 23 Chương 2 : Các biến đổi lượng giác. .. √ { √ Suy ra √ Do đó Nên √ √ Vậy √ 28 √ √ √ √ √ Chương 2 : Các biến đổi lượng giác Bài 9: Tính tổng { Với Giải: Từ hệ ta có : { Suy ra Do đó { { Bài 10 : Cho Hãy tìm Giải: Từ giả thuyết, ta có : Vì nên 29 Chương 2 : Các biến đổi lượng giác ( ) Bài 11 : Rút gọn biểu thức sau √ √ Giải: Ta có : √ √ √ √ √ √ Bài 12 : à í ( ) (ĐH Huế 19 96) Giải: Ta có : ( 30 ) ... thì [ ] [ ] Mà Vậy [ ( ( ) ) Bài 7: Tìm 1 phương trình bậc 3 có các nghiệm là Từ đó, tính tổng Giải: Nếu ta có { 26 ] Chương 2 : Các biến đổi lượng giác là 3 nghiệm của phương trình bậc 3 Thì Ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) Vậy phương trình cần tìm là Suy ra Bài 8: Chứng minh rằng √ √ √ √ √ (Đề nghị Olympic 30-4, 2006) Giải: ể ằ ệ ủ ươ 27 Chương 2 : Các biến đổi lượng giác Hay Từ ta có (loại vì không thỏa 3...Chương 2 : Các biến đổi lượng giác Từ hình vẽ thực tiễn trên, ta rút ra được một số công thức cơ bản về hàm lượng giác : 2 CÔNG THỨC CỘNG ( 3 a ) CÔNG THỨC NHÂN CÔNG THỨC NHÂN 2 { ( b ) CÔNG THỨC NHÂN 3 ( ) ( ( ( ) ) ) ( ( ) ) Công thức tổng quát đối với hàm tan : 5 Chương 2 : Các biến đổi lượng giác c CÔNG THỨC TÍNH THEO ( d CÔNG THỨC HẠ BẬC 4 a ) CÔNG THỨC . TẬP 1 : BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC VÀ HỆ THỨC LƯỢNG CHƯƠNG 1 : SƠ LƯỢC VỀ KHÁI NIỆM VÀ LỊCH SỬ 1 CHƯƠNG 2 : CÁC BIẾN ĐỔI LƯỢNG GIÁC 4 2 .1 CHNG MINH MNG THNG GIÁC 7 BÀI TP T LUYN 15 . LUYN 51 CHƯƠNG 3 : HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC 52 3 .1 CHNG THNG GIÁC TRONG TAM GIÁC 55 BÀI TP T LUYN 77 3.2 CHNG MINH BNG THNG GIÁC TRONG TAM GIÁC 81 . TP T LUYN 13 3 3.3 NHN DNG TAM GIÁC VÀ TÍNH CÁC GÓC TRONG TAM GIÁC 14 3 BÀI TP T LUYN 19 1 ĐỌC THÊM : TÓM LƯỢC TIỂU SỬ CÁC NHÀ KHOA HỌC CÓ ẢNH HƯỚNG ĐẾN LƯỢNG GIÁC 19 9 TÀI LIU