Chuyên đề các bài toán về phân thức đại số bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8

Bồi dưỡng học sinh giỏi toán CHUYÊN ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ PHÂN THỨC ĐẠI SỐ MỤC LỤC Chủ đề CHỨNG MINH MỘT BIỂU THỨC LÀ SỐ TỐI GIẢN Chủ đề TÍNH GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Dạng Tính giá trị biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước biến Dạng Tính giá trị biểu thức số cách biến đổi từ công thức tổng quát 17 Chủ đề RÚT GỌN BIỂU THỨC 19 Dạng Rút gọn biểu thức cách sử dụng tính chất phân thức 19 Dạng Rút gọn biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước biến 22 Dạng Rút gọn biểu thức có tính quy luật 26 Chủ đề CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC CHỨA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ 29 Dạng Biến đổi vế thành vế 29 Dạng Biến đổi hai vế biểu thức thứ ba 31 Dạng Từ điều kiện tạo thành phần vế 33 Dạng Phương pháp biến đổi tương đương 40 Dạng Phương pháp đổi biến số .41 Dạng Phân tích lên từ kết luận 43 Dạng Phương pháp tách hạng tử 44 Chủ đề BÀI TOÁN TỔNG HỢP 45 Chủ đề CHỨNG MINH MỘT BIỂU THỨC LÀ SỐ TỐI GIẢN • • Phương pháp: Để chứng minh phân số cho tối giản, ta chứng tỏ tử mẫu có ƯC 1 - Một số tính chất cần sử dụng chứng minh: + Nếu d = ƯCLN(a; b) ad bd , ta có: ( a  b )d + Nếu ad k.a  d a n d Bài tập áp dụng Bài Chứng minh với số nguyên n phân số n3 + 2n n + 3n + phân số tối giản HD: Để chứng minh phân số cho tối giản, ta chứng tỏ tử mẫu có ƯC 1 Gọi d ước chung n3 + 2n n4 + 3n2 +1 ( ) n + 3n +1  ( n + 2n ) = n +  d  ( n +1)2 = n + 2n d Từ (1) (2) suy ra: ( n + 2n +1 )  ( n + 2n ) d   d  d = 1 (1) Ta có: n3 + 2n  d  n n + 2n  d  n4 + 2n2  d 4 Vậy 2 (2) +1  n3 + 2n phân số tối giản n + 3n2 + Bài Chứng minh với số nguyên dương n thì: n3  a) phân số không tối giản n5 + n + HD: a) Ta có ( n 1 ) ( n + n +1) n5  n2 + n2 + n + = 6n + b) 8n + ( n 1 ) ( n + n + 1) ( ) ( = ) (n n n 1 + n + n + với số nguyên dương n n2 (n 1 ) ( n + n + 1)  n2 + )(n ) +n+1 n3 1 + n +1  nên b) Đặt ƯCLN (6n + 1; 8n +1) = phân số tối giản với d  N* n +n+1 phân số không tối giản d  6n + 1d  24n + 4d 8n + 1d  24n + 3d  ( 24n + )  ( 24n + )d  1d  d =  ƯCLN (6n + 1; 8n +1) =  Phân số cho phân số tối giản n2 + Bài Cho P = với n số tự nhiên Hãy tìm tất số tự nhiên n khoảng từ n+ đến 2020 cho giá trị P chưa tối giản HD: n2 + 29 Ta có: P = =n5+ với n   n+5 n+ Để phân số P chưa tối giản ƯCLN ( 29; n + 5) = d (d  1) Khi n +  d 29  d  d = 29  n +  29 ( Hay n + = 29k k  N+ )  n = 29k  Mà < n < 2020  < 29k  < 2020  29k < 2025 24  < k < 69  k {1, 2, , 69} 29 29 Vậy số tự nhiên n cần tìm có dạng n = 29k  với k {1; 2; 3; ; 69} Bài Cho phân sô m giản n m m+ n phân thức tối giản Chứng minh phân số HD: Giả sử m, n số nguyên ƯCLN(m, n) = (vì m phân thức tối tối giản) n Gọi d = ƯCLN(m, m + n), ta có: (m + n)  d m  d ⇒ [(m + n) – m ] = n  d ⇒ d ∈ ƯC (m, n) ⇒ d = (vì m Vậy phân thức m n tối giản) n phân thức tối giản phân thức giản Bài Chứng minh vơi số tự nhiên n phân số m m+n 10n2 + 9n + phân thức tối 