SỐ CHÍNH PHƯƠNG I. ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên. II. TÍNH CHẤT: 1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8. 2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn. 3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n ∈ N). 4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n ∈ N). 5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2 Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ. 6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4. Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9. Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25. Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16. III. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG A. DẠNG1 : CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 là số chính phương. Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 = (x 2 + 5xy + 4y 2 )( x 2 + 5xy + 6y 2 ) + y 4 Đặt x 2 + 5xy + 5y 2 = t ( t ∈ Z) thì A = (t - y 2 )( t + y 2 ) + y 4 = t 2 –y 4 + y 4 = t 2 = (x 2 + 5xy + 5y 2)2 V ì x, y, z ∈ Z nên x 2 ∈ Z, 5xy ∈ Z, 5y 2 ∈ Z ⇒ x 2 + 5xy + 5y 2 ∈ Z Vậy A là số chính phương. Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương. Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n ∈ N). Ta có n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1 = (n 2 + 3n)( n 2 + 3n + 2) + 1 (*) Đặt n 2 + 3n = t (t ∈ N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t 2 + 2t + 1 = ( t + 1 ) 2 = (n 2 + 3n + 1) 2 Vì n ∈ N nên n 2 + 3n + 1 ∈ N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương. Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2) Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương . Ta có k(k+1)(k+2) = 4 1 k(k+1)(k+2).4 = 4 1 k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)] = 4 1 k(k+1)(k+2)(k+3) - 4 1 k(k+1)(k+2)(k-1) ⇒ S = 4 1 .1.2.3.4 - 4 1 .0.1.2.3 + 4 1 .2.3.4.5 - 4 1 .1.2.3.4 +…+ 4 1 k(k+1) (k+2)(k+3) - 4 1 k(k+1)(k+2)(k-1) = 4 1 k(k+1)(k+2)(k+3) 4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 Theo kết quả bài 2 ⇒ k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính ph ương. Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; … Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương. Ta có 44…488…89 = 44…488 8 + 1 = 44…4 . 10 n + 8 . 11…1 + 1 n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 1 = 4. 9 110 − n . 10 n + 8. 9 110 − n + 1 = 9 9810.810.410.4 2 +−+− nnn = 9 110.410.4 2 ++ nn 2 = + 3 110.2 n Ta thấy 2.10 n +1=200…01 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3 n-1 chữ số 0 ⇒ + 3 110.2 n ∈ Z hay các số có dạng 44…488…89 là số chính phương. Bài 5: Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương: A = 11…1 + 44…4 + 1 2n chữ số 1 n chữ số 4 B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 8 2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6 C = 44…4 + 22…2 + 88…8 + 7 2n chữ số 4 n+1 chữ số 2 n chữ số 8 Kết quả: A = + 3 210 n ; B = + 3 810 n ; C = + 3 710.2 n Bài 6: Chứng minh rằng các số sau là số chính phương: a. A = 22499…9100…09 n-2 chữ số 9 n chữ số 0 b. B = 11…155…56 n chữ số 1 n-1 chữ số 5 a. A = 224.10 2n + 99…9.10 n+2 + 10 n+1 + 9 = 224.10 2n + ( 10 n-2 – 1 ) . 