Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9

PHẦN I: ĐỀ BÀI 1. Chứng minh là số vô tỉ.2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2)3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2.4. a) Cho a 0, b 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : . b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.7. Cho a, b, c là các số d¬ương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c)8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng : 9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 4a b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) 810. Chứng minh các bất đẳng thức :a) (a + b)2 2(a2 + b2)b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2)

Để cm một mệnh đề phụ thuộc số tự nhiên nỴ N ta khơng thể thử trực tiếp với mọi số tự nhiên được vì

tập hợp số tự nhiên là vơ hạn Song ta cĩ thể tiến hành các bước kiểm tra như sau

Bước 1 : Trước hết ta kiểm tra rằng mệnh đề đúng với n=0

Bước 2 : Rồi ta chứng rằng : Từ giải thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên n=k ³0 bất kì suy ra nĩ

* Giả sử đẳng thức đúng khi n=k Tức là ta cĩ : ak-bk =(a-b)(ak-1 +ak-2b +… + bk-1)

Ta cần chứng minh đúng với n=k+1 Tức là C/m ak+1-bk+1 =(a-b)(ak +ak-1b +… + bk)

Thật vậy ta cĩ :

VT = ak+1 - bk+1 = ak+1 -akb + akb -bk+1 = ak(a-b)+ b(ak -bk) = ak(a-b) + b(a-b)(ak-1 +ak-2b +… + bk-1)

= (a-b)[ ak + b(ak-1 +ak-2b +… + bk-1)] = (a-b)(ak +ak-1b +… + bk) = VP

Vậy theo giả thiết quy nạp đẳng thức đúng với mọi n ³ 2

Bài 1: Chứng minh với mọi số tự nhiên n ³ 1 ta cĩ đẳng thức : 1+2+3+4…………+ n =

2

1)n(n 

Bài 2: Chứng minh rằng với mọi n Ỵ N* ta cĩ : 12 +22 +32 + 42 +52 +……+n2 =







1)(2n )n(n

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi n Ỵ N biểu thức Un=13n -1 chia hết 6

Bài 4 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ³ 3 ta cĩ 2n > 2n+1

Bài 5: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta cĩ: 4.32n 2  32n 36 64

Bài 6 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ³1 ta luơn cĩ: (n+1)(n+2)…(2n)  1.3.5…(2n-1)

Bài 7 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luơn cĩ: n3+2n  3

Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n ta luơn cĩ: 16n 15n 1 225 

A CHIA HẾT SỐ NGUYÊN

1 Định nghĩa: Cho hai số nguyên bất kì a và b (b 0) Tồn tại một và chỉ một cặp số nguyên (q, r) sao

cho a = bq + r với 0 r  b

* Nếu r = 0 thì a chia hết cho b: a  b  a = kb a, b, k Ỵ 

* Nếu r  0 phép chia a cho b là cĩ dư

2 Tính chất của qua hệ chia hết:

Bồi dưỡng học sinh THCS 1

thì cĩ hai số chia cho n cĩ cùng số dư.

* Để chứng tỏ A(n) chia hết cho một số nguyên tố

p ta cĩ thể xét mọi trường hợp về số dư của n chia cho p

* Để chứng tỏ A(n) chia hết cho hợp số m, ta phântích m thành tíchcác thưac số đơi một nguyên tố cùng nhau rồi lần lượt chứng tỏ A(n) chia hết cho từng thừa số đĩ

* Để CM f(x) chia hết cho m thơng thường ta phântích f(x) thành nhân tử rồi xét số dư khi chia x cho m

Bồi dưỡng học sinh THCS 2

PHƯƠNG PHÁP GIẢI :

1/ Phương pháp 1 : A(n) chia hết cho p; ta xét số dư khi chia n cho p

Ví dụ : A(n) = n(n2+1)(n2+4) chia hết cho 5

n chia cho 5 có số dư là r =0,1,2,3,4,5

a/ Với r = 0 thì n chia hết cho 5 => A(n) chia hết cho 5

b/ Với r = 1 => n = 5k+1 => n2= 25k2+10k +1 thì (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5

c/ Với r = 2 => n = 5k+2 => n2= 25k2+20k +4 thì (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5

d/ Với r = 3 => n = 5k+3 => n2= 25k2+30k +9 thì (n2+1) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5

e/ Với r = 4 => n = 5k+4 => n2= 25k2+40k +16 thì (n2+4) chia hết cho 5=> A(n) chia hết cho 5

2/ Phương pháp 2 : A(n) chia hết cho m; ta phân tích m = p.q

a/ (p,q) = 1 ta chứng minh: A(n) chia hết cho p, A(n) chia hết cho q => A(n) chia hết cho p.q

b/ Nếu p và q không nguyên tố cùng nhau ta phân tích A(n) = B(n).C(n) và chứng minh B(n) chia hết

cho p, C(n) chia hết cho q => , A(n) chia hết cho p.q

3/ Phương pháp 3 : Để chứng minh A(n)  m có thể biến đổi A(n) thành tổng nhiều hạng tử và chứng minh

mỗi hạng tữ chia hết cho n

4/ Phương pháp 4 : Để chứng minh A(n)  m ta phân tích A(n) thành nhân tử, trong đó có một nhân tử

bằng m hoặc chia hết cho m: A(n) = m.B(n)+ Thường ta sử dụng các hằng đẳng thức :

  f) 32n 2  26n 1  11

Bồi dưỡng học sinh THCS 4

Bồi dưỡng học sinh THCS 5

Bồi dưỡng học sinh THCS 6

Bài 1 Xác định các hằng số a ; b sao cho:

Bài 2 Tìm các hằng số a và b sao cho x3 + ax + b chia cho x + 1 thì dư 7, chia cho x - 3 thì dư -5

Bài 4: Tìm số dư phép chia x99 + x55 + x11 +x + 7 cho x + 1

Bài 5: CMR : a/ x50 + x10 + 1  x20 + x10 + 1

b/ x2 - x9 – x1945

 x2 - x + 1c/ x10 - 10x + 9  (x – 1)2

d/ 8x9 - 9x8 + 1  (x – 1)2

I MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH VỚI NGHIỆM NGUYÊN

1 Dạng 1: Phương trình bậc nhất.

a Phương trình dạng: ax + by = c (a,b,c nguyên)

* Cách giải: - Tách cá hệ số về tổng các số chia hết cho a hoặc b (Số nào có GTTĐ lớn hơn)

- Sử dụng dấu hiệu và tính chất chia hết của một tổng để tìm ra một ẩn

Thay nghiệm vừa tìm được vào phương trình ban đầu tìm nghiệm còn lại

Nghiệm của phương trình: (5t – 5k – 2; 1 – 2t; 3k) Với t; k nguyên tuỳ ý

Dạng 2: Phương trình bậc hai hai ẩn

Dạng ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0 (a, b, c, d, e, f là các số nguyên)

Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

(2; 3); (-5; 2) Thử lại các giá trị đó đều đúng

Cách 2 Đưa về phương trình ước số:

Cách 3: Coi đó là phương trình bậc hai ẩn x, y là

3 Dạng 3: Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn.

Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình:

x(x+1)(x+2)(x+3) = y2 (1)

Hướng dẫn giải

Phương trình (1) ó (x2 + 3x)(x2 + 3x + 2) = y2

Đặt a = x2 + 3x (ĐK: a ³2 (*)

Ta có: a2 – 1 = y2 GiảI phương trình này bằng cách

đưa về phương trình ước số: => nghiệm phương

Vì x; y nguyên => x y ³1 =>

x xy y xy => x2 + xy + y2 xy8 (2)

Nếu xy + 8 < 0=> (2) ó (x + y)2  -8 Vô nghiệm

Đặt điều kiên sau đó đưa về phương trình ước số

Tìm được hai nghiệm (43; 7); (7; 43)

Ví dụ 2 Tìm x nguyên sao cho 



179

Từ đó ta có: 8 = (a + b).(b – a).k Lập bảng tìm được nghiệm của phương trình

 Nếu x ³2 => 2x  4 Do đó vế tráI chia cho

4 dư 3 mà y lẻ (Do 1) => y2 chia 4 dư 1

3 Phân tích số 100 thành hai số tự nhiên một

số chia hết cho 7, một số chia hết cho 11

4 Tìm số nguyên dương bé nhất chia cho

100 dư 1, chia cho 98 dư 11

5 Có 37 cây táo có số quả bằng nhau, 17 quảhỏng, số còn lại chia đều cho 79 người.Hỏi mỗi cây có ít nhất mấy quả?

I Tính chất cơ bản của BĐT :

a) a < b, b < c  a < c

b) a < b  a +c < b+ c

c) a< b a.c < b.c (với c > 0)

a< b a.c > b.c (với c < 0)

Bài 1:

Cho hai số dương a và b Chứng minh : (a+b)(

b

1a

Dấu “=” xảy ra khi v chỉ khi:a= b

Bài 2: Với mọi a, b,x,y, thuộc 

Áp dụng :

5 4

b a

c a c

b c

1

2

1 1

Bài 14: Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5

Bài 16: CM:

3

1 2 2 2 2

2 2 2 2 2

b c

3

1 2

b) Tam giác ABC có chu vi

2

c b a

b) Cho a > 1, b > 1 Tìm GTNN của:

1 1

2 2

a P

Bài 22: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác CM: a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca)

Bài 23: CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì

Bài 26: Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1)2 + ( b - 2)2 = 5 Cm: a + 2b  10.

Bài 27: Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a2 + b2 = 4 + ab

Bài 28: CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn ab = 1 Ta có BĐT: 1 1 2 ³ 3







b a b a

c a c

b c b

Bài 33: CM B ĐT sau đây đúng với mọi x, y là các số thực bất kỳ khác 0:

x x

y

y

x

3 4

1 Số chính phương chẵn thì chia hết cho 4, số chính phương lẻ khi chia cho 8 dư 1

2 Nếu a=3k thì a 2 0 mod 9 ; Nếu a3k thì a 2 1 mod 3 

3 Giữa các bình phương của hai số nguyên liên tiếp không có số chính phương nào

4 Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8

6 Nếu ab chính phương, (a,b)=1 thì a chính phương và b chính phương

HD: G/s ab= c2và gọi d=(a,c) suy ra a=a1d; c=c1d, (c1, d1)=1do đó ab=c1 d

7 Nếu một số chính phương chia hết cho p, p- nguyên tố thì số chính phương đó chia hết cho p2 Do

chính phương

2 Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn

3 Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1 Không có số chính phương nào có

6 Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4

Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9

Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25

Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16

III MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

A DẠNG1 : CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì

A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 là số chính phương.

Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương.

Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n ÎN) Ta có

4 1 k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)]

=

4

1 k(k+1)(k+2)(k+3) -

4

1 k(k+1)(k+2)(k-1)

4

1.2.3.4.5 -

4

1.1.2.3.4 +…+

4

1 k(k+1)(k+2)(k+3) -

4

1 k(k+1)(k+2)(k-1) =

4

1 k(k+1)(k+2)(k+3)4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1

Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …

Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương.

=

9

1 10 4 10

B DẠNG 2 : TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương:

a n 2 + 2n + 12 b n ( n+3 )

c 13n + 3 d n 2 + n + 1589

2

2

Suy ra n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28.

Bài 2: Tìm a để các số sau là những số chính phương:

Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3.

Bài 4: Tìm n Î N để các số sau là số chính phương:

 (m + n)(m - n)  4 Nhưng 2006 không chia hết cho 4

 Điều giả sử sai

Bài 6: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n+1 và 3n+1 đều là các số chính phương.

Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199 Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84

Số 3n+1 bằng 37; 73; 121; 181; 253 Chỉ có 121 là số chính phương

Vậy n = 40

C.DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG

Bài 1: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta

được số chính phương B Hãy tìm các số A và B.

Suy ra 101cd = k2 – 100 = (k-10)(k+10)  k +10  101 hoặc k-10  101

Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau.

Gọi số chính phương phải tìm là aabb = n2 với a, b Î N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9

Số cần tìm là 7744

Bài 4: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương.

Gọi số chính phương đó là abcd Vì abcd vừa là số chính phương vừa là một lập phương nên đặt abcd =

+ Khi y chẵn: VP 0 mod 4 ; VT 2 mod 4 ;     

+ Khi y lẻ : VP 1 mod8 ;VT 7 mod8 ;     

5 Tìm n Î  để 2n8n5 là chính phương

HD: + n³ 3 2n8n 5 5 mod8 

+ n=2: 25 là chính phương

+ n=0 hoặc 1 thì không thoả mãn

6 Chứng minh rằng không tồn tại n Î  để 24n+41 là chính phương.

+ Nếu t chia hết cho 3 thì 24n+41=3(8n+13)+2 không chia hết cho 3

+ Nếu t không chia hết cho 3 thì t2 1 mod 3  3 8 n13 2 1 mod 3 

7 Chứng minh không tồn tại n Î  để 7.10n+4 là chính phương.

Nếu 0 n 3 thì đều không thoả mãn

12 Chứng minh rằng tích của 4 số tự nhiên liên tiếp thêm 1 là số chính phương

13 Tổng các chữ số của một số chính phương có thể bằng 1994 hoặc 1995 được hay không?

HD: a) N S N( ) mod 3  Vì 1994 2 mod 3   nên nếu S(N)=1994 thì N 2 mod 3 

b) vì 1995 chia hết cho 3, nhưng 1995 không chia hết cho 9 nên tổng các chữ số của 1 số chính phương không thể bằng 1995

14 Chứng minh rằng tổng bình phương của 5 số nguyên liên tiếp không chính phương

Có  3 4 k 32 là số chính phương Điều này vô lí vì  2 mod 3 

không là số chính phương

HD: Nếu N chẵn nhưng không chia hết cho 4 nên N không chính phương

Nếu N+1=k2 thì k lẻ khi đó N=(k-1)(k+1) 4!

Nếu N  1 2 mod 3 th ì N-1 không chính phương.

17 Chứng minh rằng tổng bình phương của 2 số lẻ không chính phương

18 Chứng minh rằng số chính phương có chứa chữ số lẻ ở hàng chục thì chữ số hàng đơn vị luôn bằng 6

19 Chứng minh rằng mọi số chính phương lẻ đều có chữ số hàng chục là chẵn

20 Chứng minh rằng một số chính phương lớn hơn 100 có tận cùng là 5 thì chữ số hàng trăm là chẵn

+ Nếu y lẻ thì 2n+1=4(5y-1+5y-2+…+ 5+1)

nếu y>1 thì 5y-1+5y-2+…+5+1 lẻ

Vậy y=1 suy ra x=2 Đáp số x=1; y=2

22 Tìm 1 số có 2 chữ số biết:

a) Tổng của số đó và số viết theo thứ tự ngược lại là số chính phương

b) Hiệu bình phương của số đó và số viết theo thứ tự ngược lại là số chính phương

HD:a) ab ba 11a b 11, vì số chính phương chia hết cho 11 thì chia hết cho 121 nên (a+b) chia hết cho 11 do đó a+b chia hết cho 11

Vì n<100 và 101 là nguyên tố nên n+10=101 suy ra n=91

2a + 2b+ 1 là các số chính phương

HD: Có 2a2-2b2+a-b=b2(1), suy ra (a-b)(2a+2b+1) =b2

Gọi d là ước dương của a-b và 2a+2b+1 thì d chia hết (2a+2b+1-2(a-b)=4b+1)

Vậy (a-b, 2a+2b+1)=1 Từ đó ta được ĐPCM

28 Chứng minh rằng tổng các bình phương của 7 số nguyên liên tiếp không chính phương

29 Chứng minh rằng tổng các bình phương của 9 số nguyên liên tiếp không chính phương

31 Chứng minh rằng nếu 8n+1 và 24n+1 là chính phương thì 8n+3 là hợp số

33 Tìm abcd biết nó là một bội của 11 v à b+c = a, bc chính phương.

36 Tìm tấ cả các số tự nhiên a để số n=26a+17 là một số chính phương

37 Chứng minh rằng một số chính phương có số ước là một số lẻ và ngược lại

38 Chứng minh rằng nếu gấp đôi một số tự nhiên bằng tổng của 2 số chính phương thì số tự nhiên đó cũng bằng tổng của 2 số chính phương

Bài 1: Cho biểu thức P =

22aa12

1a

xy xy 2 y 2

Bài 3: Tính giá trị biểu thức Q = x y

y - x



Biết x2 -2y2 = xy và x ≠ 0; x + y ≠ 0

Bài 4: Cho biểu thức P =

3x

3 x 2 x - 1

2 x 3 3 x

b) Chứng minh P ≤

3 2

Bài 5: Cho biểu thức

P =

a

2a2a

1a2aa

39a3a

b) Tìm các giá trị nguyên của a để P nguyên

Bài 6: Cho biểu thức

2

8 161-

a a

a) Rút gọn P

b) Tìm các giá trị nguyên của a (a >8) để P nguyên

Bài 7: Cho biểu thức

1:aa

11

a

a

a) Rút gọn P

b) Tính giá trị P khi a = 3 + 2 2

c) T ìm các giá trị của a sao cho P < 0

Bài 8: Cho biểu thức

1x:x4

8xx

yy

xy

x:yx

xy-

y x

a) Tìm x, y để P có nghĩa

b) Rút gọn P

Bài 10: Cho biểu thức

P =

x

2007x

1x

14xx

1x

1-x1x

1x

2

2 2 2

2

2 2

b

baa4:baa

baabaa

ba

2x1

x

2x

10x3

x4x

1x52x3x

Không phụ thuộc vào biến số x

Bài 13: Chứng minh giá trị của biểu thức

P =

x

x x

347.32

4

6 3

Không phụ thuộc vào biến số x

Bài 15: Cho biểu thức

1xx

xx1xx

)12(xx

x2x1xx

x 1

x 2x

1 x 1

x

x x 1

x

x

x x

535

310

53

48135

2

3 1 2

3 1 1

2

3 1

xy1

218

3

2012

28

2008

2 2007 2

a a

4 1

1 1

4

1 4 1

4

x

x x

x x

x

x x

1

1 1 1

1

1 1

3 1

a a

3 6

5

9 2

a) Rút gọn P

b) a = ? thì P < 1c) Với giá trị nguyên nào của a thì P nguyên

Bài 33:Cho biểu thức

P =

x

x y

xy x

x

x y

2

22

xy x

x

x y

2

22

y y x x y x y x y x y

3 3

: 1 1 2

1 1

a) Giải phương trình khi m = 2

b) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm số với mọi m

1

x + 2 2

2 0

2

luôn luôn có nghiệm

Bài 3: Cho a, b, c là các số thực thỏa điều kiện:

a2 + ab + ac < 0

hai nghiệm phân biệt

biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa

2 1

Bài 7: Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam

giác CMR phương trình sau có nghiệm:

định m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn:

Bài 11: Giả sử x1,x2 là hai nghiệm của phương trình

bậc 2: 3x2 - cx + 2c - 1 = 0 Tính theo c giá trị của

2

3 1

11

x

x 

hai nghiệm là x1,x2 Không giải phương trình trên

hãy tính giá trị của biểu thức:

A =

2

3 1

3 2 1

2 2 2 1

2 1

44

35

3

x x x x

x x x x

x2 thỏa mãn điều kiện: x1 + x2 = 6

3 Tìm giá trị của a để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thỏa mãn điều kiện: x1 < 1 < x2.Bài 14: Cho phương trình:

x2 – 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)

mọi giá trị của m





b a

CMR ít nhất một trong hai phương trình sau phải

x2 – (m - 1)x + m2 + m – 2 = 0 (1)