Một số dạng toán về số phức ôn thi tốt nghiệp THPT có lời giải và đáp án

MỘT SỐ DẠNG TỐN VỀ SỐ PHỨC ƠN THI TỐT NGHIỆP THPT QG A KIẾN THỨC CƠ BẢN Một số phức biểu thức có dạng a + bi, a, b số thực số i thoả mãn i2 = -1 Ký hiệu số phức z viết z = a + bi i gọi đơn vị ảo a gọi phần thực Ký hiệu Re(z) = a b gọi phần ảo số phức z = a + bi , ký hiệu Im(z) = b Tập hợp số phức ký hiệu C *) Một số lưu ý: - Mỗi số thực a dương xem số phức với phần ảo b = - Số phức z = a + bi có a = gọi số ảo số ảo - Số vừa số thực vừa số ảo Hai số phức Cho z = a + bi z’ = a’ + b’i a = a '  z = z’ ⇔ b = b ' Biểu diễn hình học số phức Mỗi số phức biểu diễn điểm M(a;b) mặt phẳng toạ độ Oxy Ngược lại, điểm M(a;b) biểu diễn số phức z = a + bi Phép cộng phép trừ số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa:  z + z ' = (a + a ') + (b + b ')i   z − z ' = (a − a ') + (b − b ')i Phép nhân số phức Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Ta định nghĩa: zz ' = aa '− bb '+ ( ab '− a ' b)i Số phức liên hợp Cho số phức z = a + bi Số phức z = a – bi gọi số phức liên hợp với số phức Vậy z = a + bi = a - bi Chú ý: 10) z = z ⇒ z z gọi hai số phức liên hợp với 20) z z = a2 + b2 *) Tính chất số phức liên hợp: (1): z = z (2): z + z ' = z + z ' (3): z.z ' = z.z ' Trang (4): z z = a + b (z = a + bi ) Môđun số phức 2 Cho số phức z = a + bi Ta ký hiệu âm xác định sau: z môđun số phư z, số thực khơng - Nếu M(a;b) biểu diễn số phc z = a + bi, z z uuuuu v OM = 2 = a +b - Nếu z = a + bi, = z.z = a + b Phép chia số phức khác Cho số phức z = a + bi ≠ (tức a2+b2 > ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 số phức z ≠ số 2 1 z= z a +b z z-1= z' Thương z phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ xác định sau: z' z '.z = z.z −1 = z z Với phép tính cộng, trừ, nhân chia số phức nói có đầy đủ tính chất giao hốn, phân phối, kết hợp phép cộng, trừ, nhân, chia số thực thơng thường Phương trình bậc hai với hệ số thực 2 * Cho phương trình bậc hai : ax + bx + c = , có ∆ = b − 4ac + Nếu ∆ > 0, PT có nghiệm thực phân biệt x1,2 = −b ± ∆ 2a −b + Nếu ∆ = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 = 2a −b ± i | ∆ | x1,2 = 2a + Nếu ∆ < 0, PT có nghiệm phức * Cho phương trình bậc hai : ax + bx + c = Khi b chẵn có b’ = b/2 ; ∆ ' =b’2 – ac + Nếu ∆ ' > 0, PT có nghiệm thực phân biệt x1,2 = −b '± ∆ ' a −b ' + Nếu ∆ ' = 0, PT có nghiệm kép x1 = x2 = a + Nếu ∆ ' < 0, PT có nghiệm phức 10 Một số kết cần nhớ 1) i0 = ⇒ i4n = 3) i2 = - ⇒ i4n + = - 5) (1 – i)2 = - 2i x1,2 = −b '± i | ∆ ' | a 2) i1 = i ⇒ i4n + = i 4) i3 = - i ⇒ i4n + = - i 6) (1 + i)2 = 2i Trang B MỘT SỐ DẠNG TỐN THƯỜNG GẶP DẠNG I TÍNH TỐN CÁC YẾU TỐ CỦA SỐ PHỨC I PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng định nghĩa, phép tốn để tính tốn yếu tố có liên quan II CÁC VÍ DỤ Ví dụ (Mã đề 101 - QG – 2017) Cho hai số phức z1 = − 7i z2 = + 3i Tìm số phức z = z1 + z2 A z = − 4i B z = + 5i C z = −2 + 5i Hướng dẫn giải D z = − 10i z = z + z2 = ( − 7i ) + ( + 3i ) = − 4i Ta có Đáp án: A Ví dụ (Mã đề 102 - QG – 2017) Cho số phức z = − i + i Tìm phần thực a phần ảo b z A a = 0, b = B a = −2, b = C a = 1, b = Hướng dẫn giải Ta có z = − i + i = − i − i = − 2i ⇒ a = 1, b = −2 Đáp án: D D a = 1, b = −2 Ví dụ (Mã đề 104 - QG – 2017) Tìm số phức z thỏa mãn z + − 3i = − 2i A z = − 5i C z = − 5i Hướng dẫn giải Ta có z + − 3i = − 2i ⇔ z = − 2i − + 3i = + i Đáp án: B z Ví dụ (Mã đề 104 - QG – 2017) Cho số phức z = + i Tính A z =3 B z = + i B z =5 z =2 C Hướng dẫn giải D z = − i D z = z = 22 + 12 = Ta có Đáp án: D Ví dụ (QG-2019) Số phức liên hợp số phức − 4i A −3 − 4i B −3 + 4i C + 4i Hướng dẫn giải Đáp án: C III BÀI TẬP Câu (Mã đề 101 - QG – 2017) Số phức số ảo? Trang D −4 + 3i C z = −2 D z = + i Câu (Mã đề 102 - QG – 2017) Cho hai số phức z1 = − 3i z2 = + 3i Tìm số phức z = z1 − z2 A z = 11 B z = + 6i C z = −1 − 10i D z = −3 − 6i Câu (Mã đề 103 - QG – 2017) Cho hai số phức z1 = − 3i z2 = −2 − 5i Tìm phần ảo b A z = −2 + 3i