Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS

Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS Chuyên đề đại số Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS

MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ ĐẠI SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS MỤC LỤC Chuyên đề 1: Biến đổi đồng Trang 2 Chuyên đề 2: Các toán đa thức .Trang 22 Chuyên đề 3: Các toán thức Trang 27 Chuyên đề 4: Phương trình, hệ phương trình đại số Trang 54 Chuyên đề 5: Phương trình, hệ phương trình vơ tỷ Trang 91 Chun đề 6: Phương trình chứa tham số hệ thức vi-et Trang 135 Chuyên đề 7: Hàm số đồ thị bậc – bậc .Trang 169 Chuyên đề 8: Giải tốn lập phương trình Trang 195 Chuyên đề 9: Chứng minh Bất Đẳng thức, Tìm GTNH GTLN Trang 121 Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2039 TÀI LIỆU TỐN HỌC CHUYÊN ĐỀ BIẾN ĐỔI ĐỒNG NHẤT a + b3 + c3 - 3abc = 2009 Bài Cho a + b + c = 2009 Chứng minh rằng: a + b + c - ab - ac - bc Lời giải Ta có đẳng thức: a + b3 + c3 - 3abc= ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) ( a + b + c ) ( a + b2 + c − ab − bc − ca ) a + b3 + c3 - 3abc = = a + b + c =2009 Do đó: a + b + c - ab - ac - bc a + b + c − ab − bc − ca Bài Giả sử a, b, c, x, y, z số thực khác thỏa mãn: Chứng minh rằng: a b c x y z + + = + + = x y z a b c x2 y z + + =1 a b2 c2 Lời giải Ta có: = a b c ayz + bxz + cxy + + = Suy ra: ayz + byz + cxy = x y z xyz  ayz + bxz + cxy  x y z x2 y z xy yz xz  x y z Do đó: =  + +  = + + +2  + +  = + + +2   a b c b c xyz a b c  ab bc ca  a   =   x2 y z + + +   a b c  xyz  Vậy x2 y z + + = (đpcm) a b2 c2 Bài Giả sử x, y, z số thực dương thỏa mãn điều kiện: x + y + z = xyz Chứng minh rằng: xyz ( x + y + z ) x 2y 3z + + = 2 1+ x 1+ y 1+ z ( x + y )( y + z )( z + x ) Lời giải Ta có: x xyz = 1+ x yz + x.xyz Tương tự ta có: xyz xyz xyz = = = yz + x ( x + y + z ) x + xy + yz + zx ( x + y )( z + x ) 2y xyz 3z xyz = ; = 2 1+ y ( x + y )( y + z ) + z ( y + z )( z + x ) Do đó: x 2y 3z xyz + + = 2 1+ x 1+ y 1+ z ( x + y )( z + x ) = xyz ( y + z + x + z + x + y ) ( x + y )( y + z )( z + x ) = xyz + ( x + y )( y + z ) xyz + ( y + z )( z + x ) xyz ( x + y + z ) ( x + y )( y + z )( z + x ) Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2039 TÀI LIỆU TỐN HỌC Vậy: xyz ( x + y + z ) x 2y 3z + + = 2 1+ x 1+ y 1+ z ( x + y )( y + z )( z + x ) Bài Giả sử x, y số thực dương phân biệt thỏa mãn: y y2 y4 y8 + + + =4 x + y x + y x + y x8 − y Chứng minh rằng: y = x Lời giải Ta có y2 + x2 + y y + 4= x+ y y4 + x4 + y y8 = x8 − y y = + x+ y y2 + x2 + y y4 = x4 − y y + x+ y y2 = x2 − y y ( x − y ) + y2 = ( x + y )( x − y ) = Do đó: y + x+ y y + x+ y ( ) ( ) y x − y + y8 y2 + x2 + y (x +y )( x − y4 ) y x2 − y + y (x +y )( x − y2 ) y x− y y = ⇔ y = x− y ⇔ y = x x− y Vậy y = x ( đpcm ) Bài Cho số thực x, y, z thỏa điều kiện: x + y + z = xyz ≠ x2 y2 z2 Tính giá trị biểu thức: P = 2 + 2 + 2 y +z −x z +x −y x +y −z Lời giải Ta có: x + y + z =⇒0 +y −=z ⇔ x + ( y =−z ) ( x) x2 x2 Suy ra: y + z −– x = yz Do đó: 2 = y +z −x −2 yz 2 Tương tự ta có: y2 y2 z2 z2 = ; = z + x − y −2 xz x + y − z −2 xy Do đó: P= x2 y2 z2 x2 y2 z2 x3 + y + z + + = + + = y + z − x z + x − y x + y − z −2 yz −2 xz −2 xy −2 xyz (x + y + z) = − ( x + y )( y + z )( z + x ) −2 xyz = − ( − z ) ( − x ) ( − y ) −2 xyz = xyz = − −2 xyz Vậy P = − Lưu ý cần nhớ: Khi a + b + c =0 a3 + b3 + c3 = 3abc ngược lại a3 + b3 + c3 = 3abc a + b + c = Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2039 TÀI LIỆU TOÁN