Đang tải... (xem toàn văn)
câu hỏi ôn thi môn toán lớp 11 hàm số lượng giác
CHUYÊN ĐỀ: LƯỢNG GIÁC CHỦ ĐỀ CUNG LƯỢNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC (3 Tiết) A. KIẾN THỨC CƠ BẢN cos x OH sin y OK sin tan AT cos cos cot BS sin tang sin I Giá trị lượng giác góc (cung) lượng giác Định nghĩa giá trị lượng giác Cho (OA, OM ) Giả sử M ( x; y) B K k T cotang S M H O cosin A k Nhận xét: , cos 1; sin tan xác định khi sin( k2 ) sin tan( k ) tan cos( k2 ) cos cot( k ) cot k , k Z cot xác định khi k , k Z Dấu giá trị lượng giác Phần tư Giá trị lượng giác cos sin tan cot Giá trị lượng giác góc đặc biệt I II III IV + + + + – + – – – – + + + – – – 2 00 300 450 600 sin 0 2 1 cos 1 2 0 tan 0 1 3 3 1 cot 900 0 3 0 1200 2 1350 1800 2700 3600 3 –1 –1 3 0 –1 0 –1 0 1 0 0 0 Hệ thức bản: sin2 cos2 ; tan cot ; tan2 ; cot cos sin2 Giá trị lượng giác góc có liên quan đặc biệt Góc đối Góc bù Góc phụ cos( ) cos sin( ) sin sin cos 2 sin( ) sin cos( ) cos cos sin 2 tan( ) tan tan( ) tan tan cot 2 cot( ) cot cot( ) cot cot tan 2 Góc Góc sin( ) sin sin cos 2 cos( ) cos cos sin 2 tan( ) tan tan cot 2 cot( ) cot cot tan 2 II Công thức lượng giác Công thức cộng sin(a b) sin a.cosb sin b.cosa tan(a b) tan a tan b 1 tan a.tan b tan(a b) tan a tan b tan a.tan b sin( a b) sin a.cosb sin b.cosa cos(a b) cosa.cosb sin a.sin b cos(a b) cos a.cos b sin a.sin b Công thức nhân đôi sin2 2sin cos cos2 cos2 sin2 2cos2 2sin2 tan2 2tan 1 tan2 cot 2 ; cot 2cot cos2 cos2 cos cos2 tan cos2 sin3 3sin 4sin3 cos3 4cos3 3cos 3tan tan3 tan3 3tan2 sin2 Cơng thức biến đổi tổng thành tích cosa cosb 2cos a b a b cos 2 tan a tan b sin(a b) cosa.cosb a b a b sin 2 tan a tan b sin(a b) cosa.cosb cot a cot b sin(a b) sin a.sin b cot a cot b sin(b a) sin a.sin b cosa cosb 2sin a b a b cos 2 a b a b sin a sin b 2cos sin 2 sin a sin b 2sin sin cos 2.sin 2.cos 4 4 sin cos 2sin cos 4 4 Công thức biến đổi tích thành tổng cos( a b) cos( a b) 2 sin a.sin b cos(a b) cos(a b) sin a.cosb sin(a b) sin(a b) cosa.cosb B. KỸ NĂNG CƠ BẢN Dạng 1: Xác định dấu giá trị lượng giác cung: + Xác định điểm cuối cung xem điểm thuộc cung phần tư nào, từ xác định dấu giá trị lượng giác tương ứng + Phải nắm rõ cung phần tư từ xác định dấu giá trị lượng giác; để xác định dấu giá trị lượng giác ta cần nắm rõ định nghĩa giá trị lượng giác cung thực sau: Vẽ đường tròn lượng giác, trục đứng(Oy) trục sin, trục nằm (Ox) trục cosin; thuộc cung phần tư ta cho điểm M nằm cung phần tư đó, sau chiếu điểm M vng góc xuống trục sin trục cos từ xác định sin dương hay âm, cos dương hay âm; tan=sin/cos; cot=cos/sin; dựa vào dấu sin cos ta xác định dấu tan cot theo nguyên tắc chia dấu: -/-=+; /+= - Dạng 2: Tính giá trị lượng giác cung: + Nếu biết trước sin dùng cơng thức: sin cos 2 để tìm cos , lưu ý:xác sin cos định dấu