B z = 3i số phức z = z1 − z2 A b = −2 B b = C b = D b = −3 Câu (Mã đề 103 - QG – 2017) Cho số phức z = − 3i Tìm phần thực a z A a = B a = C a = −3 D a = −2 Câu (QG – 2018) Số phức −3 + 7i có phần ảo A B −7 C −3 D Câu (QG – 2018) Số phức có phần thực phần ảo A + 4i B − 3i C − 4i Câu (QG – 2018) Số phức + 6i có phần thực A – B C – Câu (QG – 2018) Số phức có phần thực phần ảo A −1 − 3i B − 3i C −1 + 3i Câu (QG-2019) Số phức liên hợp số phức − 3i A −5 + 3i B −3 + 5i C −5 − 3i D + 3i D D + 3i D + 3i Câu 10 (QG-2019) Số phức liên hợp số phức − 2i A −3 + 2i B + 2i C −3 − 2i D −2 + 3i Câu 11 (QG-2019) Số phức liên hợp số phức − 2i A −1 − 2i B + 2i C −2 + i D −1 + 2i Câu 12 Cho số phức z = −6 − 3i Tìm phần thực phần ảo số phức z A Phần thực −6 phần ảo −3i B Phần thực −6 phần ảo C Phần thực phần ảo D Phần thực phần ảo 3i Câu 13 Cho số phức z z’ Các phát biểu sau sai ? z.z = z A z + z ' = z + z ' B C z = z Câu 14 Cho số phức z = 3- 4i Phần thực phần ảo số phức z A Phần thực phần ảo - 4i; B Phần thực phần ảo 4; C Phần thực phần ảo 4i; D Phần thực phần ảo -4 Trang z z.z = D z ' z '.z Câu 15 Tìm phần thực phần ảo số phức z = i2020 A 2020 B C D 2020 z = ( − i ) + ( + 3i ) − ( + i ) Câu 16 Tìm phần thực, phần ảo A phần thực 1, phần ảo B phần thực 11, phần ảo C phần thực 1, phần ảo D phần thực 11, phần ảo z= 1+ i 1− i + − i + i Trong kết luận sau kết luận đúng? Câu 17 Cho số phức A z có phần thực phần ảo ≠ B z số ảo C Mô đun z D z có phần thực phần ảo Câu 18 Tính z + z z.z biết z = + 3i A 13 B C Câu 19 Cho số phức z = + 3i Tìm số phức w = 2iz - z A w = −8 + 7i B w = −8 + i C w = + 7i Câu 20 Cho số phức A 17 ; z1 = + 3i z2 = − 4i Môđun số phức z1 + z2 B 15 ; C 4; Câu 21 Số phức nghịch đảo số phức z = - 3i là: 3 + i + i −1 −1 −1 A z = 4 B z = 2 C z = + 3i D 13 D w = −8 − 7i D −1 D z = -1 + 3i ( ) Câu 22 Mô đun số phức A B C D Câu 23 Cho số phức z = a + bi (với a, b số thực) Xét phát biểu sau (1) z² – z ² số thực (2) z² + z ² số ảo (3) z z số thực (4) |z| – z Số câu phát biểu A B C D 20 Câu 24 Giá trị A = (1 + i) A 1024 B 220 C –1024 D 1024 – 1024i Câu 25 Cho số phức z thỏa mãn: z (1 + 2i) = + 4i Tìm mô đun số phức ω = z + 2i z = + 2i − i + A B 17 C 24 i z = 2−i + + i Phần ảo số phức z2 Câu 26 Cho số phức z biết 5 i i A B - C z= Câu 27 Cho số phức z thỏa mãn: A B ( 1− i ) 1− i z D − Tìm mơđun z + iz C + i ) ( − i ) z = + i + ( + 2i ) z thỏa mãn ( Câu 28 Phần thực số phức D Trang D A −6 B −3 C D −1 DẠNG II PHƯƠNG TRÌNH TRÊN TẬP SỐ PHỨC I PHƯƠNG PHÁP : Sử dụng phương pháp giải phương trình mẫu mực phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai….với ẩn số phức z II CÁC VÍ DỤ Ví dụ (Mã đề 101 - QG – 2017) Phương trình nhận hai số phức + 2i − 2i nghiệm ? A z + z + = 2 B z − z − = C z − z + = Hướng dẫn giải ) ( ) ; ( Cách 1: Ta có ( nghiệm phương trình z − z + = Đáp án: C Cách 2: Thử đáp án MTBT + 2i + − 2i = ) ( Ví dụ (Mã đề 102 - QG – 2017) Kí hiệu z − z + = Tính P = z1 + z A P= 3 B P= 3 C Hướng dẫn giải z1,2 = 1± i 11 Ví dụ Tìm số phức sau: a) (1 + z)(2 + 3i) = + i b) Suy + 2i − 2i z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình P= Phương trình z − z + = có hai nghiệm P = z1 + z2 = Khi Đáp án: B ) + 2i + − 2i = 2 D z + z − = +i − + 3i z= 1−i +i Giải a) Ta có (1 + z)(2 + 3i) = + i 1+ i + 3i 5−i ⇔ 1+ z =   13 ⇔ z = − − i     13 13 ⇔ 1+ z = b) Ta có Trang D P= 14 2+i −1 + 3i (−1 + 3i)(1 − i) z= ⇔z=   1− i 2+i (2 + i ) 2 + 4i (2 + 4i )(3 − 4i ) ⇔z= ⇔z= + 4i 25 22 ⇔z= + i 25 25 Ví dụ Giải phương trình sau trường số phức: a) z4 + 2z2 -3 = b) z4 – 4z3 +7z2 – 16z + 12 = (1) Giải z2 =  z = ±1 ⇔ ⇔  z = ±i  z = −3 a) Ta có z4 + 2z2 -3 =  z = ±1  Vậy phương trình có nghiệm  z = ±i b) Do tổng tất hệ số phương trình (1) nên (1) có nghiệm z = (1) ⇔ (z – 1)(z3 – 3z2 + 4z – 12) = ⇔ (z – 1) (z – 3) (z2 + 4) = z = z = z =   z = ⇔   z = 2i  z + =   z = −2i ⇔ Vậy phương trình cho có nghiệm: III BÀI TẬP Câu (Mã đề 103 - QG – 2017) Kí hiệu 1 P= + z1 z2 z − z + = Tính A P= Câu (QG-2019)Gọi B z1 , z2 P= 12 z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình C P=− hai nghiệm phức phương trình D P = z −6 z +10 = Giá trị z12 + z22 A 16 B 56 C 20 D 26 Câu (QG-2019)Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − z + 14 = Giá trị 2 z1 + z2 A 36 B C 28 Trang D 18 Câu (QG-2019)Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z − z +5 = Gái trị z12 + z22 A B Câu (QG-2019)Gọi z1 , z2 C 16 hai nghiệm phức phương trình D 26 z −4 z + = Giá trị z12 + z22 A 10 B C 16 D Câu Tìm mô đun số phức z thoả 3iz + (3 − i)(1 + i) = A z= 2 B z = 2 C z = 3 D Câu Cho số phức z thỏa mãn (1 + 2i)z – – 5i = Tìm số phức w = A + 2i B + 6i C –2 + 6i 2i ( + 3i ) z = z − Câu Giải phương trình A z=− + i 10 10 B Câu Giải phương trình A z=− + i 5 B z=− − i 10 10 C ( − i) z − = z= − i 5 C 2+i −1 + 3i z= − i 2+i Câu 10 Giải phương trình z = − + i z = − i 5 5 A B C z= + i 10 10 z= + i 10 10 z= 22 + i 25 25 2z −1 = 1+ i Câu 11 Tìm nghiệm phương trình z + i 1 z = + i z = + i z = + i 5 5 2 A B C z+ D D D z= 3 10 z D –6 + z= − i 10 10 z= − i 13 13 z= − i 13 13 1 z=− + i 2 D Câu 12 Tìm nghiệm phương trình z + z + = A z1 = -1 + 2i; z2 = -1- 2i B z1 = -1 − 2i; z2 = -1- 2i C z1 = + 2i; z2 = -1 + 2i D z1 = -1 − 2i; z2 = -1 + 2i Câu 13 Tìm số thực b,c để phương trình (với ẩn z): z + bz + c = nhận z = + i làm nghiệm A b = −2, c = −2 B b = −2, c = C b = −1, c = D b = −2, c = 2 Câu 14 Gọi z1 z2 nghiệm phương trình: z + z + 10 = Tính giá trị biểu thức A 15 A = z1 + z2 B 17 C 20 Trang D 10 Câu 15 Gọi A, B hai điểm biểu diễn cho số phức nghiệm phương trình z + z + = Tính độ dài đoạn thẳng AB A 2 B C D z+ z +i Câu 16 Cho số phức z có phần thực dương thỏa mãn z − z + 13 = Tính C A 13 B 17 D DẠNG III TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN I PHƯƠNG PHÁP: Để giải tốn tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước, ta thực theo bước sau: z = a + bi ( a, b ∈ ¡ ) B1: Đặt B2: Thay vào đk hệ phương trình hai ẩn a,b B3: Giải tìm a,b Chú ý: z = a + bi ( a, b ∈ ¡  Tìm số phức ) thật tìm phần thực a phần ảo b a = z = a + bi = ⇔  b = ,   z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i  z = a + bi ( a, b ∈ ¡ a = a2 z1 = z2 ⇔  b1 = b2 Khi đó: ) Khi z số ảo (thuần ảo) a = , z số thực b = z − 3i = Ví dụ (Mã đề 101 - QG – 2017) Có số phức z thỏa mãn số ảo ? A B Vô số C D Hướng dẫn giải Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ¡ Ta có ) Điều kiện z − 3i = ⇔ a + ( b − 3) i = z ≠4 ⇔ a + ( b − 3) = 25 ⇔ a + b − 6b − 16 = ( 1) Lại có a ( a − ) + b2 z a + bi 4b = = − i z − ( a − ) + bi ( a − ) + b ( a − ) + b z Vì z − số ảo nên Từ (1) + (2) suy a ( a − 4) + b ( a − 4) +b 2 4a − 6b = 16 ⇒ a = + = ⇔ a + b − 4a = ( ) b Thay vào (1), ta được: Trang z z − b =    24  a + b ÷ + b − 6b − 16 = ⇔  b=−   13  b = ⇒ a = ⇒ z = 4( loaïi ) Với b= − 24 16 16 24 ⇒ a= ⇒ z= − i ( thoû a maõ n) 13 13 13 13 Với Đáp án: C Ví dụ (Mã đề 101 - QG – 2017) Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) thỏa mãn z + + 3i − z i = Tính S = a + 3b S= A B S = −5 C S = D S =− Hướng dẫn giải Theo giả thiết, ta có: z + + 3i − z i = ⇔ z = −1 + ( z − 3) i ⇔ z = + ( z − 3) ⇔ z = + ( z − 3) ⇔ z = 2 4 ⇒ z = −1 − i ⇒ a = −1; b = − ⇒ S = a + 3b = −5 3 Đáp án: B Ví dụ (Mã đề 103 - QG – 2017) Tìm tất số thực x, y cho x − + yi = −1 + 2i A x = − 2, y = B x = 2, y = C x = 0, y = Hướng dẫn giải D x = 2, y = −2  x − = −2 x = x − + yi = −1 + 2i ⇔  ⇔ y = y = Ta có Đáp án: C Ví dụ (Mã đề 103 - QG – 2017) Có số phức z thỏa mãn số ảo ? A Vô số Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ¡ C Hướng dẫn giải B ) , ta có: z + 3i = 13 z z + D z + 3i = 13 ⇔ a + ( b + ) i = 13 ⇔ a + ( b + 3) = 13 ⇔ a + b + 6b − = ( 1) a ( a + 2) + b z a + bi 2b = = + i 2 z + ( a + ) + bi ( a + ) + b ( a + ) + b Lại có z Vì z + số ảo nên a ( a + 2) + b ( a + 2) +b 2 = ⇔ a ( a + ) + b = ⇔ a + b + 2a = ( ) Từ (1)+(2) suy 2a − 6b = −4 ⇒ a = 3b − Thay vào (1), ta được: Trang 10 ( 3b − ) Với b = + b + 6b − = ⇔  