Bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8 phần đại số

Giáo án BDHSG Toán Phần: Đại số Ngày.thángnăm 201 - Tiết Đ1 Hằng đẳng thức A Mục đích: HS nắm đợc đẳng thức nắm thêm số đẳng thức bậc n, nhị thức Niu Tơn Rèn luyện kỹ vận dụng linh hoạt đẳng thức vào tập, tập nâng cao B Nội dung: I Các đẳng thức (A + B)2 = A2 + 2AB + B2  A2 + B2 = (A + B)2 - 2AB (A - B)2 = A2 - 2AB + B2  A2 + B2 = (A - B)2 + 2AB A2 - B2 = (A – B)(A + B) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3  A3 + B3 = (A + B)3 - 3AB (A + B) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 - B3  A3 - B3 = (A - B)3 + 3AB (A - B) A3 + B3 = (A + B)( A2- AB + B2) A3 - B3 = (A - B)( A2 + AB + B2) (A + B + C)2 = A2 + B2 + C2 + 2AB + 2AC + 2AC (A - B - C)2 = A2 + B2 + C2 - 2AB - 2AC + 2AC (m lỴ) Am + Bm = (A + B)(Am - 1- Am - 2B + Am - 3B2- - ABm –-2 + Bm –-1) 10 An - Bn = (A - B)(An - 1+ An - 2B + An - 3B2 + … + ABn - + Bn - 1) 11 (A + B)n = C n0 An + C n1 An - 1B + C n2 An 2B2 + … + C nn ABn - + C nn Bn (Nhị thức Niu Tơn) k *) Trong ®ã C n  n.! k !(n  k )! Quy íc: ! = ; k! = 1.2.3k Hay dùng bảng tam giác Pat x Can n=0 n=1 1 n=2 n=3 3 n=4 n=5 10 10 …………………………… C n0 C n1 C n2 ……… C nn Gi¸o viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy Giáo án BDHSG Toán II Vận dụng đẳng thức vào tập A.So sánh: A B 1/ A = 1989 1991 ; B = 19902 b×nh ph¬ng 2/ A = 216 ; B = (2+1)(22+1)(24+1) 3/ A = 332 ; B = (3+1)(32+1)(34+1)(38+1) so sánh x y 4/ A = x  y x2  y2 ; B= x  y2 (x >y > 0) Hd -v/d: h®t hiƯu hai - (1 = 2-1) - tính 2B suy B - nhân tử vµ mÉu víi x+y B Rót gän: 1/ A = (3x+1)2-2(3x+5)(3x+1)+(3x+1)2 - v/d: h®t (A-B)2 2/ B = (a-b+c)2- (b-c)2- 2ab – 2ac - B®: a-b+c = a(b-c) 3/ C = (2a2+2a+1)( 2a2-2a+1) - (2a2+1)2 - v/d: hđt A2-B2 (A+B)2 C Tính giá trị biểu thức: 1/ A = x3 + 3x2 + 3x + víi x = 19 - Bđ: dạng (A + B) 2/ B = x3 - víi x = 11 (A B) 3/ C = x2 + 0,2x + 0,01 víi x = 0,9 (A + B) 4/ D = x2+2xy+y2- 4x – 4y + víi x+y = - B® vỊ l thõa (x+y) 5/ E = x3 - 30x2 - 31x+ víi x = 31 - Thay 31 = x 2 6/ F = (2a-2b-c) + (2b+2c-a) +(2c+2a-b) Cho a2 + b2 + c2= m Tính F theo m Hd: đặt a+b+c = x ta cã F = (2x-3c)2+ (2x-3a)2+(2x-3b)2 = 4x2 - 12xc+9c2 + 4x2 -12xa +9a2 +4x2 -12xb+9b2 = 12x2 - 12x(a+b+c) + 9(a2 + b2 + c2) = 12x2- 12x2 + 9(a2 + b2 + c2) = 9m D/ Chøng minh: 1/ NÕu (a2 + b2)( x2 + y2) = (ax+by)2 víi x,y 0 ay-bx= a b - x  y  ay = bx  Gi¸o viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy Giáo ¸n BDHSG To¸n a b Th× x  y vËy b® ®Ĩ xÐt hiƯu 2/ NÕu (a2 + b2 + c2)( x2+ y2+ z2) = (ax+by+cz)2 a b - Tơng tự a c Thì x y z víi x,y ,z 0 3/ Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc +ac TÝnh hiÖu c/mr: a = b = c c) = 4/ Cho (a+b+c)2 = 3(a2 + b2 + c2) c/mr: a = b = c - v/d: h®t (a+b+c) suy (a-b) 2+ (b- Tơng tự D.Tính giá trị biểu thức biết giá trị biểu thức khác: 1/ Cho x + y = ; x.y = 10 - V/d h®t : (A + B) TÝnh: a/ x2 + y2 ; b/ x3 + y3 - A3+B3 = (A + B)33AB(A+B) c/ x4 + y4 ; d/ x5 + y5 - câu d v/d k.quả a, b, c 2/ a