10 n+2 + 10 n+1 + 9 = 224.10 2n + 10 2n – 10 n+2 + 10 n+1 + 9 = 225.10 2n – 90.10 n + 9 = ( 15.10 n – 3 ) 2 2 2 2 2 ⇒ A là số chính phương b. B = 111…1555…5 + 1 = 11…1.10 n + 5.11…1 + 1 n chữ số 1 n chữ số 5 n chữ số 1 n chữ số 1 = 9 110 − n . 10 n + 5. 9 110 − n + 1 = 9 9510.51010 2 +−+− nnn = 9 410.410 2 ++ nn phần bốn dấu hiệu chia hết i kiến thức cần ghi nhớ số có tận 0, 2, 4, 6, chia hết cho 2 số có tân chia hết cho số có tổng chữ số chia hết cho chia hết cho số có tổng chữ số chia hết cho chia hết cho số có hai chữ số tận lập thành số chia hết cho chia hết cho số có hai chữ số tận lập thành số chia hết cho 25 chia hết cho 25 số có chữ số tận lập thành số chia hết cho chia hết cho 8 số có chữ số tận lập thành số chia hết cho 125 chia hết cho 125 a chia hết cho m, b chia hết cho m (m > 0) tổng a + b hiệu a- b (a > b) chia hết cho m 10 cho tổng có số hạng chia cho m dư r (m > 0), số hạng lại chia hết cho m tổng chia cho m dư r 11 a chia cho m dư r, b chia cho m dư r (a - b) chia hết cho m ( m > 0) 12 tích có thừa số chia hết cho m tích chia hết cho m (m >0) 13 a chia hết cho m đồng thời a chia hết cho n (m, n > 0) đồng thời m n chia hết cho a chia hết cho tích m x n ví dụ: 18 chia hết cho 18 chia hết cho (2 chia hết cho 1) nên 18 chia hết cho tích x 14 a chia cho m dư m - (m > 1) a + chia hết cho m 15 a chia cho m dư a - chia hết cho m (m > 1) ii tập 1: từ chữ số 0, 1, viết tất số có chữ số khác chia hết cho 2: viết tất số chia hết cho có chữ số khác từ chữ số 0, 1, , 3: em viết vào dấu * số 86* chữ số để số có chữ số số: a) chia hết cho b) chia hết cho c) chia hết cho d) chia hết cho e) chia hết cho g) chia hết cho 4: tìm chữ số x, y cho 17 x8 y chia hết cho 5: tìm x, y để x765 y chia hết cho 6: tìm x y để số 1996 xy chia hết cho 2, 7: tìm a b để 56a3b chia hết cho 36 8: tìm tất chữ số a b để phân số 1a83b số tự nhiên 45 9: tìm x để 37 + x5 chia hết cho 10: tìm a b để số a391b chia hết cho chia cho dư 11: tìm tất số có chữ số khác abc , biết: ac = b7 12: cho số x1y tìm x y để số có chữ số khác chia hết cho 2, chia cho dư 13: cho A = x036 y tìm x y để a chia cho 2, dư 14: tìm số có chữ số chia hết cho 2, 5, biết đổi vị trí chữ số hàng đơn vị với hàng trăm hàng chục với hàng nghìn số không đổi 15: tìm tất số có chữ số, biết rằng: số chia hết cho chia số cho ta thương số có chữ số dư 16: viết thêm chữ số vào bên phải số 283 để số chia hết cho 2, 17: tìm số có chữ số chia hết cho 5, biết đọc ngược hay đọc xuôi số không thay đổi giá trị 18: tìm số có chữ số, biết số chia cho dư 3, chia cho dư 1, chia cho vừa hết chữ số hàng trăm 19: tìm số lớn 80, nhỏ 100, biết lấy số cộng với chia cho dư lấy số cộng với 17 chia cho dư 20: tìm số tự nhiên nhỏ cho chia số cho 3, 4, dư chia cho không dư 21: viết thêm chữ số vào bên phải chữ số vào bên trái số 45 