Chuyên đề Quan hệ song song

THPT chuyên Hùng Vương Lớp 11 toán TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ SONG SONG Những người thực hiện: CAI VIỆT HOÀNG (Nhóm trưởng) NGUYỄN HOÀNG TUẤN HÀ ANH DŨNG Năm học: 2014 - 1015 Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ SONG SONG Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG MỤC LỤC A KIẾN THỨC CƠ BẢN I Đường thẳng mặt phẳng II Đường thẳng song song III Đường thẳng song song với mặt phẳng 11 IV Mặt phẳng song song 13 V Hình lăng trụ 16 B PHƯƠNG PHÁP, VÍ DỤ VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG THEO CHỦ ĐỀ 18 Chuyên đề 1: ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 19 Dạng 1: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (cách 1) 19 Dạng 2: Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng 23 Dạng 3: Chứng minh điểm thẳng hàng Chứng minh đường thẳng đồng quy 27 Dạng 4: Tìm tập hợp giao điểm hai đường thẳng di động 29 Dạng 5: Thiết diện (dạng 1) 32 Dạng 6: Bài toán diện tích thiết diện 35 Chuyên đề 2: QUAN HỆ SONG SONG 37 Dạng 1: Chứng minh đường thẳng song song 37 Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng α 40 Dạng 3: Chứng minh mặt phẳng song song 42 Dạng 4: Tìm giao tuyến mặt phẳng (cách 2/dạng 1) Thiết diện qua đường thẳng song song với đường thẳng cho trước 45 Dạng 5: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (cách 2/dạng 2) Thiết diện song song với đường thẳng cho trước 48 Dạng 6: Tìm giao tuyến mặt phẳng (cách 2/dạng 3) Thiết diện cắt mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước 51 Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG A KIẾN THỨC CƠ BẢN Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG I Đường thẳng mặt phẳng Mở đầu (sgk) Các tính chất * Tính chất thừa nhận 1: Có đường thẳng qua hai điểm phân biệt cho trước * Tính chất thừa nhận 2: Có mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng cho trước * Tính chất thừa nhận 3: Tồn bốn điểm không nằm mặt phẳng * Tính chất thừa nhận 4: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng * Tính chất thừa nhận 5: Trong mặt phẳng, kết biết hình học không gian * Định lí: Nếu đường thẳng qua hai điểm phân biệt mặt phẳng điểm đường thẳng nằm mặt phẳng Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng a) Đường thẳng song song với mặt phẳng b) Đường thẳng cắt mặt phẳng Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG c) Đường thẳng thuộc mặt phẳng Vị trí tương đối hai mặt phẳng a) Mặt phẳng song song với mặt phẳng b) Hai mặt phẳng trùng α β c) Hai mặt phẳng cắt Vị trí tương đối hai đường thẳng a) Đường thẳng song song với đường thẳng Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG b) Hai đường thẳng cắt c) Hai đường thẳng trùng ab d) Hai đường thẳng chéo Điều kiện xác định mặt phẳng - Một mặt phẳng xác định biết qua ba điểm không thẳng hàng - Một mặt phẳng xác định biết qua đường thẳng điểm không thuộc đường thẳng - Một mặt phẳng xác định biết qua hai đường thẳng cắt Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG Hình chóp hình tứ diện a) Hình chóp - Định nghĩa Hình gồm n tam giác đa giác A1A2…An gọi hình chóp kí hiệu S.A1A2…An Nếu đáy hình chóp tam giác, tứ giác, ngũ giác,… hình chóp tương ứng gọi hình chóp tam giác, tứ giác ngũ giác  b) Tứ diện Định nghĩa: Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Hình