Chuyên đề quan hệ song song

BÀI 1: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Vấn đề : TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG α VÀ β : Muốn tìm giao tuyến hai mặt phẳng α β ta tìm hai điểm chung I ; J α β  α ∩ β = I J β Khi tìm điểm chung ta ý : J I  Cách gọi tên hai mặt phẳng để phát điểm chung • •  M ∈ d d ⊂ α  M ∈ α a ∩ b = M trong(P)  a ⊂ α ; b ⊂ β  α  M điểm chung 1: 1)Cho tứ diện ABCD có E trung điểm AB Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng (ECD) với mặt phẳng (ABC) ; (ABD) ; (BCD) ; (ACD) 2)Cho tứ diện SABC điểm I đoạn SA; d đường thẳng (ABC) cắt AB; BC J ; K Tìm giao tuyến mặt phẳng (I,d) với mặt phẳng sau : (SAB) ; (SAC) ; (SBC) 2: 1)Cho tứ giác lồi ABCD điểm S khơng nằm mặt phẳng chứa tứ giác Tìm giao tuyến : a) (SAC) (SBD) b) (SAB) (SCD) c) (SAD) (SBC) 2)Cho hình chóp S.ABCDE Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng (SAC) với mặt phẳng (SAD) ; (SCE) 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi ; M điểm cạnh CD Tìm giao tuyến mặt phẳng : a)(SAM) (SBD) b)(SBM) ; (SAC) 4: Cho tứ diện ABCD; M điểm nằm ABC; N điểm nằm ACD Tìm giao tuyến : a) (AMN) (BCD) b) (CMN) (ABD) 5: Cho tứ diện ABCD M nằm AB cho AM = MB ; N nằm AC cho AN = 3NC; điểm I nằm BCD Tìm giao tuyến : a) (MNI) (BCD) b) (MNI) (ABD) c) (MNI) (ACD) 6: Cho tứ diện ABCD ; gọi I ; J trung điểm AD; BC a) Tìm giao tuyến : (IBC) (JAD) b)M điểm AB; N điểm AC Tìm giao tuyến (IBC) (DMN) 7: Cho hai đường thẳng a ; b ∈ (P) điểm S khơng thuộc (P) Hãy xác định giao tuyến mặt phẳng chứa a S với mặt phẳng chứa b S ? 8: Cho tứ diện ABCD ; AB ; AC lấy hai điểm M N cho : AM AN ≠ MB NC Tìm giao tuyến (DMN) (BCD) 9; Cho bốn điểm ABCD khơng đồng phẳng ; gọi I ; K trung điểm AD ; BC Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (IBC) (KAD) ? 10 : Trong mặt phẳng α cho hình thang ABCD có đáy AB ; CD ; S điểm nằm ngồi mặt phẳng hình thang Tìm giao tuyến : a) (SAD) (SBC) b) (SAC) (SBD) 1.11 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang hai đáy AD ; BC Gọi M ; N trung điểm AB ; CD G trọng tâm ∆SAD Tìm giao tuyến : a) (GMN) (SAC) b) (GMN) (SBC) Vấn đề 2: CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VÀ BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY Chứng minh A; B; C thẳng hàng : β A B Chỉ A ; B ; C ∈ α Chỉ A ; B ; C ∈ β Kết luận : A; B; C∈ α ∩ β  A; B; C thẳng hàng • • C • α Chứng minh a ; b ; MN đồng quy : b a P Đặt a ∩ b = P • M Chứng minh M ; N ; P thẳng hàng • N Kết luận :MN ; a ; b đồng quy P 1: Cho hai mặt phẳng α β cắt theo giao tuyến d Trên α lấy hai điểm A ; B khơng thuộc d O điểm ngồi hai mặt phẳng Các đường thẳng OA ; OB cắt β A’ ; B’ AB cắt d C a)Chứng minh O; A; B khơng thẳng hàng ? b)Chứng minh A’ ; B’ ; C’ thẳng hàng ? Từ suy AB ; A’B’; d đồng quy 2: Trong khơng gian cho ba tia Ox ; Oy ; Oz khơng đồng phẳng Trên Ox lấy A ; A’ ; Oy lấy B ; B’ Oz lấy C ; C’ cho AB cắt A’B’ D ; BC cắt B’C’ E ; AC cắt A’C’ F Chứng minh D; E ; F thẳng hàng ? 3: Cho A; B; C khơng thẳng hàng ngồi mặt phẳng α Gọi M ; N ; P giao điểm AB ; BC ; AC với α Chứng minh M; N; P thẳng hàng ? 4: 1) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành ; O giao điểm hai đường chéo ; M ; N trung điểm SA ; SD Chứng minh ba đường thẳng SO ; BN ; CM đồng quy 2)Cho tứ diện ABCD.Mặt phẳng α khơng song song AB cắt AC ; BC ; AD ; BD M; N; R; S Chứng minh AB; MN; RS đồng quy ? 5: Chứng minh tứ diện đừơng thẳng nối đỉnh với trọng tâm mặt đối diện đồng quy ? 2.6 Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang hai đáy AD ; BC Gọi M ; N trung điểm AB ; CD G trọng tâm ∆SAD Tìm giao tuyến : a) (GMN) (SAB) b) (GMN) (SCD) c) Gọi giao điểm AB CD I ; J giao điểm hai giao tuyến câu a câu b Chứng minh S ; I ; J thẳng hàng? Vấn đề 3: CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU, VÀ CÁC ĐIỂM ĐỒNG PHẲNG Chứng minh đường thẳng a ; b chéo : b  Giả sử : a khơng chéo b  Từ suy hai đường thẳng a b nằm mặt phẳng α ( đồng phẳng )  Từ suy điều mâu thuẫn với gỉa thiết mâu thuẫn với điều a α Chứng minh A, B, C, D nằm mặt phẳng – đồng phẳng  Chứng minh hai đường D• B • C B thẳng tạo thành từ bốn • • C• A D A • điểm cắt α • α • song song với 1: Cho bốn điểm A, B, C, D khơng đồng phẳng a)Chứng minh ba số điểm khơng thẳng hàng b)Chứng minh AB chéo với CD ? 