b =  b = ⇒ a = −2 ⇒ z = −2( loaïi ) b= 1 ⇒ x = − ⇒ z = − + i ( thỏ a mã n) 5 5 Với Đáp án: D Ví dụ (Mã đề 104 - QG – 2017) Cho số phức z thỏa mãn Tìm số phức w = z − + 3i A w = −3 + 8i Đặt z = a + bi ( a, b ∈ ¡ B w = + 3i ) , ta có: C w = −1 + 7i Hướng dẫn giải z =5 z + = z + − 10i D z = −4 + 8i z + = ⇔ ( a + 3) + bi = ⇔ ( a + 3) + b = 25 Lại có z + = z + − 10i ⇔ ( a + 3) + bi = ( a + 3) + ( b − 10 ) i ⇔ ( a + 3) + b = ( a + 3) + ( b − 10 ) ⇔ b = ( b − ) 2 2 ⇔ b = ⇒ a = ⇒ z = 5i ⇒ w = −4 + 8i Đáp án: D III BÀI TẬP z +2+i = z Câu (Mã đề 102 - QG – 2017) Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ ¡ ) thoả mãn Tính S = 4a + b A S = B S = C S = −2 Câu (QG – 2018) Có số phức z thỏa mãn B A z ( z − − i ) + 2i = ( − i ) z C Câu (QG – 2018) Có số phức A D S = −4 z thỏa mãn B ? D z ( z − − i ) + 2i = (7 − i) z C ? D z ( z − − i ) + 2i = ( − i ) z thỏa mãn ? C D z +3 =5 z − 2i = z − − 2i Câu (Mã đề 103 - QG – 2017) Cho số phức z thỏa mãn z Tìm số phức Câu (QG – 2018) Có số phức A B A z = 17 B z = 17 Câu (QG – 2018) Tìm hai số thực đơn vị ảo z C x z = 10 D z = 10 ( x − yi ) + ( − 3i ) = x + 6i với i y thỏa mãn Trang 11 y = −3 A x = −1 ; y = −3 B x = −1 ; y = −1 C x = ; y = −1 x =1; D z ( z − − i ) + 2i = ( − i ) z thỏa mãn ? C D ( 3x + yi ) + ( + i ) = x − 3i với i y thỏa mãn Câu (QG – 2018) Có số phức A B z Câu (QG – 2018) Tìm hai số thực x đơn vị ảo A x = −2; y = −2 B x = −2; y = −1 C x = 2; y = −2 D x = 2; y = −1 Câu (QG – 2018) Tìm hai số thực x y thỏa mãn (3 x + yi ) + (4 − 2i) = x + 2i với i đơn vị ảo A x = −2; y = B x = 2; y = C x = −2; y = Câu 10 (QG – 2018) Tìm hai số x y thỏa mãn vị ảo A x = −1 ; y = −1 B x = −1 ; y = Câu 11 (QG-2019)Cho số phức A z thỏa mãn ( ( x − yi ) + ( − i ) = x − 4i C x = ; y = −1 ) z + i − ( − i ) z = + 10i B D x = 2; y = C với i đơn D x = ; y = Mô đun z D z − i ) − ( + 3i ) z = − 16i Câu 12 (QG-2019)Cho số phức z thỏa mãn ( Môđun z A C B D Câu 13 (QG-2019)Cho số phức z thỏa (2 + i ) z − 4( z − i) = − + 19i Môđun z A 13 B C 13 D Câu 14 (QG-2019)Cho số phức z thỏa (2 − i ) z + + 16i = 2( z + i) Mơđun z A Câu 15 Tìm số phức z, biết z= C 13 B 13 z + z = + 4i + 4i B z = C Câu 16 Số phức z thỏa mãn: (1 + i ) z + (2 − i ) z = 13 + 2i A z=− D + 4i D z = −3 + 4i A + 2i ; B 3-2i; C -3 + 2i ; D -3 -2i Câu 17 Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z + 3(1 – i) z = – 9i Tìm modun z A |z| = B |z| = C |z| = 13 D |z| = 13 Câu 18 Tìm phần thực phần ảo số phức z thỏa mãn (1 – i)z – (2 – i) z = + 9i A –3 B –4 C D –4 –3 Câu 19 Số số phức z thỏa mãn đẳng thức: z + Trang 12 ( ) ( ) 1 z − z =1+ z+z i 2 A B C D z + 1) + z − − 10i = z + Câu 20 Số số phức z thỏa mãn ( A B C 2 D − iz z + 2i − = 2z Câu 21 Tìm mơ đun số phức z thỏa mãn + i − 2i A C z +i z = Câu 22 Biết z số phức thỏa điều kiện Tìm số phức 1 1 z = −1 − i z=− − i z= − i 2 2 A B C B D 2 z có phần ảo âm D z = 1− i DẠNG IV BIỂU DIỄN HÌNH HỌC CỦA SỐ PHỨC I PHƯƠNG PHÁP: Giả sử z = x + yi (x, y ∈ R) Khi số phức z biểu diễn mặt phẳng phức điểm M(x;y) Sử dụng kiện đề để tìm mối liên hệ x y từ suy tập hợp điểm M Một số quỹ tích thường gặp: Với z = x+yi (x, y số thực) nếu: * x= a : Quỹ tích z đường thẳng x = a (song song với Oy) * y= b: Quỹ tích z đường thẳng y = b (song song với Ox) * (x-a)2 +(y-b)2= R2 Quỹ tích z đường trịn tâm I(a.b) bán kính R * (x-a)2 +(y-b)2 ≤ R2 Quỹ tích z hình trịn tâm I(a.b) bán kính R ( kể biên) * (x-a)2 +(y-b)2> R2 Quỹ tích z điểm nằm ngồi đường trịn tâm I(a.b) bán kính R II CÁC VÍ DỤ Ví dụ (Mã đề 101- QG – 2017) Cho số phức z = − 2i Điểm điểm biểu diễn số phức w = iz mặt phẳng tọa độ ? A Q (1; 2) B N (2;1) C M (1; −2) Hướng dẫn giải D P(−2;1) w = iz = i ( − 2i ) = + i Ta có Suy điểm biểu diễn số phức w N (2;1) Đáp án: B Ví dụ (Mã đề 102 - QG – 2017) Số phức sau có điểm biểu diễn mặt phẳng tọa độ điểm M hình bên ? A C z4 = + i z3 = −2 + i B z2 = + 2i z = − 2i D Hướng dẫn giải Đáp án: C Trang 13 y −2 O x Ví dụ (Mã đề 102 - QG – 2017) Có số phức z