THÔNG TIN TÀI LIỆU
Bồi dưỡng học sinh giỏi toán CHUYÊN ĐỀ : PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ MỤC LỤC Phương pháp đặt nhân tử chung 2 Phương pháp dùng đẳng thức Phương pháp nhóm hạng tử: 4 Phối hợp nhiều phương pháp Phương pháp tách hạng tử 11 Dạng Phân tích đa thức thành nhân tử đa thức bậc hai 11 Dạng Phân tích đa thức thành nhân tử đa thức bậc ba 11 Dạng Phân tích đa thức thành nhân tử đa thức bậc bốn .13 Dạng Phân tích đa thức thành nhân tử đa thức bậc cao 15 Phương pháp thêm bớt hạng tử 16 Phương pháp đổi biến số (hay đặt ẩn phụ) 18 Dạng Đặt biến phụ (x2 + ax + m)(x2 + ax + n) +p .18 Dạng Đặt biến phụ dạng (x + a)(x + b(x + c)(x + d) + e .19 Dạng Đặt biến phụ dạng (x + a)4 + (x + b)4 + c 21 Dạng Đặt biến phụ dạng đẳng cấp 21 Dạng Đặt biến phụ dạng khác .22 Phương pháp hệ số bất định .25 Phương pháp tìm nghiệm đa thức 30 10 Phương pháp xét giá trị riêng .32 Các phương pháp Phương pháp đặt nhân tử chung a Phương pháp - Tìm nhân tử chung đơn, đa thức có mặt tất hạng tử - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác - Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại hạng tử vào dấu ngoặc ( kể dấu chúng ) b Bài tập vận dụng Bài Chứng minh với số nguyên n thì: a) 55n + – 55n 54 b) n2 (n c) 24n+1 24n 23 d) n2 (n 1) 2n(n 1) + 1) + 2n (n + 1) Bài Tìm cặp số nguyên (x, y) thoả mãn đẳng thức sau: a) x + y = xy b) xy – x + 2(y – 1) = 13 HD: viết thành: xy x y = a) Ta có x + y = xy Do suy ra: x ( y 1) ( y 1) = hay ( y 1)( x 1) = Mà = 1.1 = (1).(1) y 1 = y 1 = 1 x =nên: x 1 = x 1 = 1 y = x = Do y = Vậy ta có hai cặp số nguyên cần tìm (0, 0) (2, 2) b) Phân tích vế trái thừa số ta có: xy x + ( y 1) = x ( y 1) + ( y 1) = ( y 1)( x + 2) Vế phải 13 = 1.13 = 13.1 = (1).(13) = (13).(1) nên ta có: ; y 1 = ; y 1 = 13 y 1 = 1 x + = 13 xy +1 2= 13 = ; x + = 13 x + = 1 x = 11; x = 1; x = 15 ; x = 3 Hay: y = y = 14 y = y = 12 Vậy ta có cặp số nguyên cần tìm là: (11, ) ; (1;14); (15; ) ; (3; 12) Phương pháp dùng đẳng thức a) Phương pháp: Sử dụng HĐT học số HĐT bổ sung sau đây: ( a + b2 ) = ( a + b )2 + ( a b )2 a4 + b4 = ( a + b )( a b ) ( a + b )2 2ab a4 + b4 = ( a + b )2 2ab ( ab )2 a4 + a2b2 + b4 = (a2 + ab + b2 )( a ab + b2 ) ( a + b + c ) = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc a4 + a2 + = (a2 + a + 1)(a2 a + 1) b) Bài tập vận dụng: Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) a3 + c) b3 + c3 3abc ( x + y )5 ( x +1) b) x5 y5 + ( x + x +1) d) ( b + c )3 + ( c a )3 ( b + c2 )3 HD: ( a) Ta có: a3 + b3 + c3 3abc = a + 3a2b + 3ab2 + b3 ) + c – (3a b + 3ab + 3abc ) = ( a + b )3 + c3 – 3ab ( a + b + c ) = ( a + b + c ) ( a + b )2 – ( a + b ) c + c2 – 3ab = ( a + b + c ) a + b + c – ab – ac – bc ( ( x + 1)4 + ( x + x + 1)2 = ( x + 1)4 b) Ta có: + x ( x + 1) + 1 ( = ( x + 1) + x ( x +1) + 2x ( x + 1) +1 = ( x +1)2 ( x +1) + x + 2x + 2x +1 ( ) = 2x + 2x +1 ( x + 1)2 +1 = ( x + 2x + )( 2x + 2x + 1) c) Ta có: ( x + y )5 x5 y5 = x5 + 5x y + 10x3y2 + 10x 2y3 + 5xy4 + y5 x5 y5 ( ) = 5xy ( x + 2x y + 2xy + y ) = 5xy ( x + y ) x xy + y + 2xy ( x + y ) 2 = 5xy ( x + y ) ( x + y + xy) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d) Ta có: b + c2 + c a b + c = a + b + c2 a + b c Ta lại có: Nếu x + y + z = x3 + y3 + z3 = 3xyz ( ) ( )3 + ( c ) + (b c ) = a a + b b + c c = a )3 + ( b c )3 = ( a + b )( c a )( b c ) = ( a + b )( b + c ) ( a + c )( a c) Mặt khác: a + b2 + c2 a ( Suy a + b2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Bài Phân tích đa thức thành nhân tử: ( a + b + c )3 ( a + b c )3 ( b + c a )3 ( c + a b )3 HD: Ta có: ( a + b + c )3 ( a + b c )3 ( b + c a )3 ( c + a b )3 = ( a + b + c ) ( a + b c )3 + ( b + c a ) + ( c + a b )3 x = a + b c Đặt y = b + c a x + y + z = a + b + c z = c + a b ) ) Suy ra: ( a + b + c )3 ( a + b c )3 + ( b + c a )3 + ( c + a b )3 3 3 3 = ( x + y + z )3 x + y + z = x + y + z + ( x + y )( y + z )( z + x ) x y3 z3 ( ) = 3(x + y)( y + z)(z + x) = 3.2a.2b.2c = 24abc Bài Chứng minh với số nguyên n thì: a) c) (n (n + 3) – (n + 6)2 – (n – ) e) n n 60 – 1) b) (2n 1)3 2n +1 8 d) (7n 2)2 (2n 7)2 45 24 f) n (n2 1) 12 HD: e) Ta có: n6 n2 = n2 (n4 1) = n (n2 1)(n2 +1) = n2 (n 1)(n + 1)(n2 +1) n(n 1)(n + 1) 3; n(n 1) 2; n(n + 1) n (n 1)(n +1) Đặt n = 5k; n = 5k + 1; n = 5k + 2; n = 5k + 3; n = 5k + (k ) Ta chứng minh n (n 1)(n + 1)(n2 +1) Vậy n6 n chia hết cho 3, 4, nên chia hết cho 60 f) Với số ngun n ta ln có: n 1 n2 (n2 1) Lại có n (n 1) = n(n 1)n(n +1) n (n 1) 12 (3; 4) = Bài Tìm cặp số nguyên (x, y) thoả mãn đẳng thức sau: x2 – y2 = 21 Phương pháp nhóm hạng tử: a) Phương pháp Bước 1: Chọn nhóm …hạng tử thành nhóm cho nhóm sau phân tích thành nhân tử nhóm có thừa số chung, liên hệ nhóm đẳng thức Bước 2: + Nếu nhóm có thừa số chung: Đặt thừa số chung nhóm làm Nhân tử chung ngồi ngoặc ngoặc tổng các thừa số cịn lại nhóm Chú ý: + Nhiều để làm xuất thừa số chung (nhân tử chung) ta cần đổi dấu hạng tử + Tính chất đổi dấu hạng tử: A = – (– A) + Nếu liên hệ nhóm tạo thành đẳng thức vận dụng đẳng thức b) Bài tập vận dụng: Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x + y2 z2 + 2xy 2z b) x y2 + z2 2xz + 2y c) x 2x x 3y3 + 2xy3 d) ( x + y + z )( xy + yz + zx) xyz e) x2 + 2xy + y2 x y 12 2 2 2 f) x y + xy + xz + yz + x z + y z + 2xyz HD: a) Ta có: b) Ta có: c) Ta có: = ( 2xz + 2y 1 = ( x ) ( ) ) ( y 2y +1) = ( x z )2 ( y 1)2 x x + y z + 2xy 2z 1 = x + 2xy + y z + 2z +1 = ( x + y ) ( z +1) x y2 + z2 2xz + z ( x y + 2xy3 = x x 2x x y3 + 2y3 ( ) ( ) ( x x x y3 x = x x y3 d) Ta có: ( x + y + z )( xy + yz + zx) xyz 2x ) )( x 2) = x ( x y ) ( x 2)( x = x y + xyz + x 2z + xy2 + y2z + xyz + xyz + yz2 + xz2 xyz = ( x y + xy2 + xyz) + ( y z + yz2 + xyz) + x z + zx2 2 + xy + y ) = xy( x + y + z) + yz(x + y + z) + xz ( x + z) = y ( x + y + z )( x + z) + xz( x + z) = ( x + z ) ( xy + y2 + yz + xz) = ( x + z )( y + x )( x + y) e) Ta có: f) Ta có: x2 + 2xy + y2 x y 12 = ( x + y ) ( x y ) 12 = = ( x + y + 3)( x + y ) x 2y + xy2 + xz2 + yz2 + x2z + y2z + 2xyz = xy ( x + y ) + z2 ( x + y ) + z ( x + y ) = ( x + y ) ( xy + z + xz + yz) = ( x + y )( y + z )( z + x ) Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x ( y z3 ) + y ( z x3 ) + z ( x y3 ) b) a b c2 b c a + c a b2 c) 2a 2b + 4ab2 a2c + ac2 4b2c + 2bc2 4abc d) x y + xy + xz + yz + x z + y z + 2xyz ( ) ( ) ( 2 ) 2 HD: a) Ta có: = x ( y z3 ) + y ( z x3 ) + z ( x y3 ) = xy3 xz3 + yz3 x y + x3z y3z x3 ( z y ) + y3 ( x z ) + z3 ( y x ) = x3 ( z y ) + y3 ( z y ) ( y x ) + z3 ( y x ) ( ) ( = x3 ( z y ) y3 ( z y ) y3 ( y x ) + z3 ( y x ) = ( z y ) x3 y3 + ( y x ) z3 y3 ) = ( z y )( x y ) ( x + xy + y2 ) + ( y x )( z y ) ( z + yz + y2 ) = ( z y )( x y ) ( x + xy + y2 z2 yz y2 ) = ( z y )( x y )( x z )( x + y + z) ( ) ( ) ( ) b) a b c2 b c a + c a b2 = ab2 ac2 bc2 + ab2 + ac2 b2c ( ) = ab ( a + b) c2 ( a + b) + c ( a + b )( a b) = ( a + b ) ab c2 + ca + cb = (a + b )( b + c )( a c) c) Ta có: 2a2b + 4ab2 a c + ac2 4b2c + 2bc2 4abc = 2a 2b + 4ab2 a2c 2abc + ac2 + 2bc2 4b2c 2abc = 2ab ( a + 2b ) ac ( a + 2b ) + c ( a + 2b ) 2bc ( a + 2b ) ( ) = ( a + 2b ) 2ab ac + c 2bc = ( a + 2b ) a ( 2b c ) c ( 2b c ) = ( a + 2b )( 2b c )( c a ) 2 2 2 d) Ta có: x y + xy + xz + yz + x z + y z + 2xyz ( = xy ( x + y ) + z ( x + y ) + z ( x + y )2 = ( x + y ) xy + z + xz + yz 2 ) = ( x + y )( y + z )( z + x ) Bài Chứng minh với số nguyên n thì: a) n3 + 3n2 – n – 48 b) n + c) (2n 1)3 2n + 24 d) 2n3 3n + n e) n3 n +12n f) n + 3n3 – n – 3n 2n3 + 3n2 2n g) 2n3 + 3n2 + 7n h) n4 2n3 – n +2n 24 i) n + 6n3 +11n + 6n 24 j) n 3n3 4n2 + 16n 384 n > 4, n = 2k k) n12 n8 n4 +1 512 , n = 2k +1 l) n8 n6 n4 + n2 1152 , n = 2k +1 HD: j) Ta có: 384 = 27.3 đặt n = 2k n 3n3 4n2 + 16n = n3 (n 4) 4n(n 4) = (n 4)(n3 4n) = n(n 4)(n2 4) = n(n 4)(n2 4) = (n 4)(n 2)n(n + 2) (2) Thay n = 2k ta được: (2) = (2k 4)(2k 2)2k(2k + 2) = 24 (k 2)(k 1)n(k + 1) Với k = 3; 4; (k 2)(k 1)n(k +1) (k 2)(k 1)n(k +1) Do đó: (k 2)(k 1)n(k + 1) k) Ta có: Ta có: 512 = 29 n12 n8 n4 +1 = n8 (n4 1) (n4 1) = (n4 1)(n8 1) = (n2 1)(n2 +1)(n4 1)(n4 + 1) = (n2 1)2 (n2 +1)2 (n4 + 1) (n + 1) 22 2 Vì n lẻ nên n + 2; n 1 ½ n4 + (n 1) 26 Vậy (n2 1)2 (n2 + 1)2 (n4 + 1) 29 l) Ta có: 1152 = 27.32 n8 n6 n4 + n2 = n6 (n2 1) n (n2 1) = (n2 1)(n6 n ) = n2 (n2 1)(n4 1) = n2 (n2 1)2 (n2 +1) (1) Vì n lẻ nên n + 2; n2 1 ½ (n2 1)2 26 Mặt khác ta có: (1) = n (n 1)( n + 1) n (n 1)( n + 1) (n +1) 32 3 ½ đpcm 3 Phối hợp nhiều phương pháp Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) ( a + b + c ) + ( a b + c ) 4b2 c) ( ) b) x + y + xy x y y z z x 81x4 ( z y2 ) z2 + y2 d) x + x + x y2 + y4 y6 HD: a) ( a + b + c ) + ( a b + c ) 4b2 = ( a + b + c ) + ( a b + c + 2b )( a b + c 2b ) = ( a + b + c ) + ( a + b + c )( a 2b + c ) = ( a + b + c )( a b + c ) ( ) b) x + y + xy x y y z z x = x + y + x y + 2x 2y2 + 2xy3 + 2x3y x y y2z2 z x 4 = x4 + y4 + 2x y + 2xy ( x + y2 ) z2 ( x + y2 ) ( = (x ) )( x ( ) ( ) = (x ) + y ) (x + y ) z = x + y 2 + 2xy x + y z x + y 2 + y2 + y + 2xy z 2 2 = ( x + y2 ) ( x + y + z )( x + y z ) c) Ta có: 81x4 ( z y2 ) z2 + y2 = 81x4 ( z y2 ) ( z y2 ) x2 x Đa thức trở thành: x2 ( t + 10t + 26) = x2 ( t + 10t + 24) = x ( t + )( t + 6) Thay t trở lại ta : M(x) = x4 + 10x3 + 26x2 +10x + = ( x + 4x + )( x + 6x + 1) 105 50 25 5 f) Ta có: P(x) = x2 2x2 30 21x + = + 21 x + 30 x x2 x2 x x 2 x 25 Đặt t = x + x + =2 t 10 x x ( ) P(t) = t 10 21t 30 = 2t 21t 50 = ( t + )( 2t 25) 5 5 P( x) = x 2 x + 25 x + + = ( x 25x + 10 )( 2x + x + ) x x ( ) ( ) ( ) ( ) h) A(x) = 4x 8x + 3x 8x + = x +1 8x x +1 + 3x = x +1 8x x + 5x2 = 4y2 8xy 5x2 = 4y2 + 2xy 10xy 5x2 ( )( 2x 5x + 2) = (2x + x + ) ( x )( 2x 1) B(x) = 2x 15x + 35x 30x + = ( x + 4) 15x ( x + 2) + 35x = ( x + )2 15 ( x + ) + 27x = 2y 15y + 27x = ( y 3x )( 2y 9x ) = ( x 3x + )( 2x 9x + 4) = ( x 1 )( x )( x )( 2x 1) = ( 2y + x )( 