Cho: x + y = TÝnh : x3 + y3- 3xy - V/d h®t suy tÝnh xy b Cho: x - y = - suy tÝnh gtrÞ biĨu thøc TÝnh : x3 - y3- 3xy 3/ Tæng sè a, b, c tổng bình phơng chúng 53 TÝnh : ab + bc + ac - V/d h®t : (A + B + C) 5/ Cho a + b + c = (1) 2 a +b +c =2 (2) 4 TÝnh : a + b + c Hd: (1)  (a+ b + c)2 =  a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + ac) =  + 2(ab + ac + ac) = ( theo 2)  2(ab + ac + ac) = -  (ab + ac + ac) = -  (ab + ac + ac)2 =  a2b2 + a2c2 + b2c2 + 2abc(a + b + c) =  a2b2 + a2c2 + b2c2 + 2abc = (theo 1)  a2b2 + a2c2 + b2c2 = (3) 2 2 (2)  (a + b + c ) = Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy Giáo án BDHSG To¸n  a4 + b4 + c4 + 2(a2b2 + a2c2 + b2c2) =  a4 + b + c + = (theo 3) 4  a +b +c =2 III Bµi tËp lun tËp: - Bt 29  31; 46 49 (sncpt8) Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy Giáo án BDHSG Toán Ngày tháng năm 201 - Tiết:9 16 Đ2 phân tích đa thức thành nhân tử A Mục đích: Hs nắm phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử Rèn kỹ vận dụng phối hợp linh hoạt phơng pháp vào tập tập nâng cao B Nội dung: I Các phơng pháp: 1/ Phơng pháp đặt nhân tử Vd: a/ 4x2- 6x = 2x(2x -3) b/ x - y + (x - y)2 = (x - y)(1 + x - y) c/ 2x(x-y) + (y-x) = 2x(x-y) - (x-y) = (x-y)(2x-1) 2/ Ph¬ng pháp dùng đẳng thức: Vd: a/ x3- 64 = x3- 23 = (x-2)(x2+2x+4) b/ 27 + 27x2+ 9x + x3 = (x + 3)3 c/ 10x - x2- 25 = - (x2- 10x + 25) = - (x-5)2 3/ Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử: Vd: a/ x3- 2x2+ 2x - = (x3- 2x2) + ( 2x - ) = x2(x-2) + 2(x-2) = (x-2)(x2+2) 4/ Phèi hợp nhiều phơng pháp: Vd: a/ 2xy - x2 - y2 + 64 = 64 - (x2 - 2xy + y2) = 82 - (x- y)2 = (8 + x - y)(8 - x + y) 2 2 b/ 3x y + 3x y +3xy +3y = 3y2(x3 + x2 + x +1) = 3y2[(x3 + x2 )+ (x +1)] = 3y2[x2(x + )+ (x +1)] = 3y2(x + 1)(x2+1) 5/ Phơng pháp tách hạng tử thành nhiều hạng tử: Vd: a/ x2 + 6x + = x2+ x + 5x + = x (x+1) + 5(x+1) = (x+1)(x+5) b/ x - 7x + = x4 + 2x2 + - 9x2 = (x2+1)2 - (3x)2 = (x2+1 + 3x)( x2+1 - 3x) 6/ Phơng pháp thêm bớt mét h¹ng tư: Vd: a/ x4 + = (x4 + + 4x2) - 4x2 = (x-2)2 - (2x)2 = (x-2+2x)(x-2- 2x) b/ a8 + a + = a8 - a2 + a2+ a + = a2(a6-1) + (a2+ a + 1) = a2(a3-1)(a3+1) + (a2+ a + ) = a2(a-1)(a2+a+1)(a3+1) + (a2+ a + ) = (a2+ a + )[a2(a-1)(a3+1) +1] Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy Giáo ¸n BDHSG To¸n = (a + a + )(a6- a5 + a3- a2 +1) Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy Giáo án BDHSG Toán Phơng pháp đặt ẩn phụ: Vd: x(x+4)(x+6)(x+10) + 128 = x(x+10)(x+4)(x+6) + 128 = (x2+10)(x2+10+24) + 128 Đặt x2+10+12 = y = (y-12)(y+12) + 128 = y2 – 144 + 128 = y2- 16 = (y+ 4)(y- 4) = (x2+10+16)( x2+10+8) = (x+2)(x+8) ( x2+10+8) Phơng pháp dùng hệ số bất định: Vd: x4- 6x3+12x2- 14x + Nxét: đa thức có hệ số bậc cao nên phân tích thành hai đa thức bậc phân tích thành x4- 6x3+12x2- 14x + = (x2 + ax + b)( x2 + cx + d) = x4+ (a+c)x3+(ac+b+d)x2+ (ad+b)x + bd Đồng thức hệ số hai vế ta đợc: a+c=-6 giải tìm đợc b = 3; d = 1; c = - 4; a = - ac+d+b = 12 ad+b = - 14 bd = VËy x4- 