thỏa mãn | z + − i |= 2 ( z − 1)2 số ảo A Đặt C Hướng dẫn giải B z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) | z + − i |= 2 ⇔ ( x + ) + ( y − 1) i = 2 Theo giả thiết, ta có ⇔ ( x + ) + ( y − 1) = ( C ) D 2 z − 1) Mặt khác, ( = ( ( x − 1) + yi ) = ( x − 1) − y + ( x − 1) yi 2 Theo giả thiết ( z − 1) số ảo nên ( x − 1)  x − y −1 = ( d )  y = x −1 − y = ⇔ y = ( x − 1) ⇔  ⇔  y = − x +  x + y − = ( ∆ ) Đường trịn (C) có tâm I ( −2;1) Ta có , suy d tiếp xúc (C) d ( I,d ) = 2 = R , bán kính R = 2 ) Ta có ( , suy ∆ cắt (C) hai điểm phân biệt Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức giao điểm (C) với hai đường thẳng d ∆ Số giao điểm Đáp án: C d I,d = < R Ví dụ (Mã đề 104 - QG – 2017) Cho số phức số phức z1 = − 2i, z2 = −3 + i Tìm điểm biểu diễn z = z1 + z2 mặt phẳng tọa độ A N (4; −3) z = z + z = −2 − i B M (2; −5) C P (−2; −1) Hướng dẫn giải Ta có Vậy điểm biểu diễn số phức Đáp án: C z D Q(−1;7) P (−2; −1) z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z + = Gọi M, N điểm biểu diễn z1 , z2 mặt phẳng tọa độ Tính Ví dụ (Mã đề 104 - QG – 2017) Kí hiệu T = OM + ON với O gốc tọa độ A T = 2 B T = C T = Hướng dẫn giải  z = 2i z2 + = ⇔   z2 = −2i Ta có M ( 0; ) , N ( 0; −2 ) ⇒ OM = ON = ⇒ T = OM + ON = Suy Đáp án: D Trang 14 D T = Ví dụ (Mã đề 104 - QG – 2017) Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để z − +i = m tồn số phức z thỏa mãn z.z = Tìm số phần tử S A B C Hướng dẫn giải D Điều kiện: m > Đặt z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) ( 1) Theo giả thiết ( C1 ) đường trịn tâm O ( 0;0 ) , bán kính R1 = z.z = ⇔ z = ⇔ x + y = C ( ) ( z − + i = m ⇔ x − + ( y + 1) = m ⇔ x − ) + ( y + 1) = m ( C2 ) Mặt khác ( C2 ) đường tròn tâm I ( 3; −1) , bán kính R2 = m (C ) (C ) Để tồn số phức z tiếp xúc ngồi R + R = OI ⇔ + m = ⇔ m = 1( thỏa mãn ) (C ) (C ) TH1: tiếp xúc TH2 Vậy ( C1 ) S = { 1,3} ( C2 )  R1 + OI = R2 ⇔ + = m ⇔ m = ( thỏa mãn )  OI + R2 = R1 ⇔ m + = ⇔ m = −1( loaïi ) tiếp xúc  Đáp án: A ( z + i ) ( z + ) số ảo Trên mặt Ví dụ (QG – 2018) Xét số phức z thỏa mãn phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính 5 A B C D Hướng dẫn giải z = x + yi ( x, y ∈ ¡ ) Đặt Ta có ( z + i ) ( z + ) = ( x − yi + i ) ( x + yi + ) = ( x + x + y − y ) + ( x − y + ) i 1  x + x + y − y = ⇔ ( x + 1) +  y − ÷ = z + i ) ( z + 2) ( 2  Vì số ảo nên 2 Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức bán kính Đáp án: C III BÀI TẬP Trang 15 z đường trịn có ) Câu (QG – 2018) Xét số phức z thỏa mãn ( phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z + 3i A ( z − 3) z số ảo Trên mặt đường trịn có bán kính D C B ) Câu (QG – 2018) Xét số phức z thỏa mãn ( số ảo Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính A B 2 C D z + 2i ( z − 2) ( z − 2i ) ( z + ) số ảo Trên mặt Câu (QG – 2018) Xét số phức z thỏa mãn phẳng tọa độ, tập hợp tất điểm biểu diễn số phức z đường trịn có bán kính A 2 B C D Câu (QG-2019)Cho hai số phức biểu diễn số phức A 3z1 + z2 z1 = − i z2 = + 2i Trên mặt phẳng toạ độ điểm có toạ độ ( 4;− 1) B ( − 1; ) C Câu (QG-2019)Xét số phức z thỏa mãn điểm biểu diễn số phức A Oxy , 34 w= + iz 1+ z z = ( 4;1) D Trên mặt phẳng tọa độ ( 1; ) Oxy , tập hợp đường trịn có bán kính B 26 C 34 D 26 Câu (QG-2019)Xét số phức z thỏa mãn z = Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , tập hợp điểm biểu diễn số phức A w= + iz + z đường trịn có bán kính C 20 B 12 D Câu (QG-2019)Cho hai số phức z1 = −2 + i z2 = + i Trên mặt phẳng tọa độ Oxy điểm biểu diễn số phức 2z1 + z2 có tọa độ 3; − 3) A ( 2; − 3) B ( Câu (QG-2019)Cho hai số phức diễn số phức z + z có tọa độ A ( 2;5) z1 =1 +i −3;3 ) C ( z2 = + i Trên mặt phẳng −3; ) D ( Oxy , điểm biểu B ( 3;5) Trang 16 C ( 5;2 ) D ( 5;3) Câu (QG-2019)Cho số phức z thỏa mãn điểm biểu diễn số phức w thỏa mãn A 10 B Câu 10 (QG-2019)Cho hai số phức biểu diễn số phức A z = w= Trên mặt phẳng tọa độ + iz 1+ z z1 = − i, z2 = + i Oxy , tập hợp đường tròn có bán kính C D 10 