2y 5x) = 2x + x + i) 2 2 2 2 2 Bài Phân tích đa thức thành nhân tử: (x a) + y2 + z ) ( x + y + z ) ( xy + yz + zx)2 b) ( x y )3 + ( y z )3 + ( z x )3 d) ( a + b )3 + ( b + c ) + ( c + a )3 c )3 c) (x e) ( a + b + c )3 ( a + b c ) ( b + c a )3 ( c + a b )3 ) ( ) ( ) y3 + y + z 3 z + x 3 HD: a) Ta có ( x + y + z ) = x2 + y2 + z2 + ( xy + yz + zx ) x + y + z = a Đặt xy + yz + zx = b A = a (a + 2b).3b2 = a2 + 2ab 3b2 = (a b )( a + 3b) A = x + y + z xy yz zx (x + y + z + ( xy + yz + zx ) ( ) b) (x y)3 + (y z)3 + (z x)3 Ta biết: Nếu a + b + c = a3 + b3 + c3 = 3abc 8(a + b + x y = a Đặt y z = b a + b + c = B = a + b3 + c3 B = 3abc = 3(x y)(y z)(z x) z x = c c) (x3 y3 )3 + (y3 + z3)3 (z3 + x3)3 x y3 = a Đặt y3 + z3 = b a + b + c = 3 x z = c B = a3 + b3 + c3 B = 3abc = 3(x3 y3)(y3 + z3)(z3 x ) d) (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 8(a + b + c)3 a + b = x Đặt b + c = y x + y + z = 2(a + b + c) (x + y + z)3 = 8(a + b + c)3 c + a = z e) Vậy D = x3 + y3 + z3 (x + y + z)3 Ta có: (x + y + z)3 = x3 + y3 + z3 + 3(x + y)(y + z)(z + x) D = 3(x + y)(y + z)(z + x) f) (a + b + c)3 (a + b c)3 (b + c a)3 (c + a b)3 m = a + b c Đặt n = b + c a a + b + c = m + n + p p = c + a b E = (m + n + p)3 m3 n3 p3 = 3(m + n)(n + p)(p + m) E = 3.2b.2c.2a = 24abc Phương pháp hệ số bất định a) Kiến thức ĐĐ̣ịnh lý : a) Nếu đa thức f ( x ) = a n xn + a n1 xn1 + .+ a1x + a0 = với x Q = b) Nếu hai đa thức bậc mà đẳng với với giá trị biến hệ số hạng tử đồng dạng VD: Cho hai đa thức f ( x ) a xn + a xn1 + .+ a x a0 n n1 + = g ( x ) = b xn + bx+ b b xn1 + + n n1 Nếu f(x) = g(x) = bi ( i = 0; 1; 2; 3; n ) b) Bài tập áp dụng Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: f) HD: h) j) x4 6x3 + 12x2 14x + 12x2 + 5x 12y2 + 12y 10xy 4x4 + k) 2x2 7xy + 6y2 + 9x 13y g) 2x 3x 7x + 6x + 4x3 + 5x2 + i) 2x4 7x3 +17x 20x +14 2x +1 a) Ta nhận thấy giá trị 1; không nghiệm đa thức cho Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn Do đó, ta có: x4 6x3 + 12x 14x + = ( x + ax +1 )( x + bx + 3) Hoặc: x 6x + 12x 14x + = ( x + ax 1)( x + bx 3) Giả sử TH1 ta có : x4 6x3 +12x2 14x + = x4 + (a + b) x3 + ( + ab) x2 + (3a + b) x + Đồng hệ số ta có: a + b = a = + ab = 12 Vậy x4 6x3 + 12x2 14x + = ( x 4x + )( x 2x + 3) b=2 3a + b = 14 b) Cách 1: Ta nhận thấy đa thức có nghiệm x = – nên có nhân tử x + Do đó: 2x4 3x3 7x + 6x + = (x + 1)(2x3 + ax2 + bx + c) = 2x4 + (a + 2)x3 + (a + b)x2 + (b + c)x + c Đồng hệ số ta có: a + = 3 a = 5 Q(x) = (x +1)(x 2)(2x x 4) a + b = 7 b + c = b = 2 c = c = Cách 2: Giả sử (2x2 +ax + b)(x2 + cx + d) = 2x4 + (2c + a)x3 + (2d + ac + b)x2 + (ad + bc)x + bd 2c + a = 3 b = 2 Q(x) = (2x2 x 4)(x +1)(x 2) 2d + ac + b = 7 d = 4 Đồng hệ số: ad + bc = a = c = 1 bd = c) Ta có: 12x2 + 5x 12y2 +12y 10xy = (ax + by + 3)(cx + dy 1) = acx +(3c a ) x + bdy2 + (3d b) y + (bc + ad) xy – Đồng hệ số ta có: ac = 12 a = ½ 12x2 + 5x 12y2 +12y 10xy = ( x 6y + 3)(3x + 2y 1) bc + ad = 10 3c a = c = bd = 12 b = 6 d = 3d b = 12 ( d) Ta có: 2x4 7x3 + 17x2 20x + 14 = 2x + ax + b )( x + cx + d ) = 2x + (2c + a)x + (ac + b + 2d)x2 + (ad + bc)x + bd Đồng hệ số ta có: 2c + a = 7 ac + b + 2d = 17 ad + bc = 20 Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 48 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán b = c = 2 bd = 14 ½ b = 7, d = (TM) d = a = 3 Ta có: 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + = (2x2 + ax + 1)(2x2 + bx + 1) Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 49 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán = 4x + (2a + 2b)x3 + (ab + 4)x2 + (a + b)x + Đồng hệ số hai vế, ta : 2a + 2b = 4, ab + = 5, a + b = a = 1, b = Vậy 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x +1 = (2x2 + x +1)2 e) 2x2 7xy + 6y2 + 9x 13y = ( 2x + ay + b )( x + cy + d) c = 2, b = 3, b = 1, d = Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: b) x4 + 8x + 63 a) x3 – 19x – 30 c) e) x4 + 6x3 + 7x + 6x + d) 4x + 4x + 5x + 2x + 3x4 + 11x3 7x 2x + f) 12x + 5x 12y2 + 12y 10xy HD: ( ) a) Ta có: x3 – 19x – 30 = ( x + a ) x + bx + c = x3 + (a + b) x + (ab + c) x + ac a + b = Đồng hệ số hai vế, ta ab + c = 19 ac = 30 Vì a,c thuộc số ngun vá tích ac = –30, a, c ước –30 hay a, c 1; 2; 3; 5; ; 10; 15; 30 Với a = 2, c = 15 b = –2 thoả mãn hệ Đó số phải tìm ( ) Vậy: x3 – 19x – 30 = ( x + ) x – 2x – 15 b) Ta có: x4 + 8x + 63 = ( x + ax + b )( x + cx + d ) Đồng hệ số ta có: x + 8x + 63 = (x 4x + 7)(x2 + 4x + 9) c) Dễ thấy ±1 nghiệm đa thức nên đa thức khơng có nghiệm ngun, khơng có nghiệm hữu tỉ ( Do đó: x4 + 6x3 + 7x + 6x + = x + ax + b )( x + cx + d ) = x4 + (a + c) x3 + (ac + b + d) x2 + (ad + bc) x + bd Đồng đa thức với đa thức cho, ta có a + c = a = b = d = ac + b + d = c = ad + bc = bd = ( Vậy: x4 + 6x3 + 7x + 6x + = x + x + )(x ) +x+5 d) Ta có: 4x + 4x3 + 5x2 + 2x + = (ax2 + bx + 1)(cx2 + dx +1) Đồng hệ số, ta được: 4x + 4x3 + 5x2 + 2x + = (2x2 + x + 1)2 e) Ta viết: 3x4 + 11x3 7x 2x + = (3x2 + cx +1)(x + dx + 1) = 3x4 + (3d + c)x3 + (4 + cd)x2 + (c + d)x +1 Đồng hệ số hai vế, ta được: 3d + c = 11, + cd = – 7, c + d = – c, d (loại) Khi đó, ta chọn cách viết khác: Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 50 3x4 + 11x3 7x 2x + = (3x + m)(x3 + nx2 + px + q) với x = 3x + (3n + m)x3 + (3p + mn)x2 + (3q + mp)x + mq + m = 11 3n 3p + mn = 7 Đồng hệ số hai vế ta được: 3q + mp = 2 mq = Xét hai trường hợp: TH1: m = q = – 1, giải n = 4, p = – ( nhận ) TH2: m = q = – 1, giải n, p (loại ) Vậy: 3x4 + 11x3 7x 2x +1 = (3x 1)(x3 + 4x2 x 1) f) Ta có: 12x + 5x 12y2 + 12y 10xy = (ax + by + )( cx + dy 1) = acx + (ad + bc)xy + bdy2 + (3c a)x + (3d b)y ac = 12 a = ad + bc = 10 b = 6 Đồng hệ số ta có: bd = 12 3c a = c = d = 3d b = 12 Vậy 12x2 + 5x 12y2 +12y 10xy = (4x 6y + 3)(3x + 2y 1) Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) c) ( A = x + y2 + z2 ) ( x + y + z )2 + ( xy + yz + zx ) d) C = a ( b c )3 + b ( c a )3 + c ( a b )3 HD: A = ab ( a b) + bc ( b c) + ca ( c a ) ( ) ( x b) A = ( a + b + c )3 ( a + b3 + c ) 12abc ) + y + z + ( xy + yz + zx ) + ( xy + yz + zx ) 2 Đặt: x + y + z = a, xy + yz + zx = ta được: b a) Ta có: A = x + y + z 2 ( ) A = a ( a + 2b ) + b = a + 2ab + b = ( a + b ) = x + y + z + xy + yz + zx b) A = ( a + b + c )3 ( a + b3 + c ) 12abc 2 3 m2 n2 Đặt a + b = m a b = n 4ab = m n a +b = ( a + b ) ( a b) + ab = m n + m3 + 3mn2 2 2 A = ( m + c) – – – 3c m – n = c + mc – mn + cn 4c = ( m c )( c n )( c + n ) = ( a + b + c )( c + a b )( c a + b ) ( ) ( ) c) A = ab ( a b) + bc ( b c) + ca ( c a ) x = a b Đặt y = b c x+y=ac A = abx + bcy ca(x + y) = ax(b c) cy(a b) = axy cxy = xy(a c) = (a b)(b c)(c a) d) C = a ( b c )3 + b ( c a )3 + c ( a b )3 x = a b Đặt x+y=ac y = b c x3 + y3 + 3xy ( x + y ) + cx3 C = ay3 b ( x + y )3 + cx3 = ay3 b = y3 ( a b) x3 ( b c) 3bxy(x + y) ( = xy3 x3y 3bxy(x + y) = xy y x2 ) 3bxy(x + y) = xy( x + y )( y x 3b) = xy( x + y )( b c a + b 3b) = xy( x + y )( a + b + c) = ( a b )( b c )( c a )( a + b + c) Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) b) A = ( x + y + z ) ( x + y + z ) ( x + y + z ) ( x + y + z )2 + ( x + y + z)4 B = a ( b + c a ) + b ( c + a b ) + c(a + b c)2 + ( b + c a )( c + a b )( a + b c) c) C = ab ( a + b) + b ( b + c) + ca (c + a ) a3 b3 c3 2abc HD: x + y + z = a a) Đặt: x + y + z = b x + y + z = c Khi ta có: ( ) ( ) A = 2a b 2bc + c4 = 2a 2b + b 2bc + c = a b2 + b c 2 Lại có : a b2 = 2 ( x2y2 + y2z2 + z2x2 ) b c2 = 2 ( xy + yz + zx ) ( ) Thay vào ta : A = 4 x y + y z + z x + ( xy + yz + zx ) = 8xyz ( x + y + z ) a + b c = x b + c a = y b) Đặt c + a b = z m = x + y + z 2a = y + z 2b = z + x 2c = x + y 2A = ( y + z ) x2 + ( x + z) y2 + ( y + x ) z2 + 2xyz = xy ( x + y) + yz( y + z ) + zx ( z + x ) + 2xyz = xy ( m z) + yz ( m x ) + zx ( m y) + 2xyz = m ( xy + yz + zx) xyz = ( x + y )( y + z )( z + x ) = 8abc A = 4abc a + b c = z 2a = y + z c) Đặt b + c a = x 2b = x + z c+ab=y 2c = x + y Ta có: 4C = 4a2 ( b + c a ) + 4b2 (c + a b) + 4c2 (a + b c) 8abc = ( y + z ) x + ( z + x )2 y + ( x + y ) z ( x + y )( y + z )( z + x ) = xy ( x + y) + yz( y + z) + zx ( z + x ) ( x + y )( y + z )( z + x ) + 6xyz = xy ( x + y) + yz ( x + y ) + zx ( x + y ) + z2 ( x + y ) ( x + y )( y + z )( z + x ) + 4xyz = (x + y) ( Bồi dưỡng học sinh giỏi toán xy + yz + zx + z2 ( x + y )( y + z )( z + x ) + 4xyz ) = ( x + y )( y + z )( z + x ) ( x + y )( y + z )( z + x ) + 4xyz = 4xyz C = xyz = ( b + c a )( c + a b )( a + b c) Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) c) B = x(x + 2y)3 y(y + 2x)3 b) C = x4 + (x + y)4 + y4 D = a +b4 + c4 2(a2b2 + b2c2 + c2a ) d) E = 4x ( x + y )( x + y + z )( x + z) + y2z2 HD: a) Đặt m = x + y , ta có: B = x(( m + y ))3 y(( m + x ))3 = x m3 + 3my(( m + y )) + y3 y m3 + 3mx(( m + x )) + x3 = m3 ( x y ) xy ( x y ) 3mxy ( m + x m y ) = ( x y ) m3 xy ( x + y ) 3mxy = m ( x y ) ( m 4xy ) = m ( x y ) ( x + y ) 4xy = m ( x y ) = ( x + y )( x y ) 3 b) Đặt: m = x + y , ta có: C = ( m y) +m4 + y4 = m4 4m3y + 6m2y2 4my3 + y4 + m4 + y4 ( = 2(m = m + 2m2y2 + y4 ) 4my(m + y2 ) + 2m y 2 ) ( ) + y2 my = ( x + y ) + y ( x + y ) y = x + xy + y 2 c) Đặt: m = a2 + b2 + c2 D = ( a + b + c2 ) ( a b + b2c2 + c 2a ) = m b ( a + c ) + c a = m b ( m b ) + c 2a = ( m 2b ) ( 2ca ) = ( m 2b 2ca )( m 2b + 2ca ) = ( a + b2 + c2 2b2 2ca )( a + b2 + c2 2b2 + 2ca) = ( a c )2 b2 ( a + c )2 b2 = ( a c b )( a c + b )( a + c b )( a + b + c ) d) Ta có: ( E = 4x ( x + y + z )( x + y )( x + z ) + y2z2 = x + xy + xz )( x Đặt: x + xy + xz = m , ta có: ( x + xy + xz )( x + xz + xy + yz) + y2z2 = 4m ( m + yz) + y2z2 = ( ) + xz + xy + yz + y2z2 2m + yz )2 Thay m = x2 + xy + xz , ta E = 2x + 2xy + 2xz + yz được: Phương pháp tìm nghiệm đa thức: ( ) a) Lý thuyết: • Định lý nghiệm hữu tỉ đa thức với hệ số nguyên - Giả sử đa thức P(x) = a xn + a Biên soạn: Trần Đình Hồng xn1 + + a x + a đa thức với hệ số nguyên, 0814000158 54 Bồi dn1 ưỡng học sinh giỏ0i toán r n > Khi đó, P(x) có nghiệm hữu tỉ nghiệm hữu tỉ P(x) có dạng , s n r ước a , s ước a (r, s) = n Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 55 Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn - Nếu P(x) có nghiệm x = a f(a) = Khi đó, P(x) có nhân tử x – a P(x) viết dạng P(x) = (x – a).q(x) - Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt x = a x = b ta phân tích đa thức P(x) thành tích ba thừa số (x – a), (x – b) Q(x) Khi P(x) = (x – a)(x – b) Q(x) - Vậy đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a P(x) = (x – a)2R(x) • Hệ quả: Đa thức P(x) = a n xn + an1 xn1 + + a1 x + a0 , nguyên i = 0, n 1 Khi P(x) có nghiệm hữu tỉ nghiệm hữu tỉ P(x) số nguyên ước số hệ số a0 Ví dụ: Cho đa thức: x3 + 3x + Nếu đa thức có nghiệm a (đa thức có chứa nhân tử (x + a)) nhân tử cịn lại có dạng (x2 + bx + c) Tức là: x3 + 3x + = (x + a)(x2 + bx + c) +ac = + a ước + Vậy đa thức với hệ số nguyên, nghiệm nguyên có phải ước hạng tử tự • Định lý Bezout: Số x0 nghiệm đa thức P(x) P(x) (x – x0) • Sơ đồ Horner: - Giả sử chia đa thức P(x) = a xn + a n n1 xn1 + + a x + a cho nhị thức x – a - Bậc đa thức thương Q(x) nhỏ bậc P(x) đơn vị Q(x) = b n1 xn1 + b - Ta có: a xn + a n n2 n1 xn2 + b (Số dư r số) x + + a x + a = (x a)(b n1 - Cân hệ số,0 ta có: an an1 a n3 xn3 + + b an = bn1 bn2 = an a + an1 xn1 + b n1 … xn2 + b n2 xn3 + + b ) + r n3 a1 a0 b0 = b1.a + a1 r = b0 a + a0 b) Bài tập áp dụng: Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử P(x) = x4 + x3 – 2x2 – 6x – HD: Ta nhận thấy đa thức P(x) có nghiệm phân biệt –1 Vì P(–1) = P(2) = Do P(x) = (x – 1)(x – 2)Q(x) Chia đa thức P(x) cho tam thức (x + 1)(x – 2) = x2 – x – , ta thương phép chia là: Q(x) = x2 + 2x + = (x + 1)2 + > Suy ra: P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2) Vậy : P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2) Bài Phân tích đa thứcsau thành nhân tử: a) x3 – 2x – b) x3 + 3x – c) 2x3 – 5x2 + 8x – d) x4 + x3 – 2x2 – 6x – e) 6x4 + x3 +19x 31x 30 f) 4x4 4x3 7x 4x + g) 9x4 +15x3 + 43x2 + 22x 40 h) 2x4 19x3 + 2002x2 9779x + 11670 ĐS: Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 56 a) (x – 2)(x + 2x + 2) c) (2x – 1)(x2 – 2x + 3) Bồi dưỡng học sinh giỏi toán b) (x – 1)(x + 2)2 d) (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2) e) (2x 3)(3x + 2)(x + x + 5) f) (x 2)(2x 1)(2x2 + 3x + 2) g) (3x 2)(3x + 4)(x + x + 5) h) (x 2)(x 3)(2x2 9x +1945) 10 Phương pháp xét giá trị riêng: - Phương pháp áp dụng số đa thức nhiều biến, hốn vị vịng quanh Trong phương pháp trước hết ta xác định nhân tử chứa biến đa thức, gán cho biến giá trị cụ thể để xác định nhân tử lại Ngồi ta cịn có nhận xét: Giả sử phải phân tích biểu thức F(a,b,c) thành nhân tử, a, b, c có vai trị biểu thức Nếu F(a,b,c) = a = b F(a,b,c) chứa nhân tử a + b, b + c, c + a Nếu F(a,b,c) biểu thức đối xứng a ,b, c F(a,b,c) ≠ a = b ta thử xem a = + b, F(a,b,c) có triệt tiêu khơng, thoả mãn F(a,b,c) chứa nhân tử a + b từ chứa nhân tử b + c, c + a Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: P = x2 ( y z ) + y2 ( z x ) + z2 ( x y) HD: Nhận xét: Nếu thay x y P = 0, nên P chia hết cho x – y Hơn thay x y, y z, z x P khơng thay