2: Cho hai đường thẳng chéo a b.Trên a lấy hai điểm A, B ; b lấy hai điểm C, D a)Chứng minh AC chéo BD ? b)Lấy M nằm đoạn AC; N nằm đoạn BD Đường thẳng MN có song song AB CD khơng ? c)O trung điểm MN Chứng minh A, O, C, N đồng phẳng 3: Cho đường thẳng a cắt hai đường thẳng b c Hỏi ba đường thẳng a, b, c có đồng phẳng khơng ? Tại ? 4: Cho tứ diện ABCD Gọi I ; J trung điểm AD; BC a) Chứng minh AB chéo CD ? b) Chứng minh IB chéo JA ? Vấn đề 4: TÌM GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG D VÀ MẶT PHẲNG α Giả sử phải tìm giao điểm d ∩ α = ? Phương pháp 1: Tìm a ⊂ α Chỉ a ,d nằm mặt phẳng chúng cắt M  d ∩ α = M ( hình vẽ ) Phương pháp 2: Tìm β chứa d thích hợp Giải tốn tìm giao tuyến a α β d • α M α M • β a a d Trong β : a ∩ d = M  d  α = M ( hình vẽ b) 1: Cho tứ diện SABC; M ; N điểm nằm SAB ; SBC MN cắt (ABC) P Xác định giao điểm P 2: Cho tứ diện ABCD ; M trung điểm AB; N P điểm nằm AC; AD cho AN : AC = : ; AP : AD = : Tìm giao điểm : a) MN với (BCD) b) BD với (MNP) c) Gọi Q trung điểm NP.Tìm giao điểm MQ với (BCD) 3: A; B ; C ; D bốn điểm khơng đồng phẳng M; N trung điểm AC; BC Trên đoạn BD lấy P cho BP = 2PD Tìm giao điểm : a) CD với (MNP) b) AD với (MNP) 4: Cho hình chóp SABC ; O điểm ABC ; D E điểm năm SB ; SC.Tìm giao điểm a) DE với (SAO) b) SO với (ADE) 5: Cho tứ diện SABC I ; H trung điểm SA; AB Trên đoạn SC lấy điểm K cho CK = 3KS a)Tìm giao điểm đường thẳng BC với (IHK) ? b)Gọi M trung điểm HI Tìm giao điểm đường thẳng KM với (ABC) ? 6: Cho hình chóp SABCD đáy hình thang ABCD đáy lớn AB I; J; K ba điểm SA; SB; SC Tìm giao điểm IK (SBD); giao điểm (ỊJK) SD; SC 7: Gọi I ; J hai điểm nằm ABC; ABD tứ diện ABCD M điểm tuỳ ý CD Tìm giao điểm IJ mặt phẳng (AMB) 8: Hình chóp SABCD đáy hình bình hành ABCD M trung điểm SD a)Tìm giao điểm I BM (SAC) ? Chứng minh : BI = 2IM ? b)Tìm giao điểm J của SA (BCM) ? Chứng minh J trung điểm SA ? c) N điểm tuỳ ý BC Tìm giao điểm MN với (SAC) ? Vấn đề 5: DIỆN THIẾT DIỆN TẠO BỞI MẶT PHẲNG α VỚI KHỐI ĐA Lần lượt xét giao tuyến  với mặt khối đa diện đồng thời xét giao điểm cạnh đa diện với mặt phẳng  Khi đoạn giao tuyến tìm khép kín thành đa giác ta thiết diện phải tìm Việc chứng minh thiết diện có hình dạng đặc biệt hình bình hành; hình thang ; mặt phẳng α nhờ vào q trình tìm giao tuyến giao điểm Trong phần ta xét hai cách làm : B A C F E D α I Xác định thiết diện cách kéo dài giao tuyến II.Xác định thiết diện cách vẽ giao tuyến phụ 1: 1) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ Gọi M ; N ; P trung điểm AA’ ; AD ; DC Tìm thiết diện tạo mặt phẳng qua M; N; P với hình lập phương ? 2) Cho hình hộp ABCDA’B’C’D’ Gọi M ; N ; P trung điểm DC ; AD ; BB’ Tìm thiết diện tạo mặt phẳng (MNP) với hình hộp giao tuyến (MNP) với mặt phẳng (A’B’C’D’) 2: 1)Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành Gọi E; F; K trung điểm SA ; AB ; BC Xác định thiết diện hình chóp mặt phẳng qua ba điểm E; F ; K 2) Cho hình chóp S.ABCD Gọi A’ ; B’ ; C’ điểm nằm SA ; SB; SC Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (A’B’C’) với hình chóp *5 3: Cho tứ diện ABCD ; điểm I nằm BD ngồi BD cho ID = 3IB; M ; N hai điểm thuộc cạnh AD ; DC cho MA = MD ; ND = NC a)Tìm giao tuyến PQ (IMN) với (ABC) ? b)Xác dịnh thiết diện tạo (IMN) với tứ diện ? c) Chứng minh MN ; PQ ; AC đồng qui ? *5 4: 1)Cho tứ diện ABCD ; điểm I ; J trọng tâm ∆ABC ; ∆DBC ; M trung điểm AD Tìm thiết diện tạo (MJI) tứ diện ? 2) Cho hình chóp S.ABCDE Lấy ba điểm M ; N ; K SA ; BC ; SD Xác định thiết diện tạo mặt phẳng (MNK) với hình chóp 5: Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang với AB đáy Gọi M ; N trung điểm SB ; SC a)Tìm giao tuyến (SAD) (SBC) ? b)Tìm giao điểm SD với mặt phẳng (AMN) ? c)Tìm thiết diện tạo mặt phẳng (AMN) với hình chóp *5 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SC a)Tìm giao điểm I AM với (SBD) ? Chứng minh IA = 2IM b)Tìm giao điểm F SD với (AMB) ? Chứng minh F trung điểm SD ? c)Xác định hình dạng thiết diện tạo (AMB) với hình chóp d)Gọi N điểm cạnh AB Tìm giao điểm MN với (SBD) ? *5.7 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M ; N ; P trung điểm SB ; SD ; OC a) Tìm giao tuyến (MNP) với (SAC) ? b) Dựng thiết diện (MNP) với hình chóp ? c) Tính tỉ số mà (MNP) chia cạnh SA ; BC ; CD ? ĐS: c) : ; : ; : 5.8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành; gọi M trung điểm SB ; G trọng tâm ∆SAD a) Tìm giao điểm I GM với (ABCD) ? b) Chứng minh (CGM) chứa đường thẳng CD ? c) Chứng minh (CGM) qua trung điểm SA ? d) Dựng thiết diện (CGM) với hình chóp ? *5.9 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O ; I ; J trọng tâm ∆SAB ; ∆SAD a) Tìm giao điểm JI với (SAC) ? b) Dựng thiết diện tạo (JIO) với hình chóp 5.10 Cho hình chóp SABCD Gọi I ; M ; N ba điểm SA ; AB ; CD a) Tìm giao tuyến (SAN) (SDM) ? b) Hãy xác định thiết diện tạo (IMN) với hình chóp BÀI TẬP TỔNG HỢP 1: Cho tứ diện ABCD ; I điểm nằm ngồi đoạn BD Mặt phẳng (α) qua I cắt AB; BC; CD; DA M; N; P; Q a) Chứng minh I ; M ; Q thẳng hảng ba điểm I ; N ; P thẳng hàng ? b) Chứng minh MN; AC; PQ đồng qui ? 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành M trung điểm SD; E điểm cạnh BC a) Tìm giao điểm N SC với (AME) ? b) Tìm giao tuyến (AME) với (SAC) ? c) Tìm giao điểm K SA với (MBC) ? Chứng minh K trung điểm SA 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành F trung điểm CD; E điểm cạnh SC cho SE = 2EC Tìm thiết diện tạo (AEF) với hình 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành I trung điểm SD; E điểm cạnh SB cho SE = 3EB a) Tìm giao điểm F CD với mặt phẳng (AIE) ? b) Tìm giao tuyến d (AIE) với (SBC) ? c) Chứng minh BC ; AF ; d đồng qui ? 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD tứ giác lồi F trung điểm SC; E điểm cạnh BC cho BE = 2EC a)Tìm thiết diện tạo (AEF) với hình chóp ? b) Tìm giao điểm SB với (AEF) ? 6: Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O ; M trung điểm SB; G trọng tâm ∆SAD a) Tìm giao điểm I GM với (ABCD) chứng minh I nằm đường thẳng CD IC = 2ID ? b) Tìm giao điểm J (OMG) với AD ? Tính tỉ số c)Tìm giao điểm K (OMG) với SA ? Tính JA JD KA KS HD: b) c) 7: Cho tứ diện ABCD; AD lấy N cho AN = 2ND ; M trung điểm AC ; BC lấy Q cho BQ = BC a) Tìm giao điểm I MN với (BCD) ? Tính IC:ID b) Tìm giao điểm J BD với (MNP) ? Tính JB:JD Cho tứ diện ABCD Gọi I ; J hai điểm cố định nằm AB ; AC ỊJ khơng song song với BC Mặt phẳng α quay quanh IJ cắt cạnh CD ; BD M ; N a) Chứng minh MN ln qua điểm cố định ? b) Tìm tập hợp giao điểm IN JM ? c)Tìm tập hợp giao điểm IM JN ? Cho hình chóp SABC Gọi A’ ; B’ ; C’ điểm di động SA ; SB ; SC thoả : SA’ = SA n +1 ; SB’ = 2n + SB ; SC’ = SC 3n + a) Chứng minh A’B’ qua điểm cố định I A’C’ qua điểm cố định J n thay đổi ? b) Chứng minh (A’B’C’) chừa đường thẳng cố định HD: a) dùng định lí menelaus b) đường IJ BÀI 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Vấn đề 1: Chøng minh ®êng th¼ng song song víi mỈt ph¼ng Phương pháp : Có thể dùng cách sau : - Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng , áp dụng phương pháp chứng minh song song rong hình học phẳng (như tính chất đường trung bình, định lý đảo định lý Ta-lét ) - Chứng minh hai đường thẳng song song song với đường thẳng thứ - Áp dụng định lý giao tuyến Bµi1 Cho tø diƯn SABC cã I, J lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AB vµ BC CMR: víi ∀M ∈ SB (M ≠ B) ta ®Ịu cã IJ // (ACM) Bµi Cho tø diƯn ABCD gäi M vµ N lÇn lỵt lµ träng t©m ∆ ABD vµ ∆ ACD CMR: M N // (BCD) vµ MN // (ABC) Bµi Cho hai h×nh b×nh hµnh ABCD vµ ABEF cã chung c¹nh AB vµ kh«ng ®ång ph¼ng Trªn c¸c c¹nh AD, BE lÇn lỵt lÊy c¸c ®iĨm M, N cho AM = BN = k (0 < k < AD BE 1) Chøng minh r»ng MN // (CDE) Bµi 1: Cho tø diƯn ABCD Gäi I, J lÇn lỵt lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC vµ ABD Chøng minh IJ//CD Bµi 2: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh thang víi c¸c c¹nh ®¸y AB vµ CD (CD > AB) Gäi M, N lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa SA, SB a, Chøng minh MN//CD b, T×m giao ®iĨm P cđa SC vµ mp(AND) KÐo dµi AN vµ DP c¾t t¹i I Chøng minh SI//AB//CD Tø gi¸c SABI lµ h×nh g×? Bµi 3: Cho tø diƯn ABCD Gäi M, N, P, Q, R, S lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AB, CD, BC, AD, AC, BD a, Chøng minh MNPQ lµ h×nh b×nh hµnh b, Chøng minh MN, PQ, RS c¾t t¹i trung ®iĨm mçi ®o¹n Bµi 4: Cho tam gi¸c ABC n»m mp(P) Gäi Bx; Cy lµ nưa ®êng th¼ng song song vµ n»m vỊ cïng phÝa ®èi víi mp(P) M vµ N lµ ®iĨm di ®éng lÇn lỵt trªn x, Cy cho CN = 