giá trị lượng giác để nhận, loại tan ; cot hoặc cos sin cot tan + Nếu biết trước cos tương tự để tìm cos , lưu ý: cos 2 xác định dấu giá trị lượng giác để nhận, loại sin tan cos , cot tan + Nếu biết trước tan dùng cơng thức: tan Dạng 3: Chứng minh đẳng thức lượng giác: Sử dụng đẳng thức đại số (7 đẳng thức đáng nhớ) đẳng thức lượng giác để biến đổi vế thành vế biến đổi vế thành vế kia) sin cos 2 tan cot 1 k , k ¢ tan k , k ¢ cos 2 1 cot k , k ¢ sin sin cos ; cot tan cos sin a b a 2ab b2 a b a3 3a 2b 3ab2 b3 a b3 a b a ab b a b3 a b a ab b2 a b a b a b Dạng 4: Đơn giản biểu thức lượng giác: + Dùng hệ thức giá trị lượng giác góc có liên quan đặc biệt Giá trị lg góc có liên quan đặc biệt:“sin bù,cos đối,phụ chéo,hơn tan sai ” + Chú ý: Với k ¢ ta có: sin k 2 sin cos k 2 cos tan k tan cot k cot C. BÀI TẬP LUYỆN TẬP Dạng 1: Bài tập 1.1: Cho Xác định dấu giá trị lượng giác: 3 a) sin b) cos c) tan 2 d) cot Giải a) 3 3 vậy sin 2 Dạng 2: Bài tập 2.1: Tính giá trị lượng giác góc biết: cos , 13 3 tan , 2 3 cot 3, 2 2 sin , 3 2 cos 0,8 với 13 ,0 19 cot , 3 cos , 2 sin , tan , 3 cot , 2 19 a) sin với g) tan b) h) c) d) e) f) i) j) k) l) Giải a) Do nên cos 0, tan 0, cot cos loai 16 sin cos 2 cos 2 sin 25 cos nhan tan c) Do sin ; cot cos 3 2 nên sin 0, cos 0, cot cos nhan 25 41 2 tan cos cos 2 41 cos 41 loai sin cos tan 41 ; cot tan 41 Các tập lại làm tương tự Bài tập 2.2: Biết sin a và a Hãy tính các giá trị lượng giác của góc: 2 ; a) Do a nên cos a cos a sin 2a 2sin a cos a cos2a cos a sin a tan 2a b) 2 ;cot a a cos 0,sin 0 sin a cos a a cos a 3 2 sin 2 2 cos a cos a 3 2 2 t an a a 2;cot 2 2 Bài tập 2.3: Tính cos2a, sin 2a, tan 2a biết: a) cos a 3 ; cos a , a ; cos a , a , a 13 13 5 b) sin a , a c) sin a cos a và 3 3 a Hướng dẫn: a) tính sina, sau đó áp dụng các cơng thức nhân đơi. 12 120 119 ; sin 2a ; cos2a cos a sin a hoặc cos2a cos a ; 13 169 169 120 tan 2a 169 sin a c) sin a cos a 1 sin a cos a sin 2a sin 2a 4 7 3 3 a 2a 2 cos2a ; cos2a sin 2a 4 tan 2a Bài tập 2.4: Cho sin 2a và + Vì + a Tính sina, cosa a nên sin a 0, cos a a 2a 2 nên cos2a có thể dương và có thể âm cos2a sin 2a TH1: cos2a cos a 14 cos2a 14 TH2: cos2a cos a 14 ; sin a cos2a 14 ; sin a cos2a 14 14 cos2a 14 2 Dạng 3: Bài tập 3.1: Chứng minh đẳng thức lượng giác: a) sin a cos3a sin a cos a Biến đổi: sin a cos a sin a cos3 a sin a cos a sin a sin a cos a cos a sin a cos a tan a Biến đổi: sin a cos a sin a cos a sin a cos a , chia tử và 2sin a cos a t ana mẫu cho cos a b) c) sin a cos a sin a cos a sin a cos a Biến đổi: sin a cos6 a sin a cos2 a sin a sin a cos a cos4 a d) t ana tan b 1 tan a tan b Biến đổi: cot b cot a cot b cot a t anb t ana e) sin6 a cos6 a sin4 a cos4 a VT sin a cos6 a sin a cos a sin a sin a cos a cos a sin a cos a 2sin a cos a sin a cos a sin a cos a 2sin a