Chuyên đề lượng giác K11CB

Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC §1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  A. Kiến thức cần nhớ 1. Ôn tập  Công thức lượng giác cơ bản sin 2 α + cos 2 α = 1 1 + tan 2 α = α 2 cos 1 Zkk ∈+≠ , 2 π π α 1 + cot 2 α = α 2 sin 1 Zkk ∈≠ , πα tan α .cot α = 1 Zkk ∈≠ , 2 π α  Cung đối nhau cos(- α ) = cos α sin(- α ) = -sin α tan(- α ) = -tan α cot(- α ) = - α  Cung bù nhau sin )( απ − = sin α cos )( απ − = -cos α tan )( απ − = -tan α cot )( απ − = -cot α  Cung hơn kém π sin )( απ + = - sin α cos )( απ + = -cos α tan )( απ + = tan α cot )( απ + = cot α  Cung phụ nhau sin ) 2 ( α π − = cos α cos ) 2 ( α π − = sin α tan ) 2 ( α π − = cot α cot ) 2 ( α π − = tan α  Công thức cộng cos(a –b) = cosa cosb + sina sinb cos(a +b) = cosa cosb – sina sinb sin(a – b) = sina cosb – sinb cosa sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa tan(a – b) = ba ba tantan1 tantan + − GV: Phạm Thanh Tâm 1 Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác tan(a + b) = ba ba tantan1 tantan − +  Công thức nhân đôi sin2a = 2sina cosa cos2a = cos 2 a – sin 2 a = 2cos 2 a – 1 = 1 – 2sin 2 a tan2a = a a 2 tan1 tan2 −  Công thức hạ bậc cos 2 a = 2 2cos1 a + sin 2 a = 2 2cos1 a − tan 2 a = a a 2cos1 2cos1 + −  Công thức biến đổi tích thành tổng cosa cosb = [ ] )cos()cos( 2 1 baba ++− sina sinb = [ ] )cos()cos( 2 1 baba +−− sina cosb = [ ] )sin()sin( 2 1 baba ++−  Công thức biến đổi tổng thành tích cosu + cosv = 2cos 2 vu + cos 2 vu − cosu - cosv = -2sin 2 vu + sin 2 vu − sinu + sinv = 2sin 2 vu + cos 2 vu − sinu - sinv = 2cos 2 vu + sin 2 vu − 2. Hàm số sin • Hàm số y = sinx có tập xác định là R và -1 ≤ sinx ≤ 1, Rx ∈∀ . • Là hàm số lẻ. • Tuần hoàn với chu kì 2 π . GV: Phạm Thanh Tâm 2 Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác • Hàm số y = sinx nhận các giá trị đặc biệt: + sinx = 0 ⇔ x = k π , k ∈ Z + sinx = 1 ⇔ x = π π 2 2 k + , k ∈ Z + sinx = -1 ⇔ x = - π π 2 2 k + , k ∈ Z 3. Hàm số côsin • Hàm số y = cosx có tập xác định là R và -1 ≤ cosx ≤ 1, Rx ∈∀ . • Là hàm số chẵn. • Tuần hoàn với chu kì 2 π . • Hàm số y = cosx nhận các giá trị đặc biệt: + cosx = 0 ⇔ x = π π k + 2 , k ∈ Z + cosx = 1 ⇔ x = k2 π , k ∈ Z + cosx = -1 ⇔ x =(2k + 1) π , k ∈ Z 4. Hàm số tang • Hàm số y = tanx = x x cos sin có tập xác định là D= R\       ∈+ Zkk , 2 π π • Là hàm số lẻ. • Tuần hoàn với chu kì π . • Hàm số y = tanx nhận các giá trị đặc biệt: + tanx = 0 ⇔ x = k π , k ∈ Z + tanx = 1 ⇔ x = π π k + 4 , k ∈ Z + tanx = -1 ⇔ x = - π π k + 4 , k ∈ Z 5. Hàm số côtang • Hàm số y = cotx = x x sin cos có tập xác định là D= R\ { } Zkk ∈ , π • Là hàm số lẻ. • Tuần hoàn với chu kì π . • Hàm số y = cotx nhận các giá trị đặc biệt: + cotx = 0 ⇔ x = π π k + 2 , k ∈ Z GV: Phạm Thanh Tâm 