cac chuyen de boi duong hoc sinh gioi toan 2014 tai bac giang

HỘI TOÁN HỌC HÀ NỘI SỞ GD VÀ ĐT BẮC GIANG NGUYỄN VĂN MẬU - TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG NGUYỄN ĐỨC HIỀN (Chủ biên) CÁC CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN Dành cho giáo viên học sinh trường THPT Chuyên KỶ YẾU HỘI THẢO KHOA HỌC Hà Nội - Bắc Giang, tháng năm 2014 Mục lục Lời nói đầu v Chương trình hội thảo vii Some problems of algebra and geometry with solutions 1.1 Applications of AM-AG and Cauchy-Schwarz Inequalities 1.2 Applications of the Lagrange’s mean value theorem 1.3 Applications of complex numbers to geometry 1 On the potential research directions related to Shapiro’s cycle inequality 12 2.1 Introduction 12 2.2 Results of Drinfeld 14 2.3 Echoes 16 2.4 On an extension of Shapiro’s cyclic inequality 19 2.4.1 Introduction 19 2.4.2 Main result 19 2.5 Problems 22 Some new identities on the Conic Sections 27 3.1 Canonical Equations Conic Sections 27 3.2 Some identities for the conic sections 28 3.3 Bibliography 32 √ Chứng minh tính vơ tỉ π, e cơng cụ giải tích phổ thơng 33 4.1 Lời nói đầu 33 4.2 Kiến thức chuẩn bị 33 4.3 Một số toán 34 Làm quen với Hình học tổ hợp 38 5.1 Nguyên lí Dirichlet 38 5.2 Hình bao 40 Ứng dụng góc định hướng hai đường thẳng 44 6.1 Khái niệm góc định hướng hai đường thẳng 44 i 6.2 6.3 Các tính chất Một số toán ứng dụng góc định hướng hai đường thẳng Giới thiệu thi tranh tài Toán quốc tế IMC 7.1 Giới thiệu tổng quan International Mathematics Competition (IMC) 7.1.1 Đề dẫn 7.1.2 Đôi nét lịch sử 7.2 Về Đoàn Việt Nam tham gia IMC 7.3 Giới thiệu đề thi IMC 7.4 Thay lời kết 7.5 Tài liệu trích dẫn 44 45 52 52 52 52 53 55 63 64 Dạy học môn Toán tiếng Anh trường THPT Chuyên Bắc Giang 8.1 Lời mở đầu 8.2 Phần thứ 8.2.1 Về việc dạy học tiếng Anh nói chung 8.2.2 Dạy học tiếng Anh trường THPT chuyên 8.2.3 Dạy, học tiếng Anh trường THPT Chuyên Bắc Giang 8.3 Phần thứ hai 8.3.1 Dạy học song ngữ song ngữ tích hợp 8.3.2 Những nguyên tắc xây dựng học song ngữ tích hợp 8.4 Phần thứ ba 8.4.1 Chuẩn bị 8.4.2 Triển khai 8.5 Tài liệu tham khảo 65 65 66 66 67 69 70 70 72 74 74 76 77 Các khai thác từ toán 9.1 Lời mở đầu 9.1.1 Đặt vấn đề 9.1.2 Ví dụ mở đầu 9.1.3 Một số kí hiệu sử dụng viết 9.2 Bài tốn tìm max tổng luỹ thừa 9.2.1 Bài toán mở đầu 9.2.2 Các toán mở rộng 9.2.3 Bài tập đề nghị 9.3 Tài liệu tham khảo 78 78 78 79 79 80 80 81 97 99 100 100 101 101 106 115 10 Bất đẳng thức Hình học phẳng 10.1 Lời mở đầu 10.2 Một số dạng tập cách chứng minh 10.2.1 Sử dụng bất đẳng thức hình học 10.2.2 Sử dụng bất đẳng thức đại số 10.2.3 Sử dụng bất đẳng thức lượng giác ii 10.3 Bài tập đề nghị 10.3.1 Bài tập luyện tập 10.3.2 Một số tập nâng cao 10.3.3 Một số thi chọn HSG Quốc gia 10.4 Tài liệu tham khảo THPT 11 Hàm số bậc ứng dụng 11.1 Một số tính chất hàm số bậc biến số thực 11.2 Phương trình hàm liên quan đến hàm số bậc 11.2.1 Phương trình hàm cho THCS 11.2.2 Phương trình hàm cho THPT 11.3 Bất đẳng thức giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 11.3.1 Sử dụng tính chất hàm số bậc 11.3.2 Sử dụng biểu diễn tuyến tính hàm số 11.4 Các toán khác 11.5 Bài tập luyện tập 11.6 Tài liệu tham khảo 12 Định lí thặng dư Trung hoa 12.1 Lí thuyết 12.2 Các ví dụ tập 12.2.1 Các ví dụ 12.2.2 Bài tập áp dụng 12.3 Tài liệu tham khảo ứng dụng 13 Tìm lời giải tốn chứng minh bất đẳng thức 13.1 Định hướng chứng minh bất đẳng thức 13.1.1 Nhìn bất đẳng thức theo phương diện lượng giác 13.1.2 Nhìn bất đẳng thức theo phương diện hình học 13.1.3 Nhìn bất đẳng thức theo phương diện khác 13.2 Bài tập luyện tập 13.3 Tài liệu tham khảo 14 Some common isuses in combinatoric 14.1 Counting 14.1.1 Product rule 14.1.2 Sum rule 14.2 Invariance and Univariance 14.3 Recurrence 14.4 Dirichlet and Extreme Principle 14.4.1 Dirichlet principal 14.4.2 Extreme principle 14.5 Some problems related to board collection 14.6 Exercises iii 118 118 122 124 125 126 126 128 128 136 140 140 143 152 154 156 157 157 158 158 163 163 165 165 165 168 170 174 175 176 176 176 177 179 181 185 185 186 187 189 14.7 Bibliography 191 15 Two methods for sovling to functional equations with 15.1 Introduction 15.2 Linearization 15.3 Splinter 15.4 Exercises 15.5 References and Further Reading one variable 192 192 192 196 199 200 16 Dạy học chủ đề giải tích trường THPT theo quan