III. LỜI KHUYÊN CHO VIỆC HỌC LƯỢNG GIÁC a. Vẽ thật nhiều: Vẽ chắc chắn sẽ giúp bạn có sự hiểu biết về lượng giác. Khi bạn cần phải giải quyết vấn đề sau này, việc vẽ đồ thị thực sự có giá trị khi bạn có thể phác thảo các vấn đề một cách nhanh chóng và chính xác. Đặc biệt: Vẽ hình tam giác mà bạn đang theo học. Phác họa tình huống trong những vấn đề xung quanh. Thực hành vẽ đồ thị hàm sin và cosin cho đến khi bạn có thể làm điều đó mà không cần phải chấm hàng triệu điểm trên trang giấy. b. Học các kiến thức cơ bản thật chắc: Kiến thức “cơ bản” là: Các định nghĩa của sin, cos và tan và làm thế nào để sử dụng chúng trong tam giác; Dấu tỷ lệ lượng giác của các góc lớn hơn 90 o 90o (tức là biết khi nào giá trị đó là dương hay âm) Các đồ thị hàm y = sin ( x ) y=sin(x) và y = cos ( x ) y=cos(x) (và các khái niệm về hàm tuần hoàn) c. Cẩn thận khi dùng máy tính: Các vấn đề thường gặp nhất khi sử dụng máy tính cầm tay trong lượng giác bao gồm: Thiết lập sai chế độ (ví dụ như máy tính ở chế độ “độ” khi bạn đang tính toán trong chế độ radian) Tin tưởng vào máy tính hơn não của bạn. Các máy tính sẽ không luôn luôn cung cấp cho bạn dấu chính xác (+ hoặc -). Thường thì bạn phải tự tìm hiểu. Luôn ước lượng câu trả lời của bạn, đầu tiên, do đó bạn có thể kiểm tra kết quả mà máy tính cho bạn. Hãy chắc chắn rằng bạn biết lý do tại sao máy tính của bạn không sử dụng “ sin − 1 sin−1 ” hoặc “ cos − 1 cos−1 ”. Điều này nhiều học sinh hay lẫn lộn và sử dụng các ký hiện trên không thật sự cần thiết. Chúng ta nên sử dụng arcsin θ arcsinθ để không bị nhầm lẫn với 1 sin θ 1sinθ. Đây là câu trả lời của tôi dành cho Benny. Tôi hy vọng đã cung cấp cho bạn ý tưởng về cách sử dụng kiến thức lượng giác, Đáng buồn thay, nhiều học sinh không mấy thích lượng giác. Bạn sẽ không cảm thấy sợ hãi nữa khi bạn hiểu lượng giác dùng vào việc gì cũng như thực hiện các lời khuyên trên.
Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping CHỦ ĐỀ LƯỢNG GIÁC Rút gọn : S sinx sin x sinnx S cosx cos x cosnx 1 S3 sinx sin x sin n x 1 S4 cosx.cos2 x cos2 x.cos3x cos(n 1)x.cosnx cosx cos x cosnx S5 cosx cos2 x cos n x S tan a.tan 2a tan 2a.tan 3a tan(n 1)a.tan na S tan a tan 2a n1 tan 2na 4n S8 2 cos x cos 2x cos2 n x Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor Chương : Hệ thức lượng tam giác CHƯƠNG HÊ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC I CÁC KÝ HIỆU CƠ BẢN : góc đỉnh : độ dài cạnh đối diện với đỉnh : độ dài đường cao hạ từ đỉnh : độ dài đường trung tuyển kẻ từ đỉnh : độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh : bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác : bán kính đường trịn nội tiếp tam giác : bán kính đường trịn bàng tiếp tam giác đỉnh : nửa chu vi tam giác : diện tích tam giác II CÁC ĐỊNH LÝ VÀ CÔNG THỨC CƠ BẢN ĐỊNH LÝ HÀM SỐ SIN Trong tam giác , ta ln có : Từ đó, ta có hệ sau : ĐỊNH LÝ HÀM SỐ COS Trong tam giác , ta ln có : To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Chương : Hệ thức lượng tam giác