để số lớn có chữ số thoả mãn tính chất chia số cho dư 3, chia cho dư 4, chia cho dư 22: tìm tất số có hai chữ số chia cho dư 1, chia cho dư 2, chia cho dư 23: tìm số có chữ số chia hết cho 25, biết đọc chữ số số theo thứ tự ngược lại đổi chữ số hàng đơn vị với chữ số hàng trăm số không thay đổi 24: tìm số abc (với c khác 0), biết số abc chia hết cho 45 abc − cba = 396 25: cho a số tự nhiên có chữ số viết chữ số a theo thứ tự ngược lại ta số tự nhiên b hỏi hiệu số có chia hết cho hay không? sao? 26: tìm số tự nhiên nhỏ khác 1, cho chia số cho 2, 3, 4, dư 27: tìm chữ số a, b, c cho a7b8c9 chia hết cho 1001 28: số a chia cho dư 3, chia cho dư hỏi a chia cho 36 dư bao nhiêu? 29: số chia cho 11 dư 5, chia cho 12 dư hỏi số chia cho 132 dư bao nhiêu? 30: số chia cho dư 5, chia cho dư hỏi số a chia cho 30 dư bao nhiêu? 31: chứng tỏ hiệu số có dạng 1ab1 số viết chữ số theo thứ tự ngược lại số chia hết cho 90 32: với chữ số a, b, c a > b chứng tỏ abab − baba chia hết cho 101 33: biết số a viết 54 chữ số tìm số tự nhiên nhỏ mà cộng số với a ta số chia hết cho 45 34: tìm số có chữ số, biết đem số chia cho 131 dư 18, chia cho 132 dư 35: cho m chia cho dư 2, n chia cho dư p = 2003 x m + 2004 x n tính xem p chia cho dư mấy? 36: chia a cho 45 dư 17 chia a cho 15 thương thay đổi nào? 37: cho tờ giấy xé tờ giấy thành mảnh lấy số mảnh xé mảnh thành mảnh nhỏ sau lại lấy số mảnh nhỏ, xé mảnh thành mảnh nhỏ … ngừng xé, theo quy luật người ta đếm 1999 mảnh lớn nhỏ thảy hỏi người đếm hay sai? sao? 38: hai bạn minh nhung mua gói bánh gói kẹo nhung đưa cho cô bán hàng hai tờ giấy bạc loại 50000 đồng cô trả lại 36000 đồng minh nói ngay: “cô tính sai rồi!” bạn cho biết minh nói hay sai? giải thích sao? (biết giá tiền gói bánh gói kẹo số nguyên đồng) 39: cho tam giác abc nối điểm cạch tam giác với tiếp tục (như hình vẽ) sau số lần vẽ, bạn minh đếm 2003 tam giác, bạn thông đếm 2004 tam giác theo em bạn đếm đúng, bạn đếm sai? … 40: cửa hàng rau có rổ đựng cam chanh (mỗi rổ đựng loại quả) số rổ là: 104, 115, 132, 136 148 sau bán rổ cam, người bán hàng thấy rằng: số chanh lại gấp lần số cam hỏi cửa hàng có loại? 41: có 30 que, độ dài que theo thứ tự là: 1cm, 2cm, 3cm, …, 30cm độ dài que không thay đổi, hỏi xếp que để: a) hình vuông không? b) hình chữ nhật không? 42: an có hộp ngòi bút: hộp đựng 15 ngòi, hộp đựng 16 ngòi, hộp đựng 18 ngòi, hộp đựng 19 ngòi, hộp đựng 20 ngòi, hộp đựng 31 ngòi an cho hoà số hộp, cho bình số hộp tổng cộng an cho hết hộp tính số ngòi bút mà an cho bình số bút mà an cho hoà a) ...Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 1 DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1 : Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau: a) 3, 8, 15, 24, 35, b) 3, 24, 63, 120, 195, c) 1, 3, 6, 10, 15, d) 2, 5, 10, 17, 26, e) 6, 14, 24, 36, 50, f) 4, 28, 70, 130, 208, g) 2, 5, 9, 14, 20, h) 3, 6, 10, 15, 21, i) 2, 8, 20, 40, 70, Hướng dẫn: a) n(n+2) b) (3n-2)3n c) ( 1) 2 n n d) 1+n 2 e) n(n+5) f) (3n-2)(3n+1) g) ( 3) 2 n n h) ( 1)( 2) 2 n n i) ( 1)( 2) 3 n n n Bài 2: Tính: a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n b,A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 Hướng dẫn: a,A = 1+2+3+…+(n-1)+n A = n (n+1):2 b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+ +99.100.