6x3+12x2- 14x + = (x2 - 2x + 3)( x2 - 4x + 1) Phơng pháp xét nghiệm: §a thøc: f(x) = an xn + an-1 xn – + + a1x + a0 NÕu tån t¹i a mà f(a) = f(x) = (x a) Q(x) - Lu ý: Nếu f(x) có nghiệm nguyên nghiệm là: a (a0) Vd: Cho đa thức: x2+ x – Víi x = th× x2+ x – = 12+ – = X = - th× x2+ x – = 22- – = VËy x2+ x – = (x – 1)(x + 2) II LuyÖn tËp: Phân tích đa thức thành nhân tử 1/ x4- x2 + Hd: p2 t¸ch -7x = 2x - 9x xt hiƯn h®t: hiƯu a2- b2 2/ 4x4- 12x2 + - T¸ch - 12x2 = 4x2 - 16x2 xuÊt hđt: hiệu a2- b2 3/ x4+ 4y4 - Thêm bớt 4x 2y2 xuất hđt: (a+ b)2 a2- b2 4/ x2- 6x – y2 – 4y + - Tách = - xuất hđt: (x- 3) 2(y+2)2 5/ (x2+ 3)2 + 16 - T¬ng tù (kÕt hỵp nhiỊu p2) 6/ x4+ 3x + 7/ (x+3)3- (x+1)3- 56 8/ (x2+ x)2+ 4(x2+ x) – 12 - p2 đặt ẩn phụ: x2+ x = y Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy Gi¸o ¸n BDHSG To¸n 9/ 4x + 1/2z = 1/2(8x + z ) = 1/2(2x+z)(4x2-2xz+z2) 10/ xm+3 - xm +x - III Bµi tËp lun tËp: - Bt 170  177 (sncptt8) 3 Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy Giáo án BDHSG Toán Ngày tháng .năm 201 - TiÕt:17  20 KiĨm tra A Mơc ®Ých: KiĨm tra kiến thức đẳng thức, phân tích đa thức thành nhân tử Rèn luyện kỹ làm tự lập t sáng tạo Rút kinh nghiệm B Nội dung: Phân tích đa thức thành nhân tử: a/ 4x3 + y c/ x 3- 6x2+ 16 b/ xm+4 + xm+3 - x - d/ x 3(x2- 7)2- 36x Tính giá trị biểu thøc: a/ A = x3 - 3x2 + 3x + t¹i = 21 b/ B = x3 - 30x2 - 31x+ víi x = 31 Cho x + y + z = Chøng minh x3+y3+z3 = 3zyz Các số sau bình phơng số nào:   a/ C = 90 025 n n   b/ D = 980 01 n n C Đáp án biểu điểm: (4 ®iĨm) a/ 4x3 + 1 y = (8x3 + y3) = (2x + y)(4x2- 2xy + y2) 2 b/ xm+4 + xm+3 - x -1 = xm+3 (x+1) - (x+1) = (x+1)(xm+3 - 1) c/ x3- 6x2+ 16 = x3- 6x2+ 12x - -12x + 24 = (x-2)3- 12(x-2) = (x-2) (x2+4x- 8) d/ x3(x2- 7)2- 36x = x[x2(x4-14x+49x2) - 36] = x(x6-14x4+49x2-36) = x[(x6-x4) - (13x4-13x2) + (36x2-36)] = x[x4(x2-1) - 13x2(x2-1) + 36(x2-1)] = x(x2-1)(x4-13x2+36) = x(x-1)(x+1)[x2(x2-9) -4(x2-9)] = x(x-1)(x+1)( x2-4) x2-9) = x(x-1)(x+1(x-2)(x+2)(x3)(x+3) (2®iĨm) a/Víi x = 21 tacã A = x3 - 3x2 + 3x + = (x-1)3+ = (21- 1)3+5 = 203+5 = 8005 b/ víi x = 31 ta cã B = x3 -30x2 - 31x+1 = x3-(x-1)x2 - x.x+ = x3 -x3 + x2 -x2+ = (2 ®iĨm) víi x + y + z = XÐt x3+y3+z3 - 3zyz = (x+y)3 + z3 - 3x2y - 3xy2 + -3xyz = (x+y+z)[(x+y)2-z(x+y)+z2] - 3xyz(x+y+z) = (x+y+z)(x2+y2+z2-xy-yz-xz) = 0.(x2+y2+z2-xy-yzxz) = Suy x3+y3+z3 = 3zyz  4.(2 ®iĨm) a/ §Ỉt = a  10n- = a 10n = a + n Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy Giáo ¸n BDHSG To¸n    C = 90 025 = 9.10n.100 + 25 = a (a+1) 100 + 25 n n n   = 100a2 + 100a + 25 = (10a + 5)2 = (10.9 + 5)2 = (9 95)2 n n    b/D = 980 01 = 9.10n.100 +8.10n.10 + 1= a (a+1) 100 + n n n 80(a+1)+1   = 100a2 + 180a + 81 = (10a+9)2= (10 9+9)2 = (9 9)2 n n Ngày.tháng.năm 201 - TiÕt:21  28 §3 TÝnh chia hÕt, chia cã d ®èi víi ®a thøc A Mơc ®Ých: HS nắm đợc phơng pháp c/m chia hết phếp chia ®a thøc cho mét sè, ®a thóc chia hÕt cho ®a thøc BiÕt t×m sè d phÐp chia RÌn luyện kỷ vận dụng linh hoạt vào