Từ đó, ta có hệ sau để tính số đo góc tam giác : Từ hệ trên, ta có thêm kết sau : ĐỊNH LÝ HÀM SỐ TAN Trong tam giác , ta ln có : ĐỊNH LÝ HÀM SỐ COT Trong tam giác , ta ln có : ĐỊNH LÝ CÁC HÌNH CHIẾU Trong tam giác , ta ln có : CƠNG THỨC VỀ ĐỘ DÀI TRUNG TUYẾN Trong tam giác , độ dài đường trung tuyến xác định công thức : Từ đó, ta có cơng thức tổng bình phương đường trung tuyến tam giác : Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Chương : Hệ thức lượng tam giác CÔNG THỨC VỀ ĐỘ DÀI PHÂN GIÁC TRONG Trong tam giác , độ dài đường phân giác xác định cơng thức : √ √ √ CƠNG THỨC VỀ ĐỘ DÀI ĐƯỜNG CAO Trong tam giác , độ dài đường cao xác định công thức : a CƠNG THỨC VỀ ĐỘ DÀI BÁN KÍNH BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN NỘI TIẾP b BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN NGOẠI TIẾP c BÁN KÍNH ĐƯỜNG TRỊN BÀNG TIẾP Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Chương : Hệ thức lượng tam giác 10 CƠNG THỨC VỀ DIỆN TÍCH TAM GIÁC Ta có cơng thức tính diện tích tam giác nhiều công thức khác : √ { Lưu ý: Cơng thức √ nhà tốn học vật lý Heron(5) phát nên thường gọi “Cơng thức Heron” III - - CÁC LOẠI TỐN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC TRONG TAM GIÁC Để chứng minh loại toán này, có nhiều phương pháp giải khác nhau, chẳng hạn : biến đổi vế thành vế kia, xuất phát từ hệ thức biết để suy đẳng thức cần chứng minh, chứng minh tương đương… Trong lúc chứng minh, ta ý số kỹ thuật sau : Sử dụng biến đổi lượng giác : sử dụng cơng thức biến đổi tích thành tổng ngược lại, công thức hạ bậc, công thức cung có liên quan đặc biệt : ( ( ) ) ( ) ( ) Sử dụng định lý hàm số sin, hàm số cos : Ta thường dùng định lý để biến đổi hệ thức phải chứng minh thành hệ thức có hàm số lượng giác dùng công thức biến đổi lượng giác để chứng minh Sử dụng cơng thức tính diện tích : dùng để tìm mối quan hệ cạnh, góc, bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp, bàng tiếp Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Chương : Hệ thức lượng tam giác Trước hết, ta nên nhớ số đẳng thức tam giác nhằm giúp cho sử dụng thành thạo kỹ thuật chứng minh dạng toán này, đồng thời làm tăng “độ nhạy” gặp toán phức tạp khác Bài 1: Chứng minh đẳng thức tam giác : (ĐH Tổng Hợp Tp.HCM 1995) Giải: a Ta có : ( ( b ) ) Ta có : ( ( c ) ) Ta có : [ [ ] ] Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Chương : Hệ thức lượng tam giác d Ta có : [ [ e ] Ta có : [ f ] [ ] Ta có : ] Ta có : ( h [ ] [ g ] ) ( Ta có : ( i Ta có : j Ta có : ( ) ) ( ) ) Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor Chương : Hệ thức lượng tam giác Bài 2: Chứng minh tam giác To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping , ta ln có (ĐH Giao Thơng Vận Tải 1995) Giải: Ta có cách chứng minh tốn Cách 1: Ta có : Tương tự : Cộng đẳng thức trên, ta có điều phải chứng minh Cách 2: Theo định lý hàm số cos, ta có : { Theo định lý hàm số sin, ta có : { Suy : Vậy ta có điều phải chứng minh Bài 3: Trong tam giác , chứng minh đẳng