Giáo án BDHSG Toán 6 Chuyên đề : Sử dụng tính chất: +) Nếu a M d và b M d thì ma ± nb M d với m, n ∈ Z +) Nếu a M m thì a ± md M d . với m ∈ Z +) a b là tối giản khi (a, b) = 1 Bài 1: CMR với mọi số tự nhiên n, các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau. a) 7n +10 và 5n + 7 b) 2n +3 và 4n +8. Hướng dẫn a) Gọi (7n + 10, 5n + 7) = d ⇒ 7n + 10 d và 5n + 7 d ⇒ 5(7n + 10) – 7(5n + 7) = 1 d ⇒ d = 1 Vậy 7n +10 vµ 5n + 7 nguyên tố cùng nhau b) Gọi (2n + 3, 4n + 8) = d ⇒ 2n + 3 d và 4n + 8 d ⇒ (4n + 8) – 2(2n + 3) = 2 d Mặt khác: 2n + 3 là số lẻ ⇒ d là số lẻ ⇒ d = 1 Vậy 2n +3 vµ 4n + 8 nguyên tố cùng nhau Bài 2: Tìm các số tự nhiên n > 0 để 19 2 n n + − là phân số tối giản Hướng dẫn Ta có: 19 2 n n + − = 2 21 21 1 2 2 n n n − + = + − − Để 19 2 n n + − tối giản thì 21 2n − tối giản Mà 21 chia hết cho 3 và chia hết cho 7 nên n – 2 phải không chia hết cho 3 và không chia hết cho 7. ⇒ n – 2 ≠ 3k (k ∈ N) và n – 2 ≠ 7p (p ∈ N) ⇒ n ≠ 3k + 2 (k ∈ N) và n ≠ 7p + 2 (p ∈ N) Vậy với n ≠ 3k + 2 (k ∈ N) và n ≠ 7p + 2 (p ∈ N) thì 19 2 n n + − tối giản Bài 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n > 0 để 4 5 5 4 n n + + có thể rút gọn được. Hướng dẫn Để 4 5 5 4 n n + + có thể rút gọn được thì 4n + 5 và 5n + 4 có ƯCLN là d > 1 ⇒ 4n + 5 M d và 5n + 4 M d ⇒ 5(4n + 5) – 4(5n + 4) M d hay 9 M d ⇒ 4n + 5 M 3 và 5n + 4 M 3 ⇒ n – 1 M 3 ⇒ n – 1 = 3k ⇒ n = 3k + 1 (k ∈ N) Vậy với n = 3k + 1 (k ∈ N) thì 4 5 5 4 n n + + có thể rút gọn được Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên để 3 2 2 3 2 n n n − + − là số tự nhiên 1 Giáo án BDHSG Toán 6 Hướng dẫn Ta có: 3 2 2 3 2 n n n − + − = 2 3 2 n n + − Vì n ∈ N nên n 2 ∈ N ⇒ Để 3 2 2 3 2 n n n − + − là số tự nhiên thì n – 2 ∈ Ư(3) ⇒ n – 2 ∈ { } 1; 3 ⇒ n ∈ { } 3; 5 Vậy với n ∈ { } 3; 5 thì 3 2 2 3 2 n n n − + − là số tự nhiên Bài 5: Chứng tỏ rằng 230 112 + + n n là phân số tối giản. Hướng dẫn Gọi d là ước chung của 12n + 1và 30n + 2 ⇒ 12n + 1 M d và 30n + 2 M d ⇒ 5(12n +1) - 2(30n + 2) =1 M d Vậy d =1 nên 12n+1 và 30n + 2 nguyên tố cùng nhau Do đó 230 112 + + n n là phân số tối giản Bài 6: Tìm số tự nhiên n để phân số 34 1938 + + = n n A a) Có giá trị là số tự nhiên b) Là phân số tối giản c) Với giá trị nào của n trong khoảng từ 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được. Hướng dẫn Ta cú: 34 187 2 34 187)34(2 34 1938 + += + ++ = + + = nn n n n A a) Để A ∈ N thì 187 4n + 3 ⇒ 4n +3 ∈ { } 1; 17; 11; 187 +) 4n + 3 = 1 ⇒ không có n ∈ N +) 4n + 3 = 11 ⇒ n = 2 +) 4n +3 = 187 ⇒ n = 46 +) 4n + 3 = 17 ⇒ 4n = 14 ⇒ không có n ∈ N Vậy n ∈ { } 2; 46 b) A là tối giản khi 187 và 4n + 3 có UCLN bằng 1 ⇒ 4n + 3 ≠ 11k (k ∈ N) và 4n + 3 ≠ 17m (m ∈ N) ⇒ 4n + 3 - 11 ≠ 11k (k ∈ N) và 4n + 3 - 51 ≠ 17m (m ∈ N) ⇒ 4(n – 2) ≠ 11k (k ∈ N) và 4(n – 12) ≠ 17m (m ∈ N) ⇒ n ≠ 11k + 2 (k ∈ N) và n ≠ 17m +12 (m ∈ N) c) A rút gọn được khi n =11k + 2 hoặc n =17m +12 Vỡ 150 < n < 170 ⇒ n ∈ { } 156; 165 Bài 7: Cho phân số A 3 1 − + = n n ( ;zn ∈ 3≠n ) a) Tìm n để A có giá trị nguyên. b) Tìm n để A là phân số tối giản. Hướng dẫn a) Ta cú: 3 4 1 3 43 3 1 − += − +− = − + = nn n n n A 2 Giáo án BDHSG Toán 6 ⇒ A có gá trị nguyên ⇔ n-3 ∈ { } 1; 2; 4± ± ± n - 3 1 -1 2 -2 4 -4 n 4 2 5 1 7 -1 Vậy n ∈ { } 4; 2; 5; 1; 7; 1− b) Muốn cho 3 1 − + n n là phân số tối giản thì ƯCLN(n+1; n-3) = 1 Ta có : (n+1; n-3) = 1 ⇔ (n-3; 4) = 1 ⇔ n-3 / M 2 ⇔ n là số chẵn Bài 8: Cho phân số: 314 421 + + n n . Chứng minh rằng phân số tối giản với mọi số nguyên Hướng dẫn Giả sử d = ƯCLN (21n + 4, 14n + 3) Khi đó 21n + 4 d và 14n + 3 d Suy ra 2(21n + 4) –3(14n + 3) = -1 d ⇒ d = 1 Vậy 314 421 + + n n là phõn số tối giản Bài 9: Cho biểu thức 122 12 23 23 +++ −+ = aaa aa A a) Rút gọn biểu thức b) Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a là một phân số tối giản. Hướng dẫn a) Ta có: 122 12 23 23 +++ −+ = aaa aa A = 1 1 )1)(1( )1)(1( 2 2 2 2 ++ −+ = +++ −++ aa aa aaa aaa (a ≠ -1) b) Gọi d là ước chung lớn nhất của a 2 + a – 1 và a 2 +a +1 Vì a 2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ Mặt khác: 2 = [a 2 +a +1 – (a 2 + a – 1)] d Nên d = 1 tức là a 2 + a + 1 và a 2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau. Vậy biểu thức A là phân số tối giản. * * * * * * * * * * * * * * * * * * * CÁC CHUYÊN ĐỀ VỀ PHÂN SỐ A) Tóm tắt kiến thức cần nắm: Chuyên đề 1: Khái niệm phân số + Ta gọi a b với a ; b ∈ Ζ ; b ≠ 0 là một phân số + Chú ý : số nguyên a cũng là một phân số : a = 1 a Bài tập áp dụng: Tìm số nguyên n sao cho phân số 2 15 1 n n + + là số nguyên Chuyên đề 2: Phân số bằng nhau + Hai phân số a c b d = nếu a.d = b.c Bài tập áp dụng: Bài 1: Tìm số nguyên x biết 3 Giáo án BDHSG Toán 6 a) 5 12 72 x = b) 3 1 15 3 x + − = Bài 2: Tìm các số nguyên x ; y ; z biết 12 21 16 4 80 x z y − = = = − Bài 3* : Tìm các số nguyên x ; y biết 3 3 7 7 x y + = + và x + y = 20 Bài 4*: Có hay không số nguyên n để các phân số 6 5 ; 3 3 n n+ + đồng thời nhận giá trị nguyên. Chuyên đề 3: Tính chất cơ bản của phân số - Rút gọn phân số 1) Tính chất cơ bản của phân số + Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì được phân số mới bằng phân số đã cho. . . a a m b b m = ( với m ∈ Ζ ; m ≠ 0 ) + Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số với một ước chung của chúng thì đươc một phân số mới bằng phân số đã cho : : a a n b b n = ( với n ∈ ƯC(a ; b ) ) 2) Rút gọn phân số : Ta dùng tính chất 2 để rút gọn phân số + Quy tắc rút gọn phân số : Muốn rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu của nó với một ước chung của chúng ( ước chung này khác 1 và – 1) + Phân số tối giản là phân số không còn rút gọn được nữa. Ưóc chung của tử và mẫu chỉ có thể là 1 hoặc – 1 + Muốn rút gọn một phân số đến tối giản ta chia cả tử và mẫu của chúng với ước chung lớn nhất của chúng. Bài tập áp dụng: Bài 1: Chứng tỏ rằng các phân số sau đây bằng nhau a) 23 2323 232323 ; ; 99 9999 999999 b) 9909 29727 39636 ; ; 8808 26424 35232 Bài 2: Tìm phân số bằng phân số 11 15 biết tổng của tử và mẫu của nó bằng 2002. Bài 3: Tìm một phân số bằng phân số 2 3 − sao cho a) Tử của nó bằng 8 ; bằng 24 ; bằng 14 b) Mẫu của nó bằng 9 ; bằng 21 ; bằng 60 Bài 4: Tìm phân số tối giản a b biết a) Cộng tử với 4 , cộng mẫu với 10 thì giá trị phân số không đổi b) Cộng mẫu vào tử , cộng mẫu vào mẫu của phân số thì được phân số mới bằng