các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8

Phân tích đa thức thành nhân tử hay thừa số là biến đổi đa thức đó thànhmột tích của những đơn thức và đa thức.. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường: - Đặt

CHUYÊN ĐỀ 1: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ.

 Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi đa thức đó thànhmột tích của những đơn thức và đa thức

 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng các phương pháp thông thường:

- Đặt nhân tử chung (thừa số chung)

- Tìm nghiệm của đa thức

- Quy tắt HORNER (Hót - Nơ)

= (z – x)(z – y)(y – x)(xy + xz + yz).

= (a + b + c)(a2 + 2ab + b2 – ac – bc + c2 – 3ab]

= (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – ac – bc)b) Cách 1: Đặt x – y = a , y – z = b, z – x = c thì a + b + c = 0 Khi đó theo câu a ta có: a3 + b3 + c3 – 3abc = 0 hay a3 + b3 +c3 =3abc

Vậy: (x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 3(x – y)(y – z)(z – x)Cách 2: Để ý rằng: (a + b)3 = a3 + 3ab(a + b) + b3 và (y – z) = (y – x) + (x – z)(x – y)3 + (y –z)3 + (z – x)3 =

= [(y – x) + ( x – z)]3 + (z – x)3 + (x – y)3

= (y – x)3 + 3(y – x)(x – z){(y – x) + (x – z)] + (x – z)3 – (x – z)3 – (y – x)3

X3 – 7x – 6 = x3 + 8 – 7x – 14

= (x + 2)(x2 – 2x + 4) – 7( x + 2)

= (x + 2)(x2 – 2x + 3)

= (x + 2)(x + 1)(x – 3)

II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHU.

Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử.

Do đó: (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12 = (x2 + x – 2)(x2 + x + 5)

= (x – 1)(x + 2)(x2 + x +5) b) 4x(x + y)( x + y + z)(x + z) +y2z2

= 4x(x + y +z)(x + y)( x + z) +y2z2

= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xz + xy + yz) + y2z2Đặt: x2 + xy + xz = m, ta có

4x(x + y)(x + y + z)(x + y) + y2x2 = 4m(m + yz) + y2z2

= 4m2 + 4myz + y2z2 = ( 2m + yz)2

Thay m = x2 +xy +xz, ta được:

4x(x +y)(x + y +z)(x + z) + y2z2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2

* DẠNG ĐẶC BIỆT

Xét Q(x) = ay 2 + by + c Nếu có các số m, n sao cho m.n = a.c, m + n = b thì ay 2 + by + c = ay 2 + (m + n)y + m.n/a hay ay 2 + by + c =a(y + m/a)(y + n/a) (*) nói riêng a = 1 thì y 2 + by +c = ( y + m)(y +n).Trong trường hợp này a, b, c nguyên thì trước hết phân tích hai số nguyên m.n sao cho giá trị tuyệt đối của m và

n nhỏ hơn b sau đó chọn m, n thoả mãn m + n = b.

 Da thức dạng: P(x) = ax4 + bx 2 + c

Cách giải: Đặt biến phụ y = x 2 và áp dụng HĐT (*).

Ví dụ: Phân tích P(x) = 6x 4 + 19x 2 + 15 thành nhân tử.

Giải: Đặt y = x2 ,có Q(y)= 6y2 + 19y + 15

Tìm m, n sao cho m.n = 90 và m + n = 19 với m < 19, n < 19

Vì 90 = 6.15 = 9.10 nên chọn m = 9, n = 10, ta có:

6y2 + 19y + 15 = 6y2 + 9y + 10y + 15

= 3y(2y + 3) + 5(2y +3) = (2y + 3)(3y + 5)

Do dó P(x) = 6x4 + 19x2 + 15 = ( 2x2 + 3)(3x2 + 5)

 Đa thức dạng P(x) = (x +a)(x + b)(x + c)(x + d) + e với a + b = c + d

Cách giải: Đặt biến phụ y = (x + a)(x + b) có thể y = (x + c)(x + d) hoặc

Ví dụ: Phân tích P(x) = (x +1)(x + 2)(x +3)(x +4) – 15 thành nhân tử.