điểm dạy học tích hợp 201 16.1 Cần thiết dạy học Tốn theo quan điểm tích hợp 201 16.1.1 Tóm tắt dạy học tích hợp (DHTH) 201 16.1.2 Cần thiết dạy học Toán theo quan điểm tích hợp 201 16.1.3 Thuận lợi khó khăn dạy học theo quan điểm tích hợp 202 16.2 Các ví dụ 202 16.3 Kết luận 204 16.4 Tài liệu tham khảo 205 17 Phương trình bậc bốn hệ thức lượng giác 7.1 Phương pháp giải phương trình bậc bốn tổng quát 7.1.1 Các tính chất nghiệm phương trình bậc bốn 7.1.2 Một số nhận xét nghiệm phương trình bậc bốn 7.2 Phương trình bậc bốn hệ thức lượng giác 7.3 Các đẳng thức lượng giác số cung góc đặc biệt 7.4 Tài liệu tham khảo iv 206 207 208 211 212 221 225 Ban tổ chức Hội thảo Lời nói đầu LỜI NĨI ĐẦU Ban tổ chức Hội thảo khoa học Trong khơng khí tưng bừng Lễ hội kỷ niệm 130 năm khởi nghĩa Yên Thế UBND tỉnh Bắc Giang long trọng tổ chức, ngày 15-16 tháng năm 2014 thành phố Bắc Giang Hội thảo khoa học Toán học Hội Toán học Hà Nội, Sở Giáo dục Đào tạo Bắc Giang Trường THPT chuyên Bắc Giang tổ chức Hội thảo diễn nhằm báo cáo kết trao đổi kinh nghiệm nghiên cứu, giảng dạy số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi dành cho giáo viên học sinh trường chuyên; đặc biệt yêu cầu đòi hỏi giáo viên học sinh cần phải cần phải điều chỉnh, thay đổi góp phần thực thành cơng Nghị Hội nghị Trung ương khóa XI đổi bản, toàn diện giáo dục đào tạo Đưa giáo dục Việt Nam ngang tầm với giáo dục tiên tiến khu vực giới Chương trình Hội thảo bao gồm phiên họp tồn thể với 03 phát biểu ý kiến vị lãnh đạo báo cáo khoa học, hai phiên họp chuyên đề với 13 báo cáo khoa học Hội thảo với tham gia 100 đại biểu nhà toán học, nhà quản lý, thầy giáo mơn Tốn quan tâm đến phát triển ảnh hưởng toán học đến ngành kinh tế, xã hội, an ninh, quốc phòng Để hoạt động trở thành hệ thống giúp cho thầy giáo, học sinh có thêm thơng tin, tư liệu cần thiết cho trình giảng dạy học tập, Ban tổ chức biên tập Kỷ yếu Hội thảo khoa học Kỷ yếu bao gồm 17 chuyên đề dành cho việc giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi viết nhà Toán học, nhà quản lý, thầy cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp chuyên toán Đặc biệt, để chuẩn bị cho việc giảng dạy môn khoa học tự nhiên, trước hết mơn Tốn, tiếng Anh, kỷ yếu có chuyên đề viết tiếng Anh Cũng liên quan đến vấn đề này, kỷ yếu có viết việc dạy học mơn Tốn tiếng Anh trường THPT Chun Bắc Giang Đây toán mà nhiều trường THPT chuyên trăn trở tìm lời giải Hy vọng suy tư chút kinh nghiệm chúng tơi giúp ích phần cho bạn Hội thảo khoa học lần đặt nơi có Trường THPT chuyên Bắc Giang, với sức trẻ 23 năm viết nên truyền thống đỗi tự hào Tự hào đội ngũ Hội thảo khoa học -v- Bắc Giang, tháng năm 2014 Ban tổ chức Hội thảo Lời nói đầu thầy giáo nhiệt huyết hết lòng học sinh thân u; ghi nhận nỗ lực, thành tích thầy Đảng, Nhà nước trao tặng nhiều danh hiệu cao quý, phải kể đến 01 Nhà giáo nhân dân, 10 Nhà giáo ưu tú Tự hào lớp lớp học sinh chuyên thông minh, động, sáng tạo Điển hình học sinh: Nguyễn Minh Ngọc huy chương Đồng Olympic quốc tế mơn Hóa học, Lê Trường Sơn huy chương Bạc Olympic quốc tế mơn Tốn, Hồng Thế Anh giành vòng nguyệt quế trận Chung kết Đường lên đỉnh Olympia lần thứ 13, năm 2013 Đài Truyền hình Việt Nam tổ chức Tự hào với thành tích kì thi chọn học sinh giỏi quốc gia hàng năm ổn định bước phát triển vững Năm 2014 Nhà trường đạt 56 giải, đứng thứ 11 tỉnh, thành phố nước Tự hào danh hiệu Nhà trường đạt Trường vinh dự Chủ tịch nước tặng thưởng Huân chương Lao động hạng ba, Huân chương Lao động hạng nhì Nhiều năm Thủ tướng Chính phủ tặng Cờ thi đua Hội thảo thành công hợp nhiều yếu tố Ban Tổ chức chân thành cảm ơn Lãnh đạo Sở Giáo dục Đào tạo Bắc Giang tạo điều kiện tốt để Hội thảo triển khai vào thời điểm ý nghĩa; cảm ơn tác giả báo cáo dành thời gian, công sức làm nên chất lượng Kỷ yếu, chất lượng Hội thảo; cảm ơn đại biểu say sưa, tâm huyết với chuyên mơn nói riêng với nghề nói chung; đặc biệt, trân trọng cảm ơn Thầy, GS TSKH, Nhà Giáo Nhân Dân Nguyễn Văn Mậu, Chủ tịch Hội Toán học Hà Nội, người có cơng lao vơ to lớn công đào tạo, bồi dưỡng học sinh giỏi nước ta, người thiết đặt chương trình linh hồn Hội thảo Trong trình tổ chức biên tập kỷ yếu, khó tránh khỏi sơ xuất, thiếu sót Ban tổ chức chân thành cảm ơn ý kiến đóng góp để hoạt động ngày có chất lượng BAN TỔ CHỨC HỘI THẢO Hội thảo khoa học -vi- Bắc Giang, tháng