(101-98) 3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+ +99.100.101-98.99.100 3A = 99.100.101 A = 333300 Tổng quát: A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n - 1) n A = (n-1)n(n+1): 3 Bài 3 : Tính: A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 Hướng dẫn: Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 2 A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+ +99(100+1) A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+ +99.100+99 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99) A = 333300 + 4950 = 338250 Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+ +(n-1)(n+1) A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2 A= (n-1)n(2n+1):6 Bài 4 : Tính: A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 Hướng dẫn: A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+ +99(100+2) A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+ +99.100+99.2 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+2(1+2+3+ +99) A = 333300 + 9900 A = 343200 Bài 5 : Tính: A = 4+12+24+40+ +19404+19800 Hướng dẫn: 1 2 A = 1.2+2.3+3.4+4.5+ +98.99+99.100 A= 666600 Bài 6: Tính: A = 1+3+6+10+ +4851+4950 Hướng dẫn: 2A = 1.2+2.3+3.4+ +99.100 A= 333300:2 A= 166650 Bài 7 : Tính: A = 6+16+30+48+ +19600+19998 Hướng dẫn: 2A = 1.3+2.4+3.5+ +99.101 A = 338250:2 A = 169125 Bài 8: Tính: A = 2+5+9+14+ +4949+5049 Hướng dẫn: 2A = 1.4+2.5+3.6+ +99.102 A = 343200:2 A = 171600 Bài 9 : Tính: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100 Hướng dẫn: 4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+ +98.99.100.(101-97) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 3 4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ +98.99.100.101-97.98.99.100 4A = 98.99.100.101 A = 2449755 Tổng quát: A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +(n-2)(n-1)n A = (n-2)(n-1)n(n+1):4 Bài 1 0: Tính: A = 1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 Hướng dẫn: A = 1+2(1+1)+3(2+1)+ +99(98+1)+100(99+1) A = 1+1.2+2+2.3+3+ +98.99+99+99.100+100 A = (1.2+2.3+3.4+ +99.100)+(1+2+3+ +99+100) A = 333300 + 5050 A = 338050 Tổng quát: A = 1 2 +2 2 +3 2 + +(n-1) 2 +n 2 A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2 A = n(n+1)(2n+1):6 Bài 11: Tính: A = 2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 +100 2 Hướng dẫn: A = 2 2 (1 2 +2 2 +3 2 + +49 2 +50 2 ) Bài 12: Tính: A = 1 2 +3 2 +5 2 + +97 2 +99 2 Hướng dẫn: A = (1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 )-(2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 +100 2 ) A = (1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 )-2 2 (1 2 +2 2 +3 2 + +49 2 +50 2 ) Bài 13: Tính: A = 1 2 -2 2 +3 2 -4 2 + +99 2 -100 2 Hướng dẫn: A = (1 2 +2 2 +3 2 + +99 2 +100 2 )-2(2 2 +4 2 +6 2 + +98 2 +100 2 ) Bài 14: Tính: A = 1.2 2 +2.3 2 +3.4 2 + +98.99 2 Hướng dẫn: A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+ +98.99(100-1) A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+ +98.99.100-98.99 A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+ +98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+ +98.99) Bài 15: Tính: A = 1.3+3.5+5.7+ +97.99+99.101 Hướng dẫn: A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+ +97(97+2)+99(99+2) A = (1 2 +3 2 +5 2 + +97 2 +99 2 )+2(1+3+5+ +97+99) Generated by Foxit PDF Creator © Foxit Software http://www.foxitsoftware.com For evaluation only. Các chuyên đề Bồi dưỡng HSG Toán lớp 7 4 Bài 16: Tính: A = 2.4+4.6+6.8+ +98.100+100.102 Hướng dẫn: A = yzc1397572658.doc CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI PHẦN I: ĐỀ BÀI 1. Chứng minh 7 là số vô tỉ. 2. a) Chứng minh : (ac + bd) 2 + (ad – bc) 2 = (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd) 2 ≤ (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x 2 + y 2 . 4. a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : a b ab 2 + ≥ . b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : bc ca ab a b c a b c + + ≥ + + c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab. 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a 3 + b 3 . 6. Cho a 3 + b 3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b. 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh : a 3 + b 3 + abc ≥ ab(a + b + c) 8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng : a b a b + > − 9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1) 2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8 10. Chứng minh các bất đẳng thức : a) (a + b) 2 ≤ 2(a 2 + b 2 ) b) (a + b + c) 2 ≤ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) 11. Tìm các giá trị của x sao cho : a) | 2x – 3 | = | 1 – x | b) x 2 – 4x ≤ 5 c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1. 12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng : a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = a(b + c + d) 13. Cho biểu thức M = a 2 + ab + b 2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất ? Tìm giá trị nhỏ nhất đó. 14. Cho biểu thức P = x 2 + xy + y 2 – 3(x + y) + 3. CMR giá trị nhỏ nhất của P bằng 0. 15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x 2 + 4y 2 + z 2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0 16. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 1 A x 4x 9 = − + 17. So sánh các số thực sau (không dùng máy tính) : a) 7 15 và 7+ b) 17 5 1 và 45+ + c) 23 2 19 và 27 3 − d) 3 2 và 2 3 18. Hãy viết một số hữu tỉ và một số vô tỉ lớn hơn 2 nhưng nhỏ hơn 3 19. Giải phương trình : 2 2 2 3x 6x 7 5x 10x 21 5 2x x+ + + + + = − − . 20. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = x 2 y với các điều kiện x, y > 0 và 2x + xy = 4. 21. Cho 1 1 1 1 S 1.1998 2.1997 k(1998 k 1) 1998 1 = + + + + + − + − . Hãy so sánh S và 1998 2. 