3 Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác + cotx = 1 ⇔ x = π π k + 4 , k ∈ Z + cotx = -1 ⇔ x = - π π k + 4 , k ∈ Z B. Ví dụ và bài tập VD1. Tìm tập xác định của các hàm số sau: a. y = sin(2x + 1) b. y = cos x 1 c. y = tan(x + 2 π ) d. y = cot(2x - 3 2 π ) Giải a. Tập xác định của hàm số y = sin(2x + 1) là D = R. b. Hàm số y = cos x 1 xác định khi x ≠ 0. Vậy tập xác định của hàm số y = cos x 1 là D = R\ { } 0 . c. Hàm số y = tan(x + 2 π ) xác định khi x + 2 π ≠ 2 π + k π ⇔ x ≠ k π . Vậy tập xác định của hàm số là D = R\ { } Zkk ∈ , π . d. Hàm số y = cot(2x - 3 2 π ) xác định khi 2x - 3 2 π ≠ k π ⇔ x ≠ 3 π + k 2 π . Vậy tập xác định của hàm số là D = R\       ∈+ Zkk , 23 ππ . Bài tập 1: Tìm tập xác định của các hàm số sau: a. y = sin x b. y = x x sin cos1 + c. y = x x cos3 tan + d. y = 1sin cot − x x e. y = cot( ) 3 5 3 π + x f. y = 5cos 1sin + + x x g. y = 1sin 3cos + + x x h. y = tan( x3 3 2 − π ) i. y = sin 1 1 2 − x k. y = x x 3sin 3tan + l. y = cos 1 2 − x x m. y = xcos1 + GV: Phạm Thanh Tâm 4 Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác n. y = xx 3coscos 1 − p. y = tanx + cotx q. y = x x cos1 cos1 + − VD2. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: a. y = 3 + 2sinx b. y = 4 cos32 2 x + c. y = 53sin2 + x Giải a. Vì -1 ≤ sinx ≤ 1 nên -2 ≤ 2sinx ≤ 2 do đó 1 ≤ 3 + 2sinx ≤ 5. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 5, đạt được khi sinx = 1 ⇔ x = π π k + 2 , k ∈ Z. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 1, đạt được khi sinx = -1 ⇔ x = - π π k + 2 , k ∈ Z. b. Vì 0 ≤ cos 2 x ≤ 1 nên 2 ≤ 2 + 3cos 2 x ≤ 5 do đó 2 1 ≤ 4 cos32 2 x + ≤ 4 5 . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 4 5 , đạt được khi cosx = ± 1 ⇔ x = π k , k ∈ Z. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 2 1 , đạt được khi cosx = 0 ⇔ x = π π k + 2 , k ∈ Z. c. Vì -1 ≤ sin3x ≤ 1 nên 3 ≤ 2sin3x +5 ≤ 7 do đó 3 ≤ 52sin3x + ≤ 7 . Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là 7 , đạt được khi sin3x = 1 ⇔ 3x = π π k + 2 , k ∈ Z. ⇔ x = 36 ππ k + , k ∈ Z. Giá trị nhỏ nhất của hàm số là 3 , đạt được khi sin3x = -1 ⇔ 3x = - π π k + 2 , k ∈ Z. ⇔ x = - 36 ππ k + , k ∈ Z. Bài tập 2: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: GV: Phạm Thanh Tâm 5 Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác a. y = xcos25 − b. y = 1- 2sin 2 2x c. y = 4 - 3 xcos d. y = x 2 sin21 3 + e. y = 3 cos52 2 x − f. y = xsin2 2 − g. y = 1 – sin2x h. y = 3sin(x- 4 π ) -1 i. y = -2 + xcos1 − k. y = 2cos 1 − x l. y = 3 xsin + 1 m. y = 2- 3cosx Xét tính chẵn, lẻ của hàm số Cho hàm số y = f(x) xác định trên D. • f(x) là hàm số chẵn trên D    =− ∈−∈∀ ⇔ )()( xfxf DxthìDx • f(x) là hàm số lẻ trên D    −=− ∈−∈∀ ⇔ )()( xfxf DxthìDx Bài tập 3: Xét tính chẵn, lẻ của các hàm số