2BM a, Chøng minh r»ng MN lu«n ®i qua ®iĨm cè ®Þnh I M, N di ®éng b, E lµ ®iĨm thc ®o¹n AM vµ EM = EA Gäi F lµ giao ®iĨm cđa IE vµ AN, Q lµ giao ®iĨm cđa BE vµ CF Chøng minh r»ng AQ//Bx//Cy vµ (QMN) chøa ®êng th¼ng cè ®Þnh M, N di ®éng Bµi 5: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh Gäi M, N, P, Q lµ c¸c ®iĨm trªn BC, SC, SD vµ AD cho MN//SB, NP//CD, MQ//CD a, Chøng minh PQ//SA b, Gäi K lµ giao ®iĨm cđa MN vµ PQ Chøng minh SK//AD//BC c, Qua Q dùng Qx//SC; Qy//SB T×m giao ®iĨm cđa Qx vµ mp(SAB); giao ®iĨm cđa Qy vµ mp(SCD) Bµi 6: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng Trên hai đường thẳng chéo AC BF lấy hai điểm M ; N cho AM : AC = BN : BF = 1: Chứng minh MN //// DE Bµi 7: Cho hai hình bình hành ABCD ABEF khơng nằm mặt phẳng Trên hai đường thẳng chéo AC BF lấy hai điểm M ; N cho AM : AC = BN : BF = Dựng MM' // AB với M' AD; NN' // AB với N' AF Chứng minh : a) MM' NN' //// CD b) M’N//// DF Vấn đề 2: T×m giao tun cđa hai mỈt ph¼ng – ThiÕt diƯn qua mét ®iĨm vµ song song víi ®êng th¼ng cho tríc Bµi 1: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh thang ®¸y lín AB Gäi I; J lµ trung ®iĨm cđa AD vµ BC Gäi G lµ träng t©m cđa tam gi¸c SAB a, T×m giao tun cđa (SAB) vµ (IJG) b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp víi mp(IJG) ThiÕt diƯn lµ h×nh g×? T×m ®iỊu kiƯn ®èi víi AB vµ CD ®Ĩ thiÕt diƯn lµ h×nh b×nh hµnh Bµi 2: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y h×nh h×nh b×nh hµnh Gäi I, J lµ träng t©m c¸c tam gi¸c SAB vµ SAD vµ M lµ trung ®iĨm cđa CD X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp(IJM) Bµi 3: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh thang víi c¸c c¹nh ®¸y AD vµ BC Gäi I; J lµ träng t©m c¸c tam gi¸c SAD vµ SBC a T×m giao tun cđa (ADJ) víi (SBC); b T×m giao tun cđa (BCI) vµ (SAD) c T×m giao tun cđa mỈt ph¼ng (ADJ) vµ (BCI) Bµi 4: Cho tø diƯn ®Ịu ABCD c¹nh a Gäi I vµ J lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AC vµ BC Gäi K lµ mét ®iĨm trªn c¹nh BD víi KB = 2KD a, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa tø diƯn víi mp(IJK) Chøng minh thiÕt diƯn lµ h×nh thang c©n b, TÝnh diƯn tÝch cđa thiÕt diƯn theo a Bµi 5: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh vu«ng t©m O c¹nh a MỈt bªn SAB lµ · tam gi¸c ®Ịu, SAD = 90 Gäi Dx lµ ®êng th¼ng qua D vµ song song víi SC a, T×m giao ®iĨm I cđa Dx vµ mp(SAB) Chøng minh AI//SB b, T×m thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp(AIC) vµ tÝnh diƯn tÝch cđa thiÕt diƯn ®ã Bµi 6: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh; I, J lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa SA vµ AB M lµ ®iĨm bÊt k× trªn nưa ®êng th¼ng Ax chøa C BiƯn ln theo vÞ trÝ cđa M trªn Ax c¸c d¹ng cđa thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp(IJM) Bµi 7: Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh vu«ng c¹nh a; mỈt bªn SAB lµ tam gi¸c ®Ịu; SC = SD = a Gäi H vµ K lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa SA; SB M lµ ®iĨm trªn c¹nh AD MỈt ph¼ng (HKM) c¾t BC t¹i N a,Chøng minh HKMN lµ h×nh thang c©n b, §Ỉt AM = x ( ≤ x ≤ a ) TÝnh diƯn tÝch tø gi¸c HKMN theo a vµ x T×m x ®Ĩ diƯn tÝch nµy nhá nhÊt c, T×m tËp hỵp giao ®iĨm cđa HM vµ KN; HN vµ KM Bµi 8: Cho tø diƯn ®Ịu ABCD c¹nh a, lÊy M trªn c¹nh BA; P trªn c¹nh CD cho AM = DP = a X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa tø diƯn vµ mỈt ph¼ng qua MP vµ song song víi AC TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn ®ã BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Vấn đề 1: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Phương pháp chứng minh đường thẳng d song song với mặt phẳng P Ta chứng minh d khơng nằm (P) song song với đường thẳng a chứa (P) Ghi : Nếu a khơng có sẵn hình ta chọn mặt phẳng (Q) chứa d lấy a giao tuyến (P) (Q) Bµi 1: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh Gäi M, N lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AB vµ CD a, Chøng minh MN // mp ( SBC ) vµ MN // mp ( SAD ) b, Gäi P lµ trung ®iĨm cđa SA Chøng minh SB vµ SC song song víi mp(MNP) c, Gäi G1 vµ G2 lÇn lỵt lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC vµ SBC Chøng minh G1G2//mp(SAC) Bµi 2: Cho tø diƯn ABCD G lµ träng t©m tam gi¸c ABD, M trªn BC cho MB = 2MC