Chuyên đề tìm GTLN – GTNN của biểu thức bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8

Chuyên đề b i dồưỡng h c sinhọ gi iỏ toán 8

1CHUYÊN ĐỀ: TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨCMỤC LỤCI LÝ THUYẾT 2

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN 3

Phương pháp 1 Sử dụng phép biến đổi đồng nhất 3

Dạng 1.Tìm GTNN và GTLN của đa thức bậc hai đơn giản 3

Dạng 2.Tìm GTNN và GTLN của đa thức bậc bốn đơn giản 10

Dạng 3.Tìm GTNN và GTLN của biểu thức dạng A 14

BDạng 4.Tìm Min, Max của biểu thức có điều kiện của biến 31

Dạng 5.Sử dụng các bất đẳng thức cơ bản: 41

Dạng 6.Tìm Min, Max bằng cách sử dụng bất đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối 44

Phương pháp 2 Phương pháp chọn điểm rơi 47

Phương pháp 3 Sử dụng phương pháp đặt biến phụ 53

Phương pháp 4 Sử dụng biểu thức phụ 56

Phương pháp 5 Phương pháp miền giá trị 59

Phương pháp 6 Phương pháp xét từng khoảng giá trị 61

Phương pháp 7 Phương pháp hình học 64

Chuyên đề b i dồưỡng h c sinhọ gi iỏ toán 8

2  (x0, y0, )  D sao cho f(x0, y0 ) = M.

Ký hiệu : M = Max f(x,y, ) = fmax với (x,y, )  D

 M được gọi là GTNN của f(x,y, ) trên miền D đến 2 điều kiện sau đồng thời thoả mãn :

2  (x0, y0, )  D sao cho f(x0, y0 ) = M.

Ký hiệu : M = Min f(x,y, ) = fmin với (x,y, )  D

2 Các kiến thức thường dùng2.1 Luỹ thừa:

a) x2  0 x  R  x2k  0 x  R, k  z   x2k  0 Tổng quát : [f (x)]2k  0 x  R, k  z   [f (x)]2k  0 Từ đó suy ra : [f

M  [f (x)]2k  M

b)  0 x  0  ( )2k  0 x  0; k zTổng quát : ( )2k  0  A  0 (A là 1 biểu thức)

2.2 Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

Với n cặp số bất kỳ a1, a2, , an ; b1, b2, ,bn ta có :

(a1b1 + a2b2 + + anbn)2  ( a 2 + a 2 + + a 2 ).(b 2 + b 2 + + b 2 )

Chuyên đề b i dồưỡng h c sinhọ gi iỏ toán 8

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CƠ BẢN

Phương pháp 1 Sử dụng phép biến đổi đồng nhất

Bằng cách nhóm, thêm, bớt, tách các hạng tử một cách hợp lý, ta biến đổi biểu thức đã cho về tổng các biểu thức không âm (hoặc không dương) và những hằng số Từ đó :

1 Để tìm Max f(x,y, ) trên miền D ta chỉ ra :

f (x, y )  M sao cho f(x ,y , ) = M(x , y )   0 0

2 Để tìm Min f(x,y, ) trên miền D ta chỉ ra :

f (x, y )  m sao cho f(x ,y , ) = m

+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra.

– Để tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức A(x) ta cần:+ Chứng minh rằng A(x)  k với k là hằng số.

+ Chỉ ra dấu "=" có thể xảy ra.

Dạng 1 Tìm GTNN và GTLN của đa thức bậc hai đơn giản

Phương pháp: Áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng và hiệu

1 Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:

a) A = x2 + 4x + 7 b) R = 3x2 – 5x + 3 c) M = x2 + x + 1d) A = x2 + 2x + y2 + 1 e) A(x) = x2  4x + 24 f) B(x) = 2x2  8x + 1g) C(x) = 3x2 + x 1

j) Q = 4x2 + 4x +11

h) A = (2x +1)2

(3x  2)2

+ x 11k) N = x2  4x +1

i) P = 2 + x  x2

l) D = 3x2  6x + 1m) K = x2  2x + y2  4y

Dấu “=” xảy ra khi t = 2  3x 1 = 2º

x =  1

Chuyên đề b i dồưỡng h c sinhọ gi iỏ toán 8

2 Tìm giá trị lớn nhất của các đa thức sau

a) A = – x2 + 6x – 15 b) B =  5x2  4x + 1 c) C = – x2 + 4x – 5 < 0d) D = 4x – 10 – x2 e) E = 2 + x  x2 f) F = 5x2  4x + 1