20n2 + 20n + tối giản HD: Gọi d ƯCLN 10n2 + 9n + 20n2 + 20n + 10n + 9n +  20n + 18n +   2n +  d  d số tự nhiên lẻ d d   20n2 + 20n +  d 20n + 20n +  d Mặt khác : 2n + 1d  4n + 4n +1  d  20n + 20n +  d   d , mà d lẻ nên d = Vậy phân số tối giản • Bài tập tự giải: n7 + n2 + Bài Chứng minh phân không tối giản với số nguyên dương n số n +n+1 Bài Chứng minh phân số sau tối giản với số tự nhiên n 3n + 12n +1 2n + 3n +1 a) b) c) d) 5n + 30n + 2n 1 5n + 2n +1 2n + n + 3n  f) h) e) g) n4 5n + 4n  3n + 3n 2n 1 5n + i) j) k) 4n  7n +10 3n +1 Chủ đề TÍNH GIÁ TRỊ CỦA PHÂN THỨC ĐẠI SỐ Dạng Tính giá trị biểu thức thỏa mãn điều kiện cho trước biến a Phương pháp: Biến đổi điều kiện thay vào biểu thức cho biến đổi biểu thức cho làm xuất biểu thức điều kiện b Bài tập áp dụng Bài Tính giá trị biểu thức a) x + = (x  0) x A=x + , biết rằng: x3 + x2 = 14 ( x  ) b)x2 HD: a) Áp dụng HĐT: A3 + B3 = ( A + B )3  3AB ( A + B ) ( b) Áp dụng HĐT: A + B2 = ( A + B )  2AB A + B3 = ( A + B ) A + AB + B2 ) ĐS: A = 18 Ta2+ –2+ = 16 được: x x +2+ x = 4 x  =   x   x  x + x 2 1 x   x2    Với + x3 x = 4 (14 1) = x 52 43 x Với + x3 x = 4.(14 1) = 52 x x3 x Bài Tính giá trị biểu thức A = x3 + B = x5 + x3 Cho biết x số thực dương thỏa mãn điều kiện x Tính x5 x + =7 x2 HD:  1 2 =  x2 + + =  x + = (vì x > )  =9x+     x x x  x2    1 1 Ta có  x +   x +  = 3.7  x + + x 21  x + + = 21  A =18 2   + = 3 Từ x + x x x    Ta có:  x  x + = 7.18  x5+  +   3 x  x  x5+ + = 126  B =123 x + + x =126 x x x x5 Bài a) Cho a + b = a + b2 = 20 Tính giá trị biểu thức M = a3 + b3 b) Cho a + b + c = a + b2 + c = 14.Tính giá N = a4 + b4 + c4 HD : trị biểu thức a) Từ a2 + b2 = 20  ( a + b )  2ab = 20   2ab = 20  ab = 8 M = a3 + b3 = ( a + b )3  3ab ( a + b ) = 23  ( 8 ) = 56 b) Từ a + b + c = 14  ( a + b + c ) = 196  a + b4 + c4 = 196  ( a b + b2c2 + c2a ) Ta lại có: a + b + c =  ( a + b + c ) =  a + b2 + c2 + ( ab + bc + ca ) =  ab + bc + ca = 7  ( ab + bc + ca )2 = 49  a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc(a + b + c) = 49  a2b2 + b2c2 + c2a = 49 ( Do đó: N = a + b4 + c4 = 196  a b + b2c2 + c2a Bài a) Cho a – b = Tính giá trị biểu thức b) Cho ) = 196  2.49 = 98 M = a2 (a + 1)  b2 (b  1) + 3ab2  2ab  3a2b giá trị biểu + thức Q = x6 + x5 x + x4 + x3 + x2 = +2x+1 c) C h o h s ố x, y thỏa mãn: x + x2 y2  y = x3 + y2  y + = Tính Q = x2 + y2 HD: ( a) M = a3 + a  b3  b2 + 3ab(b  a )  2ab = ( a  b ) a + ab + b2 ) +a + b2 + 3ab(7) 2ab = ( a + ab + b ) + a + b  23ab = ( a  b )2 = 8.7 = 392 ( b) Ta có: Q = x x + 2x3 + x2 ) + (x + 2x3 + x2 ) +x +x + x +1 ( ) ( Vậy Q = ) = x2 x2 + x + x2 + x + x + = x2 + x + =4 c) Từ x2 + x y  2y =  x2 = 2y   1  x  (1) y + x3 + 2y2  4y + =  x3 = 1 ( y 1)  1  x  1 (2) Từ (1) (2)  x = 1  x2 =  x =  y2  2y + =  y =  y2 = Vậy Q = x + y2 = + Ta có:  2 x + x y  2y  =2 =0 Bài a) Tính giá trị biểu thức P= x y x2  y2 = xy ( x + y  0; y  0) Biết x+ y HD: b) Cho a b thỏa mãn: a + b = Tính giá trị biểu B = a + b3 + 3ab thức a) Từ giả x2  2y2 = xy  x2  xy  2y2 =  thiết Vì x + y  nên x  2y =  x = 2y 2y  y y