các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 phần hình học

CHUN ĐỀ V : CÁC DẠNG BÀI TỐN KHĨ TRONG ĐỀ THI GV: HỒ ĐẠI ĐOÀN Dạng I : Dãy số viết theo qui luật (lớp 6&7) Bài toán 1: So sánh giá trị biều thức A = 15 9999 + + + + với số 98 16 10000 99 Ta có: 1     1     1  1    A = 1 − ÷+ 1 − ÷+ 1 − ÷+ +  − ÷ =  − ÷+  − ÷+  − ÷+ + 1 − ÷=      16   10000         100   1 1  1 99 −  + + + + = 99 − B với B = + + + + > Nên A ÷ 100  1002 2 < 99 1 Ta có k ( k + 1) = k − k + với k ≥ nên 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + + < + + + + = − + − + − + + − = 1− 99 − = 98 Vậy 98 < A < 99 B= Tổng quát: ( n − ) < 15 n2 − + + + + < ( n − 1) 16 n Bài toán 2: Viết số + 22 + 33 + 44 + + 999999 + 10001000 hệ thập phân Tìm ba số bên trái số đó? Giải: Ta có A = + 22 + 33 + 44 + + 999999 + 10001000 ; Đặt B = 10001000 = 103000 = 100000 0000 4 gồm có 3001 chữ số mà chữ số đầu bên trái 3000 1000 (1) Đặt C = 1000 + 10002 + 10003 + + 1000999 + 10001000 = 103 + 106 + + 102997 + 103000 = 100100100 1000 gồm 3001 chữ số mà chữ số đầu bên trái 1001 (2) Vì B < A < C B, C có 3001 chữ số nên từ (1) (2) suy A có 3001 chữ số nên ba chữ số ầu tiên bên trái A 100 Bài toán 3: 1 1 Cho A = 14 + 29 + + n + n + + n + 2 + + 1877 Chứng minh 0,15 < A < 0, 25 ( ) ( ) 1 1 Giải : Ta có A = 14 + 29 + + n + n + + n + 2 + + 1877 ( ) ( ) = 1 1 + 2 + + + + 2 2 2 +2 +3 +3 +4 24 + 252 + 262 n + ( n + 1) + ( n + ) B = n + ( n + 1) + ( n + ) = 3n + 6n + (1) 2 2 • Với n ≥ từ (1) ta có: B < 3n + 9n + = ( n + 3n + ) = ( n + 1) ( n + ) Từ : 1 1 1  A>  + + + + + + ÷= C  2.3 3.4 24.25 25.26 ÷ ( n + 1) ( n + )   Với C = 1 1 1 1 1 1 + + + + + + = − + − + + − = − = Suy 2.3 3.4 24.25 25.26 3 25 26 26 13 ( n + 1) ( n + ) A > = > 0,15 13 13 2 • Với n ≥ từ (1) ta có: B > 2n + 6n + = n + 3n + = ( n + 1) ( n + ) Từ : ( ) 1 1 1  A<  + + + + + + ÷= C  2.3 3.4 24.25 25.26 ÷ ( n + 1) ( n + )   C= 1 1 1 1 1 1 + + + + + + = − + − + + − = − = 2.3 3.4 24.25 25.26 3 25 26 26 13 Suy ( n + 1) ( n + ) A < = < 0, 25 Vậy 0,15 < A < 0, 25 13 13 1 1 1 Tổng quát: − ( k + ) < 12 + 22 + 32 + 2 + 32 + + + k + k + + k + 2 < − ( k + ) ( ) ( ) Với A biết : B 1 1 A= + + + + + 2.32 3.33 n ( n + 30 ) 1979.2009 1 1 B= + + + + + 2.1980 3.1981 n ( n + 1978 ) 31.2009 Bài tốn 4: Tính Giải: 1 ; n+k n k Với số nguyên dương n k ta có n − n + k = n ( n + k ) − n ( n + k ) = n ( n + k ) Với k = 30 ta có : 30 30 30 1 1 1 + + + = − + − + + − = 2.32 3.33 1979.2009 32 33 1979 2009   1  1 1   1  1 =  + + + + + + ÷−  + + + ÷ =  + + + ÷−  ÷(1) 1979   32 33 2009   31   1980 1981 2009  2 30 A = Với k = 1978 ta có 1978 1978 1978 1 1 1 1978 B = + + + = − + − + + − 2.1980 3.1981 31.2009 1980 1981 31 2009 1  1  1 =  + + + ÷−  + + + ÷ (2) 31   1980 1981 2009  2 A 1978 989 = Từ (1) (2) suy 30 A = 1978B ⇒ = B 30 15 4017 + + + 2 Bài tốn 5: Tính tổng sau: S n = ( 1× ) ( × 3) ( 2008 × 2009 ) : Giải: Với n ≥ 2n + n ( n + 1) 2 = n + 2n + − n n ( n + 1) 2 ( n + 1) − n2 = 2 n ( n + 1) ( n + 1) − n = 2 n ( n + 1) n ( n + 1) = 1 − n ( n + 1) Do Sn = ( 1× ) + ( × 3) + + 4017 ( 2008 × 2009 ) 