Chuyên đề b i dồưỡng h c sinhọ gi iỏ toán 8

5g) G = 3x2 + x + 1

j) L =  1 x2  x 12

h) H = x2  4x  7k) M =  1 x2 + 2x  5

i) K = 5x2 + 7x  3l) N = x2  x 1

3 Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:

a) B = 2x2  2y2 + 5y2 + 5

c) A = x2 + 4y2  4x + 32y + 2018e) A = x2 + 2x + 3 + 4y2 + 4yg) C = 5x2 + y2 + z2 + 4xy + 2xzi) E = 16x2 + 5 + 8x  4y + y2k) I = x2 + 4xy + 5y2  6y +11 m) R = x2 + 2y2 + 2xy  2y

o) B = x2 + 5y2 + 5z2  4xy  4yz  4z+12q) E = x2 + 5y2  4xy + 2y  3

s) A = 2x2 + y2  2xy  2x + 3

b) D(x) = 2x2 + 3y2 + 4z2  2(x + y + z) + 2d) A = 3x2 + y2 + 4x  y

f) B = 4x2 + y2 + 12x + 4y + 15h) D = x2 + 17 + 4y2 + 8x + 4yj) F = x2 + y2 + 2x  6y  2l) M = x2  2xy + 2y2  2y +1n) A = 4x2 + 5y2  4xy 16y + 32p) C = 5x2 12xy + 9y2  4x + 4

r) Q = x2 + 4y2 + z2  2x + 8y  6z +15 = 0t) B = 2x2 + y2 + 2xy  8x + 2028

4 Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

a) B = 2  5x2  y2  4xy + 2xc) A = x + y + z  (x2 + 2y2 + 4z2 )e) N = x2  4y2 + 6x  8y + 3

b) A = 4x2  5y 2 +8xy +10y + 12d) B = 3x2 16y2  8xy + 5x+ 2 f)P = 3x2  5y2 + 2x + 7y  23

 MaxQ = 0  x = y = z Vậy: MaxQ = 0  x = y = z

Chuyên đề b i dồưỡng h c sinhọ gi iỏ toán 8

k) H(x) = x2 + y2  xy  x + y +1 l) D = 2x2 + 2xy + 5y2  8x  22y

 

Chuyên đề b i dồưỡng h c sinhọ gi iỏ toán 8

7m) E = 2x2 + 9y2  6xy  6x 12y + 2004

o) A = x2 + 6y2 +14z2  8yz + 6zx  4xyq) C(x) = 2x2 + 3y2 + 4xy  8x  2y + 18

n) Q = a2 + ab + b2  3a  3b + 3p) B(x) = x2 + xy + y2  3x  3y

r) E(x) = 2x2 + 8xy +11y2  4x  2y + 6s) C = a2 + ab + b2 – 3x – 3b + 1989 t) A = 3x + 4y2 + 4xy + 2x – 4y + 26u) A = x2 + 2y2 + 2xy + 2x – 4y + 2013 v) A = 5x2 + 9y2 – 12xy + 24x – 48y + 82w) B = x2 + 2y2 + 3z2  2xy + 2xz  2x  2y  8z + 2000

x) G = (x  ay)2

+ 6 (x  ay) + x2 + 16y2  8ay + 2x  8y + 10y) F = 2x2 + 6y2 + 5z2 – 6xy + 8yz – 2xz + 2y + 4z + 2z) B = 3x2 + 3y2 + z2 + 5xy – 3yz – 3xz – 2x – 2y + 3 aa) B = 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy – 2xz – 2yz – 2x – 4y