gồm bốn tam giác ABC, ACD, ABD BCD gọi hình tứ diện (hay ngắn gọi tứ diện) kí hiệu ABCD c) Thiết diện hình chóp Định nghĩa: Thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng 𝛼 đa giác phẳng tạo đoạn giao tuyến 𝛼 với mặt bên hay mặt đáy hình chóp Ví dụ: Trong hình vẽ, tứ giác MNPQ thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng 𝛼 Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG II Đường thẳng song song Định nghĩa Hai đường thẳng gọi song song chúng nằm mặt phẳng điểm chung Kí hiệu: a // b  Các định lí * Định lí 1: (tiên đề Ơ-clít không gian) Qua điểm nằm đường thẳng cho trước ta dựng đường thẳng song song với thẳng cho a  (α)  B  (α)  !b : b // a (B  b) B  a  Hệ quả: Nếu từ điểm B mặt phẳng 𝛼, ta dựng đường thẳng b song song với đường thẳng a nằm 𝛼 đường thẳng b nằm 𝛼 B  (α)   b  (α) a  (α) B  b:b // a  * Định lí 2: Cho hai đường thẳng song song, mặt phẳng cắt đường phải cắt đường a // b  b  (α)  a  (α)   Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG * Định lí 3: Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba song song với a, b, c  (α)   a // b a // c b // c   * Định lí 4: (định lí giao tuyến) Nếu hai mặt phẳng cắt chứa hai đường thẳng song song cho trước giao tuyến chúng phương với hai đường thẳng (α)  (β)  c a  (α)   a, b  c  b  (β)   a // b   * Định lí 5: Hai góc không gian có cạnh song song chiều   Góc hai đường thẳng không gian ̂𝑏), góc 𝛼 (𝛼 ≤ 90𝑜 ) tạo a’ b’ vẽ từ điểm O Góc a b, kí hiệu (𝑎, song song với a b ̂𝑏) = 90𝑜 ta nói a vuông góc với b Nếu (𝑎, Kí hiệu a ⊥ b Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng 10 Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG a) Chứng minh MN // CD b) Tìm giao điểm K SC với (AND) Kéo dài AN DK cắt I Chứng minh SI // AB // CD Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật Gọi M, N, E, F trọng tâm tam giác SAB, SBC, SCD SDA Chứng minh rằng: a) Bốn điểm M, N, E, F đồng phẳng b) Tứ giác MNEF hình thoi c) Ba đường thẳng ME, NF SO đồng qui (O giao điểm AC BD) Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang đáy lớn AD Điểm M thay đổi cạnh SA a)Dựng giao điểm N SD mặt phẳng (BCM) b)Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (BCM) c)Gọi I = BM  CN.Tìm tâp hợp điểm I M chạy SA Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD Gọi M trung điểm SC N trọng tâm tam giác ABC a) Tìm giao điểm I SD mp(AMN) b) Chứng minh NI // SB c) Chứng minh AC SB chéo d) Tìm giao tuyến mp(AMN) với mp(SAD) Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng 39 Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG Dạng 2: Chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng α Phương pháp α Ta chứng minh d không nằm α song song với đường thẳng a chứa Ghi chú: Nếu a sẵn hình ta chọn mặt phẳng β chứa d lấy a giao tuyến α với β (xem định lí 6) Ví dụ VD1: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng a) Gọi O O’ tâm ABCD ABEF Chứng minh OO’ song song với mặt phẳng (ADF) (BCE) b) M, N hai điểm hai cạnh AE, BD cho AM = 1 AE, BN = 3 BD Chứng minh MN song song với (CDFE) Giải: a) O, O’ trung điểm AC AE, suy OO’ // CE mà CE  (BCE) nên OO’ // (BCE) tương tự OO’ // (ADF) b) Kéo dài AN cắt CD G Nối EG (EG giao tuyến (AMN) (CDFE)) ta có AB // DG  mặt khác AN BN = = AG BD AM = (gt) suy MN // AE EG