Chuyên đề dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán

www.VNMATH.com CHUYÊN ðỀ DÃY SỐ (BDHSG) KHÁI NIỆM DÃY SỐ 1) Cho A tập khác rỗng tập số nguyên ℤ, hàm số u:A → ℝ n ֏ u(n) = u n ñược gọi dãy số, kí hiệu (u n ) {u n } Thông thường ta hay chọn A cho phần tử nhỏ A Dãy (un) gọi dãy sỗ hữu hạn (hoặc dãy số vô hạn) A tập hợp gồm hữu hạn (vô hạn) phần tử Số un ñược gọi số hạng tổng quát dãy (un) 2) Dãy số (un) ñược gọi dãy số tăng (tăng không nghiệm ngặt, giảm, giảm không nghiêm ngặt) u n < u n +1 (tương ứng u n ≤ u n +1 , u n > u n +1 , u n ≥ u n +1 ) với n ∈ A 3) Dãy số (un) ñược gọi tuần hoàn tồn số nguyên dương k cho u n + k = u n , ∀n ∈ A Số k nhỏ thoả mãn tính chất ñược gọi chu kì dãy tuần hoàn (un) Nếu k = ta ñược dãy (tất số hạng nhau) 4) Dãy số (un) ñược gọi bị chặn tồn số thực M cho u n ≤ M với n ∈ A Dãy số (un) ñược gọi bị chặn tồn số thực m cho u n ≥ m với n ∈ A Dãy số (un) ñược gọi bị chặn (hoặc ne t giới nội) vừa bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số thực M, m cho m ≤ u n ≤ M với ilie u n ∈ A, tồn số thực C cho u n ≤ C, ∀n ∈ A Dãy số hữu hạn tuần hoàn bị chặn CẤP SỐ 1) Cấp số cộng - Dãy số (un) ñược gọi cấp số cộng số hạng ñều thoả mãn u n +1 − u n = d (d: số, gọi công sai) Công thức truy hồi: u n +1 = u n + d Công thức số hạng tổng quát: u n = u1 + (n − 1)d, ∀n ∈ A Công thức tính n n n(n − 1) tổng n số hạng ñầu tiên: Sn = (u1 + u n ) = (2u1 + (n − 1)d) = nu1 + d Tính chất số hạng: 2 u k +1 + u k −1 = 2u k 2) Cấp số nhân - Dãy số (un) ñược gọi cấp số nhân số hạng ñều thoả mãn u n +1 = u n q (q: số, gọi công bội) Công thức truy hồi: u n +1 = u n q Công thức số hạng tổng quát: u n = u1.q n −1 Công thức tính tổng n số hạng − q n +1 q ≠ Tính chất số hạng: u k +1.u k −1 = u k2 1− q w - b ox ta - w ñầu tiên: Sn = nu1 q = 1, Sn = u1 w 3) Cấp số nhân cộng - Dãy số (un) ñược gọi cấp số nhân cộng số hạng ñều thoả mãn u n +1 = u n q + d (q, d số) 4) Cấp số ñiều hoà 2u n −1u n +1 - Dãy số (un) ñược gọi cấp số ñiều hoà số hạng ñều khác thoả mãn u n = , u n −1 + u n +1 1 1 hay = ( + ) (Học sinh tự ôn tập dạng toán cấp số) u n u n −1 u n +1 XÁC ðỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ 3.1 DỰ ðOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUI NẠP BÀI TẬP 1) Xác ñịnh số hạng tổng quát dãy số cho bởi: u a)u1 = 1, u n +1 = n , ∀n = 1, 2,3, b)u1 = 2, u n +1 = + u n , ∀n = 1, 2,3, 1+ un c)u1 = 1, u n +1 = − u n2 + u n + 1, ∀n = 1, 2,3, 2 d)u1 = −1 − + ( + 1)u n , u n +1 = , ∀n = 1, 2,3, +1 + − ( − 1)u n xa.nguyenvan@gmail.com www.boxtailieu.net www.VNMATH.com TÂM SÁNG – CHÍ BỀN 1 f )u1 = , u n +1 = 2u n − u n2 , ∀n = 1, 2,3, e)u1 = , u n +1 = 2u n2 − 1, ∀n = 1, 2,3, 2 3.2 MỘT SỐ DẠNG TRUY HỒI ðẶC BIỆT Với dãy số cho công thức truy hồi dạng u n +1 = u n + f (n) u n = u1 + f (1) + f (2) + + f (n − 1) Với dãy số cho công thức truy hồi dạng u n +1 = u n g(n) u n = u1.g(1).g(2) g(n − 1) BÀI TẬP 2) Xác ñịnh số hạng tổng quát dãy số cho bởi: (n + 1) u n a)u1 = 1, u n +1 = u n + n!.n, ∀n = 1, 2,3, b)u1 = 1, u n +1 = , ∀n = 1, 2,3, n(n + 2) c)u1 = 1, u n +1 = u n + n + 3n − 3n + 1, ∀n = 1, 2,3, d)u1 = 3, u n +1 = u n + 3n , ∀n = 1, 2,3, e)u1 = 1, u n +1 = u n + (n + 1).2n , ∀n = 1, 2,3, f )u1 = 2, u n +1 = − n2 −1 u n , ∀n = 1, 2,3, n 3.3 PHƯƠNG TRÌNH ðẶC TRƯNG Ta xét hai trường hợp ñơn giản sau ñây: h)u1 = 0, u n +1 = n (1 + u n ), ∀n = 1, 2,3, n +1 ne t g)u1 = 1, u n +1 = , ∀n = 1, 2,3, un ilie u a) Xét dãy số (un) cho u1, u , u n + = a.u n +1 + b.u n , ∀n ∈ ℕ * (a, b = const) Khi ñó phương trình x − ax − b = ñược gọi phương trình ñặc trưng dãy số ñã cho Nếu phương trình có hai nghiệm thực phân biệt x1, x u n = A.x1n + B.x n2 ta Nếu phương trình có hai nghiệm thực trùng x1 = x u n = (A + nB).x1n Nếu phương trình có ∆ < , gọi hai nghiệm phức x1 , x , biểu diễn hai số phức dạng ox lượng giác x1 = r(cos ϕ + i.sin ϕ), x = r(cos ϕ − i.sin ϕ), với r, ϕ số thực, r môñun x1 x , ϕ ∈ [ 0; 2π ) , i ñơn vị ảo, u n = r n (A.cos nϕ + B.sinnϕ) (Ở ñó số A, B ñược xác ñịnh nhờ u1, u ) b b) Xét dãy số (un) cho u1, u , u , u n +3 = a.u n + + b.u n +1 + c.u n , ∀n ∈ ℕ * (a, b, c = const) có phương trình ñặc w trưng x − ax − bx − c = Nếu phương trình có ba nghiệm thực phân biệt x1, x , x u n = A.x1n + B.x n2 + C.x 3n w Nếu phương trình có ba nghiệm thực x1 , x , x mà x1 ≠ x = x u n = A.x1n + (B + nC).x 2n w Nếu phương trình có ba nghiệm thực x1 , x , x x1 = x = x u n = (A + nB + n 2C).x1n Nếu phương trình có ba nghiệm x1, x , x ñó x1 nghiệm thực, hai nghiệm x = r(cos ϕ + i.sin ϕ), x = r(cos ϕ − i.sin ϕ) hai nghiệm phức (không phải số thực) u n = A.x1n + r n (B.cos nϕ + C.sinnϕ) (Ở ñó số A, B, C ñược xác ñịnh nhờ u1, u , u ) VD1 Cho dãy số (u n ) xác ñịnh u1 = 1, u = 0, u n + = u n +1 − u n , ∀n ∈ ℕ * Chứng minh (u n ) bị chặn π π HD Phương trình ñặc trưng dãy số ñã cho x − x + = có hai nghiệm phức x1 = cos + i.sin , 