Khi P = = = 2y + y 3y ( x + y )( x  2y ) = b) Ta có: B = a3 + b3 + 3ab = a3 + b3 + 3ab.1 = a3 + b3 + 3ab ( a + b ) = ( a + b )3 = Bài a) Cho HD : 4a + b2 = 5abvà 2a  b  P = Tính b) Cho a > b > ab 4a b ( a + b2 thức: ) = 5ab Tính giá trị biểu a) Biến đổi được: 4a + b2 = 5ab  ( 4a  b )( a  b )   P= 3a  b 2a + b  b = 4a b=a  a2 M a  b   a  b  b n ê n a = b V ậ y ta đ ợ c: P = a  a = ( ) ( ) ( ) b) Biến đổi được: a + b = 5ab  2a  4ab + 2b  ab =   a = 2b Trường hợp b = 2a (Loại) a > b > Trường hợp a = 2b Ta có: 3a  b 6b  P=b 2a=+ b =1 4b + b Bài a) Cho a > b > thỏa P= mãn 3a + 3b2 = 10ab Tính giá trị biểu thức x  xy b) C x + y = 11z ; x  y = 4z Tính giá ho trị Q =  b = 2a x2 + y2 ab a+b (2) Từ (1) (2) suy ra: b2 c + c2 a2 + a2 b2 (a + b)(a +c ) (b +c)(b +c ) (c +a)(c + b) Cách Đặt a + b = z ; a + c = y ; b +c = x Đẳng thức chứng minh tương đương với: = b c b +c + ca c +a + a b a+b x(z  y) y(x z ) z ( y x) x  z y  x z  y yz xz + = + + xy y z x Biến đổi vế trái ta có: xz  xy xy yz yz  xz x x y y z z z  y x z y z yz xz xy + + =  +  +  = + + = (VP) y2 z z x x y x y x b c b2 a2 a c2 ba a c Cách Ta có: (3) = + = + (3) (a + b)(a +c ) (a + b)(a +c ) (a + b)(a +c ) a +c a + b + Tương tự, ta có: (4) c2 a c b b a b = + +a b+ (b +c)(b + c a) a c cb a2  b2 (= + c+b + c+a (5) Từ (3) (4) (5) cộng vế với vế, ta có điều phải chứng minh Bài tập tự luyện 1 1) cho + + = ; tính giá trị biểu thức A = x y HD: A = xyz z yz x2 + xz y2 + xy z2 xyz xyz ; vận dụng a + b + c =  a3 + b3 + c3 = 3abc + x y z  a b 3  c 2) Cho a + b + c = 3abc ; Tính giá trị biểu thức A = b +   +  +   c a     3) Cho x + y + z = 0; chứng minh rằng: y + z + x + z + x + y + = x y z a b c 2 4) Cho a + b + c = a + b + c = 1; = = Chứng minh xy + yz + xz = x y z + Chủ đề BÀI TOÁN TỔNG HỢP x4  x + Bài Cho biểu thức A = x  10 x + a) Rút gọn A c) Tìm giá trị A 2x 1 = HD: a) ĐKXĐ: x  1 x  Với x   1; x   A = b) Tìm x để A = ( x 1 )( x + 1)( x  )( x + 2) = ( x  )( x + 2) ( x 1 )( x + )( x  )( x + ( x  )( x + 3) 3) b) A =  x =  c) 2x 1 =  x = x = – 12 • Với x = A = • Với x = – A không xác định x 7 x  12 x + 45 Bài Cho biểu thức a) Rút gọn B HD: x  19 x + 33 x  b) Tìm x để B > a) ĐKXĐ: x  x  1 2x  7x 12x + 45 ( x  3) ( 2x + 5) 2x + b) V 3x = 19x + 3x i 1 33x  x = (x   3) ( 3x 1) v x  T h ì c)  B > 2x + 3x 1    Bài Cho biểu thức  C 1=  1x > >0   x <   2 5x  :  2x + a) R ú t g ọ n biểu thức C  x = 1, x =1   x = 1   x x+1  x=0 x1 2x1  b) Tìm giá trị nguyên x để giá trị biểu  thức B số ngun Đối chiếu ĐKXĐ có x = HD: thoả mãn x3 + x  a) ĐKXĐ: x   2x C2  x  1 2x Bài = D :   =(x = x + 2(1 x)  1+ x | x + | x2 + 1)(x +1) 2 Cho = biểu +  1 x 2x  1 x thức  x1 +1x2 1 a) Rút gọn biểu thức D b) Tìm x nguyên để D có giá trị  nguyên (1 x) (1+ x) c) Tìm giá trị D x =  HD:  a) N x = x + nên ế  u + x  + 2  >  b) B có có giá trị giá trị t nguyên nguyên h x ì số x3 +2 x2  2x x23 x + x  2x x  nguyên x = D=  x | x + | x2 + x(x + =  2x 1 = (2)  x2 + )   2x 1 = 1   2x 1 = N | x + |= – ( x + 2) nên 2x 1 = 2 ế x u x – + < l t h ì Ư 3x + x2  x x3 + x2  x  x D = x | x + |  x + =  x (x + ) x + = Nếu x + =  x = – biểu thức D khơng xác định iá ên trị b) Đ ng ể uy D x2  x c có giá trị h x nguyên o ặ • x xcó giá trị nguyê n   x      x    x x > (x 2  )  x2 >2   Vì x(x – 1) tích hai số nguyên liên tiếp nên chia hết cho với x > – • x  x   x = 2k có giá trị nguyên      x < 2  x > + 1+ =x x 1 nên x – 1+ +2 > x 1 x 1 x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương x – , ( x 1) x 1 Ta cóx  + x 1 =2P4  x  Đẳng thức x x  ( x  x – = (vì x – xảy   – 1) > 0) =1  x = (TMĐK) = Vậy giá trị nhỏ P x = x + xP =  x + 1 :  x  Bài 10 x 1 x + x  2 x + Cho biểu x x thức :   a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm x để P < c) Tìm giá trị nhỏ P x > HD: a) ĐKXĐ: x  0; x  1; x  1 Rút gọn x P ta có: P= Biên soạn: Trần Đình Hồng 104 x2  0814000158 2 x x x  x + Bồi dưỡng học sinh giỏi toán x   + b) Tìm giá trị thực x để A có giá trị số nguyên A Bài Cho biểu 2x x    : 1 thức A= x  +  b) P <  x 1 c) Ta có: P = = =x+1+ = x 1+ + x 1 x 1 x 1 x 1 Khi x > 1; x 1 > 0.Áp x  dụng bất đẳng thức Cô si + ta có: x =  Dấu " = x " xảy  Vậy MaxP = x = • Bài tập tự luyện  x 1  3x + x 2 x + 2x + – Bài A =  x x 1 :   ( Cho  3x + x  x 1 )  1  a) Tìm điều kiện xác định rút gọn biểu thức A Biên soạn: Trần Đình Hồng 105 0814000158   Bài Cho biểu thức B = a) Rút gọn B 3y3  7y2 + 5y 1 2y3  y2  4y + b) Tìm số nguyên y có giá trị nguyên để 2D 2y + c) Tìm số nguyên y để B  3x3 14x2 + 3x + 36 Bài Cho biểu thức A = 3x 19x + 33x  a) Tìm giá trị x để biểu thức A xác định b) Tìm giá trị x để biểu thức A có giá tri c) Tìm giá trị nguyên x dể biểu thức A có giá trị nguyên 2 +  x x  3x  x  4x2  = – : 2x2  Bài Cho biểu x   x2 +    x thức : A x      a) Tìm ĐKXĐ rút gọn biểu thức A ? b) Tìm giá trị x để A > 0? c) Tính giá trị A trường hợp : |x – 7| =  10  x2   x Bài Cho biểu thức A =  + + :x2+  x   2x x x+2  +2  a) Rút gọn biểu thức A x = b) Tìm giá trị A, biết c) Tìm giá trị x để A < d) Tìm giá trị nguyên x để A có giá trị nguyên  x  2x  x2  x   2x2 x  x  với 2,  x2)    a) Rút gọn biểu thức Q b) Tìm giá trị x để Q có giá trị  Cho biểu thức P Bài x+1 =  x 1    x 3x 1  :  x + x 3x     a) Rút gọn P b) Tìm x  để P có giá trị nguyên c) Tìm x x  để P   2016 2014  Bài Cho biểu thức A =   x 1  x +1 x  : x2 1 a) b) c) d)   Tìm điều kiện x để giá trị biểu thức xác định Rút gọn biểu thức A Tìm x để A  biểu diễn tập giá trị tìm x trục số Tìm tất số nguyên x để A có giá trị số nguyên ... d ⇒ d ∈ ƯC (m, n) ⇒ d = (vì m Vậy phân thức m n tối giản) n phân thức tối giản phân thức giản Bài Chứng minh vơi số tự nhiên n phân số m m+n 10n2 + 9n + phân thức tối 20n2 + 20n + tối giản HD:... ( ) 9x2 1 081 40001 58 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán Bài 10 Cho < x < y x2 +82 y2 = xy Tính giá trị 2016 x + 2017 y P = 3x2y HD: Phân tích: Quan sát, nhận thấy giả thiết chứa đa thức bậc hai... Vậy số tự nhiên n cần tìm có dạng n = 29k  với k {1; 2; 3; ; 69} Bài Cho phân sô m giản n m m+ n phân thức tối giản Chứng minh phân số HD: Giả sử m, n số nguyên ƯCLN(m, n) = (vì m phân thức