năm 2014 Ban tổ chức hội thảo Chương trình hội thảo Các báo cáo khoa học MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT CHUYÊN CHỌN LỌC NĂM 2014 Thành phố Bắc Giang vào ngày 15-16/03/ 2014 Hòa nhịp với nước đón chào Năm mới, mừng Đảng, mừng Xuân thực chương trình đổi giáo dục phổ thơng chủ động hội nhập quốc tế, Sở Giáo Dục Đào tạo Bắc Giang, Trường THPT Chuyên Bắc Giang Hội Toán học Hà Nội đồng tổ chức Hội thảo khoa học: Một số chuyên đề Toán THPT chuyên chọn lọc năm 2014 Trung tâm hội nghị, Thành phố Bắc Giang vào ngày 15-16 tháng 03 năm 2014 Hội thảo khoa học lần hân hạnh đón tiếp nhà giáo lão thành, chuyên gia Toán học báo cáo phiên toàn thể chuyên gia giáo dục, cán đạo chuyên môn từ sở Giáo dục Đào tạo, thầy giáo, cô giáo trực tiếp bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn trường THPT chun báo cáo phiên chuyên đề hội thảo BAN TỔ CHỨC GS TSKH Nguyễn Văn Mậu, Chủ tịch Hội Toán học Hà Nội, Đồng Trưởng ban Ths Nguyễn Đức Hiền, Giám đốc Sở GD& ĐT Bắc Giang, Đồng Trưởng ban Ths Bạch Đăng Khoa, HT Trường THPT Chuyên Bắc Giang, Phó Trưởng ban thường trực PGS.TS Trần Huy Hổ, Phó Chủ tịch Hội THHN, ủy viên Ths Nguyễn Hữu Độ, Giám đốc Sở GD& ĐT HN, Phó CT Hội THHN, ủy viên Ths Hồ Thị Lân, Phó Hiệu trưởng THPT Chuyên Bắc Giang, ủy viên Ths Chu Bá Vinh, Trưởng phòng GDTrH Sở GD& ĐT Bắc Giang, ủy viên BAN CHƯƠNG TRÌNH Ths Bạch Đăng Khoa, HT Trường THPT Chuyên Bắc Giang, Đồng Trưởng ban PGS TS Nguyễn Minh Tuấn, Phó Tổng Thư kí Hội THHN, Đồng Trưởng ban PGS.TS Nguyễn Thủy Thanh, Trường ĐHKHTN, ĐHQGHN, ủy viên Ths Nguyễn Anh Tuấn, Phó Hiệu trưởng THPT Chuyên Bắc Giang, ủy viên Ths Nguyễn Văn Tiến, Tổ trưởng Tổ Toán, THPT Chuyên Bắc Giang, ủy viên thường trực TS Phạm Thị Bạch Ngọc, Nhà Xuất Giáo dục, ủy viên Ths Vũ Kim Thủy, Tổng biên tập Tạp chí Tốn Tuổi thơ, ủy viên CHƯƠNG TRÌNH HỘI THẢO Chiều ngày 15.03.2014 (tại Hội trường Trung Tâm Hội Nghị Bắc Giang) 15h30-16h00 Đón tiếp đại biểu văn nghệ chào mừng 16h00-16h30 Khai mạc Phát biểu khai mạc: ThS Nguyễn Đức Hiền Phát biểu đại biểu: Hội thảo khoa học -vii- Bắc Giang, tháng năm 2014 Ban tổ chức hội thảo Chương trình hội thảo Phát biểu đề dẫn: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu 16h30-17h30 Các báo cáo khoa học phiên họp toàn thể (tại Hội trường Trung Tâm Hội Nghị Bắc Giang) Điều khiển: PGS.TS Trần Huy Hổ, GS.TSKH Phạm Huy Điển Nguyễn Minh Tuấn, On the potential research directions related to Shapiro’s cycle inequality Nguyễn Văn Ngọc, Some problems of algebra and geometry with solutions Đàm Văn Nhỉ, Lê Bá Thắng, Phạm Minh Phương Some new identities on the conic sections Bạch Đăng Khoa, Dạy học mơn Tốn tiếng Anh trường THPT Chuyên Bắc Giang 18h00-21h00 Ăn tối giao lưu văn nghệ Ngày 16.03.2014 08h00-09h30 Các báo cáo khoa học phiên chuyên đề (tại Hội trường Trung Tâm Hội Nghị Bắc Giang) Điều khiển: PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, PGS.TS Nguyễn Thủy Thanh Nguyễn Văn Tiến, Các khai thác từ toán Nguyễn Bá Đang, Làm quen với hình học tổ hợp Nguyễn Anh Tuấn, Bất đẳng thức Hình học phẳng√ Nguyễn Xn Nghĩa, Chứng minh tính vơ tỉ π, e cơng cụ giải tích phổ thơng Ngô Minh Hưng, Hàm số bậc ứng dụng 10 Lại Thu Hằng, Tìm lời giải toán chứng minh bất đẳng thức 09h30-09h45 Nghỉ giải lao 09h45-11h15 Các báo cáo khoa học phiên chuyên đề Điều khiển: PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo, PGS.TS Nguyễn Hữu Điển 11 Tạ Duy Phượng, Phùng Thị Kim Dung, Giới thiệu thi tranh tài toán học quốc tế IMC 12 Vũ Thị Vân, Two methods for sovling to functional equations with one variable 13 Trần Đức Chiển, Dạy học chủ đề giải tích trường THPT theo quan điểm dạy học tích hợp 14 Hà Phương, Some common isuses in combinatoric 15 Hồng Minh Qn, Phương trình bậc bốn hệ thức lượng giác liên quan 16 Nguyễn Văn Thảo, Định lí thặng dư Trung hoa ứng dụng 17 Cao Trần Tứ Hải, Ứng dụng góc định hướng hai đường thẳng 11h15-11h30 Tổng kết hội thảo GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, ThS Nguyễn Đức Hiền 11h30-13h30 Ăn trưa 14h00-17h00 Thăm quan thực địa Hội thảo khoa học -viii- Bắc Giang, tháng năm 2014 Nguyen Van Ngoc, Thang Long University, Hanoi Problems with solutions SOME PROBLEMS OF ALGEBRA AND GEOMETRY WITH SOLUTIONS Nguyen Van Ngoc, Thang Long University, Hanoi Nghiem Xuan Yem Road, Hanoi, Vietnam Email: nvngoc@math.ac.vn; nvngoc@math.vast.vn I n this work we present some solved problems on applications of AM-AG and Cauchy-Schwarz Inequalities, Lagrange’s Mean Value Theorem and of complex numbers to geometry Contents 1.1 Applications of AM-AG and Cauchy-Schwarz Inequalities 1.2 Applications of AM-AG and Cauchy-Schwarz Inequalities 1.3 Applications of the Lagrange’s mean value theorem 1.1 Applications of AM-AG and Cauchy-Schwarz Inequalities Problem 1.1 For a, b, c, d > 0, if abc = 1, then show that √ √ b+c c+a a+b √ √ + √ + √ ≥ a + b + c + a c b Solution By the AM-AG inequality and the fact abc = 1, we get √ √ √ b+c c+a a+b bc ca ab √ + √ + √ ≥ 2( + + ) a c a b c b √ √ √ √ √ √ ca ab ab bc bc ca =( + )+( + )+( + ) b c c a a b √ √ √ √ √ √ √ √ √ √ ≥ 2( a + b + c) ≥ a + b + c + abc = a + b + c + Problem 1.2 If t a, b, c, d > and then show that Solution Let x1 = Mathematics Seminar √ a3 /c, (a2 + b2 )3 = c2 + d2 a3 b3 + ≥ c d x2 = √ b3 /d, Page y1 = √ ac, y2 = √ bd Bac Giang, March 2014 Hoàng Minh Quân, THPT Ngọc Tảo, Hà Nội Phương trình bậc bốn Tính chất 7.17 T17 = (x1 − x2 ) + (x2 − x3 ) + (x3 − x4 ) + (x4 − x1 ) + (x1 − x3 ) + (x2 − x4 ) = 3a2 − 8b 2 2 2 Chứng minh T17 = (x1 − x2 ) + (x2 − x3 ) + (x3 − x4 ) + (x4 − x1 ) + (x1 − x3 ) + (x2 − x4 ) 2 2 2 = (x21 + x22 + x23 + x24 ) − (x1 x2 + x2 x3 + x3 x4 + x4 x1 + x1 x3 + x2 x4 ) 7.1.2 = 3T6 − 2T2 = (a2 − 2b) − 2b = 3a2 − 8b Một số nhận xét nghiệm phương trình bậc bốn Cho phương trình bậc bốn x4 + ax3 + bx2 + cx + d = có bốn nghiệm x1 , x2 , x3 , x4 Khi có số nhận xét sau Nhận xét 7.1 Nếu x1 , x2 , x3 , x4 bốn nghiệm phương trình (7.155) bốn nghiệm phương trình Chứng minh Thay x = 1 1 , , , x1 x2 x3 x4 c b a t4 + t3 + t2 + t + = d d d d (7.159) vào phương trình (7.155) ta điều phải Chứng minh t Nhận xét 7.2 Nếu x1 , x2 , x3 , x4 bốn nghiệm phương trình (7.155) x21 , x22 , x23 , x24 bốn nghiệm phương trình t4 − (a2 − 2b) t3 + (b2 − 2ac + 2d) t2 − (c2 − 2bd) t + d2 = (7.160) Chứng minh Từ tính chất 7.4, 7.6, 7.10 7.11 ta điều phải chứng minh Nhận xét 7.3 Nếu x1 , x2 , x3 , x4 bốn nghiệm phương trình (7.155) x1 x2 x3 , x2 x3 x4 , x3 x4 x1 , x4 x1 x2 bốn nghiệm phương trình t4 + ct3 + bdt2 + ad2 t + d3 = (7.161) Chứng minh Đặt t1 = x1 x2 x3 , t2 = x2 x3 x4 , t3 = x3 x4 x1 , t4 = x4 x1 x2 Chúng ta có 1) t1 + t2 + t3 + t4 = x1 x2 x3 + x2 x3 x4 + x3 x4 x1 + x4 x1 x2 = −c; 2) t1 t2 + t1 t3 + t1 t4 + t2 t3 + t2 t4 + t3 t4 = x1 x2 x3 x4 (x1 x2 + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3 x4 ) = T4 T2 = bd; 3) t1 t2 t3 + t1 t2 t4 + t1 t3 t4 + t2 t3 t4 = x21 x22 x23 x24 (x1 + x2 + x3 + x4 ) = T42 T1 = −ad2 ; 4)t1 t2 t3 t4 = x31 x32 x33 x34 = d3 Theo định lí Viete nghiệm phương trình bậc bốn, có điều phải chứng minh Hội thảo khoa học Trang 211 Bắc Giang, tháng năm 2014 Hoàng Minh Quân, THPT Ngọc Tảo, Hà Nội 7.2 Phương trình bậc bốn Phương trình bậc bốn hệ thức lượng giác 2π 3π 4π π nghiệm phương trình Bài tốn 7.5 tan , tan , tan , tan 9 9 t4 − 36t3 + 126t2 − 84t + = (7.162) Chứng minh Xét phương trình z − = ⇒ z = (cos + i sin 0) suy z = cos suy 2pπ 2pπ + i sin ; p = 0, 1, 2, , 9 z = 1; z = cos Do 2pπ 2pπ ± i sin ; p = 1, 2, 3, 9 z − = (z − 1) ∏ (z − 2z cos p=1 Đặt z = suy 1+w , ta có 1−w 2pπ + 1) 1+w 1+w 2pπ 1+w 1+w ) −1=( − 1) ∏ [( ) − 2( ) cos + 1] ( 1−w 1−w 1−w 1−w p=1 (1 + w) − (1 − w) = 25 w ∏ [(1 + w ) − (1 − w) cos 9 p=1 = 25 w ∏ [(1 − cos p=1 Do 2pπ 2pπ ) + w (1 + cos )] 9 (1 + w) − (1 − w) = 29 w ∏ (sin2 9 2pπ ] p=1 pπ pπ + w cos2 ) 9 Thực khai triển rút gọn biểu thức (1 + w) − (1 − w) , ta thu 9 (1 + w) − (1 − w) = (9w + 84w + 126w + 36w + w ) (7.163) (7.164) Thế (7.164) vào (7.163), sau chia hai vế cho 2w, ta thu + 84w + 126w + 36w + w = 28 ∏ (sin2 p=1 Hội thảo khoa học Trang 212 pπ pπ + w cos2 ) 9 Bắc Giang, tháng năm 2014 Hoàng Minh Quân, THPT Ngọc Tảo, Hà Nội Phương trình bậc bốn = 28 ∏ cos2 p=1 pπ pπ (w + tan ) 9 π 2π 3π 4π Đặt w = −t, ta tan , tan , tan , tan nghiệm phương trình 9 9 t4 − 36t3 + 126t2 − 84t + = (7.165) 28 t + 14t2 − 4t + = (7.166) π 2π 3π 4π Bài toán 7.6 cot , cot , cot , cot nghiệm phương trình 9 9 t4 − Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.1) cho phương trình (7.162), điều phải chứng minh π 2π 3π 4π Bài toán 7.7 tan , tan , tan , tan nghiệm phương trình 9 9 t4 − 1044t3 + 9846t2 − 4788t + 81 = (7.167) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.2) cho