HỌC x Bài Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn: + 1 + =1 x + y + z = y z Chứng minh rằng: (x – 1)(y – 1)(z – 1) = Lời giải Ta có: = 1 xy + yz + zx + + = Suy ra: xy + yz + zx = xyz x y z xyz Do đó: (x – 1)(y – 1)(z – 1) = xyz – (xy + yz + zx) + (x+y+z) -1 (*) Thay xy + yz + zx = xyz x + y + z =1 vào (*) ta được: (x – 1)(y – 1)(z – 1) = xyz – (xy + yz + zx) + (x+y+z) -1 = (xy + yz + zx) – (xy + yz + zx) + -1 = (đpcm) Bài Cho x, y, z đôi khác thỏa mãn: Tính giá trị biểu thức: P = 1 + + =0 x y z yz zx xy + + x + yz y + zx z + xy Lời giải x Ta có: = + 1 xy + yz + zx + = ⇒ xy+ yz+ zx= y z xyz Do đó: x2 + 2xy = x2 + 2xy – (xy + yz + xz) = (x2 – xz) + (xy – yz) Suy ra: x2 + 2xy = (x-y)(x-z) Do đó: yz yz = y + zx ( x − y )( x − z ) Tương tự ta có: zx zx xy xy = ; = y + zx ( y − x )( y − z ) z + xy ( z − x )( z − y ) Do đó: P= = yz zx xy yz zx xy + + = + + x + yz y + zx z + xy ( x − y )( x − z ) ( y − x )( y − z ) ( z − x )( z − y ) − yz ( y − z ) − zx ( z − x ) − xy ( x − y ) ( x − y )( y − z )( z − x ) = ( x − y )( y − z )( z − x ) = ( x − y )( y − z )( z − x ) Vậy P = Bài Cho x, y, z số thực thỏa mãn xyz =1 Chứng minh: P = 1 + + =1 + x + xy + y + yz + z + zx Lời giải Ta có: x x xy xy = = = = ; + y + yz x + xy + xyz + x + xy + z + zx xy + xyz + x yz + x + xy Do đó: Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2039 TÀI LIỆU TỐN HỌC P= 1 1 x xy + x + xy + + = + + = = (đpcm) + x + xy + y + yz + z + zx + x + xy + x + xy + x + xy + x + xy Bài Cho a b c a b c + + =0 + + = Chứng minh: P = 2 b−c c −a a −b (b − c ) ( c − a ) ( a − b ) Lời giải Ta có: ⇔ a b c + + ⇒ =0 b−c c −a a −b a (b − c ) a b c = + = b−c a−c b−a b − ab + ac − c = ( a − b )( c − a )( b − c ) Tương tự ta có: b (c − a) = b − ab + ac − c ( a − b )( c − a ) (1) c − bc + ba − a c b − ac + cb − b (2); = (3) ( a − b )( b − c )( c − a ) ( a − b ) ( a − b )( b − c )( c − a ) Cộng (1), (2), (3) Vế theo vế ta điều phải chứng minh Bài 10 Cho a nghiệm phương trình: x − 3x + = Không cần tính a tính giá trị biểu thức: Q = a2 a4 + a2 + Lời giải Do a nghiệm phương trình: x − 3x + = nên a − 3a + = ⇒ a +1 =3a Suy ra: Q = a2 a4 + a2 + ( a2 a2 = = 2 a + − a ( 3a ) − a ) a2 = 8a = Bài 11 Cho số thực a, b, c khác đôi thỏa mãn: a + b3 + c3 = 3abc abc ≠ Tính: P = ab bc ca + + a + b2 − c2 b2 + c2 − a c2 + a − b2 Lời giải Do a + b3 + c3 = 3abc ⇒ ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) = Do a + b + c − ab − bc − ca > với a, b, đôi khác nên: a + b + c = Suy ra: a + b + c = Khi đó: ab ab ab b2 = = = a + b − c a + ( b − c )( b + c ) a + ( b − c )( −a ) a + c − b Tương tự: b2 b = −b − b −2 = bc c ca a = = ; 2 2 2 b +c −a −2 c + a − b −2 Cộng theo vế đẳng thức ta được: P= ab bc ca b + + = + 2 2 2 2 a +b −c b +c −a c + a −b −2 c + −2 a =− −2 + ( a+ b = c ) Vậy P = Bài 12 Cho a, b,c số thực thỏa mãn: a + b + c = 6; Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2039 a+b 1 + + b+c c+a = TÀI LIỆU TỐN HỌC Tính giá trị biểu thức: P = c a b + + a+b b+c c+a Lời giải Ta có: 1  a+b+c a+b+c  6.8 = ( a +b +c )  + + +  = a+b b+c  a+b b+c c+a  c a b c a b =1+ +1 + +1 + =3 + + + a+b b+c a+c a+b b+c a+c c a b Vậy: P = + + 6.8 = −39= a+b b+c c+a Bài 13 Cho a+b+c + c+a a b4 a + b = Chứng minh rằng: + = x y x+ y a) bx = ay b) x 2000 y 2000 + 1000 = 1000 1000 a b (a + b) Lời giải ( a + b2 a b4 a b4 2 + = a) Từ a + b = suy ra: + = x y x+ y x y x+ y ( ) ( ) ⇒ ( x + y ) a y + b x = ( x+ y ) a 2+ b ⇒ ( ay − ) ) bx = ⇒ bx=2 ay b) Từ câu a) bx = ay 1000  x2  