thức (ĐH Y Hải Phịng 1998) Giải: Ta có : Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Chương : Hệ thức lượng tam giác Bài 4: Chứng minh tam giác ( ta ln có ) (ĐH Ngoại Thương Hà Nội 1998) (ĐH Ngoại Thương Tp.HCM 2001) (ĐH Ngoại Ngữ Hà Nội 1998) (ĐHQG Hà Nội 1998) (ĐH Dược Hà Nội 1998) Giải: a Trong tam giác , ta ln có : Mặt khác, ta lại có : Cộng đẳng thức thêm hệ thức sẵn có, ta có điều phải chứng minh b Ta có : Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Chương : Hệ thức lượng tam giác Mặt khác : ( ) ( ) [ ( ) ] Tương tự, ta có : Suy Ta xét : ( [ Vậy ta có điều phải chứng minh c Ta có : d Ta có : Tương tự, ta có : ) ] ( ) Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Chương : Hệ thức lượng tam giác Nên Theo bất đẳng thức bản, ta có : Do đó, dấu xảy Vậy tam giác đều, có độ dài cạnh c Hệ cho viết lại thành { Xét , ta đặt Khi : Ta xét hàm số Do đó, hàm số đồng biến Ta thấy nghiệm phương trình phương trình Suy : Xét , ta đặt Khi : hàm nên Ta xét hàm số Suy hai nghiệm phương trình Với Với (vơ lý) Vậy tam giác d Theo đẳng thức bản, ta có : { Kết hợp với giả thuyết, ta suy nghiệm Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Chương : Hệ thức lượng tam giác Tương đương tam giác Giả sử : nhọn { Theo bất đẳng thức Chebyshev, ta có : Ta viết lại bất đẳng thức thành Dấu xảy Vậy tam giác Bài 26: Tìm đặc điểm tam giác thỏa mãn điều kiện ( ) Giải: a Theo định lý hàm số cos, ta có : { Do đó, giả thuyết tương đương với Theo định lý hàm số sin, ta viết hệ thức thành Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : [ ] Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Chương : Hệ thức lượng tam giác ( Do đó, dấu ) xảy { { ậ b ỏ Ta có : √ √ { Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √ √ Tương tự, ta : { Do đó, Dấu xảy Vậy tam giác c Ta xét hàm số Theo bất đẳng thức Jensen, ta có : ( Dấu xảy Vậy tam giác ) ( ) Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Chương : Hệ thức lượng tam giác Theo định lý hàm số sin đẳng thức bản, ta có : d Do đó, giả thuyết tương đương với Mặt khác, ta lại có kết sau : { Nên hệ thức viết lại thành Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có : √ { Dấu xảy Vậy tam giác Bài 27: Tìm đặc điểm tam giác √ thỏa mãn đẳng thức { Giải: a { Ta có : { Do đó, ( ) ( ) Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Chương : Hệ thức lượng tam giác [ [ Mặt khác, theo đẳng thức ta có : Suy ra, ta chọn Vậy tam giác có góc b Theo định lý hàm số sin, ta có : Khi đó, thay vào hệ thức Vậy tam giác vuông cân c Từ đẳng thức : Ta suy : Mà Mặt khác từ : Do đó, Vậy tam giác vng [ Ta : Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Chương : Hệ thức lượng tam giác Bài 28: Tìm tất tam giác có độ dài cạnh số nguyên dương, ước chung thỏa mãn đẳng thức ( ) (Đề nghị Olympic 30-4, 2006) Giải: Ta có cơng thức : Mà theo cơng thức Heron, ta lại có : Do đó, Theo đẳng thức bản, ta có : Kết hợp với giả thuyết, ta ( ) ( ) Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : ( Dấu ) ( xảy