cos a VP f) sin x cos4 x sin x cos6 x Sử dụng a b a b 2ab và a b3 g) tan a sin a tan a.sin a VT h) sin a sin a sin a 1 tan a 1 VP cos a sin a cos a cos a sin a sin a VT sin a 1 cos a sin a cos a cos a VP sin a 1 cos a sin a 1 cos a i) cos a sin a cos a Sử dụng a b j) tan a VP k) sin a ( nếu sin a 1 ) sin a sin a sin a VT cos a cos a cos a sin a cos a cot a 2sin a cos a cot a sin a cos a sin a cos a sin a cos a sin a VT sin a cos a sin a cos a VP sin a l) cot a cos a cot a cos a VT cos a 1 sin a cos a c os a VP sin a sin a m) tan a sin a tan a sin a n) t ana sin a cos a sin a cot a o) sin a tan a sin a p) cos a sin a sin a.cos a cot a tan a Bài tập 3.2: Chứng minh các đẳng thức sau: 4 a) sin a cos a sin 2a cos4a 2 sin a cos a sin a cos a sin a cos a sin a cos a sin 2a 1 cos4a 1 sin 2a cos4a cos4a 2 4 4 1 2 Từ (1) và (2) suy ra đpcm 8 b) sin a cos a cos4a Hướng dẫn: x3 y x y x xy y sau đó áp dụng x y x y xy c) sin a cos5 a cos a sin a sin 4a sin a cos5 a cos a sin a sin a cos a cos a sin a sin a cos a cos a sin a cos2 a sin a d) cos8 a sin a cos2a sin 4a sin 2a Sử dụng a b a b a b sau đó sử dụng a b a b 2ab e) cos2a cos a sin a sin 2a cos a sin a VT cos a sin a cos a sin a 2sin a cos a sin a cos a 2 f) cot x t anx sin x 10 Đây phương trình bậc hai theo tan ta đà biết cách giải Cách 2: Dùng công thức hạ bậc sin x cos x cos2 x sin x ; cos2 x ; sin x.cos x 2 đưa phương trình đà cho phương trình b sin x (c a)cos x d c a Đây phương trình bậc sin cos ta đà biết cách giải *Chú ý: Đối với phương trình đẳng cấp bậc n (n 3) với dạng tổng qu¸t A(sin n x,cos n x,sin k x cos h x) ®ã k h n; k , h, n Ơ Khi ta lµm theo bíc : B-íc 1: KiĨm tra xem cos x có phải nghiệm phương trình hay không? B-ớc 2: Nếu cos x Chia hai vế phương trình cho cos n x ta phương trình bậc n theo tan Giải phương trình ta nghiệm phương trình ban đầu Ví Dụ Minh Hoạ: Ví Dụ 1: Giải phương trình : cos x 6sin x.cos x (1) Gi¶i: Cách 1: Phương trình (1) 3(1 cos x ) 3sin x cos x sin x 3 x k 2 x k 2 cos x sin x cos(2 x ) 2 x k 2 x k 2 VËy phương trình có hai họ nghiệm 40 12 k  Cách 2: +) ta có Thư víi cos x x v« lÝ.VËy x k k 2 k  vào phương trình (1) k  không nghiệm phươngtrình +)Víi cos x Chia c¶ hai vÕ cđa phương trình cho cos x ta 6tan x (3 3)(1 tan x) (3 3) tan x 6tan x tan x x k 3 tan x tan x k 3 k  Vậy phương trình có hai họ nghiệm * Chú ý: Không phải phương trình dạng ta phải thực số phép biến ®ỉi thÝch hỵp sin ( x ) sin x Ví Dụ 2: Giải phương trình: Giải :Ta nhận thấy sin( x ) biểu diễn (2) qua sin x cos x Luü thõa bËc ba biÓu thøc sin x cos x ta đưa phương trình dạng đà biết cách giải Phương tr×nh (2) 2 sin ( x ) 4sin x sin( x ) 4sin x (sin x cos x )3 4sin x +) XÐt víi cos x x k 2 k  Khi phương trình có dạng 41 sin ( k ) 4sin( k ) m©u thuÉn 2 x k làm nghiệm Vậy phương trình