mà EG  (CDFE) suy MN // (CDFE) VD2: Cho tứ diện ABCD G trọng tâm tam giác ABD M điểm cạnh BC cho MB = 2MC Chứng minh MG song song với (ACD) Giải: (ABD): kéo dài BG cắt AD N ta có C  (BMG) (ACD) N  (ACD) (BMG) suy (BMG)  (ACD) = CN theo gt MB = 2MC nên theo Ta-lét đảo MG // CN N G B D M BM = BC G trọng tâm tam giác ABD nên A C BG = BN Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng 40 Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG mà CN  (ACD) nên MG // (ACD) (đpcm) Bài tập tương tự Bài 1: Cho tứ diện ABCD.Gọi M, N trọng tâm tam giác ACD BAD Chứng minh MN song song với mặt phẳng (ABC) (BDC) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung điểm cạnh AB, CD a) Chứng minh MN song song với mặt phẳng (SBC) (SAD) b) Gọi P trung điểm SA Chứng minh SB, SC song song với (MNP) c) Gọi G1 G2 trọng tâm tam giác ABC SBC Chứng minh G1G2 // (SAB) Bài 3: Cho tứ diện ABCD Gọi M trung điểm AB N điểm thuộc cạnh CD không trùng với C D Mặt phẳng (P) qua MN song song với BC a) Hãy xác định thiết diện hình tứ diện cắt mp(P) b) Xác định vị trí điểm N CD cho thiết diện hình bình hành Bài 4: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh AD, CC’ a) Chứng minh MN // (ACB’) b) Xét trường hợp tổng quát M, N hai điểm lấy cạnh AD CC’ thỏa mãn điều kiện AM CN = Chứng minh MN // (ACB’) MD NC' Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng 41 Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG Dạng 3: Chứng minh mặt phẳng song song Phương pháp Chứng minh hai mặt phẳng chứa đường thẳng cắt song song với hai đường thẳng cắt nằm mặt phẳng Chú ý: Sử dụng tính chất α // β  a // α  a  β  Ví dụ VD1: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA, SD a) Chứng minh (OMN) song song với (SBC) b) Gọi P Q trung điểm AB ON Chứng minh PQ song song với (SBC) Giải: a) Ta có OM // SC (đường tb tam giác SAC), ON // SB (đường tb tam giác SBD) suy (OMN) // (SBC) b) Ta có OP // AD (đường trung bình tam giác ABD) mà AD // MN, suy OP // MN  PQ  (OMN) mà (OMN) // (SBC) nên PQ // (SBC) S M N Q P A B O D C VD2: Cho tứ diện ABCD.Gọi I, J, K trọng tâm tam giác ABC, ACD, ABD Chứng minh (IJK) // (BCD) Giải: A Gọi I’, J’, K’ giao điểm cặp đường thẳng AI BC, AJ CD, AK BD Khi ta có AI AJ AK = = = K AI' AJ' AK' J suy IK // I’K’, KJ // K’J’ I  (IJK) // (I’J’K’) B D K' mà (I’J’K’)  (BCD) nên (IJK) // (BCD) I' J' C Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng 42 Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG Bài tập tương tự Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành Một mặt phẳng (P) cắt cạnh bên SA, SB, SC, SD A’, B’, C’, D’ Chứng minh tứ giác A’B’C’D’ hình bình hành mặt phẳng (P) song song với mp(ABCD) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác lồi M trung điểm cạnh bên SA, N trung điểm cạnh bên SC a) Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng qua M, N song song với mp(SBD) b) Gọi I, J giao điểm hai mặt phẳng nói với AC Chứng minh IJ = AC Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1 Gọi O1 tâm hình bình hành A1B1C1D1; K trung điểm CD; E trung điểm BO1 a) Chứng minh E nằm mp(ACB1) b) Xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng (P) qua điểm K song song với mặt phẳng (EAC) Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SA CD a) Chứng minh mp(OMN) mp(SBC) song song với