+ 3(y2

 4y)  3 = (x  y  2)2

+ 3(y  2)2

 15  15½ B   15

= x2  2x.(y + 6) + (y + 6)2 + 6y2 + 2y + 45  (y2 + 12y + 36)= (x  y  6)2 + 5y2 10y + 9 = (x  y  6)2 + 5(y 1)2 + 4  4

e) E = x2  xy + 3y2  2x 10y + 20E = x2

 x(y  2) + 3y2

10y + 20= x2  2x y  2 + y

2  4y + 4

+ 3y2 10y + 20  y

2  4y + 4 2

Chuyên đề b i dồưỡng h c sinhọ gi iỏ toán 8

Chuyên đề b i dồưỡng h c sinhọ gi iỏ toán 8

94E = (x  y + 2)2

+ 4xy + 4y2

 12x 12y + 124G = 4x2 + 4x(y  3) + (y  3)2

+ (4y2  12y + 12)  (y2  6y + 9)4G = (2x + y  3)2

+ 3y2  6y + 3 = (2x + y  3)2

+ 3(y 1)2

 0

k) H(x) = x2 + y2  xy  x + y +1H(x) = x2 + y2  xy  x + y +1

 4H(x) = (2x)2  2.2x.y + y2 + 3y2  4x + 4y + 4

= (2x  y)2  2(2x  y) + 3y2 + 2y + 3 +1 = (2x  y 1)2 + 3(y2 + 2 y +1)3= (2x  y 1)2 + 3(y + 1 )2 + 8  8

Chuyên đề b i dồưỡng h c sinhọ gi iỏ toán 8

2E = 4x2 12x(y + 1) + 9(y + 1)2

+ 18y2  24y + 4008  9(y2 + 2y + 1)

+ 6y2 14z2  (4y2 + 12yz + 9z2 )A = (x  2y  3z)2

+ 2y2

 12yz  23z2

p) B(x) = x2 + xy + y2  3x  3y

B(x) = (x2  2x + 1) + (y2  2y +1) + x(y 1)  (y 1)  3 = (x 1)2 + (y 1)2 + (x 1)(y 1)  3= (x 1)2 + 2(x 1

1) .(y 1) + ( y 1)2  ( y 1)2 + (y 1)2  3= x 1+ y 12 

– y2  2y +1 + 2  + 

q) C(x) = 2x2 + 3y2 + 4xy  8x  2y +18C(x) = 2x2 + 4xy + 2y2 + y2

 8x  2y +18 = 2 (x + y)2

 2(x + y)2 + 4 + (y2 + 6y + 9) +1= 2(x + y  2)2 + (y + 3)2 +1  1  min A = 1  y = 3; x = 5

r) E(x) = 2x2 + 8xy +11y2  4x  2y + 6E(x) = 2(x2 + 4xy + 4y2 ) + 3y2

 4x  2y + 6 = 2(x + 2y)2

 4(x + 2y) + 2 + 3y2 + 6y + 4= 2(x + 2y 1)2 + 3(y +1)2 + 1  1  x + 2y 1 = 0   x = 3