không nhËn +) Víi cos x Chia hai vế phương trình (2) cho cos x ta : (tan x 1)3 4(1 tan x ) tan x 3tan x 3tan x tan x Đặt t tan x phương trình có đưa dạng: 3t 3t t (t 1)(3t 1) t 1 x k k  Họ nghiệm thoả mÃn điều kiện phương trình Vậy phương trình có họ nghiệm *Chú ý: Ngoài phương pháp giải phương trình đà nêu có phương trình giải phương pháp khác tuỳ thuộc vào toán để giải cho cách giải nhanh ,khoa học tan x sin x tan x Ví Dụ 3: Giải phương trình: (3) Giải : x k tan x 1 x k §iỊu kiƯn cos x k  Cách 1: Biến đổi phương trình d¹ng : cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x cos x sin x Chia c¶ hai vế phương trình (3) cho cos x ta : tan x 1 tan x tan x 1 tan x tan x tan x tan x tan x tan x tan x (*) (do tan x tan x vô nghiệm) nên: 42 Phương tr×nh (*) tan x x k k Z Vậy phương trình có họ nghiệm Cách 2: Biến đổi phương trình dạng cos x sin x cos x sin x cos x sin x Đặt t cot( x t cos x 4 2sin x cot( x ) 4 cot ( x ) sin x 4 ) ta : t t t 1 t t t hay cot( x ) 1 t x k x k (k ¢ ) VËy phương trình có họ nghiệm 2.4-Ph-ơng trình đối xứng sin x cos x a) Định nghĩa: Phương trình đối xứng sin x cos x phương trình dạng a (sin x cos x ) b sin x cos x c ®ã a, b, c¡ (1) b) Cách giải: Cách 1: Do a (sin x cosx) sin x cos x nªn ta ®Ỉt t sin x cos x sin( x ) cos( x) §iỊu kiƯn 4 Suy sin x cos x t2 1 | t | phương trình (1) viết lại: bt 2at (b 2c) Đó phương trình bậc hai đà biết cách giải Cách 2: Đặt t x th× sin x cos x cos( x) cos t 4 43 1 1 nªn phương trình (1) trở sin x cos x sin x cos( x) cos 2t cos t 2 2 thµnh b cos x cos x b c Đây phương trình bậc hai đà biết cách giải *Chú ý: Hai cách giải áp dụng cho phương trình a(sin x cos x) b sin x cos x c cách đặt t sin x cos x sin x cos x 1 t2 VÝ Dơ Minh Ho¹ : VÝ Dụ 1: Giải phương trình sin x cos x 2sin x cos x (1) Giải: Cách 1: Đặt sin x cos x t ®iỊu kiƯn | t | Lóc ®ã sin x cos x Khi phương trình (1) cã d¹ng t 2( Víi t 1 t2 1 ) 1 t t t (*) t không thoả mÃn điều kiện nên (*) t 1 sin x cos x 1 x k 2 sin( x ) 1 sin( x ) k ¢ 4 x k Cách 2: Đặt z x Khi phương trình có dạng cos( x) sin x cos z sin 2( z ) 4 44 t2 1 cos z sin( z ) cos z cos z cos z cos z (2cos z 1) 2cos z cos z cos z 2 (*) Ta thấy cos z không thoả mÃn Do ®ã 3 3 x k 2 z k x k 2 4 (*’) cos z k ¢ x 3 k 2 z 3 k 2 x k 2 4 Vậy phương trình có hai họ nghiệm Ví Dụ 3: Giải phương trình tan x cot x sin x cos x Giải:Điều kiện sin x x (3) k k ¢ (3) tan x sin x 3(cot x cos x) ( (sin x sin x cos x cos x) (sin x sin x.cos x cos x) cos x sin x 3 )(sin x sin x.cos x cos x) cos x sin x cos x sin x sin x sin x.cos x cos x Gi¶i (4) tan x x k k  Giải (5): Đặt t sin x cos x cos( sin x cos x t2 1 x) | t | (*)Suy t2 1 t t t Phương trình (5) trở thành t t 45 (4) 5 KÕt hỵp với điều kiện (*) t Với t ta có bị loại cos( x) cos( x) 4 x l 2 x 1 cos l Ă , l  Các nghiệm phương