sau: a. y = sin2x b. y = -2 +3cosx c. y = cosx – sinx d. y = tanx.sinx e. y = cos 2 x + sin x f. y = cotx. xsin §2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN  A. Kiến thức cần nhớ 1. Phương trình sinx = a (1) • Nếu a >1 thì phương trình (1) vô nghiệm. • Nếu a ≤ 1: gọi α là cung thoả mãn sin α = a. Khi đó sinx = a ⇔ sinx = sin α ⇔ )( 2 2 Zk kx kx ∈    +−= += παπ πα Nếu α thoả mãn điều kiện - 2 π ≤ α ≤ 2 π và sin α = a thì ta viết α = arcsina. Khi đó nghiệm của phương trình (1) là GV: Phạm Thanh Tâm 6 Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác )( 2arcsin 2arcsin Zk kax kax ∈    +−= += ππ π Phương trình sinx = sin 0 β )( 360180 360 000 00 Zk kx kx ∈     +−= += ⇔ β β Chú ý: Trong một công thức nghiệm, không được dùng đồng thời hai đơn vị độ và radian. 2. Phương trình cosx = a (2) • Nếu a >1 thì phương trình (2) vô nghiệm. • Nếu a ≤ 1: gọi α là cung thoả mãn cos α = a. Khi đó cosx = a ⇔ cosx = cos α ⇔ )( 2 2 Zk kx kx ∈    +−= += πα πα Nếu α thoả mãn điều kiện 0 ≤ α ≤ π và cos α = a thì ta viết α = arccosa. Khi đó nghiệm của phương trình (2) là )( 2cos 2cos Zk kaarcx kaarcx ∈    +−= += π π Phương trình cosx = cos 0 β )( 360 360 00 00 Zk kx kx ∈     +−= += ⇔ β β 3. Phương trình tanx = a (3) Điều kiện Zkkx ∈+≠ , 2 π π Gọi α là cung thoả mãn tan α = a. Khi đó tanx = a α tantan =⇔ x )(, Zkkx ∈+=⇔ πα Nếu α thoả mãn điều kiện - 2 π < α < 2 π và tan α = a thì ta viết α = arctana. Lúc đó nghiệm của phương trình (3) là: x = arctana + k π , ( Zk ∈ ) Phương trình tanx = tan 0 β )(180 00 Zkkx ∈+=⇔ β 4. Phương trình cotx = a (4) Điều kiện Zkkx ∈≠ , π Gọi α là cung thoả mãn cot α = a. Khi đó cotx = a α cotcot =⇔ x )(, Zkkx ∈+=⇔ πα Nếu α thoả mãn điều kiện 0< α < π và cot α = a thì ta viết α = arccota. Lúc đó nghiệm của phương trình (4) là: x = arccota + k π , ( Zk ∈ ) GV: Phạm Thanh Tâm 7 Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Phương trình cotx = cot 0 β )(180 00 Zkkx ∈+=⇔ β B. Ví dụ và bài tập VD1: Giải các phương trình sau: a. sinx = 2 3 b. sin2x = 4 1 c. cos(2x + 4 π )= 2 1 − d. tan(x – 60 0 ) = 3 1 e. cot(x - 3 π )= 5 f. cos(x -75 0 ) = -1 *g. tan3x = tanx *h. tan5x – cotx = 0 Giải a. sinx = 2 3 3 sinsin π =⇔ x Zk kx kx ∈       +−= += ⇔ π π π π π 2 3 2 3 Zk kx kx ∈       += += ⇔ π π π π 2 3 2 2 3 Vậy nghiệm của phương trình sinx = 2 3 là: Zk kx kx ∈       += += π π π π 2 3 2 2 3 b. sin2x = 4 1 Zk kx kx ∈       +−= += ⇔ ππ π 2 4 1 arcsin2 2 4 1 arcsin2 Zk kx kx ∈       +−= += ⇔ π π π 4 1 arcsin 2 1 2 4 1 arcsin 2 1 GV: Phạm Thanh Tâm 8 Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Vậy nghiệm của PT sin2x = 4 1 là: Zk kx kx ∈       +−= += π π π 4 1 arcsin 2 1 2 4 1 arcsin 2 1 c. cos(2x + 4 π )= 2 1 − ⇔ cos(2x + 4 π )= cos 3 2 π Zk kx kx ∈       +−=+ +=+ ⇔ π ππ π ππ 2 3 