3 π π nπ nπ x = cos − i.sin , nên u n = 1n (A.cos + B.sin ), ∀n ∈ ℕ * Do u1 = 1, u = 0, nên ta có 3 3 A B π π  A = (= u1 ) =1  + 1 = A.cos + B.sin 2  ⇔ ⇔  B = A B 0 = A.cos 2π + B.sin 2π   (= u )  − + = 3  xa.nguyenvan@gmail.com www.boxtailieu.net www.VNMATH.com TÂM SÁNG – CHÍ BỀN Suy u n = cos nπ nπ nπ nπ sin , ∀n ∈ ℕ*, hay + ≤ 12 + ( ) = sin , ∀n ∈ ℕ * Vậy u n = cos + 3 3 3 3 (u n ) dãy bị chặn VD2 Cho (u n ) có u1 = 0, u = 16, u3 = 47, u n +3 = 7u n +2 − 11u n +1 + 5u n , ∀n ∈ ℕ * Tìm dư chia u 2011 cho 2011 HD Phương trình ñặc trưng x − 7x + 11x − = có nghiệm thực x1 = (nghiệm ñơn), x = x = (nghiệm kép) ñó u n = A.5n + (B + nC).1n , ∀n ∈ ℕ * Vì u1 = 0, u = 16, u = 47 nên A = , B = −13, C = 12 Suy n −1 2010 u n = + 12n − 13, ∀n ∈ ℕ * Từ ñó u 2011 = + 12.2011 − 13 Theo ñịnh lí Phécma 52010 − 1⋮ 2011 (ñịnh lí Phécma: Nếu p số nguyên tố, a số nguyên (a, p) = 1, a p−1 ≡ (mod p)) Vậy u 2011 chia cho 2011 dư −12 (hay dư 1999) VD3 Cho hai dãy số (x n ), (y n ) thoả mãn x1 = y1 = 1, x n +1 = 4x n − 2y n , y n +1 = x n + y n , ∀n ∈ ℕ * Xác ñịnh công thức x n , y n Ta có x n + = 4x n +1 − 2y n +1 = 4x n +1 − 2(x n + y n ) = 4x n +1 − 2x n − 2y n = 4x n +1 − 2x n + x n +1 − 4x n hay ne t HD ilie u x n + = 5x n +1 − 6x n (∀n ∈ ℕ*) Dãy (u n ) có phương trình ñặc trưng x − 5x + = ⇔ x = x = Suy x n = A.2n + B.3n , ∀n ∈ ℕ * Mà x1 = 1, x = 4x1 − 2y1 = 2, nên A = , B = 0, ta có x n = 2n −1, ∀n ∈ ℕ * Từ n −1 n −1 ñó x n +1 = 4x n − 2y n ⇒ y n = Vậy x n = y n = , ∀n ∈ ℕ * ta 3.4 PHƯƠNG PHÁP DÃY SỐ PHỤ VD4 Cho dãy số (u n ) : u1 = 1, u = 2, u n + = 2.u n +1 − u n + 1, ∀n ∈ ℕ * ðặt v n = u n +1 − u n Chứng minh (v n ) cấp số cộng tìm u n v1 = u − u1 = Và u n +2 = 2.u n +1 − u n + 1, ∀n ∈ ℕ* ⇔ u n + − u n +1 = u n +1 − u n + 1, ∀n ∈ ℕ * ox HD a) Ta có w b ⇔ v n +1 = v n + 1, ∀n ∈ ℕ * Vậy (v n ) cấp số cộng với số hạng ñầu tiên v1 = 1, công sai d = b) Từ câu a ta có = v1 + (n −1).d = 1+ (n −1).1 = n, hay un+1 − un = n, ∀n ∈ ℕ * Suy un = (un − un−1) + (un−1 − un−2 ) + w + + (u − u1 ) + u1 = [(n − 1) + (n − 2) + + + 1] + = + (n − 1).n n n = − + 1, ∀n ∈ ℕ * 2 w VD5 Cho dãy số (u n ) : u1 = 0, u = 1, u n + = u n +1 + u n , ∀n ∈ ℕ * ðặt v n = u n +1 − u n Chứng minh (v n ) 3 cấp số nhân tìm u n HD Ta có Và v1 = u − u1 = u n + = u n +1 + u n , ∀n ∈ ℕ* ⇔ 3u n + = 2u n +1 + u n , ∀n ∈ ℕ* ⇔ 3 −1 3(u n + − u n +1 ) = −(u n +1 − u n ), ∀n ∈ ℕ * ⇔ v n +1 = v n , ∀n ∈ ℕ * Vậy (v n ) cấp số nhân với số hạng ñầu tiên v1 = 1, công bội q = − Ta có = v1.qn−1 = (− )n−1, ∀n ∈ℕ * Suy un = (un − un−1) + (un−1 − un−2) ++ + (u2 − u1) + u1 = vn−1 + vn−2 + 1 − (− ) n −1 1 + + v + v1 + u1 = + + (− ) + (− ) + + (− ) n − = = + , ∀n ∈ ℕ * n 3 4.