CHUYÊN ĐỀ LƯỢNG GIÁC

Chuyên đề 8: LƯỢNG GIÁC TÓM TẮTGIÁO KHOA A.. Định nghĩa hàm số lượng giác: 1.. Định nghĩa các hàm số lượng giác: a.. Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=... Công thức lượng

Chuyên đề 8: LƯỢNG GIÁC

TÓM TẮTGIÁO KHOA

A KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I Đơn vị đo góc và cung:

1 Độ:

Góc 1 0  180 1 góc bẹt

2 Radian: (rad)

180 0   rad

3 Bảng đổi độ sang rad và ngược lại của một số góc (cung ) thông dụng:

Độ 00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600

Radia



4



3



2



3

2

4

3

6

II Góc lượng giác & cung lượng giác:

1 Định nghĩa:

2 Đường tròn lượng giác:

Số đo của một số cung lượng giác đặc biệt:





















k

C

A

k C

k A





















2

D

B,

k

,

2 2

D

2k

2 2

B

2k

x

y

(tia gốc)

Z) (k 2 )

, (Ox Oy k  



t

(tia ngọn)

O



.

o

180

O





x

y

O

B

D

x

y

B



(điểm gốc)



t

(điểm ngọn)



III Định nghĩa hàm số lượng giác:

1 Đường tròn lượng giác:

 A: điểm gốc

 x'Ox : trục côsin ( trục hoành )

 y'Oy : trục sin ( trục tung )

 t'At : trục tang

 u'Bu : trục cotang

2 Định nghĩa các hàm số lượng giác:

a Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM=

Gọi P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên x'Ox vàø y'Oy

T, U lần lượt là giao điểm của tia OM với t'At và u'Bu

Ta định nghĩa:

cos sin

tg cot

OP OQ AT

















b Các tính chất :

 Với mọi  ta có :

1 sin 1 hay sin 1

1 cos 1 hay cos 1

 tg xác định

2 k



 cotg xác định   k

c Tính tuần hoàn

sin( 2 ) sin cos( 2 ) cos ( ) cot ( ) cot

k k

(k  Z)

IV Giá trị các hàm số lượng giác của các cung (góc ) đặc biệt:





x

y

O

B

D

1

1 1



R

1



1



'

x

'

t

't

'

y

'

u

't

t

x u

'

y

'

t

1



Q

B

T



M



A P U

Trục cosin

Trục tang





Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt

- 3

-1

- 3 /3

(Điểm gốc)

t

t'

y

y'

x x'

u u'

1

1 -1

-1 -/2



5/6 3/4 2/3

-/6 -/4 -/3

-1/2

- 2 /2

- 3 /2

-1/2

- 2 /2

3 /2

2 /2 1/2

A

 /3

 /4

 /6

3 /3

3

O

Góc Hslg

00 300 450 600 900 1200 1350 1500 1800 3600

0

6



4



3



2



3

2

4

3

6

sin 0

2

1 2

2 2

3 1

2

3

2

2

2

cos 1

2

3 2

2 2

2

1



2

2



2

3

 -1 1

tg 0

3

3 1 3 kxđ  3 -1

3

3

cotg



3

3 0

3

3

V Hàm số lượng giác của các cung (góc) có liên quan đặc biệt:

Đó là các cung :





1 Cung đối nhau :  và - (tổng bằng 0) (Vd: & 6

6





 ,…)

2 Cung bù nhau :  và -  ( tổng bằng  ) (Vd: &56

6





,…)

3 Cung phụ nhau : và 2   ( tổng bằng 2 ) (Vd: 6 & 3





,…)

4 Cung hơn kém 2 : và 2



  (Vd: &23

6





,…)

5 Cung hơn kém  :  và  (Vd: &76

6





,…)

1 Cung đối nhau: 2 Cung bù nhau :

cos( ) cos

sin( ) sin

( )

cot ( ) cot

 

 

cos( ) cos sin( ) sin ( ) cot ( ) cot

 

 

3 Cung phụ nhau : 4 Cung hơn kém 2

cos( ) sin

2

sin( ) cos

2

( )

2

cot ( ) t

2









 

cos( ) sin 2

sin( ) cos 2

( ) 2

cot ( ) t 2









 

 

5 Cung hơn kém  :

cos( ) cos

sin( ) sin

( )

cot ( ) cot

 

Ví dụ 1: Tính )

4

11 cos(   , tg 214

Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức: ) cos( 2 ) cos( 3 )

2

Đối cos Bù sin

Phụ chéo Hơn kém 2



sin bằng cos cos bằng trừ sin

Hơn kém  tang , cotang

VI Công thức lượng giác:

1 Các hệ thức cơ bản:

2 2

cos sin 1

sin

tg =

cos cos cotg =

sin













2

2 2

2

1

1 tg =

cos 1

1 cotg =

sin

tg cotg = 1













Ví dụ: Chứng minh rằng:

1 cos 4x sin 4x 1  sin 2xcos 2x

2 cos 6x sin 6 x 1  3 sin 2xcos 2x

2 Công thức cộng :

cos( ) cos cos sin sin cos( ) cos cos sin sin sin( ) sin cos sin cos sin( ) sin cos sin cos

tg +tg tg( + ) =

tg tg tg( ) =

tg tg

tg tg

 

 

 

 

 









Ví dụ: Chứng minh rằng:





1.cos sin 2 cos( )

4 2.cos sin 2 cos( )

4

3 Công thức nhân đôi:











 







2 2 2

2

4 4

2

cos2 cos sin 2cos 1

1 2sin cos sin sin 2 2sin cos

2

2 1

tg tg

tg

4 Công thức nhân ba:

3

3

cos3 4cos 3cos sin 3 3sin 4sin

2

2 cos 1 cos2 

  

2

2 cos 1 sin2 

  





 sin 2

2

1 cos sin 

4

cos 3 3 cos

3 sin sin

3

5 Công thức hạ bậc:















2 cos 1

2 cos 1

; 2

2 cos 1 sin

; 2

2 cos 1













6.Công thức tính sin ,cos ,tg    theo t tg   2

2 22 2

1

2

; 1

1 cos

; 1

2 sin

t

t tg

t

t t

t













7 Công thức biến đổi tích thành tổng :

1 cos cos cos( ) cos( )

2 1 sin sin cos( ) cos( )

2 1 sin cos sin( ) sin( )

2

Ví dụ:

1 Biến đổi thành tổng biểu thức: A cos 5x cos 3x

2 Tính giá trị của biểu thức: sin127

12

5



B

8 Công thức biến đổi tổng thành tích :

cos cos 2 cos cos

cos cos 2sin sin

sin sin 2sin cos

sin sin 2cos sin

sin( ) cos cos sin( ) cos cos

tg tg

tg tg

 

 





Ví dụ: Biến đổi thành tích biểu thức: A sinx sin 2x  sin 3x

9 Các công thức thường dùng khác:

cos sin 2 cos( ) 2 sin( )

cos sin 2 cos( ) 2 sin( )

8

4 cos 3 5 sin

cos

4

4 cos 3 sin

cos

6 6

4 4

























B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Các bước giải một phương trình lượng giác

Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa

Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải

Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( nếu có)

Bước 4: Kết luận

I Định lý cơ bản: ( Quan trọng )

u = v+k2 sinu=sinv

u = -v+k2

u = v+k2 cosu=cosv

u = -v+k2 tgu=tgv u = v+k (u;v )

2 cotgu=cotgv u = v+k (u;v k )

k











 





 



( u; v là các biểu thức chứa ẩn và k  Z)

Ví dụ : Giải phương trình:

1 sin3 sin( 2 )

4

x   x 2

4

3 cos ) 4 cos(x   

3 cos 3x sin 2x 4 sin4xcos4 x14(3 cos6 ) x

II Các phương trình lượng giác cơ bản:

1 Dạng 1: sinx = m ; cosx = m ; tgx = m ; cotgx = m ( m  R)

* Gpt : sinx = m (1)

 Nếu m  thì pt(1) vô nghiệm1

 Nếu m  thì ta đặt m = sin và ta có1

(1) sinx=sin  x = +k2x = ( - )+k2 

  





* Gpt : cosx = m (2)

 Nếu m  thì pt(2) vô nghiệm1

 Nếu m  thì ta đặt m = cos  và ta có1

(2) cosx=cos  x = +k2x = +k2





* Gpt: tgx = m (3) ( pt luôn có nghiệm m  R)

 Đặt m = tg thì

(3)  tgx = tg   x = +k 

* Gpt: cotgx = m (4) ( pt luôn có nghiệm m  R)

 Đặt m = cotg thì

(4)  cotgx = cotg   x = +k 

Các trường hợp đặc biệt:

sin 1 x = 2

2 sinx = 0 x = k sin 1 x = 2

2 cos 1 x = 2 cosx = 0 x = + k

2 cos 1 x = 2





















Ví dụ:

1) Giải các phương trình :

a) sin 2 1

2

x b) cos( ) 2

x  

c) ) 3 0

6 2 sin(

2 x    d) ) 3 0

3 cos(

e) sin 2x cos 2x 1 f) cos 4 x sin 4 x cos 2x





2) Giải các phương trình:

a) 1 cos 4x sin4x2 cos2x c) 4 (sin 4 cos 4 ) sin 4 2 0







b) sin6xcos6xcos4x d) sin cos3 cos sin3 1

4

2 1 ( sin

tg tgx x

gx

2 Dạng 2:

2 2 2 2

0

atg x btgx c

a g x b gx c

( a 0)