tập, tập nâng cao B Nội dung: I Đ/n: Với hai ®a thøc tuú ý A(x), B(x) (B(x)  0) Tồn đa thức Q(x) R(x) cho A(x) = B(x).Q(x) + R(x) (BËc R(x) < bËc B(x) R = 0) II/ Định lý Bê Du: §a thøc: f(x) = an xn + an-1 xn – + + a1x + a0 f(x)  (x- a)  f(a) = (Tøc lµ a nghiƯm cđa f(x)) III Các phơng pháp: Chứng minh đa thức chia hÕt cho mét sè A  m  A = B.m (Béi sè m) hc A = B.m + C.m XÐt mäi trêng hỵp sè d chia A cho m Phân tích A thành m thừa số nguyên liên tiếp Đồng d, quy nạp, phản chứng Kết hợp phơng pháp *) Khi chứng minh tính chia hết luỹ thừa ta thờng sử đẳng thức: - (a2- b2)  (a- b) - (a+1) n = B.sè a + - (a3- b3)  (a- b) - (a-1) 2n = B.sè a + - (an- bn)  (a- b) - (a-1) 2n + = B.sè a - - (a3+ b3)  (a+ b) - (a+b)n = B.sè a + bn = an + B.số b - Với n lẻ (an+ bn) (a+ b) *) Các ví dụ: Vd1: C/m đa thức: x2+ x - chia hÕt cho x-1; x+2 Víi x = th× x2+ x - = 12+ - = 10 Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy Mà Giáo án BDHSG Toán Â1 = Â2 = 90 (gt) (2) Từ (1) (2) Â1 + Hay AE FH = 900  = 1800 - (¢1 + ) = 1800 - 900 = 900 Bt2: Cho  ABC có góc  = 1200, phân giác AD; BE ,CF Chứng minh DEFvuông Hd: Vận dụng phơng pháp C/m FD DE FD DF hai tia phân giác hai góc kề bù: góc BOA góc ADE E giao điểm tia phân giác hai tia phân giác ABD Bt3 Cho hình chữ nhật ABCD kẻ BH AC, N K trung ®iĨm cđa CH vµ AD C/m BN  KN Hd: Vận dụng phơng pháp 3: Kẻ NI AB cắt BH I I trực tâm ABH AI  BN (1) C/m AINK lµ hbh suy AI//NK (2) Tõ (1) vµ (2) suy BN  KN Bt4: Trên cạnh hình bình hành ta dựng phía hình vuông C/m tâm hình vuông đỉnh hình vuông Hd: Để c/m EFKH hình vuông phải c/m HE = EF = FK = KH vµ = 900 Muèn thÕ ta c/m c¸c  HAE =  EBF = FCK = KDH (c.g.c) Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy 38 Giáo án BDHSG Toán Và từ có = để suy *) BT: 19  35 ( sptt8) = 900 Gi¸o viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy 39 Giáo án BDHSG Toán Ngày tháng năm 201 - Tiết:5 Đ2 phơng pháp chứng minh hai đờng thẳng song song A Mục đích: Hs nắm đợc phơng pháp chứng minh hai đờng thẳng song song Rèn kỹ vận dụng linh hoạt vào tập B Nội dung: I Các phơng pháp: 1.Có cặp góc sole Có cặp góc đồng vị Cã cỈp gãc cïng phÝa bï Vận dụng T/c bắc cầu Vd: a//c b//c a//b a c b c a//b T/c đờng trung bình tam giác, hình thang T/c cạnh đối hbh, hcn, h.thoi, h vuông Tập hợp điểm cách đờng thẳng cho trớc nằm đờng thẳng song song với đờng thẳng Vận dụng định lý Ta Lét (đảo) Vd: AM AN MN ( )  MN//BC AB AC BC AM AN  MN//BC  MB NC BM CN  MN//BC  BA CA II Bài tập vận dụng: Bt1: Cho tứ giác ABCD, điểm E thuộc AD Qua E kẻ đờng thẳng song song với CD Cắt AC F Qua F kẻ đờng thẳng song song vơi BC cắt AB G Chứng minh EG//BD Vận dụng định lý Ta Lét: 40 Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy Giáo ¸n BDHSG To¸n  AE AF  ED  FC  EF // CD AE AG    EG//BD  ED GB  AG  AF  GF // BC  GB FC Bt2: Cho tam gi¸c ABC Điểm D thuộc cạnh AB, điểm E thuộc cạnh AC cho BD = CE Gäi I, K, M, N theo thứ tự trung điểm BE, CD, BC, DE a/ Tứ giác MINK hình gì? Vì