phương trình (7.162), điều phải chứng minh Bài toán 7.8 1 1 , , , nghiệm phương trình π 2π 3π cos2 cos2 cos2 cos2 4π Chứng minh t4 − 40t3 + 240t2 − 448t + 256 = (7.168) 1 = 1+tan α ⇒ tan α = −1 nên phương trình (7.162) cos α cos2 α thay t t − 1, điều phải chứng minh Sử dụng cơng thức π 2π 3π 4π Bài tốn 7.9 cos2 , cos2 , cos2 , cos2 nghiệm phương trình 9 9 15 t4 − t3 + t2 − t + = 16 32 256 (7.169) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.1) cho phương trình (7.168), điều phải chứng minh 3π 4π Bài toán 7.10 sin2 π9 , sin2 2π , sin , sin nghiệm phương trình Hội thảo khoa học 27 15 = t4 − t3 + t2 − t + 16 32 256 Trang 213 (7.170) Bắc Giang, tháng năm 2014 Hoàng Minh Quân, THPT Ngọc Tảo, Hà Nội Phương trình bậc bốn Chứng minh Sử dụng cơng thức sin2 α = − cos2 α nên phương trình 7.169 thay t − t, điều phải chứng minh Bài toán 7.11 1 1 nghiệm phương trình π, 2π , 3π , sin sin sin sin2 4π t4 − 256 40 t + 48t2 − 64t + = (7.171) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.1) cho phương trình (7.169), điều phải chứng minh 3π 5π 7π π nghiệm phương trình Bài tốn 7.12 cos , cos , cos , cos 9 9 1 = t4 − t3 − t2 + t + 4 16 (7.172) Chứng minh Xét phương trình z + = ⇒ z = (cos π + i sin π) Suy (2k + 1) π (2k + 1) π ⇒ z = cos + i sin ; k = 0, 1, 2, , 9 suy mπ mπ z = −1; z = cos + i sin ; m = 1, 3, 5, 9 Vậy ta có phân tích π 3π + 1) (z − 2z cos + 1) 9 5π 7π × (z − 2z cos + 1) (z − 2z cos + 1) 9 z + = (z + 1) (z − 2z cos Chia hai vế phân tích cho z + 1, ta z8 − z7 + z6 − z5 + z4 − z3 + z2 − z + 3π π + 1) = (z − 2z cos + 1) (z − 2z cos 9 7π 5π + 1) (z − 2z cos + 1) × (z − 2z cos 9 Chia vế trái cho z chia nhân tử vế cho z ta Hội thảo khoa học (z + z −4 ) − (z + z −3 ) + (z + z −2 ) − (z + z −1 ) + 3π π = (z + z −1 − cos ) (z + z −1 − cos ) 9 Trang 214 Bắc Giang, tháng năm 2014 Hồng Minh Qn, THPT Ngọc Tảo, Hà Nội × (z + z −1 − cos Phương trình bậc bốn 5π 7π ) (z + z −1 − cos ) 9 Đặt z + z −1 = 2t, T = [16t4 − (4t2 − 2) − 6] − (8t3 − 6t) + (4t2 − 2) − 2t + có π 3π 5π 7π T = 24 (t − cos ) (t − cos ) (t − cos ) (t − cos ) 9 9 π 3π 5π 7π Vậy cos , cos , cos , cos nghiệm phương trình 9 9 16t4 − 16t2 + − 8t3 + 6t + 4t2 − 2t − = tương đương 16t4 − 8t3 − 12t2 + 4t + = tương đương 1 t4 − t3 − t2 + t + = 4 16 Vậy ta có điều phải chứng minh Bài toán 7.13 1 1 nghiệm phương trình π, 3π , 5π , cos cos cos cos 7π t4 + 4t3 − 12t2 − 8t + 16 = (7.173) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.1) vào phương trình (7.172), điều phải chứng minh π 3π 5π 7π Bài toán 7.14 cos2 , cos2 , cos2 , cos2 nghiệm phương trình 9 9 15 t4 − t3 + t2 − t + = 16 12 256 (7.174) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.2) vào phương trình (7.172), điều phải chứng minh π 3π 5π 3π 5π 7π 5π 7π π Bài toán 7.15 cos cos cos , cos cos cos , cos cos cos , 9 9 9 9 7π π 3π cos cos cos nghiệm phương trình 9 1 t4 + t3 − t2 − t+ = 64 512 256 (7.175) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.3) vào phương trình (7.172), điều phải chứng minh Hội thảo khoa học Trang 215 Bắc Giang, tháng năm 2014 Hoàng Minh Quân, THPT Ngọc Tảo, Hà Nội Bài toán 7.16 Phương trình bậc bốn 1 1 nghiệm phương trình π, 3π , 5π , 2 cos cos cos cos2 7π t4 − 40t3 + 240t2 − 448t + 256 = (7.176) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.2) vào phương trình (7.173), điều phải chứng minh Bài toán 7.17 cos 7π 1 , , , 3π 5π 5π 7π π 3π 5π cos cos cos cos cos cos cos cos 7π cos π nghiệm phương trình cos π9 cos 3π t4 − t3 − 12t2 + 64t + 256 = (7.177) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.3) vào phương trình (7.173) nhận xét (7.1) vào phương trình (7.175), điều phải chứng minh π 3π 5π 7π Bài toán 7.18 cos4 , cos4 , cos4 , cos4 nghiệm phương trình 9 9 t4 − 19 87 35 t + t − + 16 256 2048t 65536 (7.178) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.2) vào phương trình (7.174) , điều phải chứng minh π 3π 5π 7π Bài toán 7.19 sin2 , sin2 , sin2 , sin2 nghiệm phương trình 9 9 27 15 t4 − t3 + t2 − t + = (7.179) 16 32 256 π π Chứng minh Ta có cos2 = − sin2 nên phương trình 7.174 thay t − t, 9 điều phải chứng minh Bài toán 7.20 1 1 nghiệm phương trình π, 3π , 5π , sin sin sin sin2 7π t4 − 40 256 t + 48t2 − 64t + = (7.180) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.1) vào phương trình (7.179) , điều phải chứng minh π 3π 5π 7π Bài