x2 y x2 + y ⇒ = = = ⇒  a b a+b a+b  a  Do đó: 1000   =   a+b 1000  y2  ;   b  1000   =   a+b x 2000 y 2000 + 1000 = 1000 1000 a b (a + b) ax + by = c  Bài 14 Cho x, y hai số thực thỏa mãn: bx + cy = a cx + ay = b  Chứng minh rằng: a + b3 + c3 = 3abc Lời giải ax + by = c  Ta có: bx + cy = a Cơng theo vế phương trình hệ ta được: cx + ay = b  ( a + b + c ) x + ( a + b + c ) y = a + b + c ⇒ ( a + b + c )( x + y −1) = a + b + c = ⇔  x + y =1 Với a + b + c = thì: ( a + b + c ) ( a + b + c − ab − bc − ca ) = ⇔ a + b3 + c3 = 3abc (1) Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2039 TÀI LIỆU TOÁN HỌC Với x + y = thay vào giả thiết ta được: a = b = c ⇒ a + b3 + c3 = 3abc (2) Từ (1) (2) suy đpcm Bài 15 Chứng minh nếu: x = a −b ; y a+b b−c c−a ; z= b+c c+a = Thì: (1 + x )(1 + y )(1 + z ) = (1− x )(1− y )(1− z ) Lời giải Ta có: a −b 2a b−c 2b c−a = ;1+ y= 1+ = ;+1 =z +1 = a+b a+b b+c b+c c+a 8abc ⇒ (1 + x )(1 + y )(1 + z ) = (1) ( a + b )( b + c )( c + a ) + x = 1+ 2c c+a Mặt khác: a −b 2b b−c 2c c−a = ; 1− y= 1− = ; −1 = z −1 = a+b a+b b+c b+c c+a 8abc ⇒ (1 − x )(1 − y )(1 − z ) = (2) ( a + b )( b + c )( c + a ) − x = 1− 2a c+a Từ (1) (2) suy ra: (1 + x )(1 + y )(1 + z ) = (1− x )(1− y )(1− z ) Bài 16 Cho a, b, c ba số không âm thỏa mãn: ay − bx cx − az = c b bz − cy = a Chứng minh rằng: ( ax + by + cz ) = ( x +y +z )( a +b +c ) Lời giải Đặt k= ay − bx cx − az = c b bz − cy cay − cby = k ⇒k = = a c2 bcx − baz = b2 abz − acy a2 cay − cbx + bcx − abz + abz − acy = 0⇒ ay− bx= cx − az = −bz =cy a + b2 + c2 ⇒ ( ay − bx ) = ( cx− az ) = ( ⇒ a + b2 + c2 )( x − ( bz cy )= = 0 ) + y + z − ( ax + by + cz ) = Suy ra: ( ax + by + cz ) = ( x +y +z )( a +b +c ) Bài 17 Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn: b ≠ c; a + b ≠ c c = ( ac bc + ab −) Chứng minh rằng: a2 + ( a − c ) b + (b − c ) 2 = a−c b−c Lời giải Ta có: a + ( a − c ) = a + c − c + ( a − c ) = a +c −2 ( ac +bc −ab ) +( a −c ) = ( a −c )( a −c +b ) 2 Tương tự: b + ( b − c ) = ( b − c )( b − c + a ) Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2039 TÀI LIỆU TỐN HỌC Do đó: a2 + ( a − c ) b + (b − c ) 2 = ( a − c )( a − c + b ) ( b − c )( b − c + a ) = a−c (đpcm) b−c Bài 18 Cho a + b + c = Chứng minh rằng: a + b + c = ( ) a b 2+ c 2+ Lời giải ( b+ c ) = Từ: a + b + c = ⇒ b + c =− a⇒ ( ⇒ a − b − c = 2bc ⇒a −b −c ( ) ( ⇒ a + b + c = a +b +c Vậy: a + b + c = Bài 19 Cho m = ( a ) =4b c b+2 2bc + c=2 a2 a⇒4 b 4+ c 4+ 2= a 2b 2b 2+c 2c 2+a 2 ) b 2+ c 2+ a+b ;n a −b ) a⇒ c+d ; p= c−d ac − bd Chứng=minh rằng: m + n + p = m.n p ad + bc Lời giải Ta có: m+n+ p = = a+b a −b ( ac − bd ) c+d + c−d ( a=+ b )( c − d ) + ( c + d )( a − b ) + ac − bd ad + bc ( a − b )( c − d ) ( ac − bd ) ( ( ad + bc ) + ( a − b )( c − d ) ) = ( a − b )( c − d )( ad + bc ) ac − bd + ad + bc ac − bd + ad + bc ( a − b )( c − d ) ( ac − bd )( a + b )( a + c ) = m.n p = ( a − b )( c − d )( ad + bc ) Vậy đẳng thức chứng minh Bài 20 Cho số dương x, y thỏa mãn: x − 13xy − y = Tính giá trị biểu thức: A = (1) 2x − y 7x + y Lời giải Từ (1) ta có: (7 x + y )( x − y ) = ⇔ x = y (do x, y > 0) Thay x = 2y vào A ta được: A= 2x − y 7x + y 4y − 6y = 14 y + y −2 y 18 y 2010  2010 +1 =  y Bài 21 Cho số thực x, y thỏa mãn:  x  x + y = 2335  −1 = = (2) x y Tính giá trị biểu thức: B = Lời giải Đặt a = 2010 , b x 2010 với=a, b > y Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2039 TÀI LIỆU TỐN HỌC 22 Tìm giá trị lớn biểu thức: P = ” t + x4 + y 4 Theo BĐT Cô – si Cô – si cho số dương ta