Một số phương pháp bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 phần đại số phương trình nghiệm nguyên

Tachứngminhhaivếkhichiachocùngmt sốkhôngthểcùngmt sốdư.Chý:Haisốa–bvàaba,bZcócùngtínhchẵnlẻ... Dođóx1;y1;z1cũnglànghiệmcủaphươngtrình18.

CHUYÊNĐỀ PHƯƠNGTRÌNHNGHIỆMNGUYÊN

PHƯƠNGTRÌNHNGHIỆMNGUYÊN

3y1

Dođóychiacho3dư1.Đặty3k1(kZ)thìy13k

2.Khiđótacó:9x2(3k1)(3k2)9x9k(k1)x

k(k1)

Thửlạix=k(k1)vày=3k1thoảmãnphươngtrìnhđãcho

Vậynghiệmnguyêncủaphươngtrình(6)làx=k(k1)vày=3k1(kZ)

2 Chứngminhphươngtrìnhvônghiệm

Tachứngminhhaivếkhichiachocùngmt sốkhôngthểcùngmt sốdư.

Chý:Haisốa–bvàab(a,bZ)cócùngtínhchẵnlẻ.

Thậtvậy:Vì(a–b)(a+b)2alàalàmtsốchẵnnêna–

xy yz zxGiảsử1xyz.Từ(9.1)

1,dođóx21hayx=1(vìxnguyêndương)

x2Thayx=

1y

3

– Trưnghợp1:x4,từphươngtrìnhtađượcy=12(thoảmãn).

– Trưn g hợp2:x5,từphươngtrìnhtađượcy

215– Trưng hợp3:x6,từphươngtrìnhtađượcy

7 Tìmcácnghiệmnguyêncủacácphươngtrìnhsau:

a)x2+xy+y2=2x+y; b)x2+xy+y2=x +y;c)x2–

3xy+3y2=3y; d)x2–2xy+5y2=y+1 ;

8 Tìmcácnghiệmnguyêncủaphươngtrình:1

1

– Khôngtồntạixđểa2<x2<(a+1)2.– Nếua2<x2<(a+2)2thìx2=(a+1)2.

Víd13.Chứngminhrằngvớimọisốnguyênk chotrước,khôngtồntạis ố nguyêndươngxsa

16 Cótồntạihaykhônghaisốnguyêndươngxvàysaochox2+yvày2+xđềulàsốchínhphương.

17 Chứngminhrằngcóvôsốsốnguyênxvàyđểbiểuthứcsaulàsốchínhphương:

(123 x)(122232 x2).

x32y3z3 (15.3)Nhưvậynếu(x;y;z)lànghiệmcủa(15)thì(x1;y1;z1)cũnglànghiệmcủa(15)trongđóx

xyz0

4zy38z3x32y34zz3

Dođó(x1;y1;z1)cũnglànghiệmcủaphươngtrình(18)

Hơnnữa,docáchchọnnên(x1;y1;z1)≠(0;0;0), (x0;y0;z0) ≠(0;0;0)

BÀITẬP

23 Tìmcác nghiệmnguyêncủa cácphươngtrìnhsau:

a)x3–3y39z3; b)x2y23z2;

c)x2y26(z2t2); d)x2y2z22xyz;

24 a)Tìmcácnghiệmnguyêncủaphươngtrình:x2+y27z2

b)Chứngminhrằngsố7khôngviếtđượcdướidạngtổngcácbìnhphươngcủahais ố hữutỉ