toán 7.21 sin4 , sin4 , sin4 , sin4 nghiệm phương trình 9 9 Hội thảo khoa học t4 − 65536 27 207 103 t + t + t+ = 16 256 2048 81 Trang 216 (7.181) Bắc Giang, tháng năm 2014 Hoàng Minh Quân, THPT Ngọc Tảo, Hà Nội Phương trình bậc bốn Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.2) vào phương trình (7.179) , điều phải chứng minh Bài toán 7.22 cos2 π 3π 5π 7π , cos2 , cos2 , cos2 nghiệm phương trình 18 18 18 18 27 15 t4 − t3 + t2 − t + = 16 32 256 (7.182) π 2π π = cos = cos2 − nên thay t 2t − vào phương 18 18 trình (7.172), điều phải chứng minh Chứng minh Ta có cos Bài toán 7.23 1 1 , , , nghiệm phương trình π 3π 5π cos2 18 cos2 18 cos2 18 cos2 7π 18 t4 − 40 256 t + 48t2 − 64t + = (7.183) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.1) vào phương trình (7.182) , điều phải chứng minh Bài toán 7.24 cos4 π 3π 5π 7π , cos4 , cos4 , cos4 nghiệm phương trình 18 18 18 18 t4 − 27 207 103 65536 t + t + t+ = 16 256 2048 81 (7.184) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.2) vào phương trình (7.182) , điều phải chứng minh π 3π 5π 7π Bài toán 7.25 tan , tan , tan , tan nghiệm phương trình 9 9 t4 − 36t3 + 126t2 − 84t + = (7.185) 2π nên thay t t + phương trình (7.183), π = + tan cos 9 điều phải chứng minh Chứng minh Ta có π 3π 5π 7π Bài toán 7.26 cot , cot , cot , cot nghiệm phương trình 9 9 t4 − 28 t + 14t2 − 4t + = (7.186) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.1) vào phương trình (7.185) , điều phải chứng minh Hội thảo khoa học Trang 217 Bắc Giang, tháng năm 2014 Hoàng Minh Quân, THPT Ngọc Tảo, Hà Nội Phương trình bậc bốn π 5π 7π , tan 3π Bài toán 7.27 tan 18 18 , tan 18 , tan 18 nghiệm phương trình t4 − 28 t + 14t2 − 4t + = (7.187) π nên phương trình (7.183) thay t π = + tan cos 18 18 t + 1, có điều phải chứng minh Chứng minh Ta có π 5π 7π Bài tốn 7.28 cot 18 , cot 3π 18 , cot 18 , cot 18 nghiệm phương trình t4 − 36t3 + 126t2 − 84t + = (7.188) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.1) vào phương trình (7.187) , điều phải chứng minh Bài toán 7.29 tan 5π 9π 13π π , tan , tan , tan nghiệm phương trình 16 16 16 16 t4 + 4t3 − 6t2 − 4t + = (7.189) √ π 2tan x tan = 1, ta có tan π8 = − Lại Chứng minh Từ công thức tan 2x = − tan x √ √ √ 2tan x π − + + 2 , có tan áp dụng công thức tan 2x = = − 16 − tan x√ √ √ Dễ kiểm tra t = − − + + 2 nghiệm phương trình Tương tự tan t4 + 4t3 − 6t2 − 4t + = 5π 9π 13π , tan , tan nghiệm phương trình 16 16 16 Bài toán 7.30 cot t4 + 4t3 − 6t2 − 4t + = π 5π 9π 13π , cot , cot , cot nghiệm phương trình 16 16 16 16 t4 − 4t3 − 6t2 + 4t + = (7.190) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.1) vào phương trình (7.189) , điều phải chứng minh Bài toán 7.31 tan 5π 9π 13π π , tan , tan , tan nghiệm phương trình 16 16 16 16 t4 − 28t3 + 70t2 − 28t + = (7.191) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.2) vào phương trình (7.189) , điều phải chứng minh Hội thảo khoa học Trang 218 Bắc Giang, tháng năm 2014 Hoàng Minh Quân, THPT Ngọc Tảo, Hà Nội Phương trình bậc bốn π 9π 5π 9π 13π 9π 13π π Bài toán 7.32 tan 16 tan 5π 16 tan 16 , tan 16 tan 16 tan 16 , tan 16 tan 16 tan 16 , π 5π tan 13π 16 tan 16 tan 16 nghiệm phương trình t4 − 4t3 − 6t2 + 4t + = (7.192) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.3) vào phương trình (7.189), điều phải chứng minh Bài toán 7.33 cot π 5π 9π 13π , cot , cot , cot nghiệm phương trình 16 16 16 16 t4 − 28t3 + 70t2 − 28t + = (7.193) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.2) vào phương trình (7.190), nhận xét (7.1) vào phương trình 7.191, điều phải chứng minh π 9π 13π Bài toán 7.34 tan 16 , tan 5π 16 , tan 16 , tan 16 nghiệm phương trình t4 − 644t3 + 3334t2 − 644t + = (7.194) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.2) vào phương trình (7.191) , điều phải chứng minh Bài toán 7.35 1 1 nghiệm phương trình π , 5π , 9π , 2 2 cos 16 cos 16 cos 16 cos 13π 16 t4 − 32t3 + 160t2 − 256t + 128 = (7.195) π = π − nên phương trình (7.191) thay t 16 cos2 16 t − 1, điều phải chứng minh Chứng minh Ta có tan2 Bài tốn 7.36 cos2 π 5π 9π 13π , cos2 , cos2 , cos2 nghiệm phương trình 16 16 16 16 1 t4 − 2t3 + t2 − t + = 4 128 (7.196) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.1) vào phương trình (7.195) , điều phải chứng minh Bài toán 7.37 cos4 π 5π 9π 13π , cos4 , cos4 , cos4 nghiệm phương trình 16 16 16 