sao? b/ Chứng minh MN//At với tia phân giác góc A Hd: a/ NI đờng trung bình tam giác DEB suy NI//DB NI = 1/2 DB KM đờng trung bình tam giác DEB suy KM//DB vµ KM = 1/2 DB (1) Suy NI//KM vµ NI = KM suy MINK lµ hbh (*) Mặt khác MI = 1/2 EC (t/c đờng T,b) (2) Tõ (1) vµ (2) suy MI = KM (**) Tõ (*) vµ (**) suy MINK lµ hình thoi b/ Gọi G, theo thứ tự giao điểm MN với AC Ta c/m đợc  = ( Góc có cạnh tơng ứng song song nhọn) Suy = (=1/2 = 1/2 T/c phân giác) (3) Mà = (so le NK//AC) (4) Từ (3) (4) suy = Suy MN//At Bt3: Cho hình thang ABCD đáy lớn CD Qua A kẻ đờng thẳng AK//BC cắt BD E, qua B kẻ đờng thẳng song song BI//AD cắt AC F a/C/m EF//AD b/ AB2 = CD.EF Hd: Vận dụng địnhlý TaLét AF AB  FC  IC  AB // IC AE AF    c/m: EF//AB//CD  EK FC  AE  AB  AB // DK va`.IC  DK  EK IC (V× DI = KC = AB nªn DI - KI = KC - KI  IC = DK.) Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hång Thđy 41 Gi¸o ¸n BDHSG To¸n *) BT: 23; 123 (sptt8) 123; 125 (snch8) 42 Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy Giáo án BDHSG Toán Ngàytháng năm 201 - Tiết:9 12 Đ3 phơng pháp chứng minh điểm thẳng hàng A Mục đích: Hs nắm đợc phơng pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng Rèn kỹ vận dụng linh hoạt vào tập B Nội dung: I Các phơng pháp: = 900 điểm A, B, C thẳng hàng AB + BC = AC điểm A, B, C thẳng hàng Trên mặt phẳng bờ CD Có điểm A, B, C thẳng hàng = m0 = Tiên đề Ơclít Ví dụ: AB// a vµ AC // a  AB  AC hay điểm A, B, C thẳng hàng Vận dụng T/c góc đối đỉnh: Vd: M, B, N thẳng hàng điểm A, B, C thẳng hàng = A, C khác phía đ/v B C/m: Thật Vì Mà + = = + = 1800 (Vì M, B, N thẳng hàng) + Suy + = 1800 A, B, C thẳng hàng Vận dụng T/c ®ång quy cđa c¸c ®êng tam gi¸c, T/c ®êng chéo hbh Vận dụng Đ/lý Ta Lét áp dụng vào tam giác để c/m điểm thẳng hàng  A, M, N a; BM//CN AM BM  AN CN (1) A, B, C thẳng hàng Chứng minh: Kéo sài AB cắt CN C' (C' CN) Ta cÇn c/m C  C' ThËt vËy: XÐt  AC'N cã BM//C'N theo ®/lý Ta LÐt Ta cã: AM BM (2) AN C ' N Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy 43 Giáo án BDHSG Toán BM BM C'N CN v× C'  CN  C  C'  Tõ (1) Vµ (2) Suy C ' N CN  điểm A, B, C thẳng hàng II Bài tập Vận dụng: Bt1: Cho tam giác ABC, AB lấy M cho AM = 1/3AB, trªn AC lÊy N cho AN = 1/3AC Trªn BC lÊy P cho PB = PC C/m M, N, P th¼ng hàng Hd: Vận dụng T/c góc đối đỉnh C/m: Kẻ DM//BC cắt AC D M, N, P thẳng hàng (vì D, N, C thẳng hàng) Và P, N, M thăngr hàng ; C, D khác phía đ/v N   DN  NC 1 / AC   MND =  PNC (c.g.c)   Nˆ  Nˆ  DM  PC 1 / 3CB Bt2: Cho tam giác ABC C/mr điểm Trực tâm H, trọng tâm G giao điểm O đờng trung trực thẳng hàng Hd: Xét ABH MNO có AH//OM BC AH AG vµ HAG =     OMG (so le)   ABH OM GO  MNO   AGH =  MGO   AGH +  HGM =  MGO +  HGM Mµ  AGH +  HGM = 180o (t/c kÒ bï)   MGO +  HGM = 180o Suy H, G, O thẳng hàng Bt3: Cho tam giác ABC vuông A, cạnh huyền BC = 2AB D điểm trªn AC cho  ABD = 1/3  ABC E điểm AB cho ACE = 1/3 ACB Gọi F làgiaođiểm BD CE; K H điểm đối xứng F thêo thứ tự qua BC CA Chứng minh: a/ Tam CKH b/ H, D, K thẳng hàng 44 Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy Giáo án BDHSG Toán Hd: b/ vận dụng phơng ph¸p 3:  CHD =  CHK Bt4: Cho tam giác ABC có đờng cao AA', BB', CC' Chiếu A' lên AB, AC, BB' CC' I, J, K, L Chøng minh r»ng ®iĨm I, J, K, L thẳng hàng Hd: Vận dụng phơng pháp 4: Tiên đề ƠClít Ngày.tháng năm 201 - Tiết:13 16 Đ4 phơng pháp chứng minh đờng ba thẳng đồng quy A Mục đích: Hs nắm đợc phơng pháp chứng minh ba đờng thẳngđồng quy Rèn kỹ vận dụng linh hoạt vào tập B Nội dung: I Các phơng pháp: Vận dụng tính chất đờng tam giác: (3 đờng trung tuyến, đờng phân giác, đờng cao) đồng quy T/c đờng chéo hình bình hành Vận dụng kết điểm thẳng hàng Vd: ABC, AM BN O C/m P, O, C thẳng hàng AM, BN, CP đồng quy Vận dụng định lý Ta lét: " Nhiều đờng thẳng định hai đờng thẳng song song đoạn thẳng tỉ lệ chúng đồng quy'' Cơ thĨ: a//b; A' B ' B ' C ' AA', BB', CC' đồng quy O AB BC II Bài tập: Cho tam giác ABC điểm O tam giác Gọi M, N, P lần lợt trung điểm AB, AC, BC Các điểm A', B', C ' lần lợt ®iĨm ®èi xøng cđa O qua P, N, M Chøng minh đờng thẳng AA', BB', CC ' đồng quy Hd: VËn dơng t/c ®êng chÐo cđa hbh C/m: ABA'B' hbh AA' CC' cắt trung điểm I đờng (1) AC'A'C hbh AA' BB' cắt trung điểm I' đờng (2) Từ (1) Và (2) I  I' VËy AA', BB', CC ' ®ång quy I Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hång Thđy 45 Gi¸o ¸n BDHSG To¸n Gäi H Là trực tâm tam giác ABC, đờng cao AD Lấy điểm M thuộc cạnh Bc Gọi E F theo thứ tự hình chiếu m AB, AC I trung điểm AM a/ Xác định dạng tứ giác DEIF b/ C/m đờng MH, ID, EF đồng quy Hd:Dễ dàng c/m đợc DIE đều(vì DI = EI = 1/2AM Và = 600) Tơng tự DIF Vậy DEIF hình thoi b/ Gọi O giao điểm ID EF Cần c/m M, O, H thẳng hàng Gọi N trungđiểm AH Chứng minh OH MH cïng song song víi IN *) BT: 3; ((27) (snch8) 46 Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy Giáo án BDHSG Toán Ngàythángnăm 201 - TiÕt: 17  20 kiĨm tra A Mơc ®Ých: kiểm tra đánh giá phân phân thức đại số Rèn luyện kỷ làm B Nội dung: Đề ra: Bài 1: Cho hình vuông ABCD Gọi M, N lần lợt trung điểm AB, AD Nối BN, Cm, chúng cắt P C/m: a/ BN CM ; b/ DP = DC Bài 2: Cho hình thoi ABCD có  = 60 Trên cạnh AD, CD lấy điểm M, N cho AM + CN = AD a/ Chøng minh:  BMN ®Ịu b/ Gọi P điểm đối xứng N qua BC C/m MP//CD Bài 3: Cho hình bình hành ABCD Đờng phân giác góc A Cắt cạnh CD M, đờng phân giác góc C cắt cạnh AB N Chứng minh: a/ Các tứ giác AMCN BMDN hình bình hành b/ Các đờng AC, BD, MN đồng quy Biểu điểm biểu điểm: (h 1) (h 2) Bài 1: (3,5 điểm) : Vẽ hình ®óng (h 1) a/  CBM =  BAN (c.g.c)  Bˆ1 Cˆ1 (h 3)  CBM vu«ng: Cˆ + Mˆ = 900  Bˆ1 + Mˆ = 900  = 900  BN  CM b/BN c¾t CD ë E DƠ thÊy DE = AB = DC, EPC vuông P có PD trung tuyến ứng cạnh huyền nên DP = DC Bài 2: (3,5 điểm) : Vẽ hình (h 2) a/ Ta cã: AM + CN = AD = AM + MD  CN = MD vµ AM = DN ABD cân A có  = 600 Nên ABD Xét hai tam giác BMD BCN có: BD BC ˆ  BDM  BCˆ N 60   BMD =  BCN (c.g.c) Suy BM = CN (1)  DM CN  Ta l¹i cã Bˆ  Bˆ = 600 Vµ Bˆ1  Bˆ Do ®ã Bˆ  Bˆ1 = 600 