b) Gọi I trung điểm SE, J điểm (ABCD) cách AB CD Chứng minh IJ song song với (SAB) c) Giả sử hai tam giác SAD, ABC cân A Gọi AE, AF đường phân giác tam giác ACD SAB Chứng minh EF song song với (SAD) Bài 5: Cho hai hình vuông ABCD ABEF mặt phẳng khác Trên đường chéo AC BF lấy điểm M, N cho AM = BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N cắt AD, AF M’, N’ a) Chứng minh (CBE) // (ADF) b) Chứng minh (DEF) // (MNN’M’) c) Gọi I trung điểm MN, tìm tập hợp điểm I M, N di động Bài 6: Cho hai nửa đường thẳng chéo Ax, By M N điểm di động Ax, By cho AM = BN Vẽ NP = BA a) Chứng minh MP có phương trình không đổi MN song song với mặt phẳng cố định b) Gọi I trung điểm MN Chứng minh I nằm đường thẳng cố định M, N di động Bài 7: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi I, J, K tâm hình bình hành ACC’A’, BCC’B’, ABB’A’ a) Chứng minh IJ // (ABB’A’), JK // (ACC’A’), IK // (BCC’B’) Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng 43 Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG b) Ba đường thẳng AJ, CK, BI đồng quy điểm O c) Mặt phẳng (IJK) song song với mặt đáy hình lăng trụ d) Gọi G, G’ trọng tâm tam giác ABC A’B’C’ Chứng minh ba điểm G, O, G’ thẳng hàng Bài 8: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ Gọi P, Q, R, S tâm mặt bên ABB’A’, BCC’B’, CDD’C’, DAA’D’ a) Chứng minh RQ song song với (ABCD), (PQRS) song song (ABCD) b) Xác định thiết diện hình hộp cắt mặt phẳng (AQR) MC c) Gọi M giao điểm cạnh CC’với mp(AQR) Tính tỉ số MC' Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang đáy lớn AD M điểm nằm cạnh AB,mặt phẳng  qua M  // (SBC) Dựng thiết diện hình chóp với  Thiết diện hình ? Bài 10: Cho tam giác ABC DEF nằm mặt phẳng ,  song song với a) Dựng giao tuyến   (AEF);   (BCD) b) Dựng giao tuyến (AEF)  (BCD) Bài 11: Trong mặt phẳng  cho hình bình hành ABCD.Ta dựng nửa đường thẳng song song với nằm phía với  Một mặt phẳng  cắt nửa đường thẳng A’, B’, C’, D’ a) Chứng minh mp(AA’,BB’) // mp(CC’,DD’) b) Chứng minh tứ giác A’B’C’D’ hình bình hành c) Chứng minh AA’ + CC’ = BB’ + DD’ Bài 12: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi I, K, G trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’ ACC’ Chứng minh rằng: a) (IKG) // (BB’C’C) b) (A’KG) // (AIB’) Bài 13: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’.Gọi M N trung điểm cạnh AA’ AC a) Dựng thiết diện lăng trụ với mặt phẳng (MNB’) b) Gọi P trung điểm B’C’.Dựng thiết diện lăng trụ với mặt phẳng (MNP) Bài 14: Cho hình chóp S.ABCD với ABCD hình bình hành Gọi I trung điểm SD a) Xác định giao điểm K = BI  (SAC) b) Trên IC lấy điểm H cho HC=2HI Chứng minh KH // (SAD) c) Gọi N điểm SI cho SN=2NI Chứng minh (KHN) // (SBC) d) Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (KHN) Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng 44 Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG Dạng 4: Tìm giao tuyến mặt phẳng (cách 2/dạng 1) Thiết diện qua đường thẳng song song với đường thẳng cho trước Phương pháp - Tìm điểm chung hai mặt phẳng - Áp dụng định lí giao tuyến để tìm phương giao tuyến (tức chứng minh giao tuyến song song với đường thẳng có) Giao tuyến đường thẳng qua điểm chung song song với đường thẳng Các cách tìm giao tuyến: Cách (2 điểm chung) cách (1 điểm chung + phương giao tuyến) ta thường sử dụng phối