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, điểm 2z1 + z2 có tọa độ là: ( 5; − 1) Câu 11 (QG-2019)Cho số phức B ( − 1;5) z thỏa mãn điểm biểu diễn số phức w thỏa mãn C z = w= ( 5;0 ) D Oxy , Trên mặt phẳng tọa độ + iz 1+ z ( 0;5) tập hợp đường trịn có bán kính A 52 B 13 C 11 D 44 Câu 12 Giả sử M(z) điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z Tập hợp điểm M(z) thỏa mãn điều 2+ z = i−z A Đường thẳng x + y + = B Đường thẳng x − y + = A Đường thẳng x + y − = D Đường thẳng x + y − = Câu 13 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z + 2i = z + − i A Đường thẳng x + y + = B Đường thẳng x − y + = A Đường thẳng x + y + = D Đường thẳng x − y − = Câu 15 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z −1 + i = A Đuờng thẳng x − y − = x + 1) + ( y + 1) = B Đường tròn ( I ( 1; −1) C Đường thẳng x + y − = D Đường trịn tâm bán kính R = Câu 16 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z − 4i + z + 4i = 10 2 x2 y x2 y + =1 + =1 A Đuờng elip 16 B Đuờng elip 16 x2 y x2 y2 + =1 + =1 C Đuờng elip D Đuờng elip Câu 17 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện 2+ z > z −2 Trang 17 A Tập hợp điểm nửa mặt phẳng bên phải trục tung B Tập hợp điểm nửa mặt phẳng bên trái trục tung C Tập hợp điểm nửa mặt phẳng phía trục hồnh D Tập hợp điểm nửa mặt phẳng phía trục hoành Câu 18 Tập hợp điểm mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện ≤ z +1− i ≤ A Tập hợp điểm hình trịn có tâm I ( 1; −1) , bán kính A ( −1;1) B Tập hợp điểm hình vành khăn có tâm bán kính lớn nhỏ 2; C Tập hợp điểm hình trịn có tâm I ( 1; −1) , bán kính I ( 1; −1) D Tập hợp điểm hình vành khăn có tâm bán kính lớn nhỏ 2; Câu 19 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho A Đường tròn tâm B Đường tròn tâm C Đường tròn tâm D Đường tròn tâm I ( −1; −1) I ( −1; −1) I ( 1;1) I ( 1;1) u= z + + 3i z −i số ảo bán kính R = A ( 0;1) ; B ( −2; −3) bán kính R = trừ hai điểm bán kính R = A ( 0;1) ; B ( −2; −3) bán kính R = trừ hai điểm x + y =1 Câu 20 Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z = x + yi   thỏa mãn điều kiện A Ba cạnh tam giác B Bốn cạnh hình vng C Bốn cạnh hình chữ nhật D Bốn cạnh hình thoi DẠNG V CỰC TRỊ CỦA SỐ PHỨC I PHƯƠNG PHÁP: Sử dụng kiến thức như: Bất đẳng thức liên hệ trung bình cộng trung bình nhân, bất đẳng thức Bunhia- Cốpxki, bất đẳng thức hình học số tốn cơng cụ sau: BÀI TỐN CƠNG CỤ 1: Cho đường trịn (T ) cố định có tâm I bán kính R điểm A cố định Điểm M di động đường tròn (T ) Hãy xác định vị trí điểm M cho AM lớn nhất, nhỏ Hướng dẫn giải: TH1: A thuộc đường trịn (T) Ta có: AM đạt giá trị nhỏ M trùng với A AM đạt giá trị lớn 2R M điểm đối xứng với A qua I TH2: A không thuộc đường tròn (T) Gọi B, C giao điểm đường thẳng qua A,I đường tròn (T); Trang 18 Giả sử AB < AC +) Nếu A nằm đường trịn (T) với điểm M (T), ta có: AM ≥ AI − IM = AI − IB = AB Đẳng thức xảy M ≡ B AM ≤ AI + IM = AI + IC = AC Đẳng thức xảy M ≡ C +) Nếu A nằm đường tròn (T) với điểm M (T), ta có: AM ≥ IM − IA = IB − IA = AB Đẳng thức xảy M ≡ B AM ≤ AI + IM = AI + IC = AC Đẳng thức xảy M ≡ C Vậy M trùng với B AM đạt gía trị nhỏ Vậy M trùng với C AM đạt gía trị lớn BÀI TỐN CƠNG CỤ 2: (T1 ) có tâm I, bán kính R ; đường trịn (T2 ) có tâm J, bán kính (T ) (T ) R2 Tìm vị trí điểm M , điểm N cho MN đạt giá trị lớn Cho hai đường tròn nhất, nhỏ Hướng dẫn giải: Gọi d đường thẳng qua I, J; (T ) d cắt đường tròn hai điểm phân biệt A, B (giả sử JA > JB) ; d cắt phân biệt C, D ( giả sử ID > IC) (T2 ) hai điểm (T1 ) điểm N (T2 ) MN ≤ IM + IN ≤ IM + IJ + JN = R1 + R2 + IJ = AD Với điểm M bất khì Ta có: Đẳng thức xảy M trùng MN ≥ IM − IN ≥ IJ − IM − JN = IJ − R1 + R2 = BC Đẳng thức xảy M trùng với B N Vậy M trùng với A N trùng với D M trùng với B N trùng với C BÀI TỐN CƠNG CỤ 3: Cho hai đường trịn (T ) có tâm I, bán kính R; đường thẳng ∆ khơng có điểm chung với (T ) Tìm vị trí điểm M (T ) , điểm N ∆ cho MN đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn giải: Trang 19 với A N trùng với D trùng với C MN đạt giá trị lớn MN đạt giá trị nhỏ Gọi H hình chiếu vng góc I d Đoạn IH cắt đường tròn (T ) J Với M thuộc đường thẳng ∆ , N thuộc đường MN ≥ IN − IM ≥ IH − IJ = JH = const Đẳng thức xảy M ≡ H ; N ≡ I Vậy M trùng với H; N trùng với J MN đạt giá trị nhỏ trịn (T ) , ta có: II CÁC VÍ DỤ Ví dụ Trong số phức z thoả mãn z z − + 4i = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Hướng dẫn giải Cách z = x + yi Gọi ( x; y ∈ R ) ⇒ M ( x; y) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy z − + 4i = ⇔ ( x − 3) + ( y + 4) = ⇔ ( x − 3)2 + ( y + 4) = 16 2 Vậy điểm M biểu diễn cho số phức z thuộc đường tròn (T) có tâm I (3; −4) , bán kính R = z = x + y = OM OI = > R ; nên O nằm ngồi đường trịn (T) z lớn OM lớn nhất, nhỏ OM nhỏ (Bài toán qui Bài tốn cơng cụ 1- Trường hợp 2) Đường thẳng OI cắt đường tròn (T) hai điểm    27 36  A  ; − ÷; B  ; − ÷⇒ OA = 1; OB =  5 5  ⇒1≤ z ≤ Với M di động (T), ta có: OA ≤ OM ≤ OB ⇔ ≤ OM ≤ ⇒ OM nhỏ M trùng với A; OM lớn M trùng với B z= z − i 5 ; z z= 27 36 − i 5 z= 27 36 − i 5 phân Vậy nhỏ lớn Cách z = x + yi ( x; y ∈ R ) Gọi ⇒ M ( x; y) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy ω = − 4i ⇒ A(3; −4) biểu diễn cho số phức ω z = OM ; ω = OA = ⇒ z − ω = AM ; z − + 4i = ⇔ z − ω = ⇔ AM = Theo giả thiết OM − OA ≤ AM ⇔ −4 ≤ OM − OA ≤ ⇔ −4 + OA ≤ OM ≤ + OA ⇔ ≤ OM ≤ Ta có: 27 36 z = − i z =9 z= − i ⇒1≤ z ≤ z =1 5 ; 5 ; khi Vậy z nhỏ z= − i 5 ; z lớn Trang 20 biệt  Nhận xét: Ngồi tốn Hướng dẫn giải phương pháp sử dụng bất đẳng thức Bunhia-Cốpxki phương pháp lượng giác hố Ví dụ Trong số phức z thoả mãn điều kiện z ( z + − 4i ) số ảo, tìm số phức z cho ω = z − − i có mơđun lớn Gọi z = x + yi ( x; y ∈ R ) Hướng dẫn giải ⇒ M ( x; y) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy z ( z + − 4i) = ( x − yi) [ ( x + 2) + ( y − 4)i ] = x( x + 2) + y ( y − 4) + [ x( y + 4) − y ( x + 2) ] i z ( z + − 4i) số ảo ⇔ x( x + 2) + y ( y − 4) = ⇔ x + y + x − y = ⇔ ( x + 1) + ( y − 2) = ⇒ M biểu diễn cho z thuộc đường trịn (T) có tâm I ( −1; 2) , bán kính ω = z − − i = ( x − 1) + ( y − 1)i = ( x − 1) + ( y − 1) = AM R= với A(1;1) IA = ⇒ A ∈ (T ) (Bài tốn qui Bài tốn cơng cụ - trường hợp 1) Vì M điểm di động (T) nên AM lớn ⇔ AM đường kính (T) ⇔ M đối xứng với A qua I ⇔ I trung diểm AM ⇒ M (−3;3) ⇒ z = −3 + 3i ⇒ ω = −4 + 2i Vậy ω lớn z = −3 + 3i Ví dụ Trong số phức z có mơđun 2 Tìm số phức P = z +1 + z + i đạt giá trị lớn Gọi z = x + yi ( x; y ∈ R ) z =2 2⇔ z cho biểu thức Hướng dẫn giải x2 + y = 2 ⇔ x2 + y = P = z + + z + i = ( x + 1) + y + x + ( y + 1) Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpxki cho hai số 2 2 1;1 ( x + 1) + y ; x + ( y + 1) , ta có: P ≤ ( x + 1) + y + x + ( y + 1)  = 4(9 + x + y ) Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốpxki cho hai số 1;1 x; y , ta có: x + y ≤ ( x2 + y2 ) = ⇒ P ≤ 52 ⇒ P ≤ 13 Đẳng thức xảy x = y = Vậy P đạt giá trị lớn 13 z = + 2i Trang 21 Ví dụ Trong số phức z có mơđun Tìm số phức P = z − + z − + 7i đạt giá trị lớn Gọi z cho biểu thức Hướng dẫn giải z = x + yi ( x; y ∈ R ) z = ⇔ x2 + y = ⇔ x2 + y = P = z − + z − + 7i = ( x − 1) + y + ( x − 1) + ( y + 7)2 ur ur ur ur u ( x − 1; y ) , v ( − x; −7 − y ) ⇒ u + v = ( 0; −7 ) Xét ur u r ur u r P = u + v ≥ u +v =7 u.r Khi ur đó: Đẳng thức xảy u , v hướng ⇒ ( x − 1)(−7 − y ) = y (1 − x) ⇔ x = x =1⇒ y = ± ur ur x = 1; y = u Với u,rv urngược hướng (khơng thoả mãn) Với x = 1; y = − u , v hướng (thoả mãn) Vậy z = − i P đạt giá trị nhỏ z − − i = ; z2 − − 6i = Ví dụ Trong số phức z1, z2 thoả mãn: , tìm số phức z −z z1, z2 cho đạt giá trị lớn Hướng dẫn giải Gọi z1 = a + b.i ; z2 = c + d i ; (a, b, c, d số thực); z1 biểu diễn điểm M(a; b); z2 biểu diễn điểm N(c; d) mặt phẳng toạ độ Oxy z1 − − i = ⇔ z1 − − i = ⇔ ( a − 1) + (b − 1) = suy M thuộc đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R = z2 − − 6i = ⇔ z2 − − 6i = 36 ⇔ (c − 6) + ( d − 6) = 36 suy M thuộc đường trịn tâm J(6; 6), bán