hay MBˆ N = 600 (2) Tõ (1) vµ (2) suy BMN Bài 3: (3,5 điểm) : Vẽ hình (h 3) a/ DM A DC N (vì góc MAB) nên MA//CN; CM//AN Suy AMCN hbh Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trêng THCS Hång Thđy 47 Gi¸o ¸n BDHSG To¸n Suy MC = NA, tõ ®ã MD = NB Tứ giác BMDN hình bình hành b/ Các tứ giác ABCD AMCN hình bình hành Nên đờng chéo AC, BD, MN cắt điểm Ngàytháng năm 201 - Tiết: 21 28 Đ5 ®a gi¸c - diƯn tÝch ®a gi¸c A Mơc ®Ých: Hs nắm đợc T/c công thức tính diện tích tam giác, tứ giác đặc biệt, đa giác Rèn kỹ vận dụng linh hoạt vào tập B Néi dung: I TÝnh chÊt:  ABC = MNP SABC = SMNP 2.Một đa giác chia 1, 2, , n phần điểm chung SĐa giác= S1+ S2+ + Sn Hình vuông có cạnh S = II Một sè c«ng thøc tÝnh diƯn tÝch: S CN = a.b (a, b lµ kÝch thíc) S HV = a2 (a cạnh hình vuông) S TG = 1/2.a.h (a cạnh, h đờng cao tơng ứng) S H.THANG = 1/2(a+b).h (a, b đáy, h đờng cao) S HBH = a.h (a cạnh, h đờng cao tơng ứng) S THOI = 1/2.d1.d2 (d1,d2 đờng chéo) Tứ giác có đờng chéo d1 d2 , STứ GIáC = 1/2.d1.d2 *) S đa giác qui công thức vận dụng T/c III Bài tập: Bt1: Tính S thoi, biết cạnh hình thoi 6,2 cm góc 30 Hd: (h.1) Kẻ đờng cao AH, Xét ABH vuông t¹i H, cã Bˆ = 300 Suy AH = 1/2 AB = 1/2.6,2 = 3,1 (cm) SABCD = BC.AH = 6,2 3,1 = 19,22 (cm2) (h.1) (h.2) (h.3) Bt2: Cho hình vuông ABCD, E, F lần lợt trung ®iĨm cđa AB, BC Gäi I lµ giao ®iĨm cđa AF vµ DE C/m SADI = SEBFI Hd: (h.2) DƠ dµng c/m  AED =  BFA  SAED = SBFA  SAED - SAIE= SBFA - SAIE  SADI = SEBFI (đpc/m) Bt3: Cho tứ giác ABCD, qua C kỴ CE//BD (E thc AD) C/m S ABE = sABCD Hd: (h.3) Kẻ CH, EK vuông góc với BD Mà BD//CE (gt) 48 Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trêng THCS Hång Thđy Gi¸o ¸n BDHSG To¸n Suy ra: CH = EK (k/c hai đờng thẳng song song) Nên SBCD = SBED (vì có chung cạnh đáy BD đờng cao CH = EK) SBCD + SABD = SBED + SABD  SABE = sABCD (®pc/m) IV Tính diện tích đa giác phơng pháp đại số: Ghi nhớ: - Đặt diện tích cần tìm ẩn số đa phơng trình hệ phơng trình với ẩn - Giải phơng trình hệ phơng trình để tìm nghiệm Bt1: Cho tam giác ABC có diện tích 20 cm2 Trên cạnh AB lấy điểm M cạnh AC lấy điểm N cho AM = 3BM AN = 4CN Đoạn BN cắt đoạn CM O Tính diện tích tam giác AOB AOC Hd: Đặt SAOB = x, SAOC = y (x, y > 0) S OAM AM 3x   )  SOAM = (v× S OAB AB 4 S AN AN 4y   SOAN =  nªn OAN  V× S OAC AC AC 5 4y 4 Ta cã: SBAN = SBAO + SOAN = x + Mµ SBAN = SABC = 20 = 16 (cm2) 5 4y 80  y Do ®ã x + = 16  5x + 4y = 80  x = (1) 5 3x 3 Mặtkhác SCAM = SCAO + SOAM = y + Mµ SCAM = SABC = 20 = 15 4 Ta cã (cm2) x = 15  3x + 4y = 60 (2) 80  y Thay (1) vµo (2) ta cã + 4y = 60  y = 7,5 Do ®ã y + Suy x = 10 VËy SAOB = 10 cm2 ; SAOC = 7,5 cm2 Bt2: Chia đoạn thẳng dài 15cm thành đoạn dựng hình vuông có cạnh đoạn thẳng Tìm giá trị nhỏ tổng diện tích hình vuông Hd: Gọi độ dài cạnh hình vuông x, y, z (x, y, z > 0) Theo đề ta có x + y + z = 15 Tổng diện tích hình vuông là: S = x2 + y2 + z2 Đặt x = + a y=5+b Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trêng THCS Hång Thđy 49 Gi¸o ¸n BDHSG To¸n z=5+c Vì x + y + z = 15 nên a + b + c = Khi ®ã S = x2 + y2 + z2 = (5+a)2+ (5+b)2+ (5+c)2 = 75 + a2 + b2 + c2  75 VËy S nhá nhÊt b»ng 15 a = b = c = Khi hình vuông có c¹nh b»ng cã c¹nh b»ng 5cm, *) BT: 15 trang 63 ( snch8) 50 Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hồng Thủy Giáo án BDHSG Toán Ngày.tháng năm 201 - Tiết:29 36 định lý Ta lét - tam giác đồng dạng Đ6 A Mục đích: Hs nắm đợc địn lý Ta Lét, t/c trờng hợp đồng dạng tam giác Rèn kỹ vận dụng linh hoạt vào tập B Nội dung: I Các kiến thức cần nhớ: Định lý Ta LÐt:   ABC, M  AB, N AC (h.1) AM AN  MN//BC  MB NC MB NC  MN//BC  AB AC AM AN MN  MN//BC AB AC BC Tam giác đồng d¹ng: AB AC BC   MN MP NP TÝnh chất: -) ABC ABC Đặc biệt ABC =  MNP th×  ABC  MNP -)  ABC  MNP theo tØ sè k th×  MNP ABC theo tỉ số Định nghĩa: ABC MNP  ¢ = Mˆ , Bˆ  Nˆ , Cˆ  Pˆ vµ 1/k -)  ABC  MNP MNP EFK ABC EFK -) (h.1)  ABC cã MN//BC suy  ABC AMN Các trờng hợp đồng dạng tam giác: Th1: ABC MNP có  = Mˆ , Bˆ  Nˆ   ABC  MNP AB AC   ABC  Th2:  ABC vµ MNP có  = M Và MN MP Th3:  ABC vµ  MNP cã AB AC BC   ABC   MN MP NP  MNP  MNP Tính chất tia phân giác: ABC, AD phân giác  AB BD AC DC AE phân giác AB EB AB ) ( AC EC AC Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hång Thđy 51 Gi¸o ¸n BDHSG To¸n II Bài tập: (h.1) (h.2) (h.3) Bt1: Cho hình thang ABCD, AB//DC, AB = 7,5cm, CD = 12cm.M trung điểm DC Gọi E giao điểm AM với BD, F giao điểm AC với BM a/ Chøng minh: EF//AB ; b/ TÝnh EF Hd: (h.1) Do AB//MD (gt), theo ®/lý Ta lÐt ta cã ME MD    (1) EA AB 7,5 MC MF MD MC    (2) Mà (3) (Vì MD = MC theo gt) AB FB 7,5 AB AB ME MF  EF//AB (Theo đ/l Ta lét đảo) Từ (1); (2) (3) suy EA FB ME ME 4 ME     hay  b/ Do EA EA  EM  MA EF ME  Do EF//AB theo Ta LÐt ¸p dụng đ/v tam giác MAB ta có: AB MA ME AB 4.7,5  Suy ra: EF = = 3,3 (cm) MA Do AB//MC Bt2: Cho tø gi¸c ABCD cã AB = 40cm, BC = 37,5cm, DC = 62,5cm, AD = 30cm, BD = 50cm a/ C/m ABCD lµ h×nh thang b/ TÝnh diƯn tÝch cđa h×nh thang ABCD Hd: (h.2) a/ ABCD hình thang B1 Dˆ   ABD vµ  BDC  AB AD BD   BD BC DC AD 30 BD 50 AB 40    V× = 0,8 ; = 0,8 ; = 0,8 BC 37,5 DC 62,5 BD 50 b/ XÐt  ABD cã AB2 + AD2 = 402+ 302 = 2500 BD2 = 502 = 2500 Suy AB2 + AD2 = BD2 Suy  ABD vuông A Hay AD đờng cao h×nh thang Ta cã SABCD = 1/2(AB + DC).AD = 1/2(40 + 62,5).30 = 1537,5 (cm2) *) BT:  ( sptt8) 52 Giáo viên: Nguyễn Văn Lợi - Trờng THCS Hång Thñy ... g(x) Vd: f(x) = x99 + x 88 + x77 + + x11 + g(x) = x9 + x8 + x7 + + x1 + C/m: f(x)  g(x) Ta cã f(x) - g(x) = (x99- x9) + (x 88- x8) +(x77- x7) + + (x11- x) = x9(x90- 1) + x8(x80- 1) + x7(x70- 1) +…+... n    b/D = 980 01 = 9.10n.100 +8. 10n.10 + 1= a (a+1) 100 + n n n 80 (a+1)+1   = 100a2 + 180 a + 81 = (10a+9)2= (10 9+9)2 = (9 9)2 n n Ngày.tháng.năm 201 - TiÕt:21  28 §3 TÝnh chia hÕt,... Thủy Giáo án BDHSG Toán Phơng pháp đặt ẩn phụ: Vd: x(x+4)(x+6)(x+10) + 1 28 = x(x+10)(x+4)(x+6) + 1 28 = (x2+10)(x2+10+24) + 1 28 Đặt x2+10+12 = y = (y-12)(y+12) + 1 28 = y2 – 144 + 1 28 = y2- 16 = (y+