2 4 2 2 3 2 4 2 Zk kx kx ∈       +−= += ⇔ π π π π 24 11 24 5 Vậy nghiệm của Pt cos(2x + 4 π )= 2 1 − là: Zk kx kx ∈       +−= += π π π π 24 11 24 5 d. tan(x – 60 0 ) = 3 1 00 30tan)60tan( =−⇔ x Zkkx ∈+=−⇔ 000 1803060 Zkkx ∈+=⇔ 00 18090 Vậy nghiệm của Pt tan(x – 60 0 ) = 3 1 là: Zkkx ∈+= 00 18090 e. cot(x - 3 π )= 5 Zkkarcx ∈+=−⇔ π π 5cot 3 Zkkarcx ∈++=⇔ π π 5cot 3 Vậy nghiệm của Pt cot(x - 3 π )= 5 là: Zkkarcx ∈++= π π 5cot 3 f. cot(x -75 0 ) = -1 Zkkx ∈+−=−⇔ 000 1804575 Zkkx ∈+=⇔ 00 18030 GV: Phạm Thanh Tâm 9 Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Vậy nghiệm của Pt cot(x -75 0 ) = -1 là: Zkkx ∈+= 00 18030 g. tan3x = tanx Điều kiện Zk kx kx ∈        +≠ +≠ π π π π 2 2 3 ⇔ Zk kx kx ∈        +≠ +≠ π π ππ 2 36 Ta có tan3x = tanx ⇔ 3x = x +l π ⇔ x = l )( 2 Zl ∈ π Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x = m π (m Z ∈ ) h. tan5x – cotx = 0 Điều kiện )( 2 5 Zk kx kx ∈      ≠ +≠ π π π ⇔ )( 510 Zk kx kx ∈      ≠ +≠ π ππ Ta có . tan5x = cotx ⇔ tan5x = tan( ) 2 x − π ⇔ 5x = x − 2 π + l π (l ∈ Z) ⇔ x = 12 π + l 6 π (l ∈ Z) Kết hợp với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là: x = 12 π + l 6 π (l ∈ Z) Bài tập 1: Giải các phương trình sau: a. cos(3x - 6 π )= - 2 2 b. cos(x -2) = 5 2 c. cos(2x + 50 0 ) = 2 1 d. (1+ 2sinx)(3- cosx)= 0 e. tan2x = tan 6 5 π f. tan(3x -30 0 ) = - 3 3 GV: Phạm Thanh Tâm 10 [...]... PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP  A Kiến thức cần nhớ 1 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác Các phương trình dạng at + b = 0 (a ≠ 0), với t là một trong các hàm số lượng giác, là những phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác Sử dụng các phép biến đổi lượng giác, có thể đưa nhiều phương trình lượng giác về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác 2 Phương... số lượng giác 2 Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Các phương trình dạng at2 + bt + c = 0 (a ≠ 0), với t là một trong các hàm số lượng giác, là những phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác Có nhiều phương trình lượng giác có thể đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác bằng các phép biến đổi lượng giác 3 Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx Phương... Thanh Tâm 11 Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác a a +b 2 2 b sin x + (vì ( Đặt cos α = a +b 2 a 2 c cos x = a + b2 2 b )2 = 1 ) a + b2 b ; sin α = 2 2 2 a +b a + b2 a +b a 2 )2 + ( 2 2 cos α sinx + sin α cosx = Pt (2) trở thành: ⇔ (2) sin(x + α c a + b2 2 c )= (3) a2 + b2 Phương trình (3) là phương trình lượng giác cơ bản Chú ý: • Pt (1) có nghiệm ⇔ pt(3) có nghiệm...Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác g cot(4x k (cot π 6 )= 3 x x -1)(cot +1)= 0 3 2 n sin(2x -150) = r cos2x cot(x - π 2 2 )= 0 4 u cos3x – sin2x = 0 h sin(3x- 450) = 1 2 i sin(2x +100)= sinx 2x π + )= -1 3 5 π 2 p... tan2x) ⇔ (a – d).tan2x + btanx + c – d = 0 B Ví dụ và bài tập VD1: Giải các phương trình sau: a 2sinx – 2 = 0 GV: Phạm Thanh Tâm b 2tanx – 5 = 0 12 Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác d 2sin2x – sin2x = 0 c ( 3 cotx – 3)(2cosx –1) = 0 Giải a 2sinx – 2 = 0 ⇔ 2sinx = ⇔ π  x = 4 + k 2π  x = π − π + k 2π  4  ⇔ (k ∈ Z ) 2 2 ⇔ sinx = 2 ⇔ sinx = sin π  x = 4 +... nghiệm của phương trình là: x = arctan c ( 3 cotx – 3)(2cosx –1) = 0 π 4 π 6 ⇔x= π 6 + k π (k π 3 π  x = 3 + k 2π  x = − π + k 2π  3  (k ∈ Z ) 13 Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác π  x = 6 + kπ  π Vậy nghiệm của phương trình là: x = + k 2π  3  x = − π + k 2π  3  d 2sin2x – sin2x = 0 ⇔ 2sin2x – 2sinx.cosx = 0 ⇔ x = kπ  sin x = sin( π − x )  2 ⇔... các phương trình sau: π sin 2 x =0 a tan3x tanx = 1 b cot2x cot(x + ) = -1 c 4 1 + cos 2 x GV: Phạm Thanh Tâm e sin(3x + 1)= π 3 tan(5x + 200) =0 14 Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác VD2: Giải các phương trình sau: a 2sin2x – 5sinx – 3 = 0 b cot22x – 4cot2x +3 = 0 c 2cos2x +3sinx - 3 = 0 d tan4x + 4tan2x - 5 = 0 Giải a 2sin2x – 5sinx – 3 = 0 Đặt t = sinx ( điều... cot 3 + k π  2 2  c 2cos2x +3sinx - 3 = 0 ⇔ 2(1 – sin2x) + 3sinx – 3 = 0 ⇔ 2 – 2sin2x + 3sinx – 3 = 0 ⇔ 2sin2x – 3sinx + 1 = 0 GV: Phạm Thanh Tâm 15 Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác ⇔ sin x =1   1  sin x =  2 Với sinx = 1 Với sinx = 1 2 ⇔ x= π + k 2π (k ∈ Z ) 2 ⇔ sinx = sin π 6 ⇔ π  x = 6 + k 2π (k ∈ Z )  x = 5π + k 2π  6  π  x = 6 + k 2π  5π + k... cosx = 3 Giải a 3 sinx + cosx = 2 2 Chia hai vế pt trên cho 3 +12 = 2 ta được 1 3 sinx + cosx = 1 2 2 Vậy nghiệm của pt là: x = ± GV: Phạm Thanh Tâm 16 Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác ⇔ cos ⇔ π 6 sinx + sin sin(x + ⇔ x+ ⇔ x= π 6 π 3 π 6 = π 6 cosx = 1 )=1 π 2 + k2 π + k2 π Vậy ngiệm của phương trình trên là: x = b cos3x – sin3x = 1 Chia hai vế pt trên cho 12 +... − π + k 2π  6 3  2π  x = k 3 (k ∈ Z ) Vậy ngiệm của phương trình trên là:  x = − π + k 2π  6 3  c 3sin2x + 4cos2x = 5 GV: Phạm Thanh Tâm 17 Câu hỏi và bài tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác Chia hai vế pt cho 3 2 + 4 2 = 5 ta được 3 4 sin2x + cos2x = 1 5 5 4 3 Kí hiệu α là cung mà sin α = , cos α = ta được 5 5 sin2x cos α + sin α cos2x = 1 ⇔ sin(2x + α ) = 1 ⇔ 2x + α . tập ôn chương hàm số lượng giác và phương trình lượng giác CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC §1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC  A. Kiến thức. số lượng giác, là những phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác. Sử dụng các phép biến đổi lượng giác, có thể đưa nhiều phương trình lượng giác