hai lần phân số đã cho. B) Bài tập tổng hợp 4 Giáo án BDHSG Toán 6 Bài 1: Cho biểu thức A = 4 1n − − ( với n ∈ Z ) a) Số nguyên n phải có điều kiện gì để A là phân số b) Tìm các số nguyên n để A có giá trị nguyên Bài 2: Cho phân số B = 4 n n − ( với n ∈ Z ) a) Tìm số nguyên n để B là một phân số b) Tìm tất cả các số nguyên n để B có giá trị nguyên Bài 3: Chứng minh rằng các phân số sau có giá trị là số tự nhiên a) 2011 10 2 3 + b) 2010 10 8 9 + Bài 4: Tìm các số nguyên x ; y biết a) 15 15 25 x = − b) 36 44 2 77y = − Bài 5: Tìm các số nguyên x ; y biết a) 4 3 x y = − b) 2 9 y x = − Bài 6: Tìm các số nguyên x ; y biết a) 2 5 x y = b) 3 7 x y = Bài 7: Lập các phân số bằng nhau từ 4 số - 6 ; - 2 ; 3 và 9 Bài 8: Rút gọn các phân số sau a) 1999 9 9999 95 ( có 10 chữ số 9 ở tử và 10 chữ số 9 ở mẫu ) b) 121212 424242 c) 3.7.13.37.39 10101 505050 70707 − + Bài 9*: Tìm các phân số a b có giá trị bằng a) 36 45 và BCNN (a ; b ) = 300 b) 21 35 và ƯCLN( a;b ) = 30 c) 15 35 biết ƯCLN( a ; b ) x BCNN (a ; b ) = 3549 Bài 10: Cho phân số 1 2 3 9 11 12 13 19 + + + + + + + + a) Rút gọn phân số đó b) Hãy xóa đi một số hạng ở tử và xóa đi một số hạng ở mẫu để được phân số có giá trị bằng phân số đã cho Bài 11*: a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số 21 4 14 3 n n + + là phân số tối giản b) Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số 3 12 n n + − là phân số tối giản 5 Giáo án BDHSG Toán 6 c) Tìm các số tự nhiên n để phân số 21 3 6 4 n n + + rút gọn được Bài 12*Cho p = 4 2 1 n n + − ( với n ∈ Z ) . Tìm các giá trị của n để p là số nguyên tố Bài 13: Tìm các số nguyên n để các phân số sau nhận giá trị nguyên a) 12 3 1n − b*) 2 3 7 n + c) 3 2 2 n n + − Bài 14*: Tìm các số tự nhiên n để các phân số sau tối giản a) 2 3 4 1 n n + + b) 3 2 7 1 n n + + c) 2 7 5 2 n n + + Bài 15: Chứng minh rằng mọi số phân số có dạng : a) 1 2 3 n n + + ( với n là số tụ nhiên ) b) 2 3 3 5 n n + + ( với n là số tụ nhiên ) đều là phân số tối giản Bài 16: Rút gọn cá phân số sau: a) 22 36 − b) 147 234 c) 143 363 − Bài 17: Rút gọn cá phân số sau: a) 4.7.22 33.14 b) 5 4 6 3 .2 8.3 c) 9.6 9.2 18 − Bài 18: Tìm các số nguyên x ; y biết 7 42 21 54 y x − = = Bài 19*: Tìm số tự nhiên n sao cho phân số A = 8 193 4 3 n n + + a) Có giá trị là số tự nhiên b) Là phân số tối giản c) Với giá trị nào của n ( 150 ≤ n ≤ 170 ) thì phân số A rút gọn được Bài 20* : Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho các phân số sau đều là phân số tối giản 5 6 7 17 ; ; ; ; 8 9 10 20n n n n+ + + + Bài 21 : So sánh các phân số ab cd và abab cdcd 6 Giáo án BDHSG Toán 6 7 . đều là phân số tối giản Bài 16: Rút gọn cá phân số sau: a) 22 36 − b) 147 234 c) 143 363 − Bài 17: Rút gọn cá phân số sau: a) 4.7.22 33.14 b) 5 4 6 3 .2 8.3 c) 9 .6 9.2 18 − Bài 18: Tìm các. các phân số sau đều là phân số tối giản 5 6 7 17 ; ; ; ; 8 9 10 20n n n n+ + + + Bài 21 : So sánh các phân số ab cd và abab cdcd 6 Giáo án BDHSG Toán 6 7 . dụng: Bài 1: Tìm số nguyên x biết 3 Giáo án BDHSG Toán 6 a) 5 12 72 x = b) 3 1 15 3 x + − = Bài 2: Tìm các số nguyên x ; y ; z biết 12 21 16 4 80 x z y − = = = − Bài 3* : Tìm các số nguyên