Các chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi Toán 7

DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:... CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢIDẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC... * Tổng hai giá trị tuy

DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT Bài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:

4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+ +98.99.100.101-97.98.99.1004A = 98.99.100.101

Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ số b a d c (hoặc a : b = c : d).

Các số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hayngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ

2 Tính chất:

Tính chất 1: Nếu b a d c thì ad  bc

Tính chất 2: Nếu ad  bc và a, b, c, d  0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:

b a d c , c a d b , b d a c , d c b a

Nhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại.

II TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU

-Tính chất: Từ

d

c b

a

 suy ra:

d b

c a d b

c a d

c b

c b a f d b

c b a f

e d

c b a

(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa)

* Chú ý: Khi có dãy tỉ số 2a b3 5c ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5

Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

DẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC.

Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

4 5

20 3

y x

 ,

5 3

z y

 và 2x 3yz 6

3 2 20 36

3 18

2 20 12

9 ( sau đó giải như cách 1 của VD1)

3

z y z y

3 3 4

3 4

3

z

z y

x y x

3 3 20

9 2 6 3

2x yz  z zz  z   z

5

60 3

y x

Theo giả thiết: 40 2 5 40 10 2 40 2 4 2

2





xy x

4

16 2

2

5 4 5



 y

y x

z x

z

y z



 y

y x

z x

z

y z

Bài 3: Tìm các số x, y, z biết rằng:

a) 3x 2y, 7y 5z và x yz 32 b) x2 1y3 2 z4 3

và

50 3

Bài 4 : Tìm các số x, y, z biết rằng:

a) 3x 2y, 7y 5z và x yz 32 b) x2 1y3 2 z4 3

và

50 3

d d

b a

c d

c a

b d

c b

Giai Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75.

Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau: a , b , c

b c c a a b    Biết a+b+c 0.Tìm giá trị của mỗi tỉ

số đó ?

Bài 13 Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8.

Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em Tính số học sinhcủa trường đó?

Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:

=> ab(ab-2cd)+c2d2=0 (Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b)

=>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcm

d c b a

b a

b

k b b kb

b kb b

d

k d d kd

d kd d

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:

d c

b a cd

b a cd

kb d dk

b bk cd

2

2 2 2 2 2

2 2 2 2 2

2 2 2

(

) (

d

b k

d

k b d k d

b k b d dk

b bk d

b a cd

b a d

b c

a cb

ab d

b c

a d

c b

 22 22

d c

b a cd

d c

b a d c

b a

b a cd

bd b

ac a

ac a

5 7

5 7 5 7

5 7

2

2 2

d c

b a d c

b a

d c b a

b a

4 3

5 2 4 3

5 2

bd b

ac a

ac a

5 7

5 7 5 7

5 7

2

2 2

c b a

Bài 4: Cho b a c bd c Chứng minh rằng: b a c b d c d a

8 3

2 2

1

a

a a

a a

a a

Bài 8: Cho 2003a 2004b 2005c

) ( ) )(

b a







2 2

2 2

Bài 10: Cho

1

9 9

8 3

2 2

1

a

a a

a a

a a

Đảo lại có đúng không?

Bài 12: Chứng minh rằng nếu : b a d b thì

d

a d b

b a







2 2

2 2

http://NgocHung.name.vn 14

Bài 13: Cho

d c

d c b a

b a

cd

ab d c

b a







2 2

2 2

b a b a cd

ab d

c

b a d cd c

b ab a cd

ab

.

2

2 2

2

2

2 2

2

2 2

a ad cb ad ac cb ca bd

ca

bd ca db da

bd bc ad ac

cb ca b a d

d c b

c b a

3 3 3

Bài 22: CMR nếu a(yz) b(zx) c(xy) Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì :

) ( ) (

)

y x a c b

x z

2 1

2

c x b x a

c bx ax P

c b

b a

a



 thì giá trị của P không phụ thuộc vào x

Bài 24: Cho biết : ' ' ' '

Chứng minh rằng:

d

a d c b

c b a

3 3 3

Bài 27: Cho

1 1

2 1

2

c x b x a

c bx ax P

c b

b a

a



 thì giá trị của P không phụ thuộc vào x

Bài 28: Cho tỉ lệ thức: 2a 13b3a7b 2c 13d3c 7d

  ; Chứng minh rằng: ab cd

Bài 29: Cho dãy tỉ số : bza cy cxb az aycbx ; CMR: xa yb zc

http://NgocHung.name.vn 16

Thanh Mỹ,ngày 10 tháng 12 năm2010

Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Nếu x-a  0=> = x-a

Nếu x-a  0=> = a-x

* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại hai

số có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau

b a b

* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của hai

số, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu

TQ: a b ab và a b ab  a b 0

2 Các dạng toán :

I Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:

1 Dạng 1 : A(x)  k ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước )

A

k x A k

x A

) (

) ( )

a)

2

1 3

5 2

3 : 5 , 2 4

b a b

(

) ( ) ( )

( ) (

x B x

A

x B x A x

B x

A

Bài 2.1: Tìm x, biết:

a) 5x 4 x 2 b) 2x 3  3x 2  0 c) 2  3x  4x 3 d)

0 6 5

5 2

7 4

5 8

3 Dạng 3: A(x)  B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )

* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trị

tuyệt đối của mọi số đều không âm Do vậy ta giải như sau:

) (

)

Điều kiện: B(x)  0 (*)

) ( ) ( )

( )

(

x B x

A

x B x A x

B x

điều kiện ( * )

* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

Nếu a0  a a

Nếu a 0  a  a

Ta giải như sau: A(x) B(x) (1)

 Nếu A(x)  0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được vớiđiều kiện )

 Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm đượcvới điều kiện )

4 Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:

* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

m x C x

 Nhận xétNhận Nhận xétxét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

thành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối Vậy ta sẽ biến đổi biểu thức ở

vế trái của đẳng thức trên Từ đó sẽ tìm được x

GiảiXét x – 1 = 0  x = 1; x – 1 < 0  x < 1; x – 1 > 0  x > 1

Xét khoảng x < 1 ta có: (1)  (1 – x ) + ( 3 – x ) = 2x – 1

 -2x + 4 = 2x – 1  x = 5

4 (giá trị này không thuộc khoảng đang xét)Xét khoảng 1  x  3 ta có:

1 5

1

5

1 2 2

1 3 2

1 3 2

c) 2x 1  2x 5  4 d) x 3  3x 4  2x 1

5 Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt:

)

D(x C(x)

101

3 101

2 101

1

4 3

1 3

2

1 2

1

7 5

1 5

3

1 3

1

13 9

1 9

5

1 5

B A

Bài 7.2: Tìm x, y thoả mãn:

7

2 4

3

13

23 17

11 5 , 1 4

3 2

1 3

B A

Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn:

a) 5x 1  6y 8  0 b) x 2y  4y 3  0 c) x y 2  2y 1  0

Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn:

a) 12x 8  11y 5  0 b) 3x 2y  4y 1  0 c) xy 7  xy 10  0

* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất không

âm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tươngtự

7 5

4 2008

2007 2

1 -

Lập bảng xét dấu để bỏ dấu giá tri tuyệt đối

B A

* Nếu m > 0 ta giải như sau:

m

B

Do A  0 nên từ (1) ta có: 0 B  m từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng

Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:

Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:

A

(2)

Từ (1) và (2)  0 A  B m từ đó giải bài toán A  B k như dạng 1 với 0 k  m

Bài 2.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

Đánh giá: A(y)  0  A(x).B(x)  0  nxm tìm được giá trị của x.

Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:

Bài 5.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

x x

x

Bài 5.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:

3 1

14 7

y

5 2 3

20 4

x

III – Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

 Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn:

Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3 , 5 x  4 , 1

http://NgocHung.name.vn 26

Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:

a) M = a + 2ab – b với a  1 , 5 ;b   0 , 75 b) N = a2 b2 với a  1 , 5 ;b   0 , 75

Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:

1 7

V – Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:

1 Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối:

* Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính chấtcủa bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức:

Bài 1.1 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:

e) E 5 , 5  2x 1 , 5 f) F   10 , 2  3x  14 g)

12 3 2 5

Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 1.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:

Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

2 Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểu thức:

Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 3.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?

c) A có bao nhiêu ước tự nhiên Bao nhiêu ước nguyên ?

Hướng dẫn:

Bài 3: Cho A 1  7  13  19  25  31 

a) Biết A = 181 Hỏi A có bao nhiêu số hạng ?

b) Biết A có n số hạng Tính giá trị của A theo n ?