1 1 1 = − + − + + − = 1− 2 4 2008 2009 20092 Bài tốn 6: Tính tổng sau: A = 1.2 + 2.3 + + n ( n + 1) + + 98.99 (*) ; B = 1.99 + 2.98 + + n ( 100 − n ) + + 98.2 + 99.1 Giải: Ta có: A = 1.2.3 + 2.3.3 + + 3n ( n + 1) + + 3.98.99 = 1.2 ( − ) + 2.3 ( − 1) + + 98.99 ( 100 − 97 ) = 1.2.3 + 2.3.4 + + 98.99.100 − ( 1.2.3 + 2.3.4 + + 97.98.99 ) = 98.99.100 = 970200 ⇒ A = B = 1.99 + ( 99 − 1) + ( 99 − ) + + 98 ( 99 − 97 ) + 99 ( 99 − 98 ) = 970200 = 323400 = 1.99 + 2.99 + 3.99 + + 99.99 − ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + + 98.99 ) 99 − A = 99.99.50 − 323400 = 166650 98.99.100 Từ toán (*) suy A = 98.99.100 ⇒ A = Nếu A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + n ( n + 1) Tính giá trị B = 3A với B = 3A B = (n= 99 ( + + + + 99 ) − A = 99 ( 99 + 1) 1)n(n+1) với n = 100 B = ( 1.2 + 2.3 + 3.4 + + ( n − 1) n ) = ( 0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + + ( n − 1) n ) = = 1 ( + ) + ( + ) + ( + ) + + 97 ( 96 + 98 ) + 99 ( 98 + 100 )  =   ( = ( 1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 + 7.7.2 + + 99.99.2 ) = 2.3 12 + 32 + 52 + + + 992 ( ) ( = + + + 99 Do + + + + 99 99.100.101 12 + 32 + + 992 = = 166650 Vậy ( 2n + 1) ( 2n + ) ( 2n + 3) P = 12 + 32 + + ( 2n + 1) = 2 2 2 ) = 99.100.101 hay Cơng thức tính tổng bình phương n số tự nhiên P = 12 + 22 + 32 + + n = n ( n + 1) ( 2n + 1) B biết: A 1 1 A= + + + + + 1.2 2.3 n ( n + 1) 2008.2009 1 1 B= + + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n ( n + 1) ( n + ) 2008.2009.2010 Bài tốn 7: Tính ) 1 1 Ta có n ( n + 1) = n − n + n ( n + 1) ( n + ) = n ( n + 1) − ( n + 1) ( n + ) Nên: 1 1 2008 + + + + + = 1− = 1.2 2.3 n ( n + 1) 2008.2009 2009 2009 2 2 1 2019044 2B = + + + + + + = − = 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n ( n + 1) ( n + ) 2008.2009.2010 1.2 2009.2010 2009.2010 2019044 1009522 ⇒B= = 2009.2010 2009.2010 B 1009522 2008 1009522.2009 5047611 1011531 : = = =2 Do = A 2009.2010 2009 2008.2009.2010 2018040 2018040 Bài toán 8:Goi A tích số nguyên liên tiếp từ đến 1001 B tích A= số nguyên liên tiếp từ 1002 đến 2002 Hỏi A + B chia hết cho 2003 không? Giải: A = 1.2.3.4 1001 B = 1002.1003.1004 2002 Ta có: Ta viết B dạng: B = ( 2003 − 1001) ( 2003 − 1000 ) ( 2003 − 1) Khai triển B có tổngngồi số hạng −1001.1000 2.1 Tất số hạng khác tổng chứa thừa số 2003 Nên B = 2003.n − 1001.1000 2.1 = 2003n − A với n số tự nhiên Do đó: A + B = 2003n số chia hết cho 2003 Cách giải khác: Ta có cặp số nguyên sau có số dư chia cho 2003 ; ( 1002; −1001) ; ( 1003;1000 ) ; ( 2002;1) Do B = 1002.1003 2002 − A = −1001.1000 2.1 có số dư chia cho 2003 Nên A + B = B − ( − A) chia hết cho 2003 Nếu a a1; a2 ; ; an số nguyên n số tự nhiên lẻ a1.a2 an + ( a − a1 ) ( a − a2 ) ( a − an ) M a Dạng II :Phương pháp tách biến đổi phân thức đại số (lớp 8) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến + + ( x − y ) ( y − z ) ( z − x ) ( x − y ) ( y − z ) ( z − x ) với x ≠ y ; y ≠ z ; z ≠ x Từ kết ta 1 suy đẳng thức: ( x − y ) ( x − z ) = ( z − y ) ( x − z ) + ( x − y ) ( y − z ) (*) x ; y; z đôi khác Thực