kính R' = z1 − z2 = (c − a )2 + (d − b) = MN (Bài toán qui Bài tốn cơng cụ 2) Đường thẳng IJ có phương trình y = x Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm I hai điểm  2− 2−   2+ 2+  M  ; ; M ; ÷  ÷ ÷ 2 2 ÷    Đường thẳng IJ cắt đường tròn tâm J hai điểm ( ) ( N1 − 2; − ; N + 2; + M N1 ≤ MN ≤ M N ⇔ − ≤ z1 − z2 ≤ + max z1 − z2 = + M ≡ M , N ≡ N Vậy z1 = 2− 2− + i ; z2 = + + + i z −z 2 đạt giá trị lớn ( ) Trang 22 ) Ví dụ Cho số phức z1 ; z2 thoả mãn: z1 =1 ; z2 [ z2 − (1 − i) ] − + 2i số thực z ; z P = z2 − ( z1 z2 + z1 z2 ) Tìm số phức cho đạt giá trị nhỏ Hướng dẫn giải Gọi z1 = a + bi ; z2 = c + di ; ( a, b, c, d ∈ R ) ⇒ M (a; b ), N (c; d ) biểu diễn cho z1 ; z2 hệ toạ độ Oxy z1 = ⇔ a + b = ⇔ a + b = ⇒ M thuộc đường trịn (T ) có tâm O, bán kính R = z2 = c − di; ω = z  z − ( − i )  − + 2i = ( c − di ) [ (c − 1) + (d + 1)i ] + − 6i = c(c − 1) + d ( d + 1) + + [ c(d + 1) − d (c − 1) − ] i ω số thực ⇔ c(d + 1) − d (c − 1) − = ⇔ c + d − = ⇒ N thuộc đường thẳng ∆:x+ y−6= Ta có d (O; ∆ ) > nên ∆ (T ) khơng có điểm chung z1 z2 = ac + bd + (bc − ad )i; z1 z2 = ac + bd + (−bc + ad )i ⇒ z1 z + z1 z2 = 2(ac + bd ) P = c + d − 2(ac + bd ) = (c − a) + (b − d ) − = MN − (vì a + b2 = ) (Bài tốn qui Bài tốn cơng cụ 3) Gọi H hình chiếu vng góc O ∆ : x + y − = ⇒ H (3;3)  2 I  ; ÷ 2 ÷ ( T )   Đoạn OH cắt đường tròn Với N thuộc đường thẳng ∆ , M thuộc đường tròn (T ) , ta có: MN ≥ ON − OM ≥ OH − OI = IH = − Đẳng thức xảy M ≡ I ; N ≡ H ( ) ⇒ P ≥ − − = 18 − Đẳng thức xảy z1 = 2 + i; z2 = + 3i 2 Vậy P đạt giá trị nhỏ 18 − Ví dụ Trong số phức môđun lớn Gọi z = x + yi ( x; y ∈ R ) z z1 = thoả mãn điều kiện 2 + i; z2 = + 3i 2 z − + z + = 10 Hướng dẫn giải ⇒ M ( x; y) biểu diễn cho số phức z hệ toạ độ Oxy Trang 23 Tìm số phức z có z − + z + = 10 ⇔ ( x − 3) + y + ( x + 3) + y = 10 ⇔ MF1 + MF2 = 10 (với ; F1 (−3;0); F2 (3;0) ) ⇔ M ∈ ( E ) có tâm O, trục lớn 10; tiêu cự z = OM ; OM Vậy z ⇔ M ∈ (E) : x2 y + =1 25 lớn ⇔ OM = a = ⇔ M (5; 0) ∨ M (−5; 0) lớn z = ∨ z = −5 III BÀI TẬP ( ) z.z + z − z = + 12i Câu Trong số phức z thỏa mãn điều kiện đun lớn nhất? A.1+2i B.1-2i C.2+4i D.1/2-i Câu Trong số phức z thỏa mãn điều kiện nhất? A.2+i B.4-i C 1+ ( z −2+i = ) −1 i ( D .Số phức có mơ Số phức có mơ đun nhỏ ) + + 2i z + − i + z − − 7i = Câu Xét số phức z thỏa mãn Gọi m, M giá trị nhỏ giá trị lớn z −1+ i Tính P = m + M + 73 B + 73 P= D P= A P = 13 + 73 C P = + 73 z + − 2i + z − + i = Câu Xét số phức z thỏa mãn Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + + z − − 3i A M = 17 + 5, m = B M = 26 + 5, m = C M = 26 + 5, m = D M = 17 + 5, m = z + − 3i + z − − i = 17 Câu Xét số phức z thỏa mãn Gọi M , m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = z + − 2i − z − + i A M = 2, m = B M = 2, m = C M = 2, m = − D M = 2, m = − z − + 2i − z + − 3i = 34 Câu Xét số phức z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biển thức P = z +1+ i A Pmin = 34 B Pmin = C Pmin = 13 Câu Trong số phức z thỏa mãn điều kiện môđun nhỏ Trang 24 z − − 2i = D Pmin = , tìm số phức z có    z = 1 − ÷−  −    A    z = 1 − ÷+  −    C  ÷i 5  ÷i 5     z = 1 + ÷+  + ÷i 5     B     z = − 1 − ÷−  − ÷i 5     D z + 2−i = z + − i Câu Cho số phức z thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn z A C z = 10 − 3; z max = 10 + z = − 10 + 3; z max = 10 − B D Trang 25 z = − 10 − 3; z max = 10 + z = − 10 + 3; z max = 10 + ... a + b Phép chia số phức khác Cho số phức z = a + bi ≠ (tức a2+b2 > ) Ta định nghĩa số nghịch đảo z-1 số phức z ≠ số 2 1 z= z a +b z z-1= z' Thương z phép chia số phức z’ cho số phức z ≠ xác định... Số phức −3 + 7i có phần ảo A B −7 C −3 D Câu (QG – 2018) Số phức có phần thực phần ảo A + 4i B − 3i C − 4i Câu (QG – 2018) Số phức + 6i có phần thực A – B C – Câu (QG – 2018) Số phức có. .. z =5 z =2 C Hướng dẫn giải D z = − i D z = z = 22 + 12 = Ta có Đáp án: D Ví dụ (QG-2019) Số phức liên hợp số phức − 4i A −3 − 4i B −3 + 4i C + 4i Hướng dẫn giải Đáp án: C III BÀI TẬP Câu (Mã