có:  x + y + y + ≥ xy  4 4 4 4  y + t + t + ≥ yt ⇒ 3( x + y + t ) + ≥ 4( xy + yt + tx ) = 12  t + x + x + ≥ 4tx  ⇒ x4 + y + z ≥ ⇒ Vậy Pmin = 1 ≤ 4 x +y +z đạt x = y = z = Bài 65 Giải sử x, y số không âm thay đổi thỏa mãn điều kiện: x + y = 1 Chứng minh rằng: ≤ x + y ≤ Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: P = + 2x + + y Lời giải Từ ( x + y ) ≤ 2( x + y ) = suy ra: x + y ≤ Đẳng thức xảy x = y = Mặt khác: ( x + y ) = x+2 y+2 xy=+ 2≥xy Suy ra: x + y ≥ Đẳng thức xảy x = y = Ta có: P = 2+ 2( x+ y )+ 1+ 2( x+ y )+ xy Do x + y ≤ xy ≤ 2( x + y ) = suy ra: P ≤ + 2 + + 2 + ⇒ P ≤ + 2 + + 2 Đạt x = y = Mặt khác: x + y ≥ xy ≥ nên P ≥ + + + + ⇒ P ≥ + Vậy Pmin = +3 đạt x = y = Bài 66 Tìm giá trị lớn biểu thức: T = 2ac +bd +cd , số thực a, b, c, d thỏa mãn điểu kiện 4a + b = va c + d = Lời giải Với a, b , c, d ∈ R ta có:  c2 c 2  ≤ + ac a (1)  (2a − ) ≥   d d2   (2)  (b − ) ≥ ⇔  bd ≤ b +    (c − d ) ≥  (c + d ) cd cd ≤ + (3)     Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2039 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 22 Cộng theo vế (1), (2) (3) ta được: T = 2ac+ bd+ cd≤ 4a 2+ b 2+ c d cd (c + d ) 3(c + d ) 3.42 + + + = (4a+2 b+2 ) =+2 = 4 8 8 T = xảy đồng thời dấu “=” BĐT (1), (2), (3) Tức a= , b 1,=c d =2 Vậy = giá trị lớn T Bài 67 Cho a, b, c độ dài cạnh p chu vu tam giác Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≥  + +  p −a p −b p −c a b c Lời giải Nhận xét: Với x , y số dương 1 + ≥ Từ nhận xét ta có: x y x+ y 1 4 + ≥ = ; p − a p − b ( p − a ) + ( p − b) c Tương tự ta có: 1 + ≥ ; p −b p −c a 1 + ≥ p−c p−a b Cộng theo vế bất đẳng thức ta được: 1 1 1 + + ≥  + +  p −a p −b p −c a b c Bài 68 Ba số dương x, y, z thỏa mãn hệ thức: + + = Xét biểu thức: P ≥ x + y + z x y z Chứng minh rằng: P ≥ x + y + 3z − Tìm giá trị nhỏ P Lời giải Theo bất đẳng thức Cơ – si, ta có: P + ≥ x + ( y + 1) + ( x3 + + 1) ≥ x + y + 3z Suy P ≥ x + y + 3z − (đpcm) 1) 2) Áp dụng kết kết hợp bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có: 1 3  3 6( P + 3) ≥ ( x + y + z )  + +  ≥  x + y + z  = 36 y z x x y z  Hay P ≥ Vậy MinP = đạt x = y = z = Bài 69 Cho x, y, z số dương thỏa mãn điểu kiện x + y + z = Tìm giá trị nhỏ x3 y3 z3 biểu thức: Q = + + y+z z+x x+ y Lời giải Sử dụng BĐT Cô – si cho ba số dương ta có: x3 y+z x3 y + z + + ≥ 33 = x y+z y+z Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2039 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 22 Tương tự ta có: y3 z+x + + ≥ y; z+x z3 x+ y + + ≥ z x+ y Cộng theo vế ba bất đẳng thức ta được: Q + x + y + z + ≥ 3( x + y + z ) ⇒ Q ≥ 2( x + y + z ) − ≥ Đẳng thức xảy x = y = z = Vậy Qmin= x = y = z = Bài 70 1) Tìm giá trị nhỏ hàm số: y = x x + + +x x − 1.+ 2) Cho ba số thực x, y, z đề lớn thỏa mãn điều kiện: 1 + + = Chứng minh rằng: (x – 2)(y – 2)(z – 2) ≤ x y z Đẳng thức xảy nào? Lời giải 1) Tập xác định hàm số y R Nhận thấy y > với giá trị x nên để tìm giá trị nhỏ y ta tìm giá trị nhỏ y2 + x x− 1)+ = x + + x + x + ≥ Mà: y = x 2+ 2+ ( x x+ 1)( Dấu “=” xảy x = Vậy ymin= x = 2) Đặt a = x – 2, b = y – 2, c = z – Ta phải chứng minh: abc ≤ Thật vật từ: 1 1 1 + + =1 ⇒ + + =1 x y z a+2 b+2 c+2 Theo bất đẳng thức Cô – si: 1 =−  a+2 2  + b+2 1 −  2  = c+2 1 b c  ≥ +  2b+2 c+2 ca ≥ (c + 2)(a + 2) Tương tự ta có: b + bc (b + 2)(c + 2) (1) ab ≥ c+2 (a + 2)(b + 2) (2); (3) Nhân (1), (2) (3) theo vế ta điều cần chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c hay x = y = z = Bài 71 Cho số dương x, y, z thay đổi thỏa mãn điều kiện ( x + y + z ) xyz = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: T = (+x y )(+x z ) Lời giải Ta có; T = ( x +y )( x +z ) =x( x +y +z ) +yz ≥2 x( x +y +z ) yz ⇔T = =2  x( x + y + z ) =   = yz  x, y, z >  Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2039 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 22  x( x + 2) = ⇔ x = −  x>0 Chọn y = z = Thì điều kiện trở thành:  − Vậy giá trị nhỏ T chẳng hạn ( x; y; z ) = ( 1;1;1) Bài 72 Cho a, b, c số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức: P= ab + bc + ca (a + b + c) + a + b2 + c2 abc Lời giải Nhận thấy với x, y, z số thực dương ta có: i ) ( x − y ) ≥ ⇔ x + y ≥ xy ⇔ x y + ≥ (1) y x  x y x z 1 1 ii )  + +  ( x + y + z ) =+3  + +  + + a b c  y x  z x iii ) ( x − y ) + ( y − z ) + ( z − x) ≥ ⇔ x + y + z y + z z ≥ ⇔ y + x ≥ xy + yz + zx 1 + ≥ y z (2) Dấu x+ y+z (3) “=” xảy (1), (2) (3) x = y = z Áp dụng bất đẳng thức (1), (2), (3) vào tốn ta có: P= ab + bc + ca  1 (a b c)+ + + 2 a +b +c  ab bc  ab + bc + ca = 2  a +b +c  ab + bc + ca 2 + 18  + + ≥ (a b +c ) + + ca  a + b + c ab + bc + ca a + b + c  8(a + b + c ) + + + 18 ≥ + + 18 = 28 ab + bc + ca  ab + bc + ca a + b + c = ab +bc +ca ⇔ a = b = c P = 28 ⇔  ab = bc ca=  Vậy giá trị nhỏ P 28 a = b = c Bài 73 Cho x, y, z số thực thỏa mãn: − x4 − y4 − z4 + + ≥ (1) 16 + x 16 + y 16 + z Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P = xyz Lời giải Ta có:  − x4   − y4   − z4  1 1 (1) ⇔  + + + + 1 ≥ ⇔ + + ≥ (2)   + 4 4 4 16 + x 16 + y 16 + z  16 + x   16 + y   16 + z  Từ (2) suy ra: 1 1  1   y4 ≥ − + −    =  16 + x  16 16 + y   16 16 + z  16  16 + y  y4 =  16  16 + y z4  +  16 + z  z4  + 16 + z  y2 z2 ≥ (BĐT Cauchy) (16 + y )(16 + z ) Tương tự ta có: 1 x2 z ≥ 16 + y (16 + x )(16 + z ) (4); Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2039 1 x2 y ≥ 16 + z (16 + x )(16 + y ) (5) TÀI LIỆU TOÁN HỌC 23 Nhân theo vế bất đẳng thức (3), (4), (5) rút gọn lại ta được: x y z ≤ 83 ⇔ xyz ≤ 4 ⇔ −4 ≤ xyz ≤ 4 Giá trị lớn P 4 đạt x, y, z có hai số − số cịn lại Giá trị nhỏ P −4 đạt x, y, z có hai số số cịn lại − , số − Bài 74 Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh rằng: ≤ a + b3 + c < Lời giải Đặt: T = a +b + c +3abc Do a + b + c = nên: 3 T = (a +b)3 +c3 +3abc −3ab(a +b) =(a b+ c+)3 3−c(a b+)(a b+ c+) 3+abc 3−ab(a b+) = 1− 3c(a+ b)+ 3abc− 3ab(1− c) Vậy T = 1− 3(ab+ bc+ ca+) 6abc (1) Lại có: a ≥ a − (b − c) = (a +b −c)(a −b +c); b ≥ b − (a − c) = (a +b −c)( −a +b +c); c ≥ c − (a − b) = (a −b +c)( −a +b +c) Hơn a, b, c độ dài cạnh tam giác nên: − a + b + c > 0; a + b − c > 0, a − b + c > 0, abc > (a + b − c)(a − b + c)(−a + b + c) = (1− 2c)(1− 2b)(1− 2a) = 1+ 4(ab+ bc+ ca)− 2(a+ b+ c)− 8abc Do =− 1+ 4(ab+ bc+ ca)− 7abc> 0; đó: 6abc ≥ − + (ab + bc + ca) (2) va ab + bc + ca − 2abc > (3) Từ (1) (2) áp dụng BĐT (a + b + c) ≥ 3(ab + bc + ca) ta có: T≥ 1 1 1 − (ab + bc + ca ) ≥ − (a + b + c) = − = ; 3 9 T= a + b + c = 1  ⇔ a = b = c=  a = b c= Từ (1) (3) dẫn đến: T = − 3[ (ab + bc + ca)] − 2abc < − = Bài 75 Cho số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh rằng: 1 1 1 + + ≥ 3+ + + + + + ab bc ca a b c Đẳng thức xảy nào? Lời giải Bất đẳng thức tương đương với: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2039 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 23 ab + bc + ca ab + bc + ca ab + bc + ca a2 + b2 + c2 + −1+ −1 + −1 ≥ + + ab bc ca a2 b2 c2 ⇔ c(a + b) a (b + c) b(c + a ) (a + b)(a + c) (b + c)(b + a) (c + a)(c + b) + + ≥ + + 2 ab bc ca a b c2 Do (ab + bc + ca = 1) Đặt c ( a + b) a (b + c) = x, ab bc (1) y va b (c + a ) = = z , Khi (1) trở thành bất đẳng thức quen thuộc: ca x + y + z ≥ xy + yz + zx (luôn với số dương x, y, z) Đẳng thức xảy x = y = z ⇔ a = b= c= Bài 76 Cho a, b, c số dương Chứng minh rằng: (1 + a 2b)(1 + b ) ≤ (a − a + 1)(1 + b3 ) Lời giải Bất đẳng thức cho tương đương với: (a + 1)(1 + b )(1 + a 2b) ≤ ⇔ a + b + b a + a 2b + b3 a + ba ≤ + 2a + 2b3 + a 3b3 (a + 1)(a − a + 1)(1 + b3 ) Từ áp dụng bất đẳng thức Cơ – si cho ba số dương: 2b3 + ≥ 3b ; 3(a + b3 ) ≥ 3(a 2b + ab ); a 3b3 + a + a ≥ 3a 3b; a 3b3 + a 3b3 + b3 ≥ 3a 2b3 Cộng theo vế bất đẳng thức ta thu bất đẳng thức (*) Bài 77 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức: x− y x + y4 + (1) Lời giải Ta có: x + ≥ x ; y + ≥ y Do đó: x + y + ≥ x + y + = ( x −y ) +( x +y ) +4 ≥( x −y ) +4 ≥2 ( x −y ) =4 x −y Suy ra: − ≤ x− y x− y ≤ Với x = 1, y = -1 thì: = 4 x + y +6 x + y +6 4 Với x = -1, y = Vậy biểu thức (1) có giá trị lớn x− y = − x + y +6 4 1 giá trị nhỏ − 4 Bài 78 Cho x, y số dương thỏa mãn x + x ≤ Tìm GTNN biểu thức: A = y y y + x Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cơ – si cho hai số dương ta có: 1≥ x + x y ≥2 , suy ≥ y y x (1) Áp dụng bất đẳng thức (1) bất đẳng thức Cô – si cho hai số dương ta có: Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2039 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 23 A= x y x y 15 y x y 15.4 17 + = + + ≥2 + = y x y 16 x 16 x y 16 x 16 Vậy giá trị nhỏ A 17 đạt x = y = Bài 79 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng: a + b4 b4 + c4 c4 + a4 + + ≥ ab(a + b3 ) bc(b3 + c ) ca (c + a ) Lời giải Từ giả thiết ab + bc + ca = abc ⇒ 1 + + =1 a b c Từ a + b ≥ a 3b + ab3 suy ra: 2(a + b ) ≥ a + a 3b + b + ab3 = (a + b)(a + b3 ) Vậy a + b4 a+b 1 1 ≥ =  +  3 ab(a + b ) 2ab  a b  Làm tương tự sau cơng theo vế kết hợp với giả thiết ta suy điều phải chứng minh Bài 80 Cho x, y thỏa mãn 16 x − y ≥ 144 Chứng minh rằng: x − y + ≥ − Lời giải Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức: (ax − by ) ≥ (a − b )( x − y ) (1) Thật vây: (1) ⇔ −2axby ≥ a x + b y ⇔ (ax − by ) ≥ (đúng) Đẳng thức xảy ax = by Sử dụng bất đẳng thức (1) ta có: 1  (2 x − y ) =  x −.3 y  2  2 ≥ (16 x 9−y ) 20 ≥ (do 16 x − y ≥ 144 ) Suy ra: 36 x − y + ≥ + x − y + ≤ −2 + Từ suy ra: x − y + ≥ − 8x = y   Đẳng thức xảy khi:  x − y =− 5⇔ 16 x − y = 144   x = −   y = −  Bài 81 Cho số thực a thỏa mãn ≤ a ≤ Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức: T= a 1− a + − a 1+ a Lời giải Ta có:   a 1− a 2 3  − 1 ≤  − 1 = 1(do a ≤1) Vậy ≤ + + +2 − = 2+  − = 2−a 1+ a − a 1+ a 2   (2 − a )(1 + a )  max T = 1, đạt a = ∨ a = T= Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a(1 − a) ≤ Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2039 (a + − a) = 4 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 23     Suy ra: T ≥  = Vậy T = đạt a = 1− a ⇔ a =   + −    + ≥ 14 ab a + b Bài 82 Cho a, b số dương thỏa mãn a + b = Chứng minh rằng: Lời giải Với hai số thực dương x, y ta có: ( x + y ) ≥ xy ∀x, y > , suy ra: ≥ xy ( x + y ) 1 Từ ta có: + ≥ x y x+ y 1 ≥ =2 ab (a + b) 2ab (1); a + b2 +3 ≥ 2ab + a + b (2) = 12 Cộng (1) (2) theo vế ta điều phải chứng minh Đẳng thức xảy a = b = Bài 83 Các số thực x, y, z khác thỏa mãn ( z + x)( z + y ) = Chứng minh bất đẳng thức: 1 + + ≥ 2 ( x − y ) ( z + x) ( z + y ) Lời giải Đặt a =+z x,=+ b z y từ giả thiết suy ra: a > , b > ab = Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: 1 a2 a2 (a − 1) 2 + + ≥ ⇔ + + a ≥ ⇔ + ≥ a b ( a − b) (a − 1) a (a − 1) a2 (*) Áp dụng BĐT Cô-si Cho hai số dương ta thấy (*) Vậy BĐT chứng minh Bài 84 Cho a, b, c số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 + + ≤ 2 + a (b + c) + b (a + c) + c (b + a ) abc Lời giải Chứng minh: abc ≤ Từ suy ra: + a (b + c) ≥ a(bc + ca + ab) = 3a Do đó: 1 1 1 Tương tự ta có: ≤ = ; ≤ 2 + a (b + c) 3a + b (a + c) 3b + c (b + a ) 3c Cộng bất đẳng thức theo vế ta được: 1 1  1  ab + bc + ca + + ≤  + + = 2 + a (b + c) + b (a + c) + c (b + a )  a b c  3abc = 3abc = abc Vậy bất đẳng thức chứng minh Bài 85 1  1 1) Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng: (a + b + c)  + +  ≥ a b c Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2039  TÀI LIỆU TOÁN HỌC 23 2) Cho số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c ≤ Chứng minh rằng: 2009 + ≥ 670 2 a +b +c ab + bc + ca Lời giải 1  1 1) Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có: (a + b + c)  + +  ≥ 3 abc 3 a b c  =9 abc Vậy bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a = b = c 2) Do ab + bc + ca ≤ (a + b + c) 2007 ≤ nên ≥ 669 ab + bc + ca Mặt khác áp dụng bất đẳng thức phần ta có: 1 + = + + 2 2 a +b +c ab + bc + ca a + b + c ab + bc + ca ab + bc + ca 9 ≥ = ≥ = 2 a + b + c + 2(ab + bc + ca ) (a + b + c) Vậy 2009 + ≥ 670 2 a +b +c ab + bc + ca Đẳng thức xảy a = b = c Bài 86 Cho số thực x, y thỏa mãn: x > y > Hãy tìm giá trị nhỏ biểu thức: P=x + y( x − y) Lời giải Sử dụng BĐT Cauchy cho ba số dương ta có: P = ( x − y)+ y + ≥ y( x − y)  x − 8y = 8y  x = 16 y  x=4    Đẳng thức xảy  ⇔ ⇔ 1 8 y = y ( x − y )  y = 64  y =   Vậy minP = x = y = Bài 87 Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= + − 2(ab + bc + ca ) abc Lời giải Theo giả thiết: P = 2(a + b + c) + = (a + b + c) − 2(ab + bc + ca ) abc a + b2 + c2 Áp dụng BĐT quen thuộc với số dương: Đẳng thức xảy  2 +  ab bc  + + ca  a c (a + c) + ≥ (*) b d b+d a c 1 = , suy ra: + + ≥ + ≥ b d ab bc ca ab + bc ca ab + bc + ca Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2039 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 23 Lại sử dụng BĐT (*) cho số dương ta có: P≥ 36 92 + ≥ = 81 a + b + c 2(ab + bc + ca ) (a + b + c) Đẳng thức xảy a = b c= = = Vậy Pmin = 81 a = b c= Bài 88 Cho ba số thực a, b, c đôi khác Chứng minh rằng: a2 b2 c2 + + ≥ (b − c) (c − a ) (a − b) Lời giải Dễ thấy: bc ca ab + + = (a − b)(a − c) (b − c)(b − a ) (c − a )(c − b) a2 b2 c2  a + + = Từ suy ra: 2 (b − c) (c − a ) (a − b)  b − c Đẳng thức xảy khi: b + c−a c  + a −b  2 +2 ≥ a b c =0 + + b−c c −a a −b Bài 89 Tìm giá trị lớn biểu thức: P = x + − x − x Lời giải Điều kiện: − x − x ≥ Ta có: P ≤ x + (1 − x − x ) + x2 =−1 ≤ 2 Đẳng thức xảy x = Vậy giá trị lớn P đạt x = xy ( x − y ) = x+ y Tìm giá trị nhỏ Bài 90 Cho số thực dương x, y thỏa mãn điều kiện: biểu thức P = x y+ Lời giải Từ giả thiết suy ra: x > y > 0, Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: ( x + y) = xy ( x −y ) ( = xy ( x y +) xy − )  xy + ( x + y ) − xy  ≤  = ( x +y )  16   Do x + y ≥ Vậy A = +x = −2 =2; y 2 Bài 91 Cho số thực dương thỏa mãn: x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x2 y + + x3 + xy + y xy Lời giải Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2039 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 23 Ta có: A= x + xy + y  = + x +y 4x2 y + + xy   +   4+xy xy   A = 11 x = y = + xy + = 2 xy x + y ( x + y ) ( x − xy + y ) + xy  +  ≥ xy  xy + x + xy + y 2 xy + xy + xy + xy Vậy += + 4= 11 ( x + y) = Bài 92 