trình (4) (5) thoả mÃn điều kiện phương trình Ví Dụ 3: Giải phương trình: sin x cos6 x tan x cot x sin x (2) §iỊu kiện: sin x Phương trình Giải: 1 sin 2 x sin x cos x (2) 8(1 sin x) 2sin x( ) 6sin 2 x 4sin x 2 2 cos x sin x sin x (8 6sin 2 x)sin x 2sin 2 x 3sin x sin 2 x 4sin x sin x (sin x 1)(3sin 2 x 2sin x 2) 3sin x 2sin x sin x x k 1 (lo¹i) x k sin x x k sin x sin k  Các nghiệm thoả mÃn điều kiện sin x D TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN Câu 1. x k , k Z là tập nghiệm của phương trình nào sau đây? A. cos x B. tan x C. sin x 46 D. cot x Câu 2. Phương trình tan x tan 3x có các nghiệm là: A. x 4 k , k Z B. x k , k Z C. x k k , k Z D x , k Z 2x Câu 3: Phương trình: sin 600 có nhghiệm là: A x 5 k 3 2 B x k C x k 3 k D x k 2 x k 2 D x k 2 Câu 4: Nghiệm của phương trình: sin x + cos x = 1 là: A x k 2 x k 2 B x k 2 C x x Câu 5: Giải phương trình lượng giác: cos có nghiệm là: A x 5 k 2 B x 5 k 2 C x 5 k 4 D x 5 k 4 Câu 6: Điều kiện để phương trình 3sin x m cos x vơ nghiệm là m 4 A m B m C m 4 D 4 m Câu7: Phương trình lượng giác: cos x sin x có nghiệm là: A x k 2 C x k 2 B Vô nghiệm D x k Câu 8: Điều kiện để phương trình m.sin x 3cos x có nghiệm là: A m C m 34 B 4 m Câu 9. Nghiệm của phương trình sin 3x cos x là: k x k , k Z x , k Z A. B. C. x l , l Z x l , l Z 4 47 m 4 D m k x , k Z x l , l Z D. k x , k Z x l , l Z Câu 10. Nghiệm của phương trình sin cos x là: A. x x k 2 , k Z B. x k , k Z C x k 2 , k Z D. k , k Z Câu 11. Các nghiệm của phương trình sin x cos x là: A. k 2 , k Z B. k 2 , k Z C. 2 k 2 , k Z D. k 2 , k Z Câu 12. Nghiệm của phương trình cos(3x ) trên khoảng ; là: A. B. C. D. 2 Câu 11. Phương trình 2sin x sin 3x 3cos x là: A. k 2 , k Z B. k , k Z C. k , k Z D. k 2 , k Z Câu 12. Các nghiệm của phương trình sin x cos x cos x là: A. 3 k 2 , k Z B. 2 k , k Z C. k 2 , k Z D. k , k Z Câu 13: Nghiệm dương bé nhất của phương trình: sin x 5sin x là: A x B x C x 3 D x 5 Câu 14: Nghiệm của phương trình lượng giác: sin x 3sin x thõa điều kiện x A x B x C x Câu 15: Phương trình nào sau đây vơ nghiệm: A sin x cos x B 3sin x cos x 48 D x 5 là: C sin x cos sin x cos x 3 D Câu 16. Số nghiệm của phương trình sin x thuộc đoạn ;2 là: 4 A. 1 B. C. D. Câu 17: Số nghiệm của phương trình: sin x với x 5 là: 4 A 1 B 0 C 2 D 3 Câu 18: Số nghiệm của phương trình: cos x với x 2 là: 3 A 0 B 2 C 1 D 3 Câu 19: Nghiệm của phương trình lượng giác: cos x cos x thỏa điều kiện x là: A x C x B x = 0 D x Câu 20: Phương trình: 3.sin 3x cos 3x 1 tương đương với phương trình nào sau đây: A sin 3x B sin 3x C sin 3x D sin 3x 6 6 6 6 Câu 21: Tìm m để pt sin2x + cos2x = A m m có nghiệm là: B m C m D m Câu 22: Nghiệm dương nhỏ nhất của pt (2sinx – cosx) (1+ cosx ) = sin2x là: A x B x 5 C x D 12 Câu 23: Tìm m để pt 2sin2x + m.sin2x = 2m vơ nghiệm: A 0