Vậy biểu thức A là phân số tối giản... Chuyên đề 3: Tính chất cơ bản của phân số - Rút gọn phân số 1 Tính chất cơ bản của phân số + Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một
Trang 1Chuyên đề :
Sử dụng tính chất: +) Nếu a M d và b M d thì ma ± nb M d với m, n ∈ Z
+) Nếu a M m thì a ± md M d
với m∈ Z
+) a
b là tối giản khi (a, b) = 1
Bài 1: CMR với mọi số tự nhiên n, các số sau là hai số nguyên tố cùng nhau.
a) 7n +10 và 5n + 7
b) 2n +3 và 4n +8
Hướng dẫn
a) Gọi (7n + 10, 5n + 7) = d ⇒ 7n + 10d và 5n + 7d
⇒ 5(7n + 10) – 7(5n + 7) = 1d ⇒ d = 1
Vậy 7n +10 vµ 5n + 7 nguyên tố cùng nhau
b) Gọi (2n + 3, 4n + 8) = d ⇒ 2n + 3d và 4n + 8d
⇒ (4n + 8) – 2(2n + 3) = 2d
Mặt khác: 2n + 3 là số lẻ ⇒ d là số lẻ ⇒ d = 1
Vậy 2n +3 vµ 4n + 8 nguyên tố cùng nhau
Bài 2: Tìm các số tự nhiên n > 0 để 19
2
n n
+
− là phân số tối giản
Hướng dẫn
Ta có: 19
2
n
n
+
− =
1
n
− + = +
Để 19
2
n
n
+
− tối giản thì
21 2
n− tối giản
Mà 21 chia hết cho 3 và chia hết cho 7 nên n – 2 phải không chia hết cho 3 và không chia hết cho 7
⇒ n – 2 ≠ 3k (k∈N) và n – 2 ≠ 7p (p∈N)
⇒ n ≠3k + 2 (k∈N) và n ≠ 7p + 2 (p∈N)
Vậy với n ≠3k + 2 (k∈N) và n ≠ 7p + 2 (p∈N) thì 19
2
n n
+
− tối giản
Bài 3: Tìm tất cả các số tự nhiên n > 0 để 4 5
n n
+ + có thể rút gọn được.
Hướng dẫn
Để 4 5
n
n
+
+ có thể rút gọn được thì 4n + 5 và 5n + 4 có ƯCLN là d > 1
⇒ 4n + 5 M d và 5n + 4 M d ⇒ 5(4n + 5) – 4(5n + 4) M d hay 9 M d
⇒ 4n + 5 M 3 và 5n + 4 M 3 ⇒ n – 1 M 3 ⇒ n – 1 = 3k ⇒ n = 3k + 1 (k∈N) Vậy với n = 3k + 1 (k∈N) thì 4 5
n n
+ + có thể rút gọn được
Bài 4: Tìm tất cả các số tự nhiên để 3 2 2 3
2
n
− +
− là số tự nhiên
Trang 2Hướng dẫn
Ta có: 3 2 2 3
2
n
− +
− =
2
n n
+
−
Vì n ∈N nên n2 ∈N ⇒ Để 3 2 2 3
2
n
− +
− là số tự nhiên thì n – 2 ∈ Ư(3)
⇒ n – 2∈{ }1; 3 ⇒ n∈{3; 5}
Vậy với n∈{3; 5} thì 3 2 2 3
2
n
− +
− là số tự nhiên
Bài 5: Chứng tỏ rằng
2 30
1 12
+
+
n
n
là phân số tối giản
Hướng dẫn
Gọi d là ước chung của 12n + 1và 30n + 2 ⇒ 12n + 1 M d và 30n + 2 M d
⇒ 5(12n +1) - 2(30n + 2) =1 M d
Vậy d =1 nên 12n+1 và 30n + 2 nguyên tố cùng nhau
Do đó
2 30
1 12
+
+
n
n
là phân số tối giản
Bài 6: Tìm số tự nhiên n để phân số
3 4
193 8
+
+
=
n
n A
a) Có giá trị là số tự nhiên
b) Là phân số tối giản
c) Với giá trị nào của n trong khoảng từ 150 đến 170 thì phân số A rút gọn được
Hướng dẫn
Ta cú:
3 4
187 2
3 4
187 ) 3 4 ( 2 3 4
193 8
+ +
= +
+ +
= +
+
=
n n
n n
n A
a) Để A∈ N thì 187 4n + 3 ⇒ 4n +3 ∈ {1; 17; 11; 187}
+) 4n + 3 = 1 ⇒ không có n∈ N
+) 4n + 3 = 11 ⇒ n = 2
+) 4n +3 = 187 ⇒ n = 46