Chuyên đề b i dồưỡng h c sinhọ gi iỏ toán 8

A = x 2 +2y2 + 2xy + 2x  4y + 2013

= x2 + 2x(y +1) + (y +1)2 + (y  3)2 + 2003  2003 x = 4; y = 3

v) A = 5x2 + 9y 2 12xy + 24x  48y + 82A = 5x2 + 9y 2 12xy + 24x  48y + 82

= 9y2 12y(x + 4) + 4(x + 4)2  4(x + 4)2 + 5x2 + 24x + 82= [3y  2(x + 4)]2

+ (x  4)2 + 2  2x, y  R  x = 4; y = 163

w) B = x2 + 2y2 + 3z2  2xy + 2xz  2x  2y  8z + 2000

B = x2  2x(y z +1) + 2y2 + 3z2  2y  8z + 2000

= x2  2x(y  z + 1) + (y  z + 1)2

+ 2y2 + 3z2  2y  2z + 2000  (y2 + z2 + 1  2yz  2z + 2y)= (x  y + z 1)2

+ (y2 + 2z2  4y + 2yz + 1999)= (x  y + z 1)2

Chuyên đề b i dồưỡng h c sinhọ gi iỏ toán 8

13G(x) =

2x2 + 2y2 + z2 + 2xy  2xz  2yz  2x  4y

Chuyên đề b i dồưỡng h c sinhọ gi iỏ toán 8

G(x) = 2x2 + 2y2 + z2 + 2xy  2xz  2yz  2x  4y= (x 1)2 + (y  2)2 + (x + y  z)2  5  5 x = 1; y = 2; z = 3

à i 2 Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau bằng cách đưa về HĐT (a  b)2

; (a  b  c)2

a) H = x2 + xy  y2  2x + 4y +11 b) D = x2  y2 + xy + 2x + 2yc) A = 5  2x2  4y2 + 4xy  8x 12y d) A = 5  2x2  4y2 + 4xy  8x 12ye) F = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – 3 f) E = x2  y2 + xy + 2x + 2y

y + 2 2  3y2 A = x2  2x +  + y2

Chuyên đề b i dồưỡng h c sinhọ gi iỏ toán 8

15E = x2  y 2 +xy + 2x + 2y  4E = 4x2  4y2 + 4xy + 8x + 8y

Chuyên đề b iồ dưỡ h cngọ sinh gi iỏ toán 8

a) Phân tích thành các biểu thức tương đồng để đặt ẩn phụ.

b) Sử dụng phương pháp nhóm hợp lý làm xuất hiện nhân tử để đặt ẩn phụ.c) Sử dụng các hằng đẳng thức (a  b)2

,(a + b + c)2

Dạng 2.1 Biểu thức có dạng ax4 + bx3 + cx2 + dx + e Bài

1 Tìm GTNN của các biểu thức sau:

a) C(x) = x4  4x3 + 9x2  20x + 22c) A(x) = x4  6x3 + 10x2  6x + 9e) C(x) = x4  2x3 + 3x2  4x + 2017

b) D(x) = x4  6x3 + 11x2 + 12x + 20d) B(x) = x4 10x3 + 26x2 10x + 30f) A(x) = a4  2a3  4a + 5

b) D(x) = x4  6x3 +11x2 12x + 20 = x2 (x2  6x + 9) + 2x2 12x + 20= x2 (x  3)2 + 2(x2  6x + 9) + 2 = x2 (x  3)2 + 2(x  3)2 + 2  2

c) A(x) = x4  6x3 +10x2  6x + 9

A(x) = x4  6x3 +10x2  6x + 9 = (x4  6x3 + 9x2 ) + (x2  6x + 9)= (x2  3x)2 + (x  3)2  0 x

x2  3x = 0 Min A(x) = 0  

x  3 = 0  x = 3

d) B(x) = x4 10x3 + 26x2 10x + 30

x2  5x = 0B(x) = x4 10x3 + 26x2 10x + 30 = (x2  5x)2 + (x  5)2 + 5  5  

Chuyên đề b iồ dưỡ h cngọ sinh gi iỏ tốn 8

Biên soạn: Trần Đình Hoàng 11

D = ( x + 8)4

+ ( x + 6)4F = 2  3( x + 1)4

Chuyên đề b iồ dưỡ h cngọ sinh gi iỏ toán 8

a) B = (x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) b) B = ( x 1)(x  3)(x2  4x + 5)

c) A = x(x + 2)( x + 4)(x + 6) + 8 d) D = ( x + 1)(x2  4)( x + 5) + 2014e) A = (x2 + x  6)(x2 + x + 2) f) C = (x 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)

g) D = (2x 1)( x + 2)( x + 3)(2x +1) h) C = ( x +1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + 2011i) G = (x 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)  2006 j) A = x (x  7)(x  3)( x  4)