1999 . 22. Chứng minh rằng : Nếu số tự nhiên a không phải là số chính phương thì a là số vô tỉ. 23. Cho các số x và y cùng dấu. Chứng minh rằng : http://kinhhoa.violet.vn 1 yzc1397572658.doc a) x y 2 y x + ≥ b) 2 2 2 2 x y x y 0 y x y x + − + ≥ ÷ ÷ c) 4 4 2 2 4 4 2 2 x y x y x y 2 y x y x y x + − + + + ≥ ÷ ÷ ÷ . 24. Chứng minh rằng các số sau là số vô tỉ : a) 1 2 + b) 3 m n + với m, n là các số hữu tỉ, n ≠ 0. 25. Có hai số vô tỉ dương nào mà tổng là số hữu tỉ không ? 26. Cho các số x và y khác 0. Chứng minh rằng : 2 2 2 2 x y x y 4 3 y x y x + + ≥ + ÷ . 27. Cho các số x, y, z dương. Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 2 x y z x y z y z x y z x + + ≥ + + . 28. Chứng minh rằng tổng của một số hữu tỉ với một số vô tỉ là một số vô tỉ. 29. Chứng minh các bất đẳng thức : a) (a + b) 2 ≤ 2(a 2 + b 2 ) b) (a + b + c) 2 ≤ 3(a 2 + b 2 + c 2 ) c) (a 1 + a 2 + … + a n ) 2 ≤ n(a 1 2 + a 2 2 + … + a n 2 ). 30. Cho a 3 + b 3 = 2. Chứng minh rằng a + b ≤ 2. 31. Chứng minh rằng : [ ] [ ] [ ] x y x y+ ≤ + . 32. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : 2 1 A x 6x 17 = − + . 33. Tìm giá trị nhỏ nhất của : x y z A y z x = + + với x, y, z > 0. 34. Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x 2 + y 2 biết Bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 5 Chuyên đề 2 - Dạng Kĩ thuật tính và quan hệ giữa các thành phần của phép tính Kĩ thuật tính và quan hệ giữa các thành phần của phép tính Bồi dưỡng hsg lớp 5 * CÁC BÀI TẬP: Bài 1: Khi cộng một số tự nhiên có 4 chữ số với một số tự nhiên có 2 chữ số, do sơ suất một học sinh đã đặt phép tính như sau: abcd + eg Hãy cho biết kết quả của phép tính thay đổi như thế nào. Giải: Khi đặt phép tính như vậy thì số hạng thứ hai tăng gấp 100 lần. Ta có: Tổng mới = SH1 + 100 x SH2 = SH1 + SH2 + 99 x SH2 =Tổng cũ + 99 x SH2 Vậy tổng mới tăng thêm 99 lần số hạng thứ hai. Bài 2: Khi nhân 1 số tự nhiên với 6789, bạn Mận đã đặt tất cả các tích riêng thẳng cột với nhau như trong phép cộng nên được kết quả là 296 280. Hãy tìm tích đúng của phép nhân đó. Giải: Khi đặt các tích riêng thẳng cột với nhau như trong phép cộng tức là bạn Mận đã lấy thừa số thứ nhất lần lượt nhân với 9, 8, 7 và 6 rồi cộng kết quả lại. Do 9 + 8 + 7 + 6 = 30 nên tích sai lúc này bằng 30 lần thừa số thứ nhất. Vậy thừa số thứ nhất là: 296 280: 30 = 9 876 Tích đúng là: 9 876 x 6789 = 67 048 164 Bài 3: Khi chia 1 số tự nhiên cho 41, một học sinh đã chép nhầm chữ số hàng trăm của số bị chia là 3 thành 8 và chữ số hàng đơn vị là 8 thành 3 nên được thương là 155, dư 3. Tìm thương đúng và số dư trong phép chia đó. Giải: Số bị chia trong phép chia sai là: 41 x 155 + 3 = 6358 Số bị chia của phép chia đúng là: 6853 Phép chia đúng là: 6853: 41 = 167 dư 6 Bài 4: Biên soạn: Mai Văn Dũng Bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 5 Hiệu của 2 số là 33, lấy số lớn chia cho số nhỏ được thương là 3 và số dư là 3. Tìm 2 số đó. Giải: Theo bài ra ta có: Số nhỏ là: (33 - 3): 2 = 15 Số lớn là: 33 + 