+) 4n + 3 = 17 ⇒ 4n = 14 ⇒ không có n∈ N
Vậy n ∈ {2; 46}
b) A là tối giản khi 187 và 4n + 3 có UCLN bằng 1
⇒ 4n + 3 ≠ 11k (k ∈ N) và 4n + 3 ≠ 17m (m ∈ N)
⇒ 4n + 3 - 11 ≠ 11k (k ∈ N) và 4n + 3 - 51 ≠ 17m (m ∈ N)
⇒ 4(n – 2) ≠ 11k (k ∈ N) và 4(n – 12) ≠ 17m (m ∈ N)
⇒ n≠11k + 2 (k ∈ N) và n≠17m +12 (m ∈ N)
c) A rút gọn được khi n =11k + 2 hoặc n =17m +12
Vỡ 150 < n < 170 ⇒ n ∈ {156; 165}
Bài 7: Cho phân số A
3
1
−
+
=
n
n
(n∈z; n≠ 3) a) Tìm n để A có giá trị nguyên
b) Tìm n để A là phân số tối giản
Hướng dẫn
a) Ta cú:
3
4 1 3
4 3 3
1
− +
=
−
+
−
=
−
+
=
n n
n n
n A
Trang 3⇒ A có gá trị nguyên ⇔n-3 ∈{± ± 1; 2; ± 4}
Vậy n∈{4; 2; 5; 1; 7; 1 − }
b) Muốn cho
3
1
−
+
n
n
là phân số tối giản thì ƯCLN(n+1; n-3) = 1
Ta có : (n+1; n-3) = 1⇔ (n-3; 4) = 1⇔ n-3M /2 ⇔n là số chẵn
Bài 8: Cho phân số:
3 14
4 21
+
+
n
n
Chứng minh rằng phân số tối giản với mọi số nguyên
Hướng dẫn
Giả sử d = ƯCLN (21n + 4, 14n + 3)
Khi đó 21n + 4d và 14n + 3d
Suy ra 2(21n + 4) –3(14n + 3) = -1d ⇒ d = 1
Vậy
3
14
4
21
+
+
n
n
là phõn số tối giản
Bài 9: Cho biểu thức
1 2 2
1 2
2 3
2 3
+ + +
− +
=
a a a
a a A
a) Rút gọn biểu thức
b) Chứng minh rằng nếu a là số nguyên thì giá trị của biểu thức tìm được của câu a
là một phân số tối giản
Hướng dẫn
a) Ta có:
1 2 2
1 2
2 3
2 3
+ + +
− +
=
a a a
a a
1
1 )
1 )(
1 (
) 1 )(
1 (
2
2 2
2
+ +
− +
= + + +
− + +
a a
a a a
a a
a a a
(a ≠ -1) b) Gọi d là ước chung lớn nhất của a2 + a – 1 và a2+a +1
Vì a2 + a – 1 = a(a+1) – 1 là số lẻ nên d là số lẻ
Mặt khác: 2 = [a2+a +1 – (a2 + a – 1)] d
Nên d = 1 tức là a2 + a + 1 và a2 + a – 1 nguyên tố cùng nhau
Vậy biểu thức A là phân số tối giản
* * * * * * * * * * * * * * * * * * *
CÁC CHUYÊN ĐỀ VỀ PHÂN SỐ A) Tóm tắt kiến thức cần nắm:
Chuyên đề 1: Khái niệm phân số
+ Ta gọi a
b với a ; b ∈ Ζ; b ≠0 là một phân số + Chú ý : số nguyên a cũng là một phân số : a =
1
a
Bài tập áp dụng: Tìm số nguyên n sao cho phân số 2 15
1
n n
+ + là số nguyên
Chuyên đề 2: Phân số bằng nhau
+ Hai phân số a c
b = d nếu a.d = b.c
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm số nguyên x biết
Trang 4a) 5
x
x+ = − Bài 2: Tìm các số nguyên x ; y ; z biết 1216 = −4x = 21y = −80z
Bài 3* : Tìm các số nguyên x ; y biết 73+ =x y 37
+ và x + y = 20 Bài 4*: Có hay không số nguyên n để các phân số 6; 5
n+ n+
đồng thời nhận giá trị nguyên
Chuyên đề 3: Tính chất cơ bản của phân số - Rút gọn phân số
1) Tính chất cơ bản của phân số
+ Nếu ta nhân cả tử và mẫu của một phân số với cùng một số nguyên khác 0 thì được phân số mới bằng phân số đã cho
.