Giải: Với a = 1, b = 4, c = 2, d = 3 thì a + b = 5 =c + d Biến đổi:

P(x) = (x + 1)(x + 4)( x + 2)( x + 3) – 15 = (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) – 15 Đặt y = x2 + 5x + 4 thì P(x) trở thành Q(y) = y(y + 2) – 15

= y2 +2y – 15 = y2 – 3y + 5y – 15 = y(y – 3) + 5( y – 3) = (y – 3)(y +5)

Do dó P(x) = (x2 +5x + 1)(x2 + 5x + 9)

Tổng quát: Nếu đa dạng P(x) = (a1x + a2)(b1x + b2)(c1x + c2)(d1x + d2) thoả mãn

a1b1 = c1d1 và a1b2 + a2b1 = c1d2 +c2d1 thì đặt y =(a1x + a2)(b1x + b2) rồi biến đổi như trên

 Đa thức dạng: P(x) = (a1 x + a 2 )(b 1 x + b 2 )(c 1 x + c 2 )(d 1 x + d 2 )

với a 1 b 1 = c 1 d 1 và a 2 b 2 = c 2 d 2

Ví dụ: Phân tích P(x) = (3x +2)(3x – 5)(x – 9)(9x + 10) + 24x2 thành nhân tử.Giải: Dễ thấy a1b1 =3.3 = 9.1 = c1d1 và a2b2 = 2.(-5) =(-1).10 =c2d2

Do dó , P(x) = (x2 – x – 1 )(2x2 + 5x – 2)

 Đa thức dạng: P(x) = x4 + bx 3 + cx 2 + dx + e với e = d 2 /b 2

Cách giải: Đặt biến phụ y = x 2 + d/b và biến đổi P(x) về dạng chứa hạng tử

(x2 + ax + b)( x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad +bc)x +bd Đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho, ta có

x4 + 6x3 +7x2 + 6x + 1 =x4 +(a + c)x3 + (ac + b +d)x2 + (ad + bc)x +bd

 Nếu đa thức P(x) có một nghiệm là x = a thì ta có thể phân tích P(x) thành tích của hai thừa số là (x – a) và Q(x).

P(x) = (x – a) Q(x)Muốn tìm thừa số Q(x), ta hãy chia đa thức cho nhị thức (x – a)

 Nếu đa thức P(x) có hai nghiệm phân biệt là x = a và x = b thì ta có thể phânbiệt đa thức P(x) thành tích của ba thừa số là (x – a), (x – b) và Q(x)

P(x) = (x – a)(x – b) Q(x)Muốn tìm Q(x), ta chia đa thức P(x) cho tích số (x – a)(x – b) = x2 + (a + b)x +ab, ta có thương đúng của phép chia chính là Q(x)

 Nếu đa thức P(x) có nghiệm số kép x1 = x2 = a thìsao?

Thế nào là nghiệm số kép?

Giả sử P(x) có một nghiệm là x = a suy ra P(x) = (x – a)Q(x)

Q(x) lại có nghiệm x = a suy ra Q(x) = (x – a) R(x)

Do đó, ta có: P(x) = (x – a)2R(x)

Ta nói đa thức P(x) có nghiệm kép x1 = x2 = a

Vậy: Nếu đa thức P(x) có nghiệm kép là x1 = x2 = a thì P(x) = (x – a)2R(x)

Ví dụ: Phân tích đa thức P(x) = x 3 – 2x – 4 thành nhân tử

Giải: Ta nhận thấy đa thức P(x) = x3 – 2x – 4 có số nghiệm là x = 2

Do đó, ta có P(x) = ( x – 2)Q(x)Chia đa trhức P(x) = x3 – 2x – 4 cho nhị thức x – 2 , ta được thương số là