( − 3) − (− ) VD6 Tìm số hạng tổng quát dãy số ( un ) có u1 = c, un+1 = q.un + an + d , ∀n ∈ ℕ*, ñó a, c, d, q số xa.nguyenvan@gmail.com www.boxtailieu.net www.VNMATH.com TÂM SÁNG – CHÍ BỀN HD Với q = un+1 = un + an + d , ∀n ∈ ℕ * Ta nhận thấy u = u1 + a + d, u = u + 2a + d, , un−1 = un −2 + (n − 2)a + d,un = un−1 + (n −1)a + d ⇒ u2 + u3 + + un−1 + un = u1 + u2 + + un−2 + un−1 + +a(1 + + + (n − 2) + (n −1)) + (n −1)d ⇒ un = u1 + n(n −1) n(n −1) a + (n −1)d ⇒ un = c + a + (n −1)d, (n ∈ ℕ*) 2 Khi q ≠ 1, ta xét dãy phụ ( ) thỏa mãn un = + bn + e, n ∈ ℕ*, ñó b, e số, ta cố gắng chọn b, e thích hợp ñể ( ) cấp số nhân Từ ñẳng thức truy hồi ban ñầu ta có +1 = qvn + (qb + a − b)n + (qe + d − b − e), n ∈ ℕ*, dễ thấy ñể ( ) cấp số nhân cần có qb + a − b = qe + d − b − e = ⇔ b = a , e = d − a − qd ,(q ≠ 1) Lúc (với b, e trên) +1 = qvn 1− q (q − 1) nên ( ) cấp số nhân có công bội q Suy = (q − 1) aq + dq − d n −1 a.n d −a−qd (n ≥ 2) ).q + + 1−q (q −1)2 (q − 1)2 u Vậy, số hạng tổng quát ( un ) ñã cho :  n(n − 1) q = c + a + (n − 1)d , un =  aq + dq − d d − a − qd a n n −  (c + ).q + , q ≠ + 1−q (q −1)2  (q − 1)2 ne t tổng quát ( un ) un = (u1 + v1 q n−1 = (u1 + aq + dq −2 d ).q n−1 , từ ñó ta tính ñược số hạng ilie BÀI TẬP + 2u n u −1 , ∀n ∈ ℕ * ðặt v n = n Chứng minh (v n ) cấp số nhân tìm u n + un un + (n + 1)u n u 4) Cho (u n ) : u1 = , u n +1 = , ∀n ∈ ℕ * ðặt v n = n Chứng minh (v n ) cấp số nhân tìm u n 3n n n 5) Cho (u n ) : u1 = 1, u n +1 = u n + 2.(1 + ), ∀n ∈ ℕ * ðặt v n = u n − 3n Chứng minh dãy số (v n ) cấp số ox ta 3) Cho (u n ) : u1 = 0, u n +1 = b cộng tìm u n w w 6) Nêu cách xác ñịnh số hạng tổng quát dãy số ( u n) cho u1 = c, un+1 = q.un + P (n), ∀n ∈ ℕ * , ñó c, q số, P(n) ña thức bậc k cho trước w 3.5 TUYẾN TÍNH HOÁ MỘT SỐ DÃY PHI TUYẾN px + q a) Với dãy số (x n ) cho x1 = a, x n +1 = n , ∀n ∈ ℕ*, a, p, q, r, s số, ta xét hai dãy (u n ), rx n + s u (v n ) thoả mãn u1 = a, v1 = 1, u n +1 = pu n + qv n , v n +1 = ru n + sv n , ∀n ∈ ℕ*, x n = n Từ ñó tìm u n , v n , x n x2 + d b) Với dãy số (x n ) cho x1 = a, x n +1 = n , ∀n ∈ ℕ*, a, d số, d ≠ 0, ta xét hai dãy (u n ), 2x n u (v n ) thoả mãn u1 = a, v1 = 1, u n +1 = u n2 + dv 2n , v n +1 = 2