Cho x,y,z thỏa mãn x + y + z = 0; x + > 0; y + > z + > Tìm GTLN A = xy − z + ( x + 1)( y + 1) z + Lời giải  x +1 = a   y + = b ⇔a +b +c =6 Đặt  z + = c  A= ( a − 1)( b − 1)+− ab c−4 = c ab − a − b + − c − 1 + −= + +2  ab c a b 4  c 4 16 16  ≤ 2− +  ≤ 2− = 2− = 2− = − a+b+c 3  a+b c  MaxA = − 3    a+b+c = a = b = x y = ⇔ 2⇔   Đẳng thức xảy a = b, a b + c =  c =  z = −1 = Bài 93 Cho dương a, b, c thỏa mãn 2a + 3b ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức : Q= 2002 2017 + + 2996a − 5501b a b Lời giải Q= =( 2002 2017 + + 2996a − 5501b a b 2002 2017 + 8008a ) + ( + 2017b) − 2506(2a + 3b) a b Áp dụng BĐT Cô- si sử dụng giả thiết 2a + 3b ≤ ta có : Q ≥ 2002 2017 8008a + .2017b − 2506.4 ≥ 8008 + 4034 – 10024 = 2018 a b Liên hệ tài liệu word tốn SĐT zalo: 039.373.2039 TÀI LIỆU TỐN HỌC 23  2002  a = 8008a  2017 Dấu « = » xảy :  = 2017b  b  2a + 3b =    a =  ⇔  b = 1 Vậy Qmin = 2018 a = ; b = Bài 94 Cho hai số dương x, y thỏa mãn điều kiện x + y ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= x + y2 35 + xy+ xy Lời giải Ta có: P = x + y2 35 + xy+ xy = x + y 35 35 xy x + y 35 xy + + + + xy − − x2 + y 32 xy 16 32 16 = x + y 35 35 xy ( x + y ) xy + + + − − x2 + y 32 xy 16 32 Sử dụng Cô – si cho cặp ( 35 35 xy x2 + y ; 2 ) ( ; ) ta có: x +y xy 32 16 352 x2 + y 2 35 35 xy 35 ≥ = ; ≥ = + + 2 16 16 32 x +y 32 xy Mặt khác: x + y ≤ ⇒ x.y ≤ nên Vậy minP = xy ( x + y ) ≤ , ≤ 32 35 1 + - - = 17 Dấu “=” xảy x = y = 2 2 Bài 95 Cho a, b số số thực dương Tìm giá trị lớn biểu thức: M += (a b)( 3+ a +b 1 − 3) a+b ab Lời giải Ta có : 1 (a + b)( + b) ≥ (a + b) ;(b3 + a )( + a ) ≥ (a + b) a b Khi : 1 + ≤ a + b a + b3 1 1 + a+b+ + a b a b − =+1 1− ⇔ VT ≤ ( a + b) a+b ab ab a+b+ Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2039 = ab TÀI LIỆU TOÁN HỌC 23 Đẳng thức xảy a = b = Vậy giá trị lớn M a = b = Bài 96 Xét số thực a, b, c không âm, khác thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị nhỏ cảu biểu thức P = a + bc + (a + b)(4 + 5c) + b + ac Lời giải Áp dụng BĐT : 1 + ≥ (∀x, y ≠ 0) x y x+ y Tacó : P= = a + bc + + c 4) + ≥ + c 4) + (a + b)(5 (a + b)(5 b + ac (a + b)(c + 1) 5c + (1 c+)(5c− 4) +4 ≥ c +1 (1 − c)(1 + c) c = c +1 Vậy minP = Dấu « = » xảy c = 0, a b= + ≥ = Bài 97 Cho x, y số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P= xy x + y2 1 ( + ) +2( x x y y ).+ Lời giải Ta có : x + y ≥ 2xy nên : 2(x + y ) ≥ (x + y)2 Do : P= xy x + y2 2 1 ( + ) +2( x x y y )+ xy ≥ x + y2 1 ( + )(+x x y y) + xy ≥ x + y2 x2 + y + xy + xy x2 + y xy 3( x + y ) + + − ≥ + − 2 x2 + y xy x2 + y 2( x + y ) ≥ 6− = 2 ≥  x + y = xy  Dấu « = » xảy  xy x + y ⇔ x = y =  x2 + y xy  Vậy minP = x = y Bài 98 Chứng minh rằng: a+b a ( 3a + b ) + b ( 3b + a ) ≥ với a, b số dương Lời giải Ta có: a+b a ( 3a + b ) + b ( 3b + a ) = 2(a + b) 4a ( 3a + b ) + 4b ( 3b + a ) (1) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số dương ta được: Liên hệ tài liệu word toán SĐT zalo: 039.373.2039 TÀI LIỆU TOÁN HỌC 23 4a + (3a + b) 7a + b = ( 2) 2 4b + (3b + a) 7b + a 4b ( 3b + a ) ≤ = ( 3) 2 4a ( 3a + b ) ≤ Từ (2) (3) suy ra: 4a ( 3a + b ) + 4b ( 3b + a ) ≤ 4a + 4b ( ) Từ (1) (4) suy ra: a+b a ( 3a + b ) + b ( 3b + a ) ≥ 2(a + b) = Dấu xảy a = b 4a + 4b Bài 99 Cho x, y số thực dương thỏa mãn: x + xy ≤ y − x− y Tìm giá trị lớn biểu thức: P = x + xy + y + x y Lời giải Ta có: x + xy ≤ y − ⇒ x + x ≤ − (do y > 0) y y x x2 x Do đó: ≥ x + + ≥ ⇒ < ≤ y y y y Mặt khác: P = Đặt t = x− y x + xy + y + x = y x −1 y x y x2 x + +2 y2 y + x (0 t