hợp cách xác định thiết diện hình chóp Ví dụ VD1: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình thang với cạnh đáy AB CD Gọi I, J trung điểm AD BC, G trọng tâm tam giác SAB a) Tìm giao tuyến (SAB) (IJG) b) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (IJG) Thiết diện hình ? Tìm điều kiện AB CD để thiết diện hình bình hành Giải: a) ta có S G  (SAB)  (IJG) AB  (SAB)   (SAB)  (IJG) = MN  IJ  (IJG)  N M AB // IJ G với MN // IJ // AB, G  MN b) Nối IM JN Các đoạn IJ, JN, NM, MI B đoạn giao tuyến (IJG) với mặt (ABCD), A E (SBC), (SAB) (SAD) Do thiết diện hình thang IJNM J I MN SG   (SE trung Ta có MN // AB  AB SE D C tuyến tam giác SAB)  MN = AB IJ = (AB + CD) (đoạn trung bình) Để hình thang IJNM hình bình hành MN = IJ  AB = (AB + CD)  AB = 3CD (là đk phải tìm) Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng 45 Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG VD2: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành, I, J trọng tâm tam giác SAB SAD M trung điểm CD Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (IJM) Giải: Gọi E trung điểm SA, ta có I  BE, J  DE   BI DJ  IJ // BD , mà = =   BE DE BD  (ABCD) nên (IJM) cắt (ABCD) theo giao tuyến MN // BD // IJ MN kéo dài cắt AB K, AD H Nối KI kéo dài cắt SA R Nối RJ, kéo dài cắt SD Q Thiết diện ngũ giác MNPRQ Bài tập tương tự Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang, cạnh đáy AD = a, BC = b I, J trọng tâm tam giác SAD, SBC a) Tìm đoạn giao tuyến (ADJ) với mặt (SBC) đoạn giao tuyến (SCL) với mặt (SAD) b) Tìm độ dài đoạn giao tuyến mặt phẳng (ADJ) (BCL) giới hạn đoạn thẳng (SAB) (SCD) Bài 2: Cho tứ diện ABCD cạnh a I, J trung điểm AC, BC Gọi K điểm cạnh BD với KB = 2KD a) Xác định thiết diện tứ diện với mặt phẳng (IJK) Chứng minh thiết diện hình thang cân b) Tính diện tích thiết diện theo a Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD, đáy hình vuông cạnh a, tâm O Mặt bên SAB tam giác Ngoài góc SAD = 90o Gọi Dx đường thẳng qua D song song với SC a) Tìm giao điểm I Dx mặt phẳng (SAB) Chứng minh AI // SB b) Tìm thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (AIC) Tính diện tích thiết diện Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành I, J trung điểm SB, AB M điểm nửa đường thẳng Ax chứa C Biện luận theo vị trí điểm M Ax dạng thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (IJM) Bài 5: Cho hình vuông ABCD cạnh a, S điểm không thuộc mặt phẳng (ABCD) cho tam giác SAB Cho SC = SD = a Gọi H, K trung điểm SA, SB M điểm cạnh AD Mặt phẳng (HKM) cắt BC tai N a) Chứng minh HKNM hình thang cân Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng 46 Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG b) Đặt AM = x (0  x  a), tính diện tích tứ giác HKNM theo a x Tính x để diện tích nhỏ c) Tìm tập hợp giao điểm HM KN; HN KM Bài 6: Cho hình vuông ABCD cạnh a Gọi S điểm không thuộc mặt phẳng (ABCD) cho SA = SB = a; SC = SD = a = x = ; E, F trung điểm SA SB, M điểm tùy ý BC a) Tìm giao tuyến mặt phẳng (SAB) (SCD); (SAD) (SBC) b) Tìm giao tuyến mặt phẳng (MEF) (ABCD) Suy giao điểm N AD mp(MEF) Chứng minh tứ giác MNEF hình thang cân Bài 7: Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ Gọi M ; N ; P trung điểm DC ; AD ; BB’ Tìm thiết diện tạo mặt phẳng (MNP) với hình hộp giao tuyến (MNP) với mặt phẳng (A’B’C’D’) Bài 8: a) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành Gọi E, F, K trung điểm SA, AB, BC Xác định thiết diện hình chóp mặt phẳng qua ba điểm E, F, K b) Cho hình chóp S.ABCD Gọi A’, B’, C’ điểm nằm SA, SB, SC Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp Bài 9: Cho tứ diện ABCD ; điểm I nằm BD BD cho ID = 3IB; M ; N hai điểm thuộc cạnh AD ; DC cho MA = MD ; ND = NC 2 a) Tìm giao tuyến PQ (IMN) với (ABC) ? b) Xác dịnh thiết diện tạo (IMN) với tứ diện ? c) Chứng minh MN, PQ, AC đồng qui ? Bài 10: a) Cho tứ diện ABCD, điểm I, J trọng tâm ABC, DBC, M trung điểm AD Tìm tiết diện tạo (MJI) tứ diện ? b) Cho hình chóp S.ABCDE Lấy ba điểm M, N, K SA, BC, SD Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (MNK) với hình chóp Bài 11: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang với AB đáy Gọi M, N trung điểm SB, SC a) Tìm giao tuyến (SAD) (SBC) ? b) Tìm giao điểm SD với mặt phẳng (AMN) ? c) Tìm tiết diện tạo mặt phẳng (AMN) với hình chóp Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N, P trung điểm SB, SD, OC a) Tìm giao tuyến (MNP) với (SAC) ? b) Dựng thiết diện (MNP) với hình chóp ? c) Tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA ; BC ; CD ? Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng 47 Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành I trung điểm SD; E điểm cạnh SB cho SE = 3EB a) Tìm giao điểm F CD với mặt phẳng (AIE) ? b) Tìm giao tuyến d (AIE) với (SBC) ? c) Chứng minh BC, AF, d đồng qui ? Bài 14: Cho hình chóp SABC Gọi A’, B’, C’ điểm di động SA, SB, SC thoả mãn: SA’ = SA n 1 ; SB’ = 2n  SB ; SC’ = SC 3n  a) Chứng minh A’B’ qua điểm cố định I A’C’ qua điểm cố định J n thay đổi ? b) Chứng minh (A’B’C’) chừa đường thẳng cố định Dạng 5: Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (cách 2/dạng 2) Thiết diện song song với đường thẳng cho trước Phương pháp Tìm phương giao tuyến hệ định lí Từ xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng song song với hai đường thẳng cho trước theo phương pháp biết Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD M, N điểm AB, CD, α mặt phẳng qua MN song song với SA a) Tìm giao tuyến α với (SAB) (SAC) b) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng α c) Tìm điều kiện MN để thiết diện hình thang Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng 48 Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG Giải: a) α // SA   α  (SAB) = MP (MP // SA) SA  (SAB) M  α  (SAB)  tương tự , gọi {R} = MN  AC, ta có α // SA  SA  (SAC)  α  (SAC) = RQ (RQ // SA) R  α  (SAC) P  b) MP, PQ, QN, NM đoạn giao tuyến α với mặt SAB, SBC, SCD ABCD Do thiết A diện tứ giác MPQN c) Ta có MPQN hình thang M  MP // QN (1)   MN // PQ (2) B Xét (1): (1)  SA // QN SA // MP  SA // (SCD) (vô lí) BC = (ABCD)  (SBC) Xét (2): (2)  MN // BC  MN  (ABCD) PQ  (SBC) Đảo lại có MN // BC PQ = α  (SBC) MN // PQ  MN  α BC  (SBC) Vậy để thiết diện hình thang MN // BC S Q D N R C Bài tập tương tự Bài 1: Trong mặt phẳng α cho tam giác ABC vuông A, góc B = 60o, AB = a Gọi O trung điểm BC Lấy điểm S α cho SB = a SB  OA Gọi M điểm cạnh AB, mặt phẳng β qua M song song với SB OA cắt BC, SC, SA N, P, Q Đặt x = BM (0 < x < a) a) Chứng minh MNPQ hình thang vuông b) Tính theo a x diện tích hình thang Tính x để diện tích