Q(x) = x2 + 2x +2 = (x + 1)2 +1 Suy ra P(x) = (x – 2)(x2 + 2x + 2)

Chia đa thức P(x) cho tam thức (x + 1)(x – 2) = x2 – x – 2 , ta được thương đúng của phép chia là: Q(x) = x2 + 2x + 2 = (x + 1)2 + 1

Suy ra: P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2)Vậy : P(x) = (x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 2)

VI QUY TẮT HÓT – NƠ (HORNER)

Quy tắt Hót – Nơ giúp chúng ta chia nhanh một đa thức cho một nhị thức bậc nhất

Bài toán: Giả sử chúng ta chia được đa thức

P(x) = a0xn + a1xn -1 + a2xn – 2 + a3xn – 3 + … + an chia nhị thức x - aBậc của đa thức thương Q(x) nhỏ hơn bậc của P(x) một đơn vị

Q(x) = b0xn – 1 + b1xn – 2 + b2xn – 3 + …… + bn - 1

Số dư r là một hằng số vì bậ r < bậc (x – a)

Ta có: a0xn + a1xn – 1 + a2xn – 2 + … + an = (x – a)(b0xn -1 + b1xn – 2 + … + bn – 1) + rCân bằng các hệ số, ta có: b0 = a0

b1 = a1 + ab0

b2 = a2 + ab1

b3 = a3 + ab2 ………

Suy ra, đa thức P(x) chia hết cho (x – 1)

+ a nhỏ hơn hoặc bằng b , kí hiệu a b,

+ a lớn hơn hoặc bằng b , kí hiệu a b ,

2) Một số tính chất của bất đẳng thức:

a) Nếu và thì (tính chất bắc cầu)

b) Nếu a>b và c bất kì thì a+c>b+c

Tức là: Khi cộng vào 2 vế của bất đẳng thức với cùng một số bất kì thì bất

đẳng thức không đổi chiều

c) Nếu a>b+c thì a-c>b

Tức là: Ta có thể chuyển một số hạng của bất đẳng thức từ vế này sang vế kia

và phải đổi dấu số hạng đó

d) Nếu a>b và c>d thì a+c>b+d

Tức là: Nếu cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều ta được một bất

đẳng thức cùng chiều

Chú ý: Không được cộng vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều

e) Nếu a>b và c thì a-c>b-d

Tức là: Nếu trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức ngược chiều ta đượcmột bất

đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức bị trừ

Chú ý: Không được trừ vế với vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều.

f) Nếu a>b và c>0 thì ac>bc

Nếu a>b và c<0 thì ac

Tức là:

Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cung một số dương thfbất đẳng thức

không đổi chiều

Nhân 2 vế của một bất đẳng thức với cùng một số âm thì bất đẳng thức đổi

chiều

g) Nếu a>b>0 và c>d>0 thì ac>bd

Tức là: Nếu ta nhân vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiều có các vế đều

dương thì ta được một bất đẳng thức cung chiều

Chú ý: Không được nhân vế với vế của hai bất đẳng thức ngược chiều.

h) Nếu thì

Tức là: Nếu nhân 2 vế của bất đẳng thức đều dương thì phép lấy nghịch đảo

dổi chiều của bất đẳng thức

k) Nếu a>b>0 và n nguyên dương thì

Nếu a>b và n nguyên dưong thì

1 Phương pháp sử dụng định nghĩa

Để chứng minh (hoặc ) ta chứng minh (hoặc )

- Lưu ý : A2 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0

- Ví dụ :

Chứng minh bất đẳng thức Côsi đối với hai số thực không âm ( còn gọi là bất

đẳng thức Ơclit )

Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a=b

Giải:

Với mọi a,b không âm Dấu “ = “ xảy ra khi và chỉ khi a=b

2 Phương pháp biến đổi tương đương

- Để chứng minh

ta biến đổi tương đương

trong đó bất đẳng thức cuối cùng là một bất đẳng thức hiển nhiên đúng hoặc là bất đẳng thức đơn giản hơn bất đẳng thức