Dấu “= “ xảy ra khi: t2

x = 0x = 5

Chuyên đề b iồ dưỡ h cngọ sinh gi iỏ toán 8

5x =  5  2

i) G(x) = (x 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6)  2006

j) A = x (x  7)( x  3)( x  4) = (x2  7x)(x2  7x +12) ,Đặt

x2  7x + 6 =tKhi đó: A = (t  6)(t + 6) = t2  36  36Dấu “ = ” khi t2 = 0 º x 2  7x + 6 = 0ºx = 1x = 6

Vậy Min A =  36 khi x = 1 hoặc x = 6

2 Tìm GTLN của biểu thức sau

HD: E = 5 + (1 x)( x + 2)( x + 3)( x + 6)E = 5 (x 1)(x + 6)( x + 2)( x + 3) = (x2 + 5x  6)(x2 + 5x + 6) + 5Đặt x2

+ 5x = t

Khi đó: E = (t  6)(t + 6) + 5 = (t2  36) + 5 = t2 + 41  41Dấu “ = “ Khi t2

= [(x2  9x + 14)  6].[(x2  9x + 14) + 6] + 2002= (x2  9x + 14)2 36 + 2002

= (x2  9x + 14)2 + 1966  1966 vì (x2  9x + 14)2  0 x MinC = 1966  x2  9x + 14 = 0  x = 2

 Vậy MinC = 1966  x = 2

Bà i 4 Tìm số nguyên m lớn nhất sao cho BĐT luôn đúng với mọi x: ( x + 1)(x + 2)2

Chuyên đề b iồ dưỡ h cngọ sinh gi iỏ toán 8

Dạng 3 Tìm GTNN và GTLN của biểu thức dạng AB

Dạng 3.1 Biểu thức dạng hoặc dương:

Phương pháp giải:

ax2 + bc + cvới m là hằng số hoặc m đã xác định được âm

1 Biểu thức dạng A = max2 + bc +

khi đó A (ax2 + bc + c) hoặc A (ax 2 + bc + c)

2 Bên cạnh việc biến đổi về tổng các bình phương, ta sử dụng thêm tính chất nghịch đảo:Nếu a  b ½

1  1 ab

3 Sử dụng cả biểu thức Denta để tìm GTNN hoặc GTLN rồi mới biến đổi thêm bớt.4 Viết biểu thức A thành tổng của một số với một phân thức không âm.

26x  5  9x2

6x 2 + 2x  3

2x2 + x + 4

3y2 (x  0)

b) B =e) K =h) A =l) C =

1x2  4x + 9

2x2 + 8

5x2  2x  5

y2 (x  0)

c) C =f ) A =i) B =

3x2  5x +1

19x2 12x +10

1x2  4x +11

25x2 + 20xy  5y2 9x2 12xy + 5y2

a) Ta có: 9x2 + 6x  5 = (9x2  6x + 1 + 4) = (3x 1)2

 4  4½ 2 = 2  2

=  1 ½ A   1 , Dấu “ = ” khi x = 16x  5  9x2

y2 12 y + 5

A = 1 = 1  1  t = 2  x = 2 y9t2 12t + 5 (3t  2)2 +1 3 3

y2 + 20 y  5

2 Biến đổi biểu thức về dạng m + n + p rồi đặt ẩn phụ đối với phân thức có mẫuax + b (ax + b)2

thức là bình phương của một đa thức bậc nhất

Dạng 3.2.1 Thực hiện phép biến đổi đưa phân thức về dạngm +n

Từ A(x) = 3x2 + 6x +10 x2 + 2x + 3

3x2 + 6x + 9 + 1 3(x2 + 2x + 3) + 1 1Ta có A(x) = A(x) =

x2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 3 = 3 +(x + 1)2 + 2Vì (x + 1)2  0 với  x nên (x + 1)2 + 2  2 với  x.

a) Từ B(x) = B(x) =

x2  8x + 22 = x2  8x + 22 = 2 

(x  4)2 + 6Vì (x  4)2 0 với x nên (x  4)2 + 6  6.