16 37 11 t4 − t3 + t2 − t+ = 64 256 16384 (7.197) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.2) vào phương trình (7.196), điều phải chứng minh Hội thảo khoa học Trang 219 Bắc Giang, tháng năm 2014 Hồng Minh Qn, THPT Ngọc Tảo, Hà Nội Bài tốn 7.38 sin2 Phương trình bậc bốn 5π 9π 13π π , sin2 , sin2 , sin2 nghiệm phương trình 16 16 16 16 1 = t4 − 2t3 + t2 − t + 4 128 (7.198) π π = − sin2 nên phương trình (7.196 thay t 16 16 − t, điều phải chứng minh Chứng minh Ta có cos2 Bài tốn 7.39 1 1 π , 5π , 9π , 13π nghiệm phương trình sin 16 sin 16 sin 16 sin 16 t4 − 32t3 + 160t2 − 256t + 128 = (7.199) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.1) vào phương trình (7.198) , điều phải chứng minh Bài toán 7.40 sin4 5π 9π 13π π , sin4 , sin4 , sin4 nghiệm phương trình 16 16 16 16 37 11 t+ = t4 − t3 + t2 − 64 256 16384 (7.200) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.2) vào phương trình (7.198) , điều phải chứng minh π 5π 9π 13π Bài toán 7.41 cos , cos , cos , cos nghiệm phương trình 8 8 t4 − t2 + = (7.201) + cos 2π + cos π8 π 16 = = nên Chứng minh Sử dụng công thức hạ bậc, ta có cos2 16 2 1+t , điều phải chứng minh phương trình 7.196 thay t Bài toán 7.42 1 1 nghiệm phương trình π, 5π , 9π , cos cos cos cos 13π t4 − 8t2 + = (7.202) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.1) vào phương trình (7.201) , điều phải chứng minh 5π 9π 13π π nghiệm phương trình Bài tốn 7.43 cos2 , cos2 , cos2 , cos2 8 8 Hội thảo khoa học t4 − 2t3 + t2 − t + = 4 64 Trang 220 (7.203) Bắc Giang, tháng năm 2014 Hoàng Minh Quân, THPT Ngọc Tảo, Hà Nội Phương trình bậc bốn Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.2) vào phương trình (7.202), điều phải chứng minh Bài toán 7.44 1 1 nghiệm phương trình π, 5π , 9π , 2 2 cos cos cos cos 13π t4 − 16t3 + 80t2 − 128t + 64 = (7.204) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.1) vào phương trình (7.203) , điều phải chứng minh π 5π 9π 13π Bài toán 7.45 sin2 , sin2 , sin2 , sin2 nghiệm phương trình 8 8 1 t4 − 2t3 + t2 − t + = 4 64 (7.205) π π = − sin2 nên phương trình (7.203) thay t − t, 8 điều phải chứng minh Chứng minh Ta có cos2 π 5π 9π 13π Bài toán 7.46 tan , tan , tan , tan nghiệm phương trình 8 8 t4 − 12t3 + 38t2 − 12t + = (7.206) π = + tan nên phương trình (7.204) thay t π cos2 t + 1, điều phải chứng minh Chứng minh Ta có π 5π 9π 13π Bài toán 7.47 cot , cot , cot , cot nghiệm phương trình 8 8 t4 − 12t3 + 38t2 − 12t + = (7.207) Chứng minh Sử dụng nhận xét (7.1) vào phương trình (7.206) , điều phải chứng minh 7.3 Các đẳng thức lượng giác số cung góc đặc biệt Đẳng thức 7.16 Sử dụng tính chất (7.1) vào phương trình (7.162), ta có tan Hội thảo khoa học π 2π 3π 4π + tan + tan + tan = 36 9 9 Trang 221 Bắc Giang, tháng năm 2014 Hoàng Minh Quân, THPT Ngọc Tảo, Hà Nội Phương trình bậc bốn Đẳng thức 7.17 Sử dụng tính chất (7.2) vào phương trình (7.162), ta có π 2π π 3π π 4π 2π 3π tan tan + tan tan + tan tan + tan tan 9 9 9 9 4π 3π 4π 2π + tan tan = 126 + tan tan 9 9 Đẳng thức 7.18 Sử dụng tính chất (7.3) vào phương trình (7.162), ta có 2π 3π π 2π 4π π 3π 4π π + tan tan tan + tan tan tan tan tan tan 9 9 9 9 2π 3π 4π + tan tan tan = 84 9 Đẳng thức 7.19 Sử dụng tính chất (7.4) vào phương trình (7.162), ta có 2π 3π 4π π =9 tan tan tan tan 9 9 Đẳng thức 7.20 Sử dụng tính chất (7.5) vào phương trình (7.162), ta có cot π 2π 3π 4π 84 + cot + cot + cot = 9 9 Đẳng thức 7.21 Sử dụng tính chất (7.6) vào phương trình (7.162), ta có tan π 2π 3π 4π + tan + tan + tan = 1044 9 9 Đẳng thức 7.22 Sử dụng tính chất (7.1) vào phương trình (7.169), ta có cos2 π 2π 3π 4π + cos2 + cos2 + cos2 = 9 9 Đẳng thức 7.23 Sử dụng tính chất (7.2) vào phương trình (7.169), ta có cos2 π 2π π 3π π 4π 2π 3π cos2 + cos2 cos2 + cos2 cos2 + cos2 cos2 9 9 9 9 4π 3π 4π 15 2π cos2 + cos2 cos2 = + cos2 9 9 16 Đẳng thức 7.24 Sử dụng tính chất (7.3) vào phương trình (7.169), ta có cos2 π 2π 3π π 2π 4π π 3π 4π cos2 cos2 + cos2 cos2 cos2 + cos2 cos2 cos2 9 9 9 9 2π 3π 4π + cos2 cos2 cos2 = 9 32 Đẳng thức 7.25 Sử dụng tính chất (7.4) vào phương trình (7.169), ta có cos2 Hội thảo khoa học 2π 3π 4π π cos2 cos2 cos2 = 9 9 256 Trang 222 Bắc Giang, tháng năm 2014 Hoàng Minh Quân, THPT Ngọc Tảo, Hà Nội Phương trình bậc bốn Đẳng thức 7.26 Sử dụng tính chất (7.5) vào phương trình (7.169), ta có 1 1 = 40 π + 2π + 3π + 2 cos cos