- Một số hằng đẳng thức thường dùng :

(A+B)2=A2+2AB+B2

(A-B)2=A2-2AB+B2

(A+B+C)2=A2+B2+C2+2AB+2AC+2BC

(A+B)3=A3+3A2B+3AB2+B3

(A-B)3=A3-3A2B+3AB2-B3

(nhân hai vế với 4, chuyển vế)

3 Phương pháp quy nạp toán học

- Kiến thức : Để chứng minh một bất đẳng thức đúng với n > 1

bằng phương pháp quy nạp toán học , ta tiến hành :

+ Kiểm tra bất đẳng thức đúng với n = 1 (n = n0)

+ Với n = k đúng cần chứng minh

(để chứng minh dựa vào bất đẳng thức phụ sau: x>0 thì

4 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô-sy:

Với 2 số a,b không âm ta có:

Dấu "=" xảy ra khi a=b

Chứng minh:

Dấu "=" xảy ra khi a=b

Dạng tổng quát của bất đẳng thức Cô-sy (Cauchy):

Cho n là số tự nhiên thì

Dấu "=" xảy ra khi

Ví dụ:Cho a,b,c >0 chứng minh rằng:

Giải:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-sy cho 3 số dương ta có:

Nhân từng vế của (1) và (2) ta được

Dấu "=" xảy ra khi a=b=c

- Kiến thức : Giả sử phải chứng minh bất đẳng thức nào đó đúng ,

ta hãy giả sử bất đẳng thức đó sai , sau đó vận dụng các kiến

thức đã biết và giả thiết của đề bài để suy ra điều vô lý

Điều vô lý có thể là trái với giả thiết , hoặc là những điều trái

nhược nhau , từ đó suy ra đẳng thức cần chứng minh là đúng

- Một số hình thức chứng minh bất đẳng thức :

+ Dùng mệnh đề đảo

+ Phủ định rồi suy ra điều trái với giả thiết

+ Phủ định rồi suy ra trái với đIều đúng

+ Phủ định rồi suy ra hai điều trái ngược nhau

+ Phủ định rồi suy ra kết luận

Ví dụ: Chứng minh rằng không có 3 số a,b,c dương cùng thỏa mãn 3 bất đẳng

thức:

Giải:

Giả sử tồn tại cả 3 số dương thỏa mãn bất đẳng thức

Cộng theo từng vế 3 bất đẳng thức trên ta được:

Mà theo bất đẳng thức Cô-sy thì

Điều này mâu thuẫn với (1) nên không tồn tại 3 số a,b,c dương cùng thỏa mãn bất đẳng thức trên

7 Phương pháp làm trội, làm giảm.

Dùng tính chất của BĐT để đưa một vế của BĐT cần chứng minh về dạng để tính tổng hữu hạn hoặc tích hữu hạn

8 Phương pháp dùng miền giá trị của hàm số:

Để chứng minh b < f(x) < a với mọi x ta đặt y = f(x) <=> y - f(x) = 0 có nghiệm

<=> b < f(x) < a Từ đó suy ra đpcm

Cộng từng vế của 3 bất đẳng thức ta có điều phải chứng minh

10 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối.

a/

b/

d/ dấu = khi A.B >0

e/ dấu = khi A>B>0 hoặc A<0

Cmr :

Bài 4: Cho các số thực dương có tổng bằng 1 Chứng minh rằng:

Bài 5: Cho Chứng minh rằng :

Bài 6: Cho Chứng minh rằng :

Bài 7: Cho hai số thực không âm a,b Chứng minh:

Bài 8: Cho Chứng minh:

Bài 9: Cho a,b,c là độ dài ba cạnh tam giác, p là nửa chu vi Chứng minh rằng:

Bài 10: Cho và Chứng minh:

Bài 11: Cho Chứng minh :

Bài 12: Cho ba số thực dương Cmr :

Bài 13: Cho a,b,c > 0 và Cmr :

Hướng dẫn giải

Bài 1: Dùng phương pháp biến đổi tương đương, chú ý không dùng bất đẳng thức

Cosi vì bài không cho a, b không âm

Bài 2: Dùng phương pháp biến đổi tương đương đưa về tổng các bình phương luôn

không âm

Bài 3: Cách làm tương tự bài 3.