chất ta thay x – y z – y thay z - x y – x giữ nguyên thừa số có hai số hạng vế phải, Vận dụng đẳng thức (*) giải tập sau: Bài toán 1: Cho a ≠ b; b ≠ c; c ≠ a chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào a, b, c a2 b2 c2 A= + + ( a − b) ( a − c) ( b − c) ( b − a ) ( c − a ) ( c − b) a2 b2 b2 c2 Áp dụng đẳng thức (*) A = a − b a − c + b − c c − a + a − c b − a + c − a c − b ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( a + b) ( a − b) + ( b + c) ( b − c ) a2 b2 b2 c2 − + − = ( a − b) ( a − c) ( a − b) ( a − c ) ( b − c) ( c − a ) ( b − c) ( c − a ) ( a − b ) ( a − c ) ( b − c ) ( c − a ) a+b b+c a+b b+c = + = − =1 a−c c−a a −c a −c Bài toán 2: Cho a ≠ b; b ≠ c; c ≠ a Rút gọn biểu thức ( x − b) ( x − c) + ( x − c) ( x − a ) + ( x − a ) ( x − b) B= ( a − b) ( a − c) ( b − c) ( b − a ) ( c − a ) ( c − b) = Giải Vận dụng công thức (*) ta đ ược ( x − b) ( x − c) ( x − c) ( x − a ) ( x − a ) ( x − b) + + = ( a − b) ( a − c) ( b − c) ( b − a ) ( c − a ) ( c − b) ( x − b) ( x − c) ( x − c) ( x − a ) ( x − c ) ( x − a ) ( x − a ) ( x − b ) = + + + ( a − b) ( a − c) ( b − c) ( c − a ) ( a − c) ( b − a ) ( c − a ) ( c − b) ( x − b) ( x − c) ( x − c) ( x − a ) ( x − c ) ( x − a ) ( x − a ) ( x − b) = + − − = ( a − b) ( a − c) ( b − c) ( c − a ) ( a − c ) ( a − b) ( a − c) ( c − b) ( x − b) ( x − c) − ( x − c) ( x − a ) + ( x − c ) ( x − a ) − ( x − b) ( x − a ) = ( x − c ) ( a − b ) + ( x − a ) ( b − c ) = ( a − b) ( a − c) ( b − c) ( c − a) ( a − b) ( a − c) ( a − b) ( a − c) B= x−c x−a x−c− x+a − = =1 a−c a−c a−c Bài toán 3: Cho a, b, c đôi khác Chứng minh rằng: a b c x + + = ( a − b) ( a − c) ( x − a) ( b − a ) ( b − c ) ( x − b) ( c − a ) ( c − b) ( c − x ) ( x − a ) ( x − b) ( x − c ) a b c Biến đổi vế trái, ta được: ( a − b ) ( a − c ) ( x − a ) + ( b − a ) ( b − c ) ( x − b ) + ( c − a ) ( c − b ) ( c − x ) = a b b c = + + + ( a − b) ( a − c) ( x − a) ( b − a ) ( a − c) ( x − b) ( c − a ) ( b − c) ( x − b) ( c − a ) ( c − b) ( c − x ) = = b  c   a  b  x − a − x − b  + ( c − a ) (b − c )  x − b − x − c  = ( a − b) ( a − c)     ( bx − cx ) = (ax − bx ) x x = + + ( a − b) ( a − c) ( x − a ) ( x − b) ( c − a ) ( b − c) ( x − b) ( x − c ) ( a − c ) ( x − a ) ( x − b) ( c − a ) ( x − b ) ( x − c ) = = x ( a − c)  x   x − a − x − c  = ( a − c ) ( x − b ) ( x − c ) ( x − a ) = ( x − b ) ( x − c ) ( x − a ) Sau ( a − c) ( x − b)   x biến đổi vế trái vế phải Đẳng thức chứng minh Bài tốn 4: Cho a, b, c đơi khác Chứng minh: b−c c−a a −b 2 + + = + + ( a − b) ( a − c) ( b − c) ( b − a ) ( c − a ) ( c − b) a − b b − c c − a b−c b−a a −c 1 Giải: Ta có ( a − b ) ( a − c ) = ( a − b ) ( a − c ) + ( a − b ) ( a − c ) = c − a + a − b (1) c−a 1 Tương tự ta có: ( b − c ) ( b − a ) = b − c + a − b (2) a−b 1 = + ( c − b ) ( c − a ) b − c c − a (3) Từ (1) ;(2) (3) ta có b−c c−a a −b 1 1 1 + + = + + + + + ( a − b) ( a − c) ( b − c) ( b − a ) ( c − a ) ( c − b) c − a a − b b − c a − b b − c c − a 2 = + + (đpcm) a−b b−c c −a Bài toán 5: Rút gọn biểu thức: a − bc b − ac c − ab + + a ≠ −b; b ≠ −c; c ≠ −a ( a + b ) ( a + c ) ( b + c ) ( b + a ) ( c + a ) ( c + b ) với Giải: a − bc a + ab − bc − ab a (a + b) − b(c + a ) a b = = = − Ta có: a + b a + c a+c a+b ( )( ) ( a + b) ( a + c) ( a + b) ( a + c) b − ac b c Tương tự: b + a b + c = a + b − b + c (2) ( )( ) (1) c − ab c a = − ( c + a ) ( b + c ) c + b c + a (3) Cộng (1), (2) (3) vế theo vế ta có a − bc b − ac c − ab a b b c c a + + = − + − + − =0 ( a + b) ( a + c) ( b + c) ( b + a ) ( c + a ) ( c + b) a + c a + b a + b b + c c + b c + a a −b b−c c−a Bài toán 6: Cho ba phân thức ; ; Chứng minh tổng ba + ab + bc + ca phân thức tích chúng Giải: b−c b−a a−c a−b b−c c−a a −b b −a a −c c −a = + + + = + + + nên + bc + bc + bc + ab + bc + ca + ab + bc + bc + ca   ( a − b ) ( + bc − − ab ) ( c − a ) ( + bc − − ac )   = ( a − b)  − + ( c − a)  − = + ( + ab ) ( + bc ) ( + ac ) ( + bc ) 1 + ab + bc   1 + ac + bc   Ta có : = b ( a − b) ( c − a) ( a − b) ( c − a)  b − c  = ( a − b) ( c − a) ( b − c) ( + ab ) ( + bc ) ( + ac ) ( + bc ) ( + bc ) 1 + ab + ac  ( + ab ) ( + bc ) ( + ac )   + c ( c − a) ( b − a) = (đpcm) Bài toán 7: Cho ba số nguyên dương a, b, c tuỳ ý, tổng sau có phải số a b c + + nguyên dương không? a+b b+c c+a Giải: a b c a b c a +b+c + + > + + = = hay M > a+b b+c c+a a+b+c a+b+c a+b+c a+b+c b   c   a  b c a    M = 1 − + + ÷+  − ÷+  − ÷< −  ÷ = − = hay M  a+b   b+c   c+a   a +b+c b+c+a c+a +b  Ta có M = , mặt khác y nguyên tố ⇒  Bài 14 : a) Tìm số nguyên thỏa mãn : x – y + 2xy = b) Tìm x, y ∈ ¥ biết: 25 − y = 8( x − 2012)2 HD : a) Từ x – y + 2xy = ⇔ 2x – 2y + 2xy = ⇔ (2x - 1)( 2y + 1) = 13 b) Từ 25 − y = 8( x − 2012)2 ⇒ y2 ≤ 25 25 – y2 chia hết cho , suy y = y = y = , từ tìm x Bài 15 a) Tìm giá trị nguyên dương x y, cho: 1 + = x y b) Tìm số a, b, c nguyên dương thoả mãn : a + 3a + = 5b a + = 5c 1  xM HD : a) Từ + = ⇒ ( x + y) = xy (*) ⇒ xy M ⇒  x y  yM + Với x chia hết cho , đặt x = q ( q số tự nhiên khác 0) thay vào (*) suy ra: 5q + y = qy ⇒ 5q = ( q – ) y Do q = không thỏa mãn , nên với q khác ta 5q có y = q − = + q − ∈ Z ⇒ q − 1∈ Ư(5) , từ tìm y, x b) a + 3a + = 5b ⇒ a2 ( a +3) = 5b – , mà a + = 5c ⇒ a2 5c = 5( 5b – – 1) 5b −1 − Do a, b, c nguyên dương nên c = 1( c >1 5b – - không 5c −1 chia hết cho a khơng số ngun.) Với c = ⇒ a = b = ⇒ a2 = Bài 16: Tìm cặp số nguyên tố p, q thoả mãn: 52 p + 2013 = 52 p + q 2 HD : 52 p + 2013 = 52 p + q ⇒ 2013 − q = 25 p − 25 p ⇒ 2013 − q = 25 p (25 p − 1) 25 Do p nguyên tố nên 2013 − q M 2013 – q2 > từ tìm q Bài 17 : Tìm tất số nguyên dương n cho: 2n − chia hết cho HD : Với n < 2n khơng chia hết cho Với n ≥ n = 3k n = 3k + n = 3k + ( k ∈ N * ) Xét n = 3k , 2n -1 = 23k – = 8k – = ( + 1)k -1 = 7.A + -1 = 7.A M n 3k+1 3k Xét n = 3k +1 – = – = 2.8 – = 2.(7A+1) -1 = 7A + không chia hết cho Xét n = 3k+2 2n – = 23k +2 -1 = 4.83k – = 4( 7A + 1) – = A + không chia hết cho Vậy n = 3k với k ∈ N * * Tìm x , y để biểu thức có giá trị nguyên, hay chia hết: Bài 18 Tìm số nguyên m để: a) Giá trị biểu thức m -1 chia hết cho giá trị biểu thức 2m + b) 3m − < HD : a) Cách : Nếu m >1 m -1 < 2m +1 , suy m -1 không chia hết cho 2m +1 Nếu m < -2 m − < 2m + , suy m -1 không chia hết cho 2m +1 Vậy m ∈ { -2; -1; 0; 1} 2 2 Cách : Để m − 1M m + ⇒ 2(m − 1)M m + ⇒ (2m + 1) − 3M m + ⇒ 3M m + b) 3m − < ⇒ - < 3m – < ⇒ m = −2 1 x số CP 1006 x + > 2012 > 2009 suy 2009 không chia hết cho 1006 x + để Với x = thay vào khơng thỏa mãn Với x = 2009 :1006 x + = 2009 Chuyên đề : Giá trị lớn , giá trị nhỏ biểu thức: 1.Các kiến thức vận dụng : * a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 ≥ với a,b * a2 – ab + b2 = ( a – b)2 ≥ với a,b *A2n ≥ với A, - A2n ≤ với A * A ≥ 0, ∀A , − A ≤ 0, ∀A * A + B ≥ A + B , ∀A, B dấu “ = ” xẩy A.B ≥ * A − B ≤ A − B , ∀A, B dấu “ = ” xẩy A,B ≥ Bài tập vận dụng: * Dạng vận dụng đẳng thức : a2 + 2.ab + b2 = ( a + b)2 ≥ với a,b Và a2 – ab + b2 = ( a – b)2 ≥ với a,b Bài 21: Tìm giá trị nhỏ đa thức sau: a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 b) Q(x) = x2 + 100x – 1000 HD : a) P(x) = 2x2 – 4x + 2012 = 2(x2 – 2.x + 12 ) + 2010 = 2( x – 1)2 + 2010 Do ( x - 1)2 ≥ với x , nên P(x) ≥ 2010 Vậy Min P(x) = 2010 ( x - 1)2 = hay x = b) Q(x) = x2 + 100x – 1000 = ( x + 50)2 – 3500 ≥ - 3500 với x Vậy Min Q(x) = -3500 Từ ta có tốn tổng quát : Tìm GTNN đa thức P(x) = a x2 + bx +c ( a > 0) b b b2 ( )2 ) + ( c HD: P(x) = a x + bx +c = a( x + 2.x + ) 2a 2a 4a b b 4ac − b 4ac − b 4ac − b )≥ , ∀x Vậy Min P(x) = = a( x + )2 + ( x = − 2a 2a 4a 4a 4a 2 Bài 22 : Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: a) A = - a2 + 3a + b) B = x – x2 3 25 25 25 Do −(a − ) ≤ 0, ∀a nên A ≤ , ∀a Vậy Max A = a = 4 2 2 c) B = x − x = −( x − 2.x.1 + ) + = −( x − 1) + Do −( x − 1) ≤ 0, ∀x ⇒ B ≤ 1, ∀x HD : a) A = - a2 + 3a + = −(a − 2.a + ( ) ) + (4 + ) = −(a − ) + Vậy Max B = x = Bài 23 : Tìm giá trị lớn biểu thức sau: a) P = 2012 x + x + 2013 b) Q = a 2012 + 2013 a 2012 + 2011 * Dạng vận dụng A2n ≥ với A, - A2n ≤ với A Bài 24 : Tìm GTNN biểu thức : a) P = ( x – 2y)2 + ( y – 2012)2012 b) Q = ( x + y – 3)4 + ( x – 2y)2 + 2012 HD : a) ( x − y ) ≥ 0, ∀x, y ( y − 2012)2012 ≥ 0, ∀y suy : P ≥ với x,y x − y =  x = 4024 ⇒ Min P =  ⇒  y − 2012 =  y = 2012 b) Ta có ( x + y − 3) ≥ 0.∀x, y ( x − y ) ≥ 0.∀x, y suy : Q ≥ 2012 với x,y ( x + y − 3) = x =  ⇒ Min Q = 2012  ⇔ ( x − y ) = y =1  2013 Bài 25 : Tìm GTLN R = ( x − 2) + ( x − y ) + 3x +2 Cho phân số: C = x − (x ∈ Z) a) Tìm x ∈ Z để C đạt giá trị lớn nhất, tìm giá trị lớn b) Tìm x ∈ Z để C số tự nhiên Bài 26 : x +2 4.(3 x + 2) 12 x + 23 HD : C = x − = 3.(4 x − 5) = 12 x − 15 = (1 + 12 x − 15 ) 23 C lớn 12 x − 15 lớn ⇒ 12 x − 15 nhỏ 12 x − 15 > ⇒ x = Vậy Max C = 23 (1 + ) = x = 7n − có giá trị lớn 2n − 7n − 2(7 n − 8) 14n − 16 HD : Ta có 2n − = 7(2n − 3) = 14n − 21 = (1 + 14n − 21) 7n − Để lớn lớn ⇔ 14n − 21 > 14n – 21 có giá trị nhỏ 14n − 21 2n − 21 ⇒ n > = n nhỏ ⇒ n = 14 Bài 27 : Tìm số tự nhiên n để phân số * Dạng vận dụng A ≥ 0, ∀A , − A ≤ 0, ∀A A + B ≥ A + B , ∀A, B dấu “ = ” xẩy A.B ≥ A − B ≤ A − B , ∀A, B dấu “ = ” xẩy A,B ≥ Bài 28: Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A = ( x – 2)2 + y − x + 2011 b) B = 2012 − x − 2010 HD: a) ta có ( x − 2)2 ≥ với x y − x ≥ với x,y ⇒ A ≥ với x,y ( x − 2) =  x =  ⇒ Suy A nhỏ =  y =  y−x =0  b) Ta có − x − 2010 ≤ với x ⇒ 2012 − x − 2010 ≤ 2012 với x ⇒B⇒B≤ 2011 với x, suy Min B = 2011 x = 2010 2012 2012 Bài 29 : Tìm giá trị nhỏ biểu thức a) A = x − 2011 + x − 2012 b) B = x − 2010 + x − 2011 + x − 2012 c) C = x − + x − + + x − 100 HD : a) Ta có A = x − 2011 + x − 2012 = x − 2011 + 2012 − x ≥ x − 2011 + 2012 − x = với x ⇒ A ≥ với x Vậy Min A = Khi ( x − 2011)(2012 − x) ≥ ⇔ 2011 ≤ x ≤ 2012 b) ta có B = x − 2010 + x − 2011 + x − 2012 = ( x − 2010 + 2012 − x ) + x − 2011 Do x − 2010 + 2012 − x ≥ x − 2010 + 2012 − x = với x (1) Và x − 2011 ≥ với x (2) Suy B = ( x − 2010 + 2012 − x ) + x − 2011 ≥ Vậy Min B = BĐT (1) ( x − 2010)(2012 − x ) ≥ ⇒ x = 2011  x − 2011 = (2) xẩy dấu “=” hay  c) Ta có x − + x − + + x − 100 = ( x − + 100 − x ) + ( x − + 99 − x ) + + ( x − 50 + 56 − x ) ≥ x − + 100 − x + x − + 99 − x + + x − 50 + 56 − x = 99 + 97 + + = 2500 Suy C ≥ 2050 với x Vậy Min C = 2500 ( x − 1)(100 − x ) ≥ 1 ≤ x ≤ 100 ( x − 2)(99 − x ) ≥ 2 ≤ x ≤ 99   ⇔ ⇔ 50 ≤ x ≤ 56    ( x − 50)(56 − x ) ≥ 50 ≤ x ≤ 56   Chuyên đề : Dạng toán chứng minh chia hết 1.Kiến thức vận dụng * Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, * Chữ số tận 2n, 3n ,4n, 5n ,6n, 7n, 8n, 9n * Tính chất chia hết tổng Bài tập vận dụng: Bài 30 : Chứng minh : Với số nguyên dương n : 3n + − 2n+ + 3n − 2n chia hết cho 10 HD: ta có 3n + − 2n+ + 3n − 2n = 3n + + 3n − 2n+ − 2n = 3n (32 + 1) − 2n (22 + 1) = 3n × − 2n ×5 = 3n × − 2n−1 × 10 10 10 n n = 10( -2 ) n+2 n+2 n n Vậy − + − M10 với n số nguyên dương Bài 31 : Chứng tỏ rằng: 2004 A = 75 (4 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 số chia hết cho 100 HD: A = 75 (42004 + 42003 + + 42 + + 1) + 25 = 75.( 42005 – 1) : + 25 = 25( 42005 – + 1) = 25 42005 chia hết cho 100 Bài 32 : Cho m, n ∈ N* p số nguyên tố thoả mãn: m+n p = p (1) m −1 Chứng minh : p2 = n + ( HD : + Nếu m + n chia hết cho p ⇒ p Mm − 1) p số nguyên tố m, n ∈ N* ⇒ m = m = p +1 từ (1) ta có p2 = n + + Nếu m + n không chia hết cho p , từ ( 1) ⇒ (m + n)(m – 1) = p2 Do p số nguyên tố m, n ∈ N* ⇒ m – = p2 m + n =1 ⇔ m = p2 +1 n = - p2 < (loại) Vậy p2 = n + Bài 33: a) Số A = 101998 − có chia hết cho khơng ? Có chia hết cho không ? b) Chứng minh rằng: A = 3638 + 4133 chia hết cho HD: a) Ta có 101998 = ( + 1)1998 = 9.k + ( k số tự nhiên khác không) = 3.1 + Suy : A = 101998 − = ( 9.k + 1) – ( 3.1+1) = 9k -3 chia hết cho , không chia hết cho b) Ta có 3638 = (362)19 = 129619 = ( 7.185 + 1) 19 = 7.k + ( k ∈ N*) 4133 = ( 7.6 – 1)33 = 7.q – ( q ∈ N*) Suy : A = 3638 + 4133 = 7k + + 7q – = 7( k + q) M Bài 34: a) Chứng minh rằng: 3n + − 2n + + 3n + 2n chia hết cho 30 với n nguyên dương b) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c  17 a - 11b + 3c  17 (a, b, c ∈ Z) Bài 35 : a) Chứng minh rằng: 3a + 2b 17 ⇔ 10a + b 17 (a, b ∈ Z ) b) Cho đa thức f ( x) = ax + bx + c (a, b, c nguyên) CMR f(x) chia hết cho với giá trị x a, b, c chia hết cho 17 17 17 17 HD a) ta có 17a – 34 b M 3a + 2b M ⇒ 17a − 34b + 3a + 2b M ⇔ 2(10a − 16b)M ⇔ 10a − 16b M (2, 7) = ⇔ 10a + 17b − 16b M ⇔ 10a + bM 17 17 17 3 b) Ta có f(0) = c f(0) M ⇒ c M f(1) - f(-1) = (a + b + c) - ( a – b + c) = 2b , f(1) f(-1) chia hết 3 cho ⇒ 2bM ⇒ bM ( 2, 3) = 3 f(1) M ⇒ a + b + c M b c chia hết cho ⇒ a M Vậy a, b, c chia hết cho Bài 36 : a) Chứng minh 102006 + 53 số tự nhiên b) Cho 2n + số nguyên tố (n > 2) Chứng minh 2n − hợp số HD : b) ta có (2n +1)( 2n – 1) = 22n -1 = 4n -1 (1) Do 4n- chia hêt cho 2n + số nguyên tố (n > 2) suy 2n -1 chia hết cho hay 2n -1 hợp số Chuyên đề : Bất đẳng thức 1.Kiến thức vận dụng * Kỹ thuật làm trội : Nếu a1 < a2 < a3 Chứng tỏ rằng: M = HD : Ta có M = a b c + + không số nguyên a+b b+c c+a a b c a b c a +b+c + + > + + = =1 a +b b+c c+a a +b+c c+a +b a+b+c a +b+c ⇒ M >1 Mặt khác M = 3−( a b c (a + b) − b (b + c) − c (c + a ) − a + + = + + a+b b+c c+a a +b b+c c+a b c a + + ) = – N Do N >1 nên M < a+b b+c c+a Vậy < M < nên M không số nguyên Bài 38 Chứng minh : a + b ≥ ab (1) , a + b + c ≥ 3 abc (2) với a, b, c ≥ HD : a + b ≥ ab ⇔ (a + b)2 ≥ 4ab ⇔ a + 2ab + b ≥ 4ab ⇔ a − 2ab + b ≥ ⇔ (a − b) ≥ (*) Do (*) với a,b nên (1) Bài 39 : Với a, b, c số dương Chứng minh a b a a) (a + b)( + ) ≥ (1) b c b) (a + b + c)( + + ) ≥ (2) a b HD : a) Cách : Từ (a + b)( + ) ≥ ⇔ (a + b) ≥ 4ab ⇔ (a − b) ≥ (*) Do (*) suy (1) 1 1 ⇒ (a + b)( + ) ≥ ab =4 Cách 2: Ta có a + b ≥ ab a + b ≥ a b ab ab Dấu “ =” xẩy a = b a b c b) Ta có : (a + b + c)( + + ) = + Lại có b+c a+c a+b a b b c a c + + = 3+ ( + ) + ( + ) + ( + ) a b c b a c b c a a b b c a c + ≥ 2; + ≥ 2; + ≥ b a c b c a a b c Suy (a + b + c)( + + ) ≥ + + + = Dấu “ = ” xẩy a = b = c Bài 40: a) Cho z, y, z số dương x y z Chứng minh rằng: x + y + z + y + z + x + z + x + y ≤ b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = Chứng minh rằng: ab + bc + ca ≤ HD : b) Tính ( a + b + c)2 từ cm ab + bc + ca ≤ Chuyên đề : Các toán đa thức ẩn Bài 41 : Cho đa thức P(x) = a x3 + bx2 + cx + d ( a khác 0) Biết P(1) = 100 , P( -1) = 50 , P(0) = , P( 2) = 120 Tính P(3) HD : ta có P(1) = 100 ⇒ a + b + c + d = 100 P(-1) = 50 ⇒ - a + b – c + d = 50 P( 0) = ⇒ d = P(2) = 8a + 4b + c + d = 120 Từ tìm c, d, a XĐ P(x) Bài 42 : Cho f ( x) = ax + bx + c với a, b, c số hữu tỉ Chứng tỏ rằng: f (−2) f (3) ≤ Biết 13a + b + 2c = HD : f( -2) = 4a – 2b + c f(3) = 9a + 3b + c ⇒ f(-2).f(3) =(4a – 2b + c)( 9a + 3b + c) Nhận thấy ( 4a – 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c = ⇒ ( 4a – 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c) Vậy f(-2).f(3) = - ( 4a – 2b + c).( 4a – 2b + c) = - ( 4a -2b + c)2 ≤ Bài 43 Cho đa thức f ( x) = ax + bx + c với a, b, c số thực Biết f(0); f(1); f(2) có giá trị nguyên Chứng minh 2a, 2b có giá trị nguyên HD : f(0) = c , f(1) = a + b + c , f(2) = 4a + 2b + c Do f(0) ,f(1), f(2) nguyên ⇒ c , a + b + c 4a + 2b + c nguên ⇒ a + b 4a + 2b = (a + b) + 2a = 4( a + b) -2b ngyên ⇒ 2a , 2b nguyên Bài 44 Chứng minh rằng: f(x) = ax + bx + cx + d có giá trị nguyên với x nguyên 6a, 2b, a + b + c d số nguyên HD : f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d Nếu f(x) có giá trị nguyên với x ⇒ d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d số nguyên Do d nguyên ⇒ a + b + c nguyên (a + b + c + d) + (a + b +c +) +2b nguyên ⇒ 2b nguyên ⇒ 6a nguyên Chiều ngược lại cm tương tự Bài 45 : Tìm tổng hệ số đa thức nhận sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: A(x) = (3 − x + x ) 2004 (3 + x + x ) 2005 HD : Giả sử A( x) = ao + a1x + a2x2 + … + a4018x4018 Khi A(1) = ao + a1 +a2 + …….+ a4018 A(1) = nên ao + a1 +a2 + …….+ a4018 = Bài 46 : Cho x = 2011 Tính giá trị biểu thức: x 2011 − 2012 x 2010 + 2012 x 2009 − 2012 x 2008 + − 2012 x + 2012 x − HD : Đặt A = x 2011 − 2012 x 2010 + 2012 x 2009 − 2012 x 2008 + − 2012 x + 2012 x − x 2010 ( x − 2011) − x 2009 ( x − 2011) − x 2008 ( x − 2011) + − x( x − 2011) + x − ⇒ x = 2012 A = 2011 Chuyên đề Các toán thực tế Kiến thức vận dụng - Tính chất đại lượng tỉ lệ thuận : Đại lượng y tỉ lệ thuận với đại lượng x : y y y y n y = k.x ⇔ x = x = x = = x = k ( k hệ số tỉ lệ ) n - Tính chất đại lượng tỉ lệ nghịch : Đại lượng y đại lượng x gọi hai đại lượng tỉ lệ nghịch : x.y = a ⇔ x1 y1 = x2 y2 = x3 y3 = = xn yn = a ( a hệ số tỉ lệ ) - Tính chất dãy tỉ số Bài tập vận dụng *Phương pháp giải : - Đọc kỹ đề , từ xác định đại lượng toán - Chỉ đại lượng biết , đại lượng cần tìm - Chỉ rõ mối quan hệ đại lượng ( tỉ lệ thuận hay tỉ lệ nghịch) - Áp dụng tính chất đại lượng tỉ lệ tính chất dãy tỉ số để giải Bài : Một vật chuyển động cạnh hình vng Trên hai cạnh đầu vật chuyển động với vận tốc 5m/s, cạnh thứ ba với vận tốc 4m/s, cạnh thứ tư với vận tốc 3m/s Hỏi độ dài cạnh hình vuông biết tổng thời gian vật chuyển động bốn cạnh 59 giây Bài : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng Bài : Một ô tô phải từ A đến B thời gian dự định Sau nửa quãng đường ô tơ tăng vận tốc lên 20 % đến B sớm dự định 10 phút Tính thời gian ô tô từ A đến B Bài : Trên quãng đường AB dài 31,5 km An từ A đến B, Bình từ B đến A Vận tốc An so với Bình 2: Đến lúc gặp nhau, thời gian An so với Bình 3: Tính quãng đường người tới lúc gặp ? Bài : Ba đội công nhân làm cơng việc có khối lượng Thời gian hồn thành cơng việc đội І, ІІ, ІІІ 3, 5, ngày Biêt đội ІІ nhiều đội ІІІ người suất công nhân Hỏi đội có cơng nhân ? Bài : Ba ô tô khởi hành từ A phía B Vận tốc tơ thứ ô tô thứ hai Km/h Biết thơi gian ô tô thứ nhất, thứ hai thứ ba hết quãng đường AB : 40 phút, 5 , Tính vận tốc mi ụ tụ ? Câu (2 điểm): Tìm số có ba chữ số, biết số chia hết cho 18 chữ số nã tØ lƯ víi ba sè 1, vµ ... cạnh 59 giây Bài : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng Mỗi học sinh lớp 7A trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng cây, Hỏi lớp có học sinh Biết số lớp trồng... a, b, c chia hết cho 17 17 17 17 HD a) ta có 17a – 34 b M 3a + 2b M ⇒ 17a − 34b + 3a + 2b M ⇔ 2(10a − 16b)M ⇔ 10a − 16b M (2, 7) = ⇔ 10a + 17b − 16b M ⇔ 10a + bM 17 17 17 3 b) Ta có f(0) = c... 1 979 .2009 32 33 1 979 2009   1  1 1   1  1 =  + + + + + + ÷−  + + + ÷ =  + + + ÷−  ÷(1) 1 979   32 33 2009   31   1980 1981 2009  2 30 A = Với k = 1 978 ta có 1 978 1 978 1 978