đổi (Ta nói đa thức P hốn vị vịng quanh) Do đó: P chia hết cho x – y P chia hết cho y – z z – x Từ đó: P = k ( x y )( y z )( z x ) ; k số (khơng chứa biến) Vì P có bậc tập hợp biến, cịn tích (x – y)(y – z)(z – x) có bậc tập hợp biến Ta có: P = x2 ( y z ) + y2 ( z x ) + z2 ( x y) = k ( x y )( y z)(z x ) (*) với x, y, z R nên ta chọn giá trị riêng cho x, y, z để tìm số a xong Chú ý: Các giá trị x, y, z ta chọn tuỳ ý, cần chúng đôi khác để tránh P = Chẳng hạn: Chọn x = 2; y = 1; z = thay vào đẳng thức (*), ta tìm k = –1 Vậy: P = x2 ( y z ) + y2 ( z x ) + z2 ( x y) = ( x y )( y z )( z x ) = ( x y )( y z)(x z ) Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q = a ( b + c a ) + b ( c + a b )2 + c ( a + b c ) + ( a + b c )( b + c a )( c + a b ) HD: Nhận xét: Với a = Q = 0, a nhân tử Q Do vai trị bình đẳng a, b, c nên b c nhân tử Q, mà Q có bậc tập hợp biến nên Q = k.abc Chọn a = b = c = k = Vậy Q = 4abc Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) P = ( x + y + z )3 – x3 – y3 – z3 Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 57 Bồi dưỡng học sinh giỏi tốn b) B = (xy + xz + yz )( x + y + z ) + xyz c) d) M = a ( b + c )( b c) + b ( c + a )( c a ) + c ( a + b )( a b) A = ab ( a – b) + bc ( b – c) + ca (c – a ) HD: a) Nhận xét: Nếu thay x = –y P = 0, nên P chia hết cho x + y Hơn thay x y, y z, z x P khơng thay đổi Do đó: P chia hết cho x + y P chia hết cho y + z z + x Từ đó: P = k ( x + y )( y + z )( z + x ) ; k số (khơng chứa biến) Vì P có bậc tập hợp biến, cịn tích (x + y)(y + z)(z + x) có bậc tập hợp biến Với x = 0; y = z = 1, ta có: k = Vậy P = ( x + y )( y + z )( z + x ) b) Khi x = + y B = y2z + y2z = nên B chứa nhân tử x + y Lập luận tương tự, ta có B = ( x + y )( y + z )( z + x ) c) Khi thay a = b M = nên M chia hết cho a – b Lập luận tương tự, ta có: M = R (a b )( b – c )( c – a )( a + b + c) Chọn a = 0, b = 1, c = ta R = Vậy M = ( a b )( b – c )( c – a )( a + b + c) d) Khi thay a = b A = nên A chia hết cho a – b Lập luận tương tự, ta có: A = k (a b )( b – c )( c – a) Chọn a = 0, b = 2, c = 1, ta được: k = +1 Vậy A = ( a b )( b – c )( c – a ) Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 3xyz b) xy( y z ) xz ( x + z) + yz(2x + y + z) d) c) x ( y + z ) + y ( z + x ) + z ( x + y )2 e) 4xyz g) A = (a b)5 + (b c)5 + (c a)5 x ( y + z )2 + y ( z + x )2 + z ( x + y )2 3xyz f) A = a(b3 c3) + b(c3 a ) + c(a3 b3) 2 2 2 HD: B = a (b c ) + b (c a ) + c (a b ) Biên soạn: Trần Đình Hồng 0814000158 58 e) A = 5(a b)(b c)(c a)(a2 + b2 + c2 ab bc ca) f) A = (b c)(a b)(c a)(a + b + c) g) B = (a b)(b c)(a c)(ab + bc + ca) ... f) N = x + 2008x2 + 2007x + 20 08 = ( x + x + )( x x + 20 08) Dạng Phân tích đa thức thành nhân tử đa thức bậc cao Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) x8 + 14x4 + b) x8 + 98x4 + c) x7 +... Dạng Phân tích đa thức thành nhân tử đa thức bậc bốn Bài Phân tích đa thức sau thành nhân tử: a) P(x) = 6x4 +19x2 +15 Biên soạn: Trần Đình Hồng b) Q(x) = x + x3 + 2x + x + 081 40001 58 20 Bồi dưỡng. .. pháp đặt nhân tử chung a Phương pháp - Tìm nhân tử chung đơn, đa thức có mặt tất hạng tử - Phân tích hạng tử thành tích nhân tử chung nhân tử khác - Viết nhân tử chung dấu ngoặc, viết nhân tử lại
Ngày đăng: 29/09/2021, 12:31
Xem thêm: