PHẦN I: ĐỀ BÀI 1. Chứng minh là số vô tỉ.2. a) Chứng minh : (ac + bd)2 + (ad bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki : (ac + bd)2 (a2 + b2)(c2 + d2)3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : S = x2 + y2.4. a) Cho a 0, b 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : . b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng : c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M = a3 + b3.6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : N = a + b.7. Cho a, b, c là các số d¬ương. Chứng minh : a3 + b3 + abc ab(a + b + c)8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng : 9. a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 4a b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh : (a + 1)(b + 1)(c + 1) 810. Chứng minh các bất đẳng thức :a) (a + b)2 2(a2 + b2)b) (a + b + c)2 3(a2 + b2 + c2)
http://NgocHung.name.vn I. PHNG PHP QUY NP cm mt mnh ph thuc s t nhiờn n N ta khụng th th trc tip vi mi s t nhiờn c vỡ tp hp s t nhiờn l vụ hn. Song ta cú th tin hnh cỏc bc kim tra nh sau Bc 1 : Trc ht ta kim tra rng mnh ỳng vi n=0 Bc 2 : Ri ta chng rng : T gii thit mnh ỳng vi mt s t nhiờn n=k 0 bt kỡ suy ra nú ỳng vi n=k+1 . Vớ d : Chng minh rng vi mi s t nhiờn n 2 ta cú ng thc : a n -b n =(a-b)(a n-1 +a n-2 b + + b n-1 ) Chng minh Ta chng minh bng phng phỏp qui np . * Khi n=2 ta cú a 2 -b 2 =(a-b)(a+b) l ỳng * Gi s ng thc ỳng khi n=k . Tc l ta cú : a k -b k =(a-b)(a k-1 +a k-2 b + + b k-1 ) Ta cn chng minh ỳng vi n=k+1 . Tc l C/m a k+1 -b k+1 =(a-b)(a k +a k-1 b + + b k ) . Tht vy ta cú : VT = a k+1 - b k+1 = a k+1 -a k b + a k b -b k+1 = a k (a-b)+ b(a k -b k ) = a k (a-b) + b(a-b)(a k-1 +a k-2 b + + b k-1 ) = (a-b)[ a k + b(a k-1 +a k-2 b + + b k-1 )] = (a-b)(a k +a k-1 b + + b k ) = VP Vy theo gi thit quy np ng thc ỳng vi mi n 2 Bi 1: Chng minh vi mi s t nhiờn n 1 ta cú ng thc : 1+2+3+4+ n = 2 1)n(n + Bi 2: Chng minh rng vi mi n N * ta cú : 1 2 +2 2 +3 2 + 4 2 +5 2 ++n 2 = 6 1++ )1)(2nn(n Bi 3: Chng minh rng vi mi n N biu thc U n =13 n -1 chia ht 6. Bi 4 : Chng minh rng vi mi s t nhiờn n 3 ta cú 2 n > 2n+1 Bi 5: Chng minh rng vi mi s t nhiờn n ta cú: 2n 2 4.3 32n 36 64 + + M Bi 6 : Chng minh rng vi mi s t nhiờn n 1 ta luụn cú: (n+1)(n+2)(2n) M 1.3.5(2n-1) Bi 7 : Chng minh rng vi mi s t nhiờn n ta luụn cú: n 3 +2n M 3 Bi 8: Chng minh rng vi mi s t nhiờn n ta luụn cú: n 16 15n 1 225 M A. CHIA HT S NGUYấN 1. nh ngha: Cho hai s nguyờn bt kỡ a v b (b 0). Tn ti mt v ch mt cp s nguyờn (q, r) sao cho a = bq + r vi 0 r b < . * Nu r = 0 thỡ a chia ht cho b: a M b a = kb a, b, k Ơ * Nu r 0 phộp chia a cho b l cú d 2. Tớnh cht ca qua h chia ht: a M a a M b v b M a thỡ a = b a M b v b M c thỡ a M c a M m thỡ ka M m v a k M m a M m, b M m thỡ a b M m a b M m m a M m thỡ b M m a M m, b M n thỡ ab M nm a M m thỡ a n M m n a n M m, m nguyờn t thỡ a M m a M m, a M n m (n, m) = 1 thỡ a M mn a M m, a M n, a M k; n, m, k nguyờn t sỏnh ụi thỡ a M mnk a M m, b M m thỡ a b M m * Trong n s nguyờn liờn tip (nN * ) cú mt v ch mt s chia ht cho n. * Trong n+1 s nguyờn bt kỡ (nN * ) chia cho n thỡ cú hai s chia cho n cú cựng s d. * chng t A(n) chia ht cho mt s nguyờn t p ta cú th xột mi trng hp v s d ca n chia cho p. * chng t A(n) chia ht cho hp s m, ta phõn tớch m thnh tớchcỏc thac s ụi mt nguyờn t cựng nhau ri ln lt chng t A(n) chia ht cho tng tha s ú. * CM f(x) chia ht cho m thụng thng ta phõn tớch f(x) thnh nhõn t ri xột s d khi chia x cho m. Boi dửụừng hoùc sinh THCS 1 http://NgocHung.name.vn PHNG PHP GII : 1/ Phng phỏp 1 : A(n) chia ht cho p; ta xột s d khi chia n cho p Vớ d : A(n) = n(n 2 +1)(n 2 +4) chia ht cho 5 n chia cho 5 cú s d l r =0,1,2,3,4,5 a/ Vi r = 0 thỡ n chia ht cho 5 => A(n) chia ht cho 5 b/ Vi r = 1 => n = 5k+1 => n 2 = 25k 2 +10k +1 thỡ (n 2 +4) chia ht cho 5=> A(n) chia ht cho 5 c/ Vi r = 2 => n = 5k+2 => n 2 = 25k 2 +20k +4 thỡ (n 2 +1) chia ht cho 5=> A(n) chia ht cho 5 d/ Vi r = 3 => n = 5k+3 => n 2 = 25k 2 +30k +9 thỡ (n 2 +1) chia ht cho 5=> A(n) chia ht cho 5 e/ Vi r = 4 => n = 5k+4 => n 2 = 25k 2 +40k +16 thỡ (n 2 +4) chia ht cho 5=> A(n) chia ht cho 5 2/ Phng phỏp 2 : A(n) chia ht cho m; ta phõn tớch m = p.q a/ (p,q) = 1 ta chng minh: A(n) chia ht cho p, A(n) chia ht cho q => A(n) chia ht cho p.q b/ Nu p v q khụng nguyờn t cựng nhau ta phõn tớch A(n) = B(n).C(n) v chng minh B(n) chia ht cho p, C(n) chia ht cho q => , A(n) chia ht cho p.q 3/ Phng phỏp 3 : chng minh A(n) M m cú th bin i A(n) thnh tng nhiu hng t v chng minh mi hng t chia ht cho n. 4/ Phng phỏp 4 : chng minh A(n) M m ta phõn tớch A(n) thnh nhõn t, trong ú cú mt nhõn t bng m hoc chia ht cho m: A(n) = m.B(n) + Thng ta s dng cỏc hng ng thc : a n b n M a b ( a b) n bt k. a n b n M a b ( a - b) n chn. a n + b n M a + b ( a - b) n l. 5/ Chng minh bng quy np toỏn hc : Bi 1. Chng minh rng : a) n 5 - 5n 3 + 4n M 120 ; vi n Z b) n 3 -3n 2 -n+3 M 48 ; vi n l c) n 4 + 4n 3 -4n 2 -16n M 384 vi n chn Bi 2. CMR: a) 4 2 n n 12 M b) 2 n(n 2)(25n 1) 24+ M c) Ch s tn cựng ca s t nhiờn n v n 5 l ging nhau. d) 3 3 (a b) 6 (a b ) 6+ +M M e) Cho n > 2 v (n, 6) = 1. CMR 2 n 1 24 M g) 2n 1 n 2 3 2 7 + + + M f) 2n 2 6n 1 3 2 11 + + + M B, CHIA HT A THC : 1. Ta s dng nh lý B zu : S d trong phộp chia a thc f(x) cho nh thc x a bng giỏ tr ca a thc f(x) ti x = a. T ú ta cú cỏc h qu : a thc f(x) M ( x a) < = > f(a) = 0 tc l khi a l nghim ca a thc T ú suy ra : a thc f(x) cú tng cỏc h s bng 0 thỡ chia ht cho x 1 a thc f(x) cú tng cỏc h s ca s hng bc chn bng tng cỏc h s ca s hng bc l thỡ f(x) M ( x + 1) 2.a thc bc 2 tr lờn : Cỏch 1 : Phõn tớch a thc b chia thnh nhõn t trong ú cú nhõn t chi ht cho a thc chia. Cỏch 2 : Xột giỏ tr riờng. 3/ Chng minh a thc chia ht cho a thc khỏc : Cỏch 1 : Phõn tớch a thc b chia thnh nhõn t trong ú cú 1 tha s chia ht cho a thc chia. Cỏch 2 : Bin i a thc b chia thnh tng cỏc a thc chia ht cho a thc chia. Cỏch 3 : S dng bin i tng ng : chng minh f(x) M g(x) ta chng minh : f(x) + g(x) M g(x) hoc f(x) - g(x) M g(x). Cỏch 4 : Chng t rng mi nghim ca a thc chia u l nghim ca a thc b chia Bi 1. Xỏc nh cỏc hng s a ; b sao cho: a) 4x 2 - 6x + a M (x-3) b) 2x 2 + x + a M (x+3) c) x 3 + ax 2 - 4 M (x 2 + 4x + 4) d) 10x 2 - 7x + a M (2x - 3) Boi dửụừng hoùc sinh THCS 2 http://NgocHung.name.vn e) 2x 2 + ax + 1 chia cho x - 3 d 4 g) ax 5 + 5x 4 - 9 M (x-1) Bi 2 Tỡm cỏc hng s a v b sao cho x 3 + ax + b chia cho x + 1 thỡ d 7, chia cho x - 3 thỡ d -5 Bi 3 Tỡm n Z : a/ n 2 + 2n 4 M 11 b/ 2n 3 + n 2 + 7n +1 M 2n 1 c/ n 3 2 M n 2 d/ n 3 - 3n 2 + 3n - 1 M n 2 +n + 1 e/n 4 2n 3 + 2n 2 2n + 1 M n 4 1 Bi 4: Tỡm s d phộp chia x 99 + x 55 + x 11 +x + 7 cho x + 1 Bi 5: CMR : a/ x 50 + x 10 + 1 M x 20 + x 10 + 1 b/ x 2 - x 9 x 1945 M x 2 - x + 1 c/ x 10 - 10x + 9 M (x 1) 2 d/ 8x 9 - 9x 8 + 1 M (x 1) 2 I. MT S DNG PHNG TRèNH VI NGHIM NGUYấN 1. Dng 1: Phng trỡnh bc nht. a. Phng trỡnh dng: ax + by = c (a,b,c nguyờn) * Cỏch gii: - Tỏch cỏ h s v tng cỏc s chia ht cho a hoc b (S no cú GTT ln hn) - S dng du hiu v tớnh cht chia ht ca mt tng tỡm ra mt n . Thay nghim va tỡm c vo phng trỡnh ban u tỡm nghim cũn li. - Kt lun nghim Bi tp mu: Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: 2x + 3y = 11 Gii: Cỏch 1: 2x + 3y = 11 1 y x y 5 2 = + + x nguyờn khi 1 y 2 hay y = 2t + 1 t M  x = 4 3t Vy nghim nguyờn ca phng trỡnh: x 4 3t y 2t 1 = = + t Z Cỏch 2: 2x + 3y = 11 d = (a, b) = (2, 3) = 1 nghim riờng: (x 0, y 0) = (4, 1) 1 1 a a d b b d = = nghim tng quỏt 0 1 0 1 x x b t y y a t = = + Vy nghim phng trỡnh l: x 4 3t y 2t 1 = = + Vớ d 1 Gii phng trỡnh: 11x + 18 y = 120 Hng dn gii 11x + 18 y = 120 ú 11x + 22y 4y = 121 1 ú 11(x + 2y -11 ) = 4y 1 4y 1 M 11 => 12y 3 M 11 ú y 3 M 11 => y = 11t + 3 (t Z ) x = 6 18 t. Vy nghim pt l: 6 18 11 3 x t y t = = + (t Z ) Vớ d 2 Tỡm nghim nguyờn dng ca phng trỡnh: 12x + 7y = 45 (1) Hng dn gii Theo cỏch gii trờn ta tỡm c nghim nguyờn ca phng trỡnh (1) l 7 12 27 12 x t y t = = Vi iu kin nghim nguyờn dng ta cú: 7 12 0 27 12 0 x t y t = > = > => t = 2 Vy nghim nguyờn ca phng trỡnh l 2 3 x y = = b. Phng trỡnh dng: ax + by +cz= d (a,b,c,d nguyờn) Vớ d Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: 6x + 15y + 10 z = 3 (1) Hng dn gii (1) ú 3(2x +5y +3 z-1) = - z => z M 3 => z = 3t (t Z ) Thay vo phng trỡnh ta cú: 2x + 5y + 10t = 1 (t Z ) Gii phng trỡnh ny vi hai n x; y (t l tham s) ta c: Nghim ca phng trỡnh: (5t 5k 2; 1 2t; 3k) Vi t; k nguyờn tu ý Boi dửụừng hoùc sinh THCS 3 http://NgocHung.name.vn . Dạng 2: Phương trình bậc hai hai ẩn. Dạng ax 2 + by 2 + cxy + dx + ey + f = 0 (a, b, c, d, e, f là các số nguyên) Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 5x – 3y = 2xy – 11 (1) Hướng dẫn giải Cách 1: Rút y theo x: y = 5 11 5 2 2 3 2 3 x x x x + + = + + + (Do x nguyên nên 2x + 3 khác 0) Vì y nguyên => x + 5 M 2x + 3 => …. 7 M 2x + 3 Lập bảng ta có: các cặp (x; y) là: (-1;6); (-1; -2); (2; 3); (-5; 2) Thử lại các giá trị đó đều đúng. Cách 2. Đưa về phương trình ước số: Cách 3: Coi đó là phương trình bậc hai ẩn x, y là số đã biết. Đặt ĐK để có x nguyên. Ví dụ 2 Tìm các nghiẹm nguyên của phương trình. x 2 + 2y 2 +3xy –x – y + 3 =0 (1) Hướng dẫn giải Sử dụng cách thứ 3 như ví dụ trên. 3. Dạng 3: Phương trình bậc ba trở lên có hai ẩn. Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x(x+1)(x+2)(x+3) = y 2 (1) Hướng dẫn giải Phương trình (1) ó (x 2 + 3x)(x 2 + 3x + 2) = y 2 Đặt a = x 2 + 3x (ĐK: a 2 ≥ − (*) Ta có: a 2 – 1 = y 2 GiảI phương trình này bằng cách đưa về phương trình ước số: => nghiệm phương trình (1) Ví dụ 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x 3 - y 3 = xy + 8 (1) Hướng dẫn giải Ta có: 2 2 . 8x y x xy y − + + = Ta có x khác y vì nếu x = y => x 2 + 8 = 0 Vô lý. Vì x; y nguyên => 1x y − ≥ => 2 2 8x xy y xy + + ≤ + => x 2 + xy + y 2 8xy ≤ + (2) Nếu xy + 8 < 0=> (2) ó (x + y) 2 ≤ -8. Vô nghiệm. N ếu xy +8 > 0 => (2) ó x 2 + y 2 ≤ 8 => x 2 , y 2 { } 0;1;4 ∈ Từ đó tìm được Hai nghiệm nguyên của (1) là: (0; - 2); (2; 0) 4. Dạng 4: Phương trình dạng phân thức. Ví dụ 1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 1 1 1 1 6 6x y xy + + = (1) Hướng dẫn giải Đặt điều kiên sau đó đưa về phương trình ước số Tìm được hai nghiệm (43; 7); (7; 43) Ví dụ 2 Tìm x nguyên sao cho − − 17 9 x x là bình phương của một phân số. Hướng dẫn giải Giả sử − − 17 9 x x = ÷ 2 a b Với a, b nguyên, b khác 0 và (a, b) = 1. Nếu a = 0 => x = 17. Nếu a khác 0. Ta có (a 2 , b 2 ) = 1 => x – 17 = a 2 .k; x – 9 = b 2 .k (k nguyên) Từ đó ta có: 8 = (a + b).(b – a).k Lập bảng tìm được nghiệm của phương trình x =17; 18; 8 5. Dạng 5: Phương trình dạng mũ. Ví dụ Tìm các số tự nhiên x, y sao cho: 2 x + 3 = y 2 (1) Hướng dẫn giải Nếu x = 0 => y 2 = 4 => y = 2 hoặc y = -2. Nếu x = 1 => y 2 = 5 Vô nghiệm nguyên. Nếu x ≥ 2 => 2 x M 4 Do đó vế tráI chia cho 4 dư 3 mà y lẻ (Do 1) => y 2 chia 4 dư 1 => Vô lý. Vậy nghiệm nguyên của (1) là: (0; 2); (0; -2) II. BÀI TẬP: 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: a) 2x + 3y = 11 b) 3x + 5y = 10 2. Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: 4x + 5y = 65 3. Phân tích số 100 thành hai số tự nhiên một số chia hết cho 7, một số chia hết cho 11. 4. Tìm số nguyên dương bé nhất chia cho 100 dư 1, chia cho 98 dư 11. 5. Có 37 cây táo có số quả bằng nhau, 17 quả hỏng, số còn lại chia đều cho 79 người. Hỏi mỗi cây có ít nhất mấy quả? Boài döôõng hoïc sinh THCS 4 http://NgocHung.name.vn I. Tớnh cht c bn ca BT : a) a < b, b < c a < c b) a < b a +c < b+ c. c) a< b a.c < b.c (vi c > 0) a< b a.c > b.c (vi c < 0) d) a < b v c < d a+c < b + d. e) 0 < a < b v 0 < c < d a.c < b.d f) ( ) 2 1 2 1 n n n a b a b + + + < <  0 < ( ) 2 2 n n n a b a b + < <  g) ( ) 2 1 2 1 n n n a b a b + + + < <  ( ) 2 2 0 n n n a b a b + < < <  II. BT Cauchy: (Cụsi) a,b 0 2 a b ab + ng thc 2 a b ab + = xy ra khi v ch khi a = b. a, b, c 0 3 + + a b c abc H qu: 1 a + 2 a , a 0 > III. Bt ng thc cha du giỏ tr tuyt i a) |x| 0, |x| x, |x| -x b) |x| a -a x a ( vi a > 0) |x| a x -a hoc x a c) |a|-|b| |a+b| |a| + |b|. II. BT Bunhinacụpxki Cho a, b, x, y l cỏc s thc, ta cú: ++ ))(( 2222 yxba (ax + by) 2 ng thc xy ra khi: a b x y = Tng quỏt: Cho 2n s thc: 1 2 1 2 , , , ; , , , n n a a a b b b Ta cú: 1 1 2 2 | | + + + n n a b a b a b 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 ( )( ) n n a a a b b b + + + + + + Du = xy ra khi v ch khi: 1 2 1 2 n n a a a b b b = = = III. BT Becnuli Cho a > -1, n N * : (1+ + a) n 1 + na. ng thc xy ra khi a = 0 hoc n = 1 Bt ng thc Cụ-si m rng: Cho n s khụng õm: a 1 ; a 2; ; a n Ta cú: 1 2 1 2 a a n n a a n a a a+ + + Du = xy ra khi v ch khi 1 2 a n a a= = = Bi 1: Cho hai s dng a v b . Chng minh : (a+b)( b 1 a 1 + ) 4 Gii: Vỡ a, b l hai s dng nờn ỏp dng bt ng thc Cụsi ta cú: (a+b) 2 ab 1 1 1 + 2 a b ab 1 1 1 (a+b) 2 .2 =4 a ab ab b + ữ Du = xy ra khi v ch khi:a= b. Bi 2: Vi mi a, b,x,y, thuc Ă . Chng minh rng: ( ) ( ) 2 2 2 | |ax by a b x y 2 + + + p dng : 1. Cho x 2 + y 2 =1 , chng minh - 2 x+y 2 Boi dửụừng hoùc sinh THCS 5 http://NgocHung.name.vn 2. Cho x+2y = 2 , chứng minh x 2 + y 2 ≥ 5 4 Bài 3 Cho ba số dương a, b, c. Chứng minh rằng: ( ) 1 1 1 9a b c a b c + + + + ≥ ÷ Bài 4: Cho 3 ab+bc+ca , , 0. C/m: 3 a b c abc ≥ ≥ Bài 5: Cho a,b,c >0. C/m: ab bc ca a b c c a b + + ≥ + + Bài 6: Cho a > 0, b > 0, c > 0, a + b + c =1. Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 64 a b c + + + ≥ ÷ ÷ ÷ Bài 7: CMR với 4 số a, b, x, y bất kỳ ta có: ≥++ ))(( 2222 yxba (ax + by) 2 .Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 8: Cho a, b, c, d > 0. Cm: ( )( ) dbcacdab ++≤+ Bài 9: CM bất đẳng thức: ( ) ( ) 22 2222 dbcadcba +++≥+++ Bài 10: Cho a, b, c là các số dương cm BĐT 2 222 cba ba c ac b cb a ++ ≥ + + + + + Bài 11: CM với mọi n nguyên dương thì: 2 1 2 1 2 1 1 1 >++ + + + nnn Bài 12: Cho a 3 + b 3 = 2. Cmr: a + b ≤ 2. Bài 13: Cho a, b, c thỏa mãn: a + b + c = -2 (1) a 2 + b 2 + c 2 = 2 (2) CMR mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn − 0; 3 4 Bài 14: Cho a, b, c thỏa mãn hệ thức 2a + 3b = 5. CMR: 2a 2 + 3b 2 ≥ 5. Bài 15: Cho a, b là hai số thỏa mãn đi: a + 4b = 1. CM: a 2 + 4b 2 ≥ 5 1 . Dấu “=” xảy ra khi nào? Bài 16: CM: 3 1 2222 22222 < ++− +++− Bài 17: Chứng minh: a) ≥++ ))(( 2222 yxba (ax + by) 2 b) 2420 ≤−+−< xx Bài 18: Cho a, b, c > 0. Cm: 2 3 ≥ + + + + + ba c ac b cb a Boài döôõng hoïc sinh THCS 6 http://NgocHung.name.vn Bài 19: Cho 100 1 3 1 2 1 1 ++++=S . CMR: S không là số tự nhiên. Bài 20: a) Cho x, y dương. CMR: yxyx + ≥+ 411 . Dấu bằng xảy ra khi nào? b) Tam giác ABC có chu vi 2 cba P ++ = . ++≥ − + − + − cbacpbpap 111 2 111 Dấu bằng xảy ra khi tam giác ABC có đặc điểm gì? Bài 21: a) CM x > 1 ta có: 2 1 ≥ −x x b) Cho a > 1, b > 1. Tìm GTNN của: 11 22 − + − = a b b a P Bài 22: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. CM: a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca) Bài 23: CMR nếu a, b, c > 0 và a + b + c = 1 thì 9 111 ≥ ++ cba . Bài 24: CMR nếu a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác thì: ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca) Bài 25: Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c và có chu vi là 2. CMR: a 2 + b 2 + c 2 + 2abc < 2 Bài 26: Cho a, b là 2 số thực thỏa mãn điều kiện: (a - 1) 2 + ( b - 2) 2 = 5. Cm: a + 2b ≤ 10. Bài 27: Cho a, b là các số thực thỏa mãn điều kiện a 2 + b 2 = 4 + ab. CMR: 8 3 8 22 ≤+≤ ba . Dấu bằng xảy ra khi nào? Bài 28: CMR với mọi a, b > 0 thỏa mãn ab = 1. Ta có BĐT: 3 211 ≥ + ++ baba Bài 29: CMR nếu: a) 51 ≤≤ a thì 105413 ≤−+− aa b) a + b 2;01;0 =+≥+≥ bab thì 2211 ≤+++ ba Bài 30: Cho biểu thức 4 3 4 3 5 4 3 2 3 1 1 1 4 1 P x x x x x x x x x x x = − − − + − + − − − − + − + − CMR: 9 32 0 << P với 1 ±≠∀ x . Bài 31: a) Cho a, b, k là các số dương và 1 a b < : a a k Cmr b b k + < + b) Cmr nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thì: ba c ac b cb a + + + + + < 2. Bài 32: Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện a + b = 1. CMR : 9 1 1 1 1 ≥ + + ba Bài 33: CM B ĐT sau đây đúng với mọi x, y là các số thực bất kỳ khác 0: Boài döôõng hoïc sinh THCS 7 http://NgocHung.name.vn +++ x y y x x y y x 34 2 2 2 2 1) nh ngha: L s cú dng 2 ,n n . 2) Tớnh cht: 1. S chớnh phng chn thỡ chia ht cho 4, s chớnh phng l khi chia cho 8 d 1 2. Nu a=3k thỡ ( ) 2 0 mod9a ; Nu 3a k thỡ ( ) 2 1 mod3a 3. Gia cỏc bỡnh phng ca hai s nguyờn liờn tip khụng cú s chớnh phng no 4. S chớnh phng ch cú th cú ch s tn cựng bng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; khụng th cú ch s tn cựng bng 2, 3, 7, 8 5. Nu hiu ca hai s nguyờn bng 2n thỡ tớch ca chỳng thờm n 2 s l s chớnh phng. 6. Nu ab chớnh phng, (a,b)=1 thỡ a chớnh phng v b chớnh phng. HD: G/s ab= c 2 v gi d=(a,c) suy ra a=a 1 d; c=c 1 d, (c 1 , d 1 )=1do ú ab=c 1 2 d + Do ( ) 2 2 1 1 1 1 1 a d c c , 1b vi a c = M M + Do ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 , , 1 ; c c d b c bvi b d b a b c a d b = = = = =M M 7. Nu mt s chớnh phng chia ht cho p, p- nguyờn t thỡ s chớnh phng ú chia ht cho p 2 . Do ú nu mt s a chia ht cho s nguyờn t p nhng s a khụng chia ht cho p 2 thỡ a khụng l s chớnh phng. 2. Khi phõn tớch ra tha s nguyờn t, s chớnh phng ch cha cỏc tha s nguyờn t vi s m chn. 3. S chớnh phng ch cú th cú mt trong hai dng 4n hoc 4n + 1. Khụng cú s chớnh phng no cú dng 4n + 2 hoc 4n + 3 (n N). 4. S chớnh phng ch cú th cú mt trong hai dng 3n hoc 3n + 1. Khụng cú s chớnh phng no cú dng 3n + 2 (n N). 5. S chớnh phng tn cựng bng 1 hoc 9 thỡ ch s hng chc l ch s chn. S chớnh phng tn cựng bng 5 thỡ ch s hng chc l 2 S chớnh phng tn cựng bng 4 thỡ ch s hng chc l ch s chn. S chớnh phng tn cựng bng 6 thỡ ch s hng chc l ch s l. 6. S chớnh phng chia ht cho 2 thỡ chia ht cho 4. S chớnh phng chia ht cho 3 thỡ chia ht cho 9. S chớnh phng chia ht cho 5 thỡ chia ht cho 25. S chớnh phng chia ht cho 8 thỡ chia ht cho 16. III. MT S DNG BI TP V S CHNH PHNG A. DNG1 : CHNG MINH MT S L S CHNH PHNG Bi 1: Chng minh rng vi mi s nguyờn x, y thỡ A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 l s chớnh phng. Ta cú A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 = (x 2 + 5xy + 4y 2 )( x 2 + 5xy + 6y 2 ) + y 4 t x 2 + 5xy + 5y 2 = t ( t Z) thỡ A = (t - y 2 )( t + y 2 ) + y 4 = t 2 y 4 + y 4 = t 2 = (x 2 + 5xy + 5y 2)2 Boi dửụừng hoùc sinh THCS 8 http://NgocHung.name.vn V ì x, y, z ∈ Z nên x 2 ∈ Z, 5xy ∈ Z, 5y 2 ∈ Z ⇒ x 2 + 5xy + 5y 2 ∈ Z Vậy A là số chính phương. Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương. Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n ∈ N). Ta có n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1 = (n 2 + 3n)( n 2 + 3n + 2) + 1 (*) Đặt n 2 + 3n = t (t ∈ N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t 2 + 2t + 1 = ( t + 1 ) 2 = (n 2 + 3n + 1) 2 Vì n ∈ N nên n 2 + 3n + 1 ∈ N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương. Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2) Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương . Ta có k(k+1)(k+2) = 4 1 k(k+1)(k+2).4 = 4 1 k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)] = 4 1 k(k+1)(k+2)(k+3) - 4 1 k(k+1)(k+2)(k-1) ⇒ S = 4 1 .1.2.3.4 - 4 1 .0.1.2.3 + 4 1 .2.3.4.5 - 4 1 .1.2.3.4 +…+ 4 1 k(k+1)(k+2)(k+3) - 4 1 k(k+1)(k+2)(k-1) = 4 1 k(k+1)(k+2)(k+3) 4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 Theo kết quả bài 2 ⇒ k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính ph ương. Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; … Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương. Ta có 44…488…89 = 44…488 8 + 1 = 44…4 . 10 n + 8 . 11…1 + 1 n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số = 4. 9 110 − n . 10 n + 8. 9 110 − n + 1 = 9 9810.810.410.4 2 +−+− nnn = 9 110.410.4 2 ++ nn = + 3 110.2 n Ta thấy 2.10 n +1=200…01 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3 n-1 chữ số 0 ⇒ + 3 110.2 n ∈ Z hay các số có dạng 44…488…89 là số chính phương. Bài 5: Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương: A = 11…1 + 44…4 + 1 2n chữ số 1 n chữ số 4 B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 8 Boài döôõng hoïc sinh THCS 9 2 2 http://NgocHung.name.vn 2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6 Kết quả: A = + 3 210 n ; B = + 3 810 n ; Bài 6: Chứng minh rằng các số sau là số chính phương: a. A = 22499…9100…09 n-2 chữ số 9 n chữ số 0 b. B = 11…155…56 n chữ số 1 n-1 chữ số 5 a. A = 224.10 2n + 99…9.10 n+2 + 10 n+1 + 9 = 224.10 2n + ( 10 n-2 – 1 ) . 10 n+2 + 10 n+1 + 9 = 224.10 2n + 10 2n – 10 n+2 + 10 n+1 + 9 = 225.10 2n – 90.10 n + 9 = ( 15.10 n – 3 ) 2 ⇒ A là số chính phương B. DẠNG 2 : TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương: a. n 2 + 2n + 12 b. n ( n+3 ) c. 13n + 3 d. n 2 + n + 1589 Giải a. Vì n 2 + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n 2 + 2n + 12 = k 2 (k ∈ N) ⇒ (n 2 + 2n + 1) + 11 = k 2 ⇔ k 2 – (n+1) 2 = 11 ⇔ (k+n+1)(k-n-1) = 11 Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1 ⇔ k+n+1 = 11 ⇔ k = 6 k – n - 1 = 1 n = 4 b. Đặt n(n+3) = a 2 (n ∈ N) ⇒ n 2 + 3n = a 2 ⇔ 4n 2 + 12n = 4a 2 ⇔ (4n 2 + 12n + 9) – 9 = 4a 2 ⇔ (2n + 3) 2 - 4a 2 = 9 ⇔ (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9 Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1 ⇔ 2n + 3 + 2a = 9 ⇔ n = 1 2n + 3 – 2a = 1 a = 2 c. Đặt 13n + 3 = y 2 ( y ∈ N) ⇒ 13(n – 1) = y 2 – 16 ⇔ 13(n – 1) = (y + 4)(y – 4) ⇒ (y + 4)(y – 4) M 13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4 M 13 hoặc y – 4 M 13 ⇒ y = 13k ± 4 (Với k ∈ N) ⇒ 13(n – 1) = (13k ± 4 ) 2 – 16 = 13k.(13k ± 8) ⇒ n = 13k 2 ± 8k + 1 Vậy n = 13k 2 ± 8k + 1 (Với k ∈ N) thì 13n + 3 là số chính phương. a. Đặt n 2 + n + 1589 = m 2 (m ∈ N) ⇒ (4n 2 + 1) 2 + 6355 = 4m 2 Boài döôõng hoïc sinh THCS 10 [...]... tớch ca 4 s t nhiờn liờn tip thờm 1 l s chớnh phng 13 Tng cỏc ch s ca mt s chớnh phng cú th bng 199 4 hoc 199 5 c hay khụng? HD: a) N S ( N ) ( mod 3) Vỡ 199 4 2 ( mod 3) nờn nu S(N)= 199 4 thỡ N 2 ( mod 3) b) vỡ 199 5 chia ht cho 3, nhng 199 5 khụng chia ht cho 9 nờn tng cỏc ch s ca 1 s chớnh phng khụng th bng 199 5 14 Chng minh rng tng bỡnh phng ca 5 s nguyờn liờn tip khụng chớnh phng 2 2 2 2 2 2 5 HD: (... = 91 abcd = 91 2 = 8281 Bi 3: Tỡm s chớnh phng cú 4 ch s bit rng 2 ch s u ging nhau, 2 ch s cui ging nhau Gi s chớnh phng phi tỡm l aabb = n2 vi a, b N, 1 a 9; 0 b 9 Ta cú n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11. (99 a+a+b) (1) Nhn xột thy aabb M 11 a + b M 11 M 1 a 9 ; 0 b 9 nờn 1 a+b 18 a+b = 11 Thay a+b = 11 vo (1) c n2 = 112(9a+1) do ú 9a+1 l s chớnh phng Bng phộp th vi a = 1; 2; ; 9. .. l s chớnh phng Bi 6: Tỡm s t nhiờn n cú 2 ch s bit rng 2n+1 v 3n+1 u l cỏc s chớnh phng 2 Ta cú 10 n 99 nờn 21 2n+1 199 Tỡm s chớnh phng l trong khong trờn ta c 25; 49; 81; 121; 1 69 tng ng vi s n bng 12; 24; 40; 60; 84 S 3n+1 bng 37; 73; 121; 181; 253 Ch cú 121 l s chớnh phng Boi dửụừng hoùc sinh THCS 11 http://NgocHung.name.vn Vy n = 40 C.DNG 3: TèM S CHNH PHNG Bi 1: Cho A l s chớnh phng gm 4... lp phng Gi s chớnh phng ú l abcd Vỡ abcd va l s chớnh phng va l mt lp phng nờn t abcd = x2 = y3 Vi x, y N Vỡ y3 = x2 nờn y cng l mt s chớnh phng Ta cú 1000 abcd 99 99 10 y 21 v y chớnh phng y = 16 abcd = 4 096 Boi dửụừng hoùc sinh THCS 12 http://NgocHung.name.vn Bi tp 1 Chng minh rng tng ca hai s chn liờn tip khụng chớnh phng HD: 2n + (2n + 2) = 4 n + 2 2 ( mod 4 ) 2 Chng minh rng tng cỏc... s hng n v luụn bng 6 HD: xột (10n+b)2 = 20n(5n+b) + b2 ; Vi b 9 ch s hng chc ca 20n(5n+b) chn do ú ch s hng chc ca b2 l nờn b=4; 6 19 Chng minh rng mi s chớnh phng l u cú ch s hng chc l chn HD: Xột (10a+b)2 = 20a(5a+b)+b2 vi b l, b 9 b = 1;3;5;7 ;9 b 2 = 01; 09; 25; 49; 81 PCM 20 Chng minh rng mt s chớnh phng ln hn 100 cú tn cựng l 5 thỡ ch s hng trm l chn HD: Xột (10a+5)2 =100a(a+1)+25 Vỡ a(a+1)... tnh 2006-2007) Bi 35: 1) Gii phng trỡnh: x3 -6x 40 = 0 2) Tớnh A = 3 20 + 14 2 + 3 20 14 2 ( thi HSG tnh 2006-2007) Bi 8) Tỡm GTLN ca A = x + 2 x x y z Bi 9) Tỡm GTLN ca P = + + vi x, y, z y z x > 0 Bi 10) Tỡm GTLN ca P = ( x 199 0) 2 + ( x 199 1) 2 Bi 11) Cho M = Bi 1) Cho hai s thc x, y tha món iu kin: x2 + y2 = 1.Tỡm GTLN v GTNN ca biu thc A = x + y Bi 2) Cho x, y > 0, x + y = 1 Tỡm GTNN ca 1 ... = ( 10a + b ) ( 10b + a ) = 99 ( a 2 b 2 ) M 2 2 2 2 2 2 Vỡ 0 x + 1 Bi 9: Cho biu thc Bi 5:... c) x4 - 3x3 + 3x + 1 = 0 Bi 9: a) x4 = 24x + 32 b) x3 + 3x2 - 3x + 1 = 0 5 3 x 8 + x 9 =1 Bi 10: Boi dửụừng hoùc sinh THCS 2 x2 4 x2 x + 2 Bi 13:20 =0 5 + 48 2 x 1 x +1 x 1 3x 7x + 2 = 4 Bi 14: a) 2 x 3x + 1 x + x + 1 x 2 10 x + 15 4x b) 2 = 2 x 6 x + 15 x 12 x + 15 x 2 3x + 5 x 2 5 x + 5 1 c) 2 2 = 4 x 4x + 5 x 6x + 5 2 81x = 40 Bi 15: a) x2 + ( x + 9) 2 b) x2 + x2 ( x + 1) 2 2... 32: a) x4 - 4x3 - 19x2 + 106x - 120 = 0 b) (x2 - x + 1)4 - 10(x2 - x + 1)2 +9x4 = 0 Bi 33: (x + 3 x + 2)(x + 9 x +18) = 168x ( thi HSG 2005) Bi 34: a) x2 + 4x + 5 = 2 2 x + 3 b) 3 x 3 + 8 = 2x2 - 6x + 4 4 =2 c) 2 x + 2 x +3 3 Bi 35: x +1 + 3 x + 2 + 3 x + 3 = 0 Bi 36: Cho phng trỡnh: x4 -4x3 +8x = m a) Gii phng trỡnh khi m = 5 b) nh m phng trỡnh cú 4 nghim phõn bit Boi dửụừng hoùc sinh THCS a b a +b . rằng các số sau là số chính phương: a. A = 22 499 91 00… 09 n-2 chữ số 9 n chữ số 0 b. B = 11…155…56 n chữ số 1 n-1 chữ số 5 a. A = 224.10 2n + 99 9. 10 n+2 + 10 n+1 + 9 = 224.10 2n + (. phng cú th bng 199 4 hoc 199 5 c hay khụng? HD: a) ( ) ( ) mod3N S N . Vỡ ( ) 199 4 2 mod3 nờn nu S(N)= 199 4 thỡ ( ) 2 mod3N b) vỡ 199 5 chia ht cho 3, nhng 199 5 khụng chia ht cho 9 nờn tng cỏc. tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n 2 là số chính phương. Bài 6: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n+1 và 3n+1 đều là các số chính phương. Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199 . Tìm số chính