cos cos2 4π Đẳng thức 7.27 Sử dụng tính chất (7.6) vào phương trình (7.169), ta có cos4 π 2π 3π 4π 19 + cos4 + cos4 + cos4 = 9 9 16 Đẳng thức 7.28 Sử dụng tính chất (7.1) vào phương trình (7.170), ta có sin2 π 2π 3π 4π + sin2 + sin2 + sin2 = 9 9 Đẳng thức 7.29 Sử dụng tính chất (7.2) vào phương trình (7.170), ta có sin2 π 2π π 3π π 4π 2π 3π sin + sin2 sin2 + sin2 sin2 + sin2 sin 9 9 9 9 2π 4π 3π 4π 27 + sin2 sin2 + sin2 sin2 = 9 9 16 Đẳng thức 7.30 Sử dụng tính chất (7.3) vào phương trình (7.170), ta có sin2 π 2π 3π π 2π 4π π 3π 4π sin sin + sin2 sin2 sin + sin2 sin2 sin 9 9 9 9 2π 3π 4π 15 + sin2 sin2 sin2 = 9 32 Đẳng thức 7.31 Sử dụng tính chất (7.4) vào phương trình (7.170), ta có sin2 π 2π 3π 4π sin sin sin = 9 9 256 Đẳng thức 7.32 Sử dụng tính chất (7.5) vào phương trình (7.170), ta có 1 1 40 π + 2π + 3π + 4π = sin sin sin sin Đẳng thức 7.33 Sử dụng tính chất (7.6) vào phương trình (7.170), ta có sin4 π 2π 3π 4π 27 + sin4 + sin4 + sin4 = 9 9 16 Đẳng thức 7.34 Sử dụng tính chất (7.1) vào phương trình (7.172), ta có cos Hội thảo khoa học π 3π 5π 7π + cos + cos + cos = 9 9 Trang 223 Bắc Giang, tháng năm 2014 Hoàng Minh Quân, THPT Ngọc Tảo, Hà Nội Phương trình bậc bốn Đẳng thức 7.35 Sử dụng tính chất (7.2) vào phương trình (7.172), ta có 3π π 5π π 7π 3π 5π π + cos cos + cos cos + cos cos cos cos 9 9 9 9 7π 5π 7π 3π cos + cos cos =− + cos 9 9 Đẳng thức 7.36 Sử dụng tính chất (7.3) vào phương trình (7.172), ta có π 3π 5π π 3π 7π π 5π 7π cos cos cos + cos cos cos + cos cos cos 9 9 9 9 5π 7π 3π cos cos =− + cos 9 Đẳng thức 7.37 Sử dụng tính chất (7.4) vào phương trình (7.172), ta có π 3π 5π 7π cos cos cos cos = 9 9 16 Đẳng thức 7.38 Sử dụng tính chất (7.5) vào phương trình (7.172), ta có 1 1 = −4 π + 3π + 5π + cos cos cos cos 7π Đẳng thức 7.39 Sử dụng tính chất (7.6) vào phương trình (7.172), ta có π 3π 5π 7π cos2 + cos2 + cos2 + cos2 = 9 9 3π 5π 7π π Đặt A = cos + cos + cos + cos , ta có ba đẳng thức sau: Đẳng thức 7.40 Sử dụng tính chất (7.7) vào phương trình (7.172), ta có π 3π 5π 7π (A − cos ) (A − cos ) (A − cos ) (A − cos ) = 9 9 Đẳng thức 7.41 Sử dụng tính chất (7.8) vào phương trình (7.172), ta có π 3π 5π 7π (A − cos ) (A − cos ) (A − cos ) (A − cos ) = 9 9 16 Đẳng thức 7.42 Sử dụng tính chất (7.9) vào phương trình (7.172), ta có A − cos π9 A − cos 3π A − cos 5π A − cos 7π 9 + + + = −6 5π 7π cos π9 cos 3π cos cos 9 Đẳng thức 7.43 Sử dụng tính chất (7.10) vào phương trình (7.172), ta có 3π π 5π π 7π 3π 5π π + cos2 cos2 + cos2 cos2 + cos2 cos2 cos2 cos2 9 9 9 9 15 7π 5π 7π 3π cos + cos cos = + cos 9 9 16 Với ý tưởng tương tự, cách sử dụng tính chất nghiệm phương trình bậc bốn vào phương trình bậc bốn với nghiệm giá trị lượng giác lại , bạn đọc xây dựng nhiều đẳng thức lượng giác khác Hội thảo khoa học Trang 224 Bắc Giang, tháng năm 2014 Hoàng Minh Quân, THPT Ngọc Tảo, Hà Nội 7.4 Phương trình bậc bốn Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, Phương pháp giải phương trình bất phương trình,NXB Giáo dục,1993 [2] Đàm Văn Nhỉ, Xây dựng số kết đẳng thức bất đẳng thức tam giác, Hội thảo toán học, Quảng Ninh 2012 [3] Tạ Duy Phượng, Phương trình bậc ba hệ thức hình học tam giác, THTT số 337/2005 [4] Hoàng Minh Quân, Xây dựng số dạng đẳng thức bất đẳng thức tam giác,Hội thảo tốn học, Tun Quang, 2012 [5] Hồng Minh Quân, Phương trình bậc bốn hệ thức hình học tứ giác hai tâm,Hội thảo tốn học, Nam Định, 2013 [6] Dragoslav S Mitrinovic, J Pecaric, V Volenec, Recent Advances in Geometric Inequalities, 1989 [7] Titu Andreescu, Dorin Andrica, Complex Numbers from A to Z, 2006 [8] Tạp chí tốn học American mathematical monthly [9] Tạp chí toán học tuổi trẻ [10] Một số tài liệu từ internet Hội thảo khoa học Trang 225 Bắc Giang, tháng năm 2014 ... 14 Bac Giang, March 2014 Nguyen Minh Tuan, College of Education VNU Shapiro’s cycle inequality Definition 2.1 Suppose M is a subset in an Euclidean space X We say that the convex hull of M , denoted... -vi- Bắc Giang, tháng năm 2014 Ban tổ chức hội thảo Chương trình hội thảo Các báo cáo khoa học MỘT SỐ CHUYÊN ĐỀ TOÁN THPT CHUYÊN CHỌN LỌC NĂM 2014 Thành phố Bắc Giang vào ngày 15-16/03/ 2014 Hòa... tỉnh Bắc Giang long trọng tổ chức, ngày 15-16 tháng năm 2014 thành phố Bắc Giang Hội thảo khoa học Toán học Hội Toán học Hà Nội, Sở Giáo dục Đào tạo Bắc Giang Trường THPT chuyên Bắc Giang tổ