 3 = 1(x  4)2 + 6 6 2

 B(x) = 2  3  2  1 = 3 Min B(x) = 3 khi (x  4)2 = 0  x = 4

Chuyên đề b iồ dưỡ h cngọ sinh gi iỏ tốn 8

Biên soạn: Trần Đình Hoàng 19

b) Ta cĩ : Q = 3 + 2 , mà x2  2x + 5 = (x 1)2

+ 4  4 ½ 2 2 1 =x2  2x + 5

3 Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau: x

2  2x + 5 4 2

Chuyên đề b iồ dưỡ h cngọ sinh gi iỏ toán 8

a) F =

3x2 12x + 10

2 + 2x +193x2 + x + 7

HD:a) Ta có: F =

x2  4x +5 = 3  x2  4x + 5 = 3  (x  2)2 +1  3  5 = 2Do (x  2)2 + 1  1  5

x2

2

+ 4x + 9 x2

+ 2x + 4

a) Hạ phép chia ta được : I = 2 + 27 , mà x2  8x + 22 = x  4 2 + 6  6x2  8x + 22

b) Hạ phép chia ta được : N = 2 + 1x2 + 2x + 4

= x2  6x +104x2

 6x + 3

b) C

= x2  4x + 5x2

b) G =2x2

a) Ta có : A = 1 + 13 = 1 + 13 x2  6x + 10 (x  3)2 + 1

b) Ta có : C = 3 + 5 = 3 + 5 x2  4x + 5 (x  2)2 + 1

c) Ta có : G = 2 + 1 2x2  3x + 2x2

d) Ta có : D =

x4 + x2 +1 ½

1 = x2

1 +1  3

x2 (Áp dụng Côsi )

Dạng 3.2.2 Phân thức có mẫu là bình phương của một nhị thức

Chuyên đề b iồ dưỡ h cngọ sinh gi iỏ tốn 8

Biên soạn: Trần Đình Hoàng 111

= t , khi đó ta có: M =  9t2  6t + 2 = (3t + 1)2 + 3  3x 1

Chuyên đề b iồ dưỡ h cngọ sinh gi iỏ tốn 8

Biên soạn: Trần Đình Hoàng 113

c) Đặt x + 2016 = t ½

x = t  2016 ½ C = t  2016 = 1  2016 ,Đặt 1 = a ½

C = a  2016a2

x + 2000 = t

½ F = t  2000 = 1  2000

, Đặt 1

2

 8x + 6x2  2x +1

a) Ta có: B =

x2  x +1

( x + 1)2 , Đặt x +1 = t

½ x = t 1 ½ x2  2t +1t2

 3t + 3 33

1

= a ½ B = 3a2  3a +1t2

t t2

t3x2  8x + 6 3x2  8x +6

b) Ta có : E =

x2  2x +1 = (x 1)2 Đặt x 1 = t ½ x = t +1

2 = t2 + 2t +13(t2 + 2t + 1)  8(t + 1) + 6 3t2  2t + 1 2 1

   16+ 4Ta có: x2 +1  1 ½ t  1

Chuyên đề b iồ dưỡ h cngọ sinh gi iỏ tốn 8

Biên soạn: Trần Đình Hoàng 115

Ta cĩ: E +1 =  0  A  1  x = 0 (x2 + 1)2

4x4 x2 +1

Cách khác: E =   0 1 = 1  x = 0(x2 +1)2 (x2 +1)2

6 Tìm Min hoặc Max của các biểu thức sau

1 = a ½

x 2 + x 11 x2 + 2x 1  x +1 11 (x 1)2  (x 1) 11 1 11B =

x2  2x +1 = (x 1)2 =

(x 1)2 = 1

x  1 (x 1) 2Đặt 1 = y  A = 1 y 11y2 =  (11y2 + y + 1) =  11(y2 + 2.y 1 + 1  1 + 1 

11=  11(y + 1 )2 + 43  = 43 11(y + 1

(x  5)