Cách giải:

Đặt ẩn phụ : t = sinx ( t = cosx; t = tgx; t = cotgx)

Ta được phương trình : at2bt c  (1)0 Giải phương trình (1) tìm t, rồi suy ra x

Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có)

Ví dụ :

a) 2 cos2 x5sinx 4 0 b) cos2 4cos 5 0

2

x x  c) 2sin2 x 4 5cosx d) 2cos cos2x x 1 cos2xcos3x

e) sin4 cos4 sin 2 1

2

x x x f) 2 ) 0

2 cos(

) cos (sin

2 4 x 4 x    x 

g) sin4 cos4 1 2sin

   h) sin 4 cos 4 sin cos 0





x

k) 0

sin 2 2

cos sin ) sin (cos









x

x x x

x

2 sin 2 1

3 sin 3 cos (sin





x

x x

x

3 Dạng 3:

cosa x b sinx c (1) ( a;b 0)

Cách giải:

 Chia hai vế của phương trình cho a2b2 thì pt

(1) 2a 2 cosx 2b 2 sinx 2c 2

 Đặt 2 2 cos và 2b 2 sin

a

a

a b   b   với 0;2thì :

2 2

2 2

c (2) cosx.cos + sinx.sin =

a c

cos(x- ) = (3)

a

b b











Pt (3) có dạng 1 Giải pt (3) tìm x

Chú ý :

Pt acosx + bsinx = c có nghiệm  a2b2 c2

Ví dụ : Giải các phương trình :

a) cosx 3 sinx1 b) cosx 3 sinx 2 c) 4(sin4 xcos )4x  3 sin 4x2 d) tgx x

cos

1

3 



e) 3

1 sin cos

2

2 sin cos







x x

x x

d Dạng 4:

asin2 x b sin cosx x c cos2x0 (a;c 0) (1)

Cách giải 1:

Aùp dụng công thức hạ bậc : sin2 1 cos2 và cos2 1 cos2

và công thức nhân đôi : sin cos 1sin 2

2

x x x thay vào (1) ta sẽ biến đổi pt (1) về dạng 3

Cách giải 2: ( Quy về pt theo tang hoặc cotang )

Chia hai vế của pt (1) cho cos x ta được pt:2

atg x btgx c2   0

Đây là pt dạng 2 đã biết cách giải

Chú ý: Trước khi chia phải kiểm tra xem x k

2



   có phải là nghiệm của (1) không?

Ví dụ : Giải phương trình:

3 sin 2 ( 1 3 ) sin cos cos 2 1 3 0











x

d Dạng 5:

(cosa xsin )x b sin cosx x c 0 (1)

Cách giải :

 Đặt cos sin 2 cos( ) với - 2 2

4

t x x x   t

Do (cos sin )2 1 2sin cos sinx.cosx=t2 1

2

 Thay vào (1) ta được phương trình :

2 1 0

2

t

at b   c (2)

 Giải (2) tìm t Chọn t thỏa điều kiện rồi giải pt: 2 cos( )

4

x  t tìm x

Ví dụ : Giải phương trình :

sin2x 2 2(sinxcos ) 5 0x  

Chú ý : Ta giải tương tự cho pt có dạng : (cosa x sin )x b sin cosx x c 0

Ví dụ : Giải phương trình :

sin 2x4(cosx sin ) 4x 

4 Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng :

a Phương pháp 1: Biến đổi pt đã cho về một trong các dạng pt lượng

giác cơ bản đã biết

Ví dụ: Giải phương trình:

0

2

3 2 sin cos

sin 4x 4x x 

b Phương pháp 2: Biến đổi pt đã cho về dạng tích số

Cơ sở của phương pháp là dựa vào các định lý sau đây:

A B. 0  A=0B=0

 hoặc

A=0 0 B=0

C=0

A B C









Ví dụ : Giải các phương trình :

a sin2 xsin 22 xsin 32 x b 2 sin 32 x cos 42 xsin 52 x cos 62 x

c 2sin3xcos2x cosx d 0 ) 3 0

4 sin(

2 cos 2 2 2 sin x x x  

c Phương pháp 3: Biến đổi pt về dạng có thể đặt ẩn số phụ

Một số dấu hiệu nhận biết :

* Phương trình chứa cùng một một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa)

Ví dụ : Giải các phương trình :

a cos 3x cos 2x cosx 1  0

b 4 cos 3 cos 2 4 cos 1 0







x

c 2 cos2 8cos 7 1

cos

x

d sin 4 cos 2 2 2



x

* Phương trình có chứa (cosxsin ) và sinx.cosxx

Ví dụ : Giải phương trình : a 1 sin3 cos3 3sin 2x

2

x x

b sin 3 cos 3 2 (sin cos ) 1







x