Bài 4: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski

Bài 5 : Biến đổi tương đương tạo thành tích của 2 số không âm.

Bài 6 : Biến đổi tương đương

Biến đổi tạo thành biểu thức không âm

Bài 7 : Áp dụng bất đẳng thức Cosi 2 phát là xong :

Bài 8: Tương tự bài 7

Bài 9: Sử dụng bất đẳng thức: (đã chứng minh bài 8)

Chú ý sử dụng kĩ thuật tách hạng tử:

(p là nửa chu vi )

Bài 10:Biến đổi

lại áp dụng bài 8 là xong

Bài 11: Áp dụng bất đẳng thức cosi 2 lần cho 3 số.

Bài 12: Cộng hai vế của BĐT với 3 thì BĐT cần chứng minh trở thành

Áp dụng bất đẳng thức của bài 11 là xong !

b Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số 1 Hỏi tích ab có chia hết cho 3 không? Vì sao?

Bài 8: Cho a + b + c = 0 Chứng minh rằng M = N = P với:

M a a b a c      ; N b b c b a      ; P c c a c b      

Bài 9: Cho biểu thức: M = x a x b      x b x c      x c x a    x2 Tính M

theo a, b, c, biết rằng x12a12b12c

Bài 10: Cho các biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y Chứng minh rằng nếu x,

y là các số nguyên và A chia hết cho 13 thì B chia hết cho 13 Ngược lại nếu B chia hết cho 13 thì A cũng chia hết cho 13

Bài 11: Cho các biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y

a Rút gọn biểu thức 7A – 2B

b Chứng minh rằng: Nếu các số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia hết cho 17thì 9x + 7y cũng chia hết cho 17

Bài 12: Chứng minh rằng:

2 Chuyên đề: Biển đổi biểu thức nguyên

2, ở dòng 4 ta có 4 = 1 + 3, 6 = 3 + 3, 4 = 3 + 1, …Khai triển (x + y)n thành tổng thìcác hệ số của các hạng tử là các số trong dòng thứ n của bảng trên Người ta gọibảng trên là tam giác Pascal, nó thường được sử dụng khi n không quá lớn Chẳnghạn, với n = 4 thì :

Lời giảia) a3 + b3 + c3 – 3abc = (a + b)3 + c3 – 3abc – 3a2b – 3ab2

Tính giá trị của biểu thức : A = a4 + b4 + c4

2 Cho x + y + z = 0 và xy + yz + zx = 0 Tính giá trị của biểu thức :

B = (x – 1)2007 + y2008 + (z + 1)2009

3 Cho a2 – b2 = 4c2 Chứng minh rằng : (5a – 3b + 8c)(5a – 3b – 8c) = (3a – 5b)2

4 Chứng minh rằng nếu:

5 (x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2 = (x + y – 2z)2 + (y + z – 2x)2 + (z + x – 2y)2thì x = y = z.

6 a) Chứng minh rằng nếu (a2 + b2)(x2 + y2) = (ax + by)2 và x, y khác 0 thì a b

x=y

b) Chứng minh rằng nếu (a2 + b2 + c2)(x2 + y2 + z2) = (ax + by + cz)2

Tính giá trị của biểu thức : C = a2 + b9 + c1945

11 Hai số a, b lần lượt thỏa mãn các hệ thức sau :

a3 – 3a2 + 5a – 17 = 0 và b3 – 3b2 + 5b + 11 = 0 Hãy tính : D = a + b

12 Cho a3 – 3ab2 = 19 và b3 – 3a2b = 98 Hãy tính : E = a2 + b2

13 Cho x + y = a + b và x2 + y2 = a2 + b2 Tính giá trị của các biểu thức sau :

a) x3 + y3 ; b) x4 + y4 ; c) x5 + y5 ; d) x6 + y6 ;

e) x7 + y7 ; f) x8 + y8 ; g) x2008 + y2008

3 Chuyên đề: Phân tích đa thức thành nhân tử

(Đa thức đã cho có nhiệm nguyên hoặc nghiệm hữu tỉ)

II- Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử

1) Dạng 1: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của

hai bình phương: A 2 – B 2 = (A – B)(A + B)

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

2) Dạng 2: Thêm bớt cùng một hạng tử làm xuất hiện thừa số chung

Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

III- Phương pháp đổi biến

Bài 1:Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Bài 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

IV- Phương pháp xét giá trị riêng

Phương pháp: Trước hết ta xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gáncho các biến các giá trị cụ thể để xác định thừa số còn lại

Ví dụ: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Giải

a, Giả sử thay x bởi y thì P = y y z2 (  ) y z y2 (  ) 0 

Như vậy P chứa thừa số x – y

Ta lại thấy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi(ta nói đa thức

P có thể hoán vị vòng quanh bởi các biến x, y, z) Do đó nếu P đã chúa thùa số x – ythì cũng chúa thừa số y – z, z – x Vậy P phải có dạng

P = k(x – y)(y – z)(z – x).Ta thấy k phải là hằng số(không chúa biến) vì P có bậc 3đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x – y)(y – z)(z – x) cũng có bậc ba đối vớitập hợp các biến x, y, z Vì đẳng thức

đúng với mọi x, y, z nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng, chẳng hạn x =

2, y = 1, z = 0

ta được k = -1

Vậy P =- (x – y)(y – z)(z – x) = (x – y)(y – z)(x - z)

Các bài toán Bài 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Hệ quả: Nếu a là nghiệm của đa thừc f(x) thì f(x) chia hết cho x - a.

áp dụng: Định lí BêZu có thể dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử Thựchiện như sau:

Bước 1: Chọn một giá trị x = a nào đó và thử xem x = a có phải là nghiệm củaf(x) không

Bước 2: Nếu f(a) = 0, theo định lí BêZu ta có: f(x)  (x a)p(x)

Để tìm p(x) thực hiện phép chia f(x) cho x - a

Bước 3: Tiếp tục phân tích p(x) thành nhân tử nếu còn phân tích được Sau đóviết kết quả cuối cùng cho hợp lí

Dạng 1: Tìm đa thức thương bằng phương pháp đồng nhất hệ số(phương pháp hệ sốbất định), phương pháp giá trị riêng , thực hiện phép chia đa thức

*Phương pháp1: Ta dựa vào mệnh đề sau đây :

Nếu hai đa thức P(x) và Q(x) bằng nhau: P(x) = Q(x) thì các hạng tử cùng bậc ở hai

đa thức phải có hệ số phải có hệ số bằng nhau

Ví dụ: ( ) 2 2 3





ax bx x

P ; Q(x) x2  4x p

Nếu P(x) = Q(x) thì ta có:

a = 1(hệ số của lũy thừa 2)

2b = - 4 (hệ số của lũy thừa bậc 1)

- 3 = - p (hệ số hạng tử bậc không hay hạng tử tự do)

*Phương pháp2: Cho hai đa thức P(x) và Q(x) thỏa mãn deg P(x) > deg Q(x)

Gọi thương và dư trong phép chia P(x) cho Q(x) lần lượt là M(x) và N(x)

Khi đó ta có: P(x) Q(x).M(x) N(x) (Trong đó: deg N(x) < deg Q(x)) (I)

Vì đẳng thức (I) đúng với mọi x nên ta cho x lấy một giá trị bất kì : x

( là hằng số) Sau đó ta đi giải phương trình hoặc hệ phương trình để tìm các hệ

số của các hạng tử trong các đa thức ( Đa thức thương, đa thức chia, đa thức bị chia,

số dư)

Ví dụ: Bài 1(Phần bài tập áp dụng)

Gọi thương của phép chia A(x) cho x + 1 là Q(x), ta có:

) ( ).