= x = (x + 5)  5 = 1  5x 2 + 10x + 25 (x + 5)2 (x + 5)2 x + 5 (x + 5)2Đặt t = 1  A = 5t2  t = 5 t  1  – 1  12

x  1 (x 1) 2Đặt

Chuyên đề b iồ dưỡ h cngọ sinh gi iỏ tốn 8

Biên soạn: Trần Đình Hoàng 117

Chuyên đề b iồ dưỡ h cngọ sinh gi iỏ toán 8

x2 + x +1 (x2 + 2x + 1)  (x +1) +1 1 1A =

(x +1)2 = (x +1)2 = 1x +

1 (x +1)2

Đặt y = x + 1

a) Ta có: B =

(x 1)2 =

(x 1)2 1 2

= 1 x 

+1 (x 1)2

c) E =

4x2

+ 22x +19 x2 + 4x + 4

(x + 2)2

, Đặt x + 2 = t

½ E = 4 + 6 ( t  2 ) + 3 =4t2

6 9+

t 

2

Chuyên đề b iồ dưỡ h cngọ sinh gi iỏ tốn 8

Biên soạn: Trần Đình Hoàng20

t2Đặt 1 = a ½

t K = 11a2 + 3a + 1

Chuyên đề b iồ dưỡ h cngọ sinh gi iỏ toán 8

(với A( x)  0 )B( x)Bài

1 Tìm giá trị của x để biểu thức

A = x2  2x + 2011

(với x > 0) đạt giá trị nhỏ nhất

Ta có: A = x2  2x + 2011 x2 = 2011x2  2.2011x + 20112011x2 2 = (x 2011)2011x2 + 2010x2 2A = (x 2011)2011x2 + 2010x2 2 = (x 2011)2011x2 2 + 20112010  20112010

= x2 + 1

+ 1  1

Mặt khác : C = 2(x2 + x +1)x2 + 1

= (x

2 + 2x 1) + (3x2 + 3) =x2 + 1

(x 1)2

x2 + 1 + 3  3

N = x

2 + x +1 = (x

3 3Mặt khác : N =

x2 + 1 a.x2 + 4x + a  3 = 0 , Xét  = 16  4a2 + 12a = 0 ½ a = 1a = 4 3  4x  x2 + 4x + 4

Khi đó ta có : K =  x2 + 1 +1 1 = x2 + 1

1  1 , Dấu « = » khi x = 2

 3  4x  4x2

Mặt khác : K =  x2 +1  4  + 4= x2 + 1

Chuyên đề b iồ dưỡ h cngọ sinh gi iỏ tốn 8

Biên soạn: Trần Đình Hoàng 22

+ 4  4 , Dấu « = » khi x =

b) Nháp : a = 27 12x ½

x2 + 9 a.x2 + 9a = 27 12x ½ a.x2 + 12x + 9a  27 = 0Cĩ  ' = 36  a (9a  27) = 0 ½ a = 4

a = 1

 8x + 3 

16x2 + 8x 1 (4x 1)2

Khi đó : P =  4x2 +1  4  + 4= 4x2 +1 + 4 = 4x2 +1 + 4  4 8x + 3  4x2 + 8x + 4 4

2 x2 + 2x 1 x2 + 2 (x 1)2

x2 + 2 2(x2 + 2) x2 + 2 + x2 + 2 = x2 + 2 +1  1  Amax = 1  x = 14x + 3 x2 + 4x + 4  x2 1 (x + 2)2

Chuyên đề b iồ dưỡ h cngọ sinh gi iỏ tốn 8

Biên soạn: Trần Đình Hoàng 24

C = 4x + 3 =

x2 +1

4x2 + 4x 1+ 4x2 + 4 =x2 +1

(2x 1)2

x2 +1 + 4  4  x = 1

2

 a ½ a = 1 ;a = 12

 2x  1 1  1

x2 + 4x  4

1 1Khi đó : A =  x2

+ 2  2  + 2= 2(x2 + 2) 2 2(x2 + 2) + 2  2 2x  1 

+ 1

= x2 + 1

– 9

= x2 + 1

x2 + 2x + 3

a.x2 + 2a.x + 3a 12x 13 = 0 ,

Có ' = (a  6)2

 a(3a  13) = 0 ½ a = 4; a = 9