lớn Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD M, N hai điểm SB CD α mặt phẳng qua MN song song với SC a) Tìm giao tuyến α với mặt phẳng (SBC), (SCD) (SAC) b) Xác định thiết diện S.ABCD với mặt phẳng α Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình bình hành Gọi C’ trung điểm SC, M điểm di động cạnh SA α mặt phẳng di động qua C’M song song với BC a) Chứng minh α chứa đường thẳng cố định Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng 49 Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG b) Xác định thiết diện mà α cắt hình chóp S.ABCD Định M để thiết diện hình bình hành c) Tìm tập hợp giao điểm hai cạnh đối thiết diện M chuyển động cạnh SA Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang ABCD, đáy lớn BC = 2a, AD = a, AB = b Mặt bên SAD tam giác α mặt phẳng qua điểm M cạnh AB song song với SA BC, α cắt CD, SC, SB N, P, Q a) Chứng minh MNPQ hình thang cân b) Tính diện tích thiết diện theo a x = AM (0 < x < b) Tính giá trị lớn diện tích c) Tìm tập hợp giao điểm MQ NP Bài 5: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc CD,tam giác BCD vuông C góc BDC = 300 ; M điểm thay đổi cạnh BD ; AB = BD = a; đặt BM = x Mặt phẳng  qua M song song với AB,CD a) Dựng thiết diện tứ diện với  b) Tính diện tích S thiết diện c) Xác định vị trí M BD để S lớn Bài 6: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang đáy lớn AB Điểm M thay đổi cạnh BC, mặt phẳng  qua M //AB SC a) Dựng giao tuyến (SAD)  (SBC) b) Dựng thiết diện hình chóp với  c) Chứng minh đoạn giao tuyến  với (SAD) // SD Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành Gọi M, N trung điểm SA, SB Điểm P thay đổi cạnh BC a) Chứng minh CD//(MNP) b) Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) Chứng minh thiết diện hình thang c) Gọi I giao điểm cạnh bên thiết diện, tìm quỹ tích điểm I Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang đáy lớn AB Điểm M thay đổi cạnh SA a) Tìm giao tuyến (SAD)  (SBC); (SAB)  (SCD) b) Dựng giao điểm N = SB  (CDM) c) Gọi I = CM  DN; J = DM  CN Chứng minh M thay đổi cạnh SA I, J chạy đường thẳng cố định Bài 9: Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc CD, tam giác BCD vuông C góc BDC = 300, M điểm thay đổi cạnh BD, AB = BD = a, đặt BM = x Mặt phẳng  qua M song song với AB, CD a) Dựng thiết diện tứ diện với  b) Tính diện tích S thiết diện c) Xác định vị trí M BD để S lớn Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng 50 Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O.Gọi M N trung điểm AB SC a) Tìm giao tuyến (SAC) ∩ (SBD) (SAB) ∩ (SCD) b) Chứng minh MN // (SAD) c) Chứng minh đường thẳng AN qua trọng tâm tam giác SBD Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD, đáy lớn AD AD = 2BC Gọi O giao điểm AC BD, G trọng tâm tam giác SCD a, Chứng minh OG song song (SBC) b, Cho M trung điểm SD Chứng minh CM song song (SAB) c, Giả sử điểm I nằm đoạn SC cho SC = SI Chứng minh SA song song (BID) Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD Gọi G trọng tâm tam giác SAB I trung điểm AB Lấy điểm M đoạn AD cho AD = 3AM a) Tìm giao tuyến hai mp(SAD) (SBC) b) Đường thẳng qua M song song với AB cắt CI N Chứng minh NG song song (SCD) c) Chứng minh MG song song (SCD) Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD tâm O Gọi K J trọng tâm tam giác ABC SBC a) Chứng minh KJ song song mp(SAB) b) Hãy xác định thiết diện hình chóp cắt bỡi mp(P) chứa KJ song song với AD Dạng 6: Tìm giao tuyến mặt phẳng (cách 2/dạng 3) Thiết diện cắt mặt phẳng song song với mặt phẳng cho trước Phương pháp - Tìm phương giao tuyến mặt phẳng định lí 12 giao tuyến: “Nếu hai mặt phẳng song song bị cắt mặt phẳng thứ ba hai giao tuyến song song với nhau” - Ta thường sử dụng định lí để xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng song song với mặt cho trước theo phương pháp biết Chú ý: Nhờ tính chất α // β  α // a  a  β  ta đưa trường hợp thiết diện dạng đề cập 2, vấn đề Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng 51 Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG Ví dụ Cho hình bình hành ABCD, ABEF nằm hai mặt phẳng khác Trên đường chéo AC, BF theo thứ tự lấy điểm M, N cho MC = 2AM, NF = 2BN Qua M, N kẻ đường thẳng song song với cạnh AB, cắt cạnh AD, AF theo thứ tự M , N Chứng minh : a) MN // DE b) M N1 //(DEF ) c.) (MNM1 N1 ) //(DEF ) Giải: a MN // DE : Giả sử EN cắt AB I Xét  NIB   NEF Ta có :  IB NB   EF NF I trung điểm AB Tương tự : Xét IN  (1) NE F  MAI   MCD N1 MA MI Ta có :   MC MD M1 IM  I trung điểm AB  (2) MD IM IN Từ (1) (2) , suy   MD NE Vậy : MN // DE b M N1 //(DEF ) : AN IN Ta có :   NN1 // AI  N1 F NE Tương tự : MM1 // AI Từ (3) (4) , suy M N1 // DF   DF  ( DEF ) Vậy : M N1 //(DEF ) c (MNM1 N1 ) //(DEF ) : MN // DE  Ta có :  M N1 // DF Vậy : E M MN // DEN B(3) C AM IM   M D MD  AN AM 1   N1 F M D Ta : D A   M N1 // DF M N1 //(DEF ) ( MNN1 M ) //(DEF ) (MNM1 N1 ) //(DEF ) Bài tập tương tự Bài 1: Cho hai mặt phẳng song song α β ABC tam giác nằm α MN đoạn thẳng nằm β Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng 52 Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG a) Tìm giao tuyến (MAB) β ; giao tuyến (NAC) β b) Tìm giao tuyến (MAB) (NAC) Bài 2: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có chung cạnh AB không đồng phẳng I, , K trung điểm cạnh AB , CD, EF Chứng minh: a) (ADF) // (BCE) b) (DIK) // (JBE) Bài 3: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF có chung cạnh AB nằm hai mặt phẳng phân biệt Gọi M, N thứ tự trung điểm AB, BC I , J , K theo thứ tự trọng tâm tam giác ADF, ADC , BCE Chứng minh (IJK) // (CDFE) Bài 4: Cho tứ diện ABCD Gọi G1 , G2 , G3 trọng tâm tam giác ABC, ACD , ADB a) Chứng minh (G1G2G3 ) //(BCD) b) Tìm thiết diện tứ diện ABCD với mặt phẳng (G1G2 G3 ) Tính diện tích thiết diện theo diện tích tam giác BCD S Bài 5: Cho hai đường thẳng chéo Ax, By Hai điểm M, N di động Ax, By cho AM = BN Chứng minh đường thẳng MN luôn song song với mặt phẳng cố định Bài 6: Cho tứ diện ABCD Gọi I, J trung điểm AB CD Một mặt phẳng qua IJ cắt cạnh AD BC N M a) Cho trước điểm M, trình bày cách dựng điểm N Xét trường hợp đặc biệt M trung điểm BC b) Gọi K giao MN IJ Chứng minh rằng: KM = KN Bài 7: Cho tứ diện ABCD Gọi H, K, L trọng tâm tam giác ABC, ABD, ACD Chứng minh (HKL) // (BCD) Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng 53 .. .Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG TÀI LIỆU CHUYÊN ĐỀ QUAN HỆ SONG SONG Nhóm 11: Hoàng (NT), Tuấn, Dũng Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG MỤC LỤC A KIẾN THỨC CƠ BẢN ... Tuấn, Dũng 10 Chuyên đề: QUAN HỆ SONG SONG III Đường thẳng song song với mặt phẳng Định nghĩa Đường thẳng d mặt phẳng