a a m
b = b m ( với m ∈ Ζ; m ≠0 ) + Nếu ta chia cả tử và mẫu của một phân số với một ước chung của chúng thì đươc một phân số mới bằng phân số đã cho
: :
a a n
b = b n ( với n ∈ƯC(a ; b ) ) 2) Rút gọn phân số : Ta dùng tính chất 2 để rút gọn phân số
+ Quy tắc rút gọn phân số : Muốn rút gọn phân số ta chia cả tử và mẫu của
nó với một ước chung của chúng ( ước chung này khác 1 và – 1)
+ Phân số tối giản là phân số không còn rút gọn được nữa Ưóc chung của tử
và mẫu chỉ có thể là 1 hoặc – 1
+ Muốn rút gọn một phân số đến tối giản ta chia cả tử và mẫu của chúng với ước chung lớn nhất của chúng
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Chứng tỏ rằng các phân số sau đây bằng nhau
a) 23 2323 232323; ;
8808 26424 35232
Bài 2: Tìm phân số bằng phân số 11
15 biết tổng của tử và mẫu của nó bằng
2002
Bài 3: Tìm một phân số bằng phân số 2
3
− sao cho a) Tử của nó bằng 8 ; bằng 24 ; bằng 14 b) Mẫu của nó bằng 9 ; bằng 21 ; bằng 60 Bài 4: Tìm phân số tối giản a
b biết a) Cộng tử với 4 , cộng mẫu với 10 thì giá trị phân số không đổi b) Cộng mẫu vào tử , cộng mẫu vào mẫu của phân số thì được phân
số mới bằng hai lần phân số đã cho
B) Bài tập tổng hợp
Trang 5Bài 1: Cho biểu thức A = 4
1
n
−
− ( với n ∈Z ) a) Số nguyên n phải có điều kiện gì để A là phân số
b) Tìm các số nguyên n để A có giá trị nguyên
Bài 2: Cho phân số B =
4
n
n− ( với n ∈Z ) a) Tìm số nguyên n để B là một phân số
b) Tìm tất cả các số nguyên n để B có giá trị nguyên
Bài 3: Chứng minh rằng các phân số sau có giá trị là số tự nhiên
a) 102011 2
3
+ b) 10 2010 8
9
+
Bài 4: Tìm các số nguyên x ; y biết
a) 15
x =
−
Bài 5: Tìm các số nguyên x ; y biết
a) −x3 = 4y b) 2
9
y
x =
−
Bài 6: Tìm các số nguyên x ; y biết
a) x y = 25 b)
x = y
Bài 7: Lập các phân số bằng nhau từ 4 số - 6 ; - 2 ; 3 và 9
Bài 8: Rút gọn các phân số sau
a) 1999 9
b) 121212
505050 70707
− +
Bài 9*: Tìm các phân số a
b có giá trị bằng a) 36
45 và BCNN (a ; b ) = 300 b) 21
35 và ƯCLN( a;b ) = 30 c) 15
35 biết ƯCLN( a ; b ) x BCNN (a ; b ) = 3549
Bài 10: Cho phân số 1 2 3 9
11 12 13 19
+ + + + + + + + a) Rút gọn phân số đó
b) Hãy xóa đi một số hạng ở tử và xóa đi một số hạng ở mẫu để được phân
số có giá
trị bằng phân số đã cho
Bài 11*:
a) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì phân số 21 4
n n
+ + là phân số tối giản
b) Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số 3
12
n n
+
− là phân số tối giản
Trang 6c) Tìm các số tự nhiên n để phân số 21 3
n n
+ + rút gọn được
Bài 12*Cho p = 4
n n
+
− ( với n ∈Z ) Tìm các giá trị của n để p là số nguyên tố
Bài 13: Tìm các số nguyên n để các phân số sau nhận giá trị nguyên
a) 12
7
n+
c) 3
n n
+
−
Bài 14*: Tìm các số tự nhiên n để các phân số sau tối giản
a) 2 3
n
n
+
n n
+
n n
+ +
Bài 15: Chứng minh rằng mọi số phân số có dạng :
a) 1
n
n
+
+ ( với n là số tụ nhiên ) b) 2 3
n
n
+ + ( với n là số tụ nhiên ) đều là phân số tối giản
Bài 16: Rút gọn cá phân số sau:
a) 22
36
−
b) 147
363
−
Bài 17: Rút gọn cá phân số sau:
a) 4.7.22
18
−
Bài 18: Tìm các số nguyên x ; y biết 7 42
y x
−
= =
Bài 19*: Tìm số tự nhiên n sao cho phân số A = 8 193
n n
+ + a) Có giá trị là số tự nhiên
b) Là phân số tối giản
c) Với giá trị nào của n ( 150 ≤ n ≤ 170 ) thì phân số A rút gọn được
Bài 20* : Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất sao cho các phân số sau đều là phân số tối
giản
n+ n+ n+ n+
Bài 21 : So sánh các phân số ab
cd và abab
cdcd