Chøng minh MG//mp(ACD) Bµi 3: Cho tø diƯn ABCD Gäi O vµ O’ lÇn lỵt lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp c¸c tam gi¸c ABC vµ ABD Chøng minh: a, §iỊu kiƯn cÇn vµ ®đ ®Ĩ OO’//mp(BCD) lµ BC AB + AC = BD AB + AD b, §iỊu kiƯn cÇn vµ ®đ ®Ĩ OO’//mp(BCD) vµ mp(ACD) lµ BC = BD vµ AC = AD Bµi 4: Cho hai h×nh b×nh hµnh ABCD vµ ABEF kh«ng cïng n»m mét mỈt ph¼ng a, Gäi O vµ O’ lÇn lỵt lµ t©m cđa ABCD vµ ABEF Chøng minh OO’//(ADF); OO’// (BCE) 3 b, Trªn AE vµ BD lÊy M vµ N cho AM = AE; BN = BD Chøng minh MN//mp(CDEF) Bµi 5: Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AD lấy trung điểm M ; BC lấy điểm N bất kì.Gọi (α) mặt phẳng chứa đường thẳng MN song song với CD a)Tìm thiết diện tứ diện ABCD với (α) ? b)Xác định vị trí N BC cho thiết diện hình bình hành ? Bµi 6: Cho hình chóp SABCD với đáy ABCD hình thang có đáy lớn AD Gọi M điểm cạnh AB (α) mặt phẳng qua M song song AD SD a)Mặt phẳng (α) cắt SABCD theo thiết diện hình ? b)Chứng minh SA // (α) Bµi 7: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành Mặt phẳng (α) di động ln ln song song BC đồng thời qua trung điểm C’ SC a)Mặt phẳng (α) cắt cac cạnh SA ; SB ; SD A’ ; B’ ; D’ thiết diện A’B’C’D’ hình ? b)Chứng minh (α) chuyển động ln ln chứa đường thẳng cố định c)Gọi M giao điểm A’C’ B’D’ Chứng minh (α) di động M di động đường thẳng cố định Bµi 8: Cho hình chóp S.ABCD đáy bình hành.Gọi M điểm di động cạnh SC; mặt phẳng (α) chứa AM // BD a)Chứng minh (α) ln ln qua đường thẳng cố định M chuyển động cạnh SC b) (α) cắt SB SD E ; F Trình bày cách dựng E F ? c)Gọi I giao điểm ME CB; J giao điểm MF CD Chứng minh ba điểm I ; J ; A thẳng hàng Bµi9: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®Êy lµ h×nh b×nh hµnh t©m O 1) Tõ mét ®iĨm M di ®éng trªn ®o¹n SA dùng ®êng th¼ng song song víi AD c¾t SD t¹i N, NB c¾t SO t¹i P Chøng minh MP ®i qua mét ®iĨm cè ®Þnh CQ SM 2) Trªn c¹nh CD lÊy ®iĨm Q cho: Chøng minh MQ lu«n sonh song = CD SA víi mét mỈt ph¼ng cè ®Þnh 3) T×m vÞ trÝ cđa M trªn SA ®Ĩ ∆MNQ cã diƯn tÝch lín nhÊt? Bµi10: Cho tø gi¸c ABCD n»m mp (P) Hai ®êng th¼ng AB vµ CD c¾t t¹i E; AD vµ BC c¾t t¹i F Mét ®iĨm S n»m ngoµi mỈt ph¼ng (P) vµ mét mỈt ph¼ng (Q) di ®éng c¾t SA, SB, SC t¹i I, J, K 1) T×m giao ®iĨm K cđa (Q) vµ SD 2) Chøng minh r»ng ®iỊu kiƯn cÇn vµ ®đ ®Ĩ IJ // KL lµ SE // (Q) 3) T×m ®iỊu kiƯn gi÷a SF vµ (Q) ®Ĩ IL // JK Chøng minh r»ng nÕu IJKL lu«n lµ h×nh b×nh hµnh th× (Q) lu«n song song víi mét mỈt ph¼ng cè ®Þnh Bµi11: Cho h×nh vu«ng ABCD cã c¹nh a vµ tam gi¸c vu«ng c©n ADF (AD = AF) n»m hai mỈt ph¼ng kh¸c BiÕt BF = a , trªn c¸c ®o¹n AC, FD lÇn lỵt lÊy hai ®iĨm M, N di ®éng cho: AM = FN = x (0 < x < a ) 1) Chøng minh r»ng MM // (ABF) 2) Chøng minh: AN = MN = BM c) TÝnh ®é dµi MN theo a vµ x X¸c ®Þnh x ®Ĩ MN cã ®é dai nhá nhÊt Vấn đề 2: T×m giao tun cđa hai mỈt ph¼ng – ThiÕt diƯn song song víi ®êng th¼ng cho tríc Bµi 1: Cho h×nh chãp SABCD Gäi M vµ N lµ hai ®iĨm bÊt k× trªn SB vµ CD ( α ) lµ mỈt ph¼ng qua MN vµ song song víi SC a, T×m giao tun cđa mp ( α ) víi c¸c mỈt ph¼ng (SBC); (SCD); SAC) b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp ( α ) Bµi 2: Cho tø diƯn ABCD cã AB = a; CD = b Gäi I, J lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AB vµ CD (P) lµ mỈt ph¼ng qua M trªn IJ vµ song song víi AB vµ CD a, T×m giao tun cđa mp(P) víi mp(IJD) b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp(P) ThiÕt diƯn lµ h×nh g×? Bµi 3: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh Gäi C’ lµ trung ®iĨm cđa SC; M lµ ®iĨm di ®éng trªn SA, (P) lµ mỈt ph¼ng di ®éng lu«n ®i qua C’M vµ song song víi BC a, Chøng minh (P) lu«n chøa ®êng th¼ng cè ®Þnh b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cua hinh chãp c¾t bëi mp(P) X¸c ®Þnh ®iĨm M ®Ĩ thiÕt diƯn lµ h×nh b×nh hµnh c, T×m tËp hỵp giao ®iĨm cđa hai c¹nh ®èi cđa thiÕt diƯn M di chun trªn c¹nh SA Bµi 4: Cho h×nh chãp SABCD ®¸y lµ h×nh thang víi ®¸y lín BC = 2a; AD = a vµ AB = b MỈt bªn SAD lµ ta, gi¸c ®Ịu, (P) lµ mỈt ph¼ng qua ®iĨm M trªn ®o¹n AB vµ song song víi SA vµ BC, pm(P) c¾t CD; SC; SB lÇn lỵt t¹i I; J; K a, Chøng minh MIJK lµ h×nh thang c©n b, TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp(P) theo a vµ x = AM Bµi 5: Cho h×nh chãp SABCD Gäi M vµ N lµ hai ®iĨm trªn AB vµ CD vµ (P) lµ mỈt ph¼ng qua MN vµ song song víi SA a, T×m c¸c giao tun cđa (P) víi (SAB) vµ (SAC) b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp(P) c, T×m ®iỊu kiƯn cđa M; N ®Ĩ thiÕt diƯn lµ h×nh thang Bµi 6: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m O; M lµ ®iĨm di ®éng trªn SC vµ (P) lµ mỈt ph¼ng qua AM vµ song song víi BD a, Chøng minh (P) lu«n chøa mét ®êng th¼ng cè ®Þnh b, T×m c¸c giao ®iĨm H vµ K cđa (P) víi SB vµ SD Chøng minh SB SD SC lµ mét + − SH SK SM h»ng sè c, ThiÕt diƯn cđa h×nh chãp víi mp(P) cã thĨ lµ h×nh thang ®ỵc hay kh«ng Bµi 7: Cho tø diƯn ®Ịu ABCD c¹nh a; M vµ P lµ hai ®iỴm di ®éng trªn c¸c c¹nh AD vµ BC cho AM=CP=x (0 < x < a) Mét mỈt ph¼ng qua MP vµ song song víi CD c¾t tø diƯn theo mét thiÕt diƯn a, Chøng minh thiÕt diƯn th«ng thêng lµ h×nh thang c©n b, TÝnh x ®Ĩ diƯn tÝch thiÕt diƯn nhá nhÊt Bµi Cho h×nh chãp S.ABCD gäi M, N lµ hai ®iĨm bÊt k× trªn SB vµ CD ( α) lµ mỈt ph¼ng qua MN vµ song song víi SC a T×m giao tun cđa (α) víi c¸c mỈt ph¼ng (SBC), (SCD), vµ (SAC) b X¸c ®inh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp t¹o bëi mỈt ph¼ng (α) Bµi Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh t©m O M lµ trung ®iĨm cđa SB X¸c ®ÞnhthiÕt diƯn cđa h×nh chãp SABCD t¹o bëi mỈt ph¼ng (α) biÕt a (α) qua M vµ song song SO vµ AD b (α) qua O vµ song song AM vµ SC Bµi 10 Cho h×nh chãp S.ABCD; G lµ träng t©m ∆ ABC; M, N, P, Q, R, H lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa SA, SC, CB, BA, QN, AG a Chøng minh r»ng: S, R, G th¼ng hµng vµ SH = 2MH = 4RG b G1 lµ träng t©m ∆ SBC Chøng minh r»ng GG1 // (SAB); GG1 // (SAC) c mỈt ph¼ng (α) qua GG1 vµ song song BC X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp t¹o bëi mỈt ph¼ng (α) Bµi 11 Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thang ®¸y lín AD Mét ®iĨm M bÊt k× n»m trªn AB, (α) lµ mỈt ph¼ng qua M vµ song song AD vµ SB a X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp t¹o bëi mỈt ph¼ng (α) ThiÕt diƯn lµ h×nh g×? b Chøng minh SC song song (α) Bµi 12 Cho tø diƯn ABCD ®Ịu c¹nh a I lµ trung ®iĨm cđa AC , J ∈ AD cho AJ = 2JD M lµ mét ®iĨm di ®éng ∆ BCD cho mỈt ph¼ng (MIJ) lu«n song song AB a T×m tËp hỵp ®iĨm M b TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn cđa tø diƯn t¹o bëi mỈt ph¼ng (MIJ) Bµi13: Cho tø diƯn ABCD ®ã AB vu«ng gãc víi CD vµ AB = AC = CD = a; M lµ mét ®iĨm trªn c¹nh AC víi AM = x (0 < x < a); (α) lµ mỈt ph¼ng qua M song song víi AB vµ CD 1) X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa tø diƯn t¹o bëi mỈt ph¼ng (α) ThiÕt diƯn lµ h×nh g×? 2) TÝnh diƯn tÝchthiÕt diƯn theo a vµ x X¸c ®Þnh x ®Ĩ diƯn tÝch thiÕt diƯn nµy lín nhÊt S = x(a - x) 0 ) T×m x ®Ĩ mp ( α ) c¾t h×nh chãp BC c, BiƯn ln theo x c¸c d¹ng cđa thiÕt diƯn cđa h×nh chãp víi mp ( α ) d, Gäi H(x) lµ diƯn tÝch cđa thiÕt diƯn nãi ë c©u c TÝnh H(x) theo s vµ x Bµi 12: Cho h×nh chãp SABCD cã E lµ giao ®iĨm cđa AD vµ BC Mp(P) song song víi SE c¾t SA, SB, SC, SD theo thø tù t¹i J, K, H, I a, Tø gi¸c IJKH lµ h×nh g×? b, T×m ®iỊu kiƯn cÇn vµ ®đ ®Ĩ tø gi¸c IJKH lµ h×nh b×nh hµnh Bµi 13: Cho tø diƯn ABCD cã AD = a; BC = b; AB = c LÊy M trªn AB, mỈt ph¼ng qua M song song víi AD vµ BC c¾t c¸c c¹nh AC, CD, BD t¹i N, P, Q a, Tø gi¸c MNPQ lµ h×nh g×? b, §Ỉt AM = x TÝnh c¸c c¹nh cđa tø gi¸c MNPQ c, Mn tø gi¸c MNPQ lµ h×nh ch÷ nhËt ph¶i cã thªm ®iỊu kiƯn g×? T×m diƯn tÝch tø gi¸c trêng hỵp nµy T×m vÞ trÝ cđa M trªn AB ®Ĩ tø gi¸c cã diƯn tÝch lín nhÊt Bµi 14: Cho tø diƯn ®Ịu ABCD c¹nh a, Mp(P) qua A song song víi BC, c¾t BD vµ CD t¹i M, N, ®Ỉt BM = x TÝnh AM + MN + AN Bµi15: Cho h×nh chãp S.ABCD cã ABCD lµ h×nh b×nh hµnh víi AB = 2a, AD = a SAB lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i A Gäi M lµ mét ®iĨm trªn c¹nh AD víi AM = x (0 < x < a) (α) lµ mỈt ph¼ng qua M vµ song song víi (SAB) 1) (α) c¾t h×nh chãp theo thiÕt diƯn lµ h×nh g×? 2) TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn trªn theo a vµ x S = a2 − x2 Bµi16: Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD.A'B'C'D'; E, F, G lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AA', BB', CC' Chøng minh r»ng: 1) (EFG) // (ABCD) 2) X¸c ®Þnh giao tun cđa hai mỈt ph¼ng (ABD) vµ (C'D'D) 3) T×m giao ®iĨm cđa A'C vµ (C'DB) 4) Gäi O vµ O' lÇn lỵt lµ giao ®iĨm cđa hai ®êng chÐo ®Êy ABCD vµ A'B'C'D' Chøng minh r»ng AO' vµ C'O chia A'C thµnh ba ®¹on b»ng ( ) BÀI 5: PhÐp chiÕu song song – H×nh l¨ng trơ – H×nh hép Bµi 1: Cho l¨ng trơ tam gi¸c ABCA’B’C’ Mp qua ®êng chÐo A’C vµ song song víi ®êng chÐo BC’ chia AB theo tØ sè nµo? Bµi 2: Cho l¨ng trơ ABCA’B’C’ LÊy M ∈ A ' B ', N ∈ AB, P ∈ CC ' tho¶ m·n: AM ' BN C ' P = = = MB ' NA PC Mp(MPN) c¾t B’C’ t¹i Q T×m C'Q B'C' Bµi 3: Cho l¨ng trơ ABCA’B’C’ Gäi H lµ trung ®iĨm cđa A’B’ a, Chøng minh C’B // mp(AHC’) b, T×m giao ®iĨm cđa AC’ vµ mp(BCH) c, Mp(P) qua trung ®iĨm cđa CC’ vµ song song víi AH vµ CB’ X¸c ®Þnh thiÕt diƯn vµ tØ sè mµ c¸c ®Ønh cđa thiÕt diƯn chia c¹nh t¬ng øng cđa l¨ng trơ Bµi 4: Cho l¨ng trơ ABCA’B’C’ a, T×m giao tun cđa (AB’C’) vµ (BA’C’) b, Gäi M vµ N lµ ®iĨm bÊt k× trªn AA’ vµ BC T×m giao ®iĨm cđa B’C’ víi mp(AA’N), cđa MN víi (AB’C’) Bµi 5: Cho l¨ng trơ ABCA’B’C’ Gäi G vµ G’ lÇn lỵt lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC vµ A’B’C’ Chøng minh r»ng c¸c mỈt ph¼ng (ABC’), (BCA’) vµ (CAB’) cã ®iĨm chung O trªn GG’ TÝnh tØ sè OG : OG’ Bµi 6: Cho h×nh hép ABCDA’B’C’D’ a, Chøng minh mp(BDA’) // mp(B’D’C) b, Chøng minh ®êng chÐo AC’ qua träng t©m G1; G2 cđa c¸c tam gi¸c BDA’ vµ B’D’C Chøng minh G1; G2 chia AC’ lµm phÇn b»ng Bµi 7: Chøng minh r»ng h×nh hép, tỉng c¸c b×nh ph¬ng cđa ®êng chÐo b»ng tỉng b×nh ph¬ng tÊt c¶ c¸c c¹nh Bµi 8: Cho l¨ng trơ tam gi¸c ABCA’B’C’ a, Gäi I, K, G lÇn lỵt lµ träng t©m c¸c tam gi¸c ABC; A’B’C’ vµ ACC’ Chøng minh (IGK) // (BB’C’C) vµ (A’KG) // (AIB’) b, Gäi M, N lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa BB’ vµ CC’ H·y dùng ®êng th¼ng qua träng t©m tam gi¸c ABC c¾t AB’ vµ MN Bµi 9: Cho l¨ng trơ ABCA’B’C’ Gäi M, N lµ trung ®iĨm cđa BC vµ CC’, P ®èi xøng víi C qua A a, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa l¨ng trơ víi mp(A’MN) b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa l¨ng trơ víi mp(MNP) Bµi 10: Cho h×nh lËp ph¬ng ABCDA’B’C’D’ c¹nh a Gäi M, N, P lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AB, B’C’; DD’ a, Chøng minh mp(MNP) // mp(A’B’D) vµ (BDC’) b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh lËp ph¬ng víi mp(MNP)? ThiÕt diƯn lµ h×nh g×? TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn ®ã Bµi 11: Cho h×nh l¨ng trơ ABCA’B’C’ ®¸y lµ tam gi¸c ®Ịu c¹nh a, ABB’A’, ACC’A’ lµ c¸c h×nh vu«ng Gäi I, J lµ t©m cđa ABB’A’, ACC’A’ vµ O lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp tam gi¸c ABC a, Chøng minh IJ // mp(ABC) b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa l¨ng trơ víi mp(IJO) Chøng minh thiÕt diƯn lµ h×nh thang c©n ƠN TẬP TỔNG HỢP Bµi1: Cho h×nh chãp S.ABCD, ®¸y ADBC lµ h×nh thoi c¹nh a; SA = SB = a; SC = SD = a Gäi E, F lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa c¸c c¹nh SA, SB; M lµ mét ®iĨm trªn c¹nh BC 1) X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp S.ABCD víi mỈt ph¼ng (MEF) ThiÕt diƯn lµ h×nh g×? 2) §Ỉt BM = x (0 ≤ x ≤ a) TÝnh FM vµ diƯn tÝch thiÕt diƯn trªn theo a vµ x 3a KQ: S = 16 x + 8ax + 3a 16 Bµi2: Cho tø diƯn ABCD ®ã AB vu«ng gãc víi CD vµ AB = AC = CD = a; M lµ mét ®iĨm trªn c¹nh AC víi AM = x (0 < x < a); (α) lµ mỈt ph¼ng qua M song song víi AB vµ CD 1) X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa tø diƯn t¹o bëi mỈt ph¼ng (α) ThiÕt diƯn lµ h×nh g×? 2) TÝnh diƯn tÝchthiÕt diƯn theo a vµ x X¸c ®Þnh x ®Ĩ diƯn tÝch thiÕt diƯn nµy lín a nhÊt S = x(a - x) 0[...]... = 3IB T×m thiÕt diƯn cđa h×nh hép ABCD.A"B'C'D' t¹o bíi mỈt ph¼ng (α) qua IQ vµ // AC x= ( ) BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Vấn Đề 1: MẶT PHẲNG SONG SONG Phương pháp Chứng minh hai mặt phẳng song song Phương pháp : * Chứng minh mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt nhau lần lượt song song với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng kia Bµi 1: Cho h×nh chíp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh t©m... CD ( α) lµ mỈt ph¼ng qua MN vµ song song víi SC a T×m giao tun cđa (α) víi c¸c mỈt ph¼ng (SBC), (SCD), vµ (SAC) b X¸c ®inh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp t¹o bëi mỈt ph¼ng (α) Bµi 9 Cho h×nh chãp S.ABCD ®¸y ABCD lµ h×nh b×nh hµnh t©m O M lµ trung ®iĨm cđa SB X¸c ®ÞnhthiÕt diƯn cđa h×nh chãp SABCD t¹o bëi mỈt ph¼ng (α) biÕt a (α) qua M vµ song song SO vµ AD b (α) qua O vµ song song AM vµ SC Bµi 10 Cho h×nh... (SAB); GG1 // (SAC) c mỈt ph¼ng (α) qua GG1 vµ song song BC X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp t¹o bëi mỈt ph¼ng (α) Bµi 11 Cho h×nh chãp S.ABCD cã ®¸y ABCD lµ h×nh thang ®¸y lín AD Mét ®iĨm M bÊt k× n»m trªn AB, (α) lµ mỈt ph¼ng qua M vµ song song AD vµ SB a X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp t¹o bëi mỈt ph¼ng (α) ThiÕt diƯn lµ h×nh g×? b Chøng minh SC song song (α) Bµi 12 Cho tø diƯn ABCD ®Ịu c¹nh a I... diƯn song song víi ®êng th¼ng cho tríc Bµi 1: Cho h×nh chãp SABCD Gäi M vµ N lµ hai ®iĨm bÊt k× trªn SB vµ CD ( α ) lµ mỈt ph¼ng qua MN vµ song song víi SC a, T×m giao tun cđa mp ( α ) víi c¸c mỈt ph¼ng (SBC); (SCD); SAC) b, X¸c ®Þnh thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp ( α ) Bµi 2: Cho tø diƯn ABCD cã AB = a; CD = b Gäi I, J lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AB vµ CD (P) lµ mỈt ph¼ng qua M trªn IJ vµ song song... h×nh b×nh hµnh lµ mp(P) // (ABCD) Bµi 8: Cho h×nh chãp SABC, mp(P) di ®éng song song víi mp(ABC) c¾t SA; SB; SC lÇn lỵt t¹i A’; B’; C’ T×m tËp hỵp ®iĨm chung cđa 3 mỈt ph¼ng (A’BC), (B’AC), C’AB) Bµi 9: Cho tø diƯn ABCD Gäi E; F; J theo thø tù lµ trung ®iĨm cđa BC; BD; AD Mp ( α ) qua EF vµ song song víi BJ, mp ( β ) qua BJ vµ song song víi CD a, ThiÕt diƯn do mp ( α ) c¾t tø diƯn lµ h×nh g×? b, X¸c ®Þnh... mét ®iĨm ∈ AB, (α) lµ mỈt ph¼ng qua M song song víi (SAD) c¾t CD, SC, SB lÇn lỵt t¹i N, P, Q 1) Chøng minh MNPQ lµ h×nh thang c©n 2) Gäi I lµ giao ®iĨm cđa MQ vµ NP T×m tËp hỵp c¸c ®iĨm I khi M ch¹y tõ A ®Õn B 3) §Ỉt AM = x TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn MNPQ theo a vµ x S = 3 a2 − x2 4 ( ) VẤN ĐỀ 2: T×m giao tun cđa hai mỈt ph¼ng – ThiÕt diƯn c¾t bëi mỈt ph¼ng song song víi mỈt ph¼ng cho tríc Bµi 1: Cho... lÊy ®iĨm S ë ngoµi (α) sao cho SA = a vµ SA ⊥ BO; (α) lµ mỈt ph¼ng chøa BO vµ song song víi SA 1) (α) c¾t tø diƯn SABC theo thiÕt diƯn lµ h×nh g×? 2 2) TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn trªn theo a S= a 3 8 Bµi15: Cho tø diƯn ABCD víi AB ⊥ CD, ∆BCD vu«ng t¹i C cã = 300 M lµ ®iĨm di ®éng trªn c¹nh BD, (α) lµ mỈt ph¼ng qua M song song víi AB vµ CD 1) (α) c¾t tø diƯn ABCD theo mét thiÕt diƯn lµ h×nh g×? 2) Gi¶... Gäi I, K, L lÇn lỵt lµ trung ®iĨm cđa AB, AI, SB (α) lµ mỈt ph¼ng qua KL vµ song song víi CI TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn cđa (α) víi 2 tø diƯn S= a 5 8 Bµi17: Cho tø diƯn ®Ịu ABCD Gäi G 1, G2 lÇn lỵt lµ trong t©m cđa ∆ABD vµ ∆BCD; I lµ trung ®iĨm cđa AC 1) CM: G1G2 // (ABC); G1G2 // (ACD) 2) mỈt ph¼ng (α) ®i qua G1, G2 vµ song song víi BC T×m thiÕt diƯn cđa (α) vµ tø diƯn ABCD ThiÕt diƯn lµ h×nh g× ?... SAD lµ ta, gi¸c ®Ịu, (P) lµ mỈt ph¼ng qua ®iĨm M trªn ®o¹n AB vµ song song víi SA vµ BC, pm(P) c¾t CD; SC; SB lÇn lỵt t¹i I; J; K a, Chøng minh MIJK lµ h×nh thang c©n b, TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn cđa h×nh chãp c¾t bëi mp(P) theo a vµ x = AM Bµi 5: Cho h×nh chãp SABCD Gäi M vµ N lµ hai ®iĨm trªn AB vµ CD vµ (P) lµ mỈt ph¼ng qua MN vµ song song víi SA a, T×m c¸c giao tun cđa (P) víi (SAB) vµ (SAC) b, X¸c... Gäi I vµ J lµ hai ®iĨm di ®éng lÇn lỵt trªn AD vµ BC sao cho IA JB Chøng minh IJ lu«n song song víi mét mỈt ph¼ng cè ®Þnh = ID JC Bµi 6: Cho h×nh chãp SABCD cã ®¸y lµ h×nh b×nh hµnh víi AB = a; AD = 2a, mỈt bªn SAB lµ tam gi¸c vu«ng c©n t¹i A Trªn AD lÊy M, ®Ỉt AM = x (0 < x < 2a) MỈt ph¼ng ( α ) qua M vµ song song víi mp(SAB) c¾t BC; SC; SD t¹i N, P, Q a, Chøng minh MNPQ lµ h×nh thang vu«ng b, Gäi ... qua MP vµ song song víi AC TÝnh diƯn tÝch thiÕt diƯn ®ã BÀI 3: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Vấn đề 1: ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Phương pháp chứng minh đường thẳng d song song với... BÀI 4: HAI MẶT PHẲNG SONG SONG Vấn Đề 1: MẶT PHẲNG SONG SONG Phương pháp Chứng minh hai mặt phẳng song song Phương pháp : * Chứng minh mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt song song với hai đường... THẲNG SONG SONG Vấn đề 1: Chøng minh ®êng th¼ng song song víi mỈt ph¼ng Phương pháp : Có thể dùng cách sau : - Chứng minh hai đường thẳng đồng phẳng , áp dụng phương pháp chứng minh song song