Kết hợp với , ta có : { { ) Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Chương : Hệ thức lượng tam giác Chú ý: Đến đây, tốn hồn thành, ta có kết đẹp việc áp dụng định lý hàm số sin, : Ta chọn : Vậy tam giác có cạnh thỏa mãn hệ thức : Bài 29: Xác định hình dạng tam giác có góc ( thỏa mãn ) (Đề nghị Olympic 30-4, 2008) Giải: ( ) ( Do đó, tam giác ) nhọn Theo bất đẳng thức bản, ta có : √ Ta giả sử : ( )( ) Mà [ ( )] Suy : ( ) Ta xét hàm số ( ( ) ) Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Chương : Hệ thức lượng tam giác √ Từ bảng biến thiên, ta √ Do đó, ( Dấu ) √ xảy { Vậy tam giác BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.3.1 Tính góc tam giác thỏa mãn (ĐH Cơng Đồn 2001) (ĐH Vinh 2000) (ĐH An Ninh 2000) { √ (ĐH Ngoại Thương Tp.HCM 1998) Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Chương : Hệ thức lượng tam giác { { } 3.3.2 Hãy xác định góc tam giác , biết √ (Đề nghị Olympic 30-4, 2006) 3.3.3 Tính góc tam giác nhọn biết (Đề nghị Olympic 30-4, 2007) 3.3.4 Tính số đo góc tam giác thức : (√ có diện tích cạnh thỏa mãn hệ ) (Đề nghị Olympic 30-4, 2008) 3.3.5 Tính diện tích tam giác 3.3.6 Cho tam giác Tính , biết có góc thỏa mãn 3.3.7 Chứng minh tam giác cân góc thỏa mãn hệ thức Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor Chương : Hệ thức lượng tam giác { 3.3.8 Chứng minh tam giác ( vng thỏa mãn hệ thức ) √ 3.3.9 Chứng minh tam giác thỏa mãn hệ thức To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Chương : Hệ thức lượng tam giác √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ ( √ )( √ ) { { 3.3.10 Cho tam giác nhọn thỏa điều kiện √ √ Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Chương : Hệ thức lượng tam giác Chứng minh tam giác tam giác (Đề nghị Olympic 30-4, 2006) 3.3.11 Nhận dạng đặc điểm tam giác √ √ biết √ √ √ √ GỢI Ý GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN 3.3.1 a Theo đẳng thức bản, giả thuyết tương đương với √ Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Chương : Hệ thức lượng tam giác (Tam giác đều) b Biến đổi tương đương, ý xét trường hợp (Tam giác có góc ) c Theo đẳng thức bản, ta có (Tam giác có góc ) d Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có : √ √ Theo định lý hàm số sin, ta lại có : √ Suy ( (Tam giác vuông cân ) e Từ giả thuyết ta suy tam giac { vuông cân (Tam giác 3.3.2 ế [ √ ) √ khơng tù Do { đều) √ ] Do đó, ( Giả sử ) ( ) ( ) , xảy khả ( ( { ( Theo bất đẳng thức Jensen, ta có : ) ) ) ( ( ) ) ẫ Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Chương : Hệ thức lượng tam giác ( Dấu ) xảy { { 3.3.3 Áp dụng đẳng thức : Khi giả thuyết tương đương với Ta xét hàm số ( ậ ả ( ế ) 3.3.4 Theo bất đẳng thức Cauchy, với (Dấu xảy ) ( ) ta có : ) √ √ Do √ Khi đó, chọn ( √ ) , ta có : (√ ( ) √ √ ) √ √ √ Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Chương : Hệ thức lượng tam giác Dấu xảy tam giác cân góc 3.3.10 Đề cho viết lại Ta chứng minh : ( )( )( ) Ta đặt : { { Do đó, điều cần chứng minh tương đương với ( )( )( )