1 ( 2 6

6 0

2 6

2

a

a a

a a

*Phương pháp 3:Thực hiện phép chia đa thức (như SGK)

x Hãy giải bài toán trên bằng nhiều cách khác nhau

Bài 4: Xác định giá trị k để đa thức: f(x) x4 9x3 21x2xk chia hết cho đa thức:

2 )

Bài 7: a) Xác định các giá trị của a, b và c để đa thức: P(x) x4ax2bxc

Chia hết cho 3

) 3 ( x

b) Xác định các giá trị của a, b để đa thức: ( ) 6 4 7 3 2 3 2

Q Xác định a, b để P(x) chia hết cho Q(x)

Bài 14: Xác định a và b sao cho đa thức ( ) 4 3 1





ax bx x

2 ) 1

P và Q(x) x2  xb Xác định a và

b để P(x) chia hết cho Q(x)

(23 chuyên đề toán sơ cấp)

Dạng 2: Phương pháp nội suy NiuTơn

Phương pháp:

) )(

)(

( 2

3 ax bx c x a x b x c

x       

Để tìm đa thức P(x) bậc không quá n khi biết giá trị của đa thức tại n + 1

điểm C1 ,C2 ,C3 ,  ,C n1 ta có thể biểu diễn P(x) dưới dạng:

) (

) )(

( )

)(

( ) ( )

2 2 18 25 9

18 25

7 25

2 2

1 1 0

b b b

Vậy, đa thức cần tìm có dạng:

25 19 )

( ) 1 ( 18

b) Suy ra giá trị của tổng S  1 2 3  2 3 5   n(n 1 )( 2n 1 ), (nN* )

Hướng dẫn: Thay x lần lượt bằng 0; 1; 2; 3 vào (1), ta được :

36 ) 2 ( 5 3 2 ) 1 ( ) 2 (

6 ) 1 ( 3 2 1 ) 0 ( ) 1

(

0 ) 0 ( 0 ) 1 ( ) 0 (

, 0 ) 2 ( 0 ) 2 ( ) 1 (

P

P P

P

P P

P

P P

2

1 )

4 )(

3 )(

2 )(

1 ( ) 3 )(

2 )(

1 (

3 ) 2 )(

1 (

3 0

3 1

2 3 2 3 3 36

, 3 1

2 6

, 0 0

0

4 4

3 3

2 2

1 1 0

b b

b b

b b b

Vậy, đa thức cần tìm có dạng:

2

1 ) 2 )(

1 ( ) 1 ( 2

1 ) 1 ( ) 1 ( 3 ) 1 ( 3

(Tuyển chọn bài thi HSG Toán THCS)

Bài 5: cho đa thức ( ) 2 , ( , , 0 )







ax bx c a b c x

P Cho biết 2a 3b 6c 0

1) Tính a, b, c theo , ( 1 )

2

1 ), 0

không thể cùng âm hoặc cùng dương

Bài 6: Tìm một đa thức bậc hai, cho biết:

1985 )

2 (

85 ) 1 (

19 ) 0 (







P P P

5 Chuyên đề: Biển đổi phân thức hữu tỉ

Ví dụ 1

a) Chứng minh rằng phân số 3n 1

5n 2

++ là phân số tối giản nN ;b) Cho phân số

Lời giảia) Đặt d = ƯCLN(5n + 2 ; 3n + 1)  3(5n + 2) – 5(3n + 1)  d hay 1  d  d = 1

Vậy phân số 3n 1

5n 2

++ là phân số tối giản.

ê + =ê

ê + =ë

ê ê

ê ë

Ví dụ 4 Cho a, b, c là ba số phân biệt Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau

không phụ thuộc vào giá trị của x :

(x a)(x b) (x b)(x c) (x c)(x a)S(x)

(c a)(c b) (a b)(a c) (b c)(b a)