15 = 48 Đáp số 15 và 48. Bài 5: Hai số thập phân có tổng bằng 55,22; Nếu dời dấu phẩy của số bé sang trái 1 hàng rồi lấy hiệu giữa số lớn và nó ta được 37, 07. Tìm 2 số đó. Giải: Khi dời dấu phẩy của số bé sang trái 1 hàng tức là ta đã giảm số bé đi 10 lần. Theo bài ra ta có sơ đồ: Nhìn vào sơ đồ ta thấy: 11 lần số bé mới là: 55,22 - 37,07 = 18,15 Số bé là: 18,15: 11 x 10 = 16,5 Số lớn là: 55,22 - 16,5 = 38,2 Đáp số: SL: 38,2; SB: 16,5. Bài 6: Hai số thập phân có hiệu là 5,37 nếu dời dấu phẩy của số lớn sang trái 1 hàng rồi cộng với số bé ta được 11,955. Tìm 2 số đó. Giải: Khi dời dấu phẩy của số lớn sang trái 1 hàng tức là ta đã giảm số đó đi 10 lần. Ta có sơ đồ: 1/10 số lớn + số bé = 11,955 mà số lớn - số bé = 5,37. Do đó 11 lần của 1/10 số lớn là: 11,955 + 5,37 = 17,325 Số lớn là: 17,325: 11 x 10 = 15,75 Số bé là : 15,75 - 5,37 = 10, 38 Đáp số: SL: 15,75; SB: 10, 38. Bài 7: Cô giáo cho học sinh làm phép trừ một số có 3 chữ số với một số có 2 chữ số, một học sinh đãng trí đã viết số trừ dưới cột hàng trăm của số bị trừ nên tìm ra hiệu là 486. Tìm hai số đó, biết hiệu đúng là 783. Biên soạn: Mai Văn Dũng Bồi [...]... 64 64 5 5 5 5 5 5 + + ví dụ 2: b = + + + 2 6 18 54 162 486 a= bước 1: tính b x n (n x 3) bx3=3x + 5 2 = 5 5 5 5 5 + + + + 6 18 54 162 486 15 5 5 5 5 5 + + + + + 2 2 6 18 54 162 bước 2: tính b x n - b 5 5 5 5 5 5 5 15 5 5 5 5 + + + + + + + + - + + 2 6 18 54 162 2 2 6 18 54 162 486 15 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 + + + + + − − b x (3 - 1) = - − − − 2 2 6 18 54 162 2 6 18 54 162... 0 ,5 × 6,6 : 0,1 25 × 5 bài 6: tính nhanh: 989898 31313131 − 454 5 45 151 5 151 5 bài 7: tính nhanh: 5 5 5 5 − + + 10101 20202 30303 40404 10101x bài 8: tính nhanh: 0,8 × 0,4 ×1, 25 × 25 + 0,7 25 + 0,2 75 1, 25 × 4 × 8 × 25 9,6 × 0,2 × 15, 4 × 2 × 15, 4 : 0, 25 b) 30,8 : 0 ,5 × 7,7 : 0,1 25 × 5 × 6 25, 4 − 0 ,5 × 40 × 5 × 0,2 × 20 × 0, 25 c) 1 + 2 + 8 + + 129 + 156 a) 0 ,5 × 40 − 0 ,5 × 20 × 8 × 0,1× 0, 25. .. nhiều cách giải: ví dụ: tìm số có 3 chữ số, biết rằng nếu số đó cộng với tổng các chữ số của nó thì bằng 55 5 bài giải gọi số phải tìm là abc (a > 0; a, b, c < 10) theo đầu bài ta có: abc + a + b + c = 55 5 nhìn vào biểu thức trên, ta thấy đây là phép cộng không có nhớ sang hàng trăm vậy a = 5 khi đó ta có: 5bc + 5 + b + c = 55 5 50 0 + bc + 5 + b + c = 55 5 50 5 + bb + c + c = 55 5 bb + c x 2 = 55 5 - 50 5 bb... g) và 47 35 43 31 h) và 49 35 16 15 i) và 27 29 e) bài 9: so sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất: 13 23 và 15 25 23 24 b) và 28 27 12 25 c) và 25 49 13 133 và 15 153 13 1333 e) và 15 155 5 a) d) bài 10: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ; ; ; ; ; ; ; ; 2 3 4 5 6 7 8 9 10 a) sắp xếp các phân số theo thứ tự giảm dần: 26 2 15 10 26 152 ; ; ; ; 15 253 10 11 253 5 1 3 2 4 ; ; ; ; 6 2 4 3 5 b) sắp xếp các phân số... 33× 35 b) 19 95 ×19 95 19 851 9 851 9 85 × 198719871987 c) 198619861986 × 198619861986 bài 17: so sánh 1 × 3 × 5 + 2 × 6 × 10 + 4 × 12 × 20 + 7 × 21 × 35 308 với 1 × 5 × 7 + 2 × 10 × 14 + 4 × 20 × 28 + 7 × 35 × 49 708 bài 18: so sánh a và b, biết: 11 × 13 × 15 + 33 × 39 × 45 + 55 × 65 × 75 + 99 × 117 × 1 35 a = 13 × 15 × 17 + 39 × 45 × 51 + 65 × 75 × 85 + 117 × 1 35 × 153 1111 1717 b= bài 19: so sánh các phân... 3: 7 ,5) 20 05 × 2006 2,43×12300 − 24,3 ×1230 g) 45 × 20,1 + 55 × 28,9 + 4 ,5 + 3,3 − 55 × 5, 37 d) 24 1996 × 1997 + 1998 × 3 h) 1997 × 1999 −1997 × 1997 2003 × 14 + 1988 + 2001 × 2002 i) 2002 + 2002 × 50 3 + 50 4 × 2002 bài 3: tính nhanh: 54 6,82 − 432, 65 + 453 ,18 − 352 , 35 2 15 × 48 − 2 15 × 46 − 155 − 60 2004 × 37 + 2004 × 2 + 2004 × 59 + 2004 b) 334 × 321 − 201 × 334 − 334 × 102 − 18 × 334 16,2 × 3,7 + 5, 7... phân số liền sau ví dụ: tính: 4 4 4 4 4 a = 1 x 3 x 5 + 3 x 5 x 7 + 5 x 7 x 9 + 7 x 9 x 11 + 9 x 11 x 13 5 −1 7−3 9 5 11 − 7 13 − 9 5 −1 7−3 9 5 11 − 7 13 − 9 = 1 x 3 x 5 + 3 x 5 x 7 + 5 x 7 x 9 + 7 x 9 x 11 + 9 x 11 x 13 = 1 x 3 x 5 + 3 x 5 x 7 + 5 x 7 x 9 + 7 x 9 x 11 + 9 x 11 x 13 5 1 7 3 9 5 − + − + − 1x3 x 5 1x3 x 5 3 x 5 x 7 3 x 5 x 7 5 x 7 x 9 5 x 7 x9 11 7 13 9 + − + − 7 x 9 x 11 7 x 9 x 11 9... bài 1: tính nhanh: 1997 × 1996 − 1 254 × 399 − 1 45 254 + 399 × 253 53 92 + 6001 × 59 31 d) 53 92 × 6001 − 69 b) a) 19 95 × 1997 + 1996 1997 × 1996 − 9 95 19 95 × 1997 + 1002 19 95 × 1997 − 1 e) 1996 × 19 95 + 1994 c) bài 2: tính nhanh: 1988 × 1996 + 1997 + 19 85 a) 1997 × 1996 − 19 95 × 1996 399 × 45 + 55 × 399 c) 19 95 × 1996 − 1991 × 19 95 e) 1978 × 1979 + 1980 × 21 + 19 85 1980 × 1979 − 1978 ×1979 1994 × 1993... 13,4 − 12,6 −11 ,5 − 10,4 a) bài 4: tính nhanh: 19 95 19961996 193119311931 × × 1996 19311931 19 951 9 951 9 95 1313 1 651 65 424242 b) × × 2121 143143 151 5 15 a) 2 2 2 1 1 1 + + + + 24 124 + 7 17 127 c) 4 3 3 3 3 3 3 + + × × 4 24 124 7 17 127 1414 + 151 5 + 1616 + 1717 +1818 + 1919 d) 2020 + 2121 + 2222 + 2323 + 2424 + 252 5 bài 5: tính nhanh a) 12,48 : 0 ,5 × 6, 25 × 4 × 2 2 × 3,12 ×1, 25 : 0, 25 ×10 b) 19,8 : 0,2... và 48 47 25 25 c) và 30 49 a) 34 35 và 43 42 23 47 e) và 48 92 4 15 572 g) và 3 95 581 d) bài 7: so sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất: 30 12 7 và 17 15 1999 12 b) và 2001 11 13 27 c) và 27 41 a) 1998 1999 và 1999 2000 1 1 e) và a +1 a −1 23 24 g) và 47 45 d) bài 8: so sánh các phân số sau bằng cách hợp lí nhất: 15 5 và 25 7 13 27 b) và 60 100 1993 997 c) và 19 95 998 47 29 d) và 15 35 a) 3 17 ... đạt học sinh số học sinh nhiều số học sinh lớp 12 em tính: a) số học sinh lớp 5b b) số học sinh giỏi lớp 5b 20: lớp 5a có số học sinh giỏi nhiều sinh lại nhiều số học sinh lớp em số học số học sinh. .. số học sinh nam biết số học sinh nữ số học sinh nam 15 bạn tính số học sinh nữ số học sinh nam 7: lớp 5a có 35 học sinh, biết 1 số học sinh nam số học sinh nữ tính số học sinh nam học sinh nữ... có: 5bc + + b + c = 55 5 50 0 + bc + + b + c = 55 5 50 5 + bb + c + c = 55 5 bb + c x = 55 5 - 50 5 bb + c x = 50 c đạt giá trị lớn bb đạt giá trị nhỏ : 50 - x = 32, b > bb + c x = 50 nên bb < 50 nên