) 12 ( ) 7 ( )

Chứng minh rằng: 4A -1 là luỹ thừa của 3

b) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 với

b) Chứng minh rằng tổng 2 + 22 + 23 + … + 22003 + 22004 chia hết cho 42

a) Chứng minh: B chia hết cho 2 30

b) Chứng minh: B - A chia hết cho 61

1 3

1 154

1 88

1 40

1 10

2

15

1 10

1 6

1 3

1

4 3 2

1 3 2 1

2

1 2

1 2

1 3 97

1

95 5

1 97 3

1 99 1

1 97

1

5

1 3

1 1

3

97 2

98 1

1

4

1 3

1 2 1

100 - 10099

4

3 3

2 2

1 100

1

3

1 2

1 2

2 199

; 24

1 1

; 15

1 1

; 8

1 1

1

; 66

1 4 3

1 2 1

1

13

1 12

1 11

1

12 2

1 11 1

1 110

10

1

102 2

1 101

x x x x x

x x

x x

x  0 ;  ;  

y x y

x

y x y

3 2

1 4 1

4

1 1 3

1 1 2

4 3 3

49

2 1

1 1 5

1

10

11 7 3 5

5 2 2

1 ( ) 1 (x 2  y 2  z 2 

a) | 3x- 8,4| -14,2

b) |4x-3|+|5y+7,5| +17,5Bìa 4: Tìm giá trị lớn nhất:

Bài toán 4: Tính tổng của tử và mẫu của phân số tối giản biểu diễn số thập phân 0,

) 6 ( 1 , 0 ) 3 ( , 0 5 , 0

) 3 ( , 0 ) 6 ( 1 , 0

3 ( 0 , 0

13

3 ) 384615 (

, 0 ) 3 ( , 0

1 (

5 2

3 2 3

N m m

m m

m m m

b) Phân số A có biểu diễn thập phân là hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? vì sao?

http://NgocHung.name.vn 36

CHUYÊN ĐỀ: CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ THẬP PHÂN- SỐ

Bài toán 11: Tìm x biết

a) x là căn bậc hai của các số: 16; 25; 0,81; a2 ;  2

Bài toán 14: Tìm các số nguyên x để các biểu thức sau có giá trị là một số nguyên

A Tìm số nguyên x để A có giá trị là số nguyên

Bài toán 16: thực hiện phép tính

5 : 7

1 2 : 7 : 25 , 5 4 , 2 : 2 2

2 2

2 2

2 7

4 2 64

7 7

1 49

1 49

1 1

2 2

5 204

25 21

2

5 196

5 1

7 7

6 8 3

1 12 : 4

49 3

2 8 225 : 3

1/ GTTĐ của một số thì không âm / x / x

2/ GTTĐ của một số thì lớn hơn hoặc bằng số đó / x / x

3/ GTTĐ của một tổng không lớn hơn tổng các GTTĐ /x + y / /x / / y/

Hiệu không nhỏ hơn hiệu các GTTĐ / x-y//x/ - /y/ 4/ GTTĐ : Với a > 0 thì: /x / = a <=> x = a

Bài4 : Với giá trị nào của a,b ta có đẳng thức : /a ( b – 2 ) / = a ( 2 – b )?

Giải : Ta biến đổi /a (b – 2 )/ = / a ( 2 – b )/ (1) vì /A/ = /-A/ / A / = A <=> A  0 Do đó (1) xảy ra 4 trường hợp : a/ a = 0 thì b tùy ý

c/ a < 0 , b > 0 thì (1) a + b = -a – b <=> a = - b Vây a < 0 và

b = -a thỏa mãn bài toán

d/ a < 0 , b  0 thì (1) a + b = -a + b <=> a = -a ( không xảy ra ) Kết luận : Các giá trị a,b phải tìm là a  0, b  0 hoặc a < 0 , b > 0

4 Dạng Tìm GTNN , GTLN của biểu thức chứa dấu GT tuyệt đối :

Bài 8: Tìm GTNN của C =

3 / /

Bài 11 : Rút gọn biểu thức :

a/ 3 (x - 1 ) – 2 / x + 3 / (đs :x – 9 với x   3 ;5x+ 3 với x < 3) b/ 2 / x – 3 / - / 4x - 1 / (đs: = 2x+5 với x < ¼ ; Bằng -6x+7 với ¼  x < 3và bằng -2x -5 với x  3

Bài 12 : Tìm GTNN của các biểu thức :

* x

x x

phụ thuộc vào biến x

II.GÍA TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ XẢY RA ĐẲNG THỨC

HOẶC BĐT CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

1/Phương pháp chung :

Để tìm giá trị của biến trong đẳng thức hoặc Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối

là xét các khoảng giá trị của biến để lập bảng xét dấu rồi khử dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 16: Tìm x Biết rằng :

http://NgocHung.name.vn 42

(giá trị nầy thuộc nào thoả mãn (1) ( giá tri nầy thuộc

khoảng đang xét) khoảng đang xét)

* Xét khoảng x <2 Ta được -2x = 4 <=> x= -2 (loại)

 Xét khoảng-2x 5 Ta được 0x = -0 đúng với mọi x trong khoảng đang xét Vậy -2x 5

 Xét khoảng x >5 Ta đựoc 2x=10 <=> x = 5 ( loại)

*Xét khoảng x < 3 ta được -2x = 7 <=> x= -3,5( thuộc khoảng đang xét)

*Xét khoảng -3x 4 ta được 0x = 1=> không có giá trị nào của x thoả mãn

* Xét khoảng x>4 Ta được -2x = -7 <=>x = 3,5 không thuộc khoảng đang xét Kết luận : vậy x = -3,55

 Xét khoảng x >3 => ta có (x-1)+(x-3)<x+1<=>x<5.

Ta có các giá trị : 3<x<5 (4)

Kết luận: Từ (3) và (4) các giá trị cần tìm là : 3<x<5

2/ Sau đây ta xét một số dạng đặc biệt Trong những dạng nầy;

để tìm x ngoài phương pháp chung đã nêu ở trên ta có thể giải

d/ x 5  4  3

Hướng dẫn: - Ta có: x 5  4   3

- Xétx x55  4433x x55712x;124;6

khongtmdk x

mdk t x x x x x

) 1 ( ( 1 5

3 7 9

3 5 7 9

tmdk x

tmdk x

x x

x x

y x y

x y

HD: c/ 3

3 1 3 0 0 ) 3 )(

1 ( 0 ) 3 (

1 3 / / 99

24 2

<=> / 2x - / 0

45

7 3 / / 33

&

0 / 33

45 7 3 0 33 8 2

y x y

1 15

31 1 15

x

x x

5 2

21 5 2

x

x x

Nếu x=3 thì y = 1 ta được 4 cặp số là :

Nếu x=4 thì y = 0 ta được 2 cặp số là Vậy ta được tất cả 16 cặp số thoả mãn đẳng thức đã cho

b/ x  y  4

HD Tương tự có tất cả 7 + 10 +6+2 = 25 cặp số thoả mãn BĐT đã cho

a ngthoixayr khongthedo x x x x x x







x x

HD:b/

 3 1 / 2 3

2 / 1 0 3 0 1 2 0 3 1 2

) (

4 / 1 2 / 1 0 3 0 1 2 0 3 1 2

x x x x

x

yra khongthexa x

x x x x

CHỨNG MINH TAM GiÁC

$1 TỔNG BA GÓC CỦA TAM GIÁC

Kiến thức cần nhớ :

1- Tổng 3 góc của một tam giác bằng 180 độ

2- Trong tam gíác vuông 2 góc nhọ phụ nhau

3- Mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó

http://NgocHung.name.vn 48

4- Góc ngoài của tam giác lớn hơn 1 góc trong không kề với nó

BAÌ 1 a/ Chứng minh tổng 3 góc trong tam giác bằng 180 độ?(Bằng cách khác SGK)

b/ Chứng minh tổng các góc ngoài của một tam giác bằng 360 độ ?

c/ Chứng minh góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề ?BÀI 2: a/ Tính tổng các góc ở đỉnh của một ngôi sao năm cạnh ?

b/ Cho ABC : AC >AB Vẽ phân giác AD ( D  BC ) Chứng minh : Góc ADC - góc ADB = góc B - góc C ?

HD Sử dụng định lý góc ngoài của tam giác

BÀI 3 Cho ABC có góc A = 

Vẽ tia phân giác BD và CE ( D tuộc AC; E thuộc AB ) cắt nhau tại O

TH 1 C-C-C Cạnh huyền + Cạnh góc vuông

TH 2 C-G-C Hai cạnh góc vuông

TH 3 G-C-G Cạnh GV+ G.nhọn kề ; C.Huyền +G.nhọn

$ 3 TAM GIÁC VÀ MỘT SỐ TAM GIÁC ĐẶC BIỆT :

C

A

B D

Tam giác  Cân  ĐỀU  VUÔNG vuông cânĐịnh

BÀI 6 : Cho tam giác ABC có Â = 80 độ , Bˆ = 60 độ Hai tia phân giác của góc

B và C cắt nhau tại I Vẽ tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt tia CI tại D Chứng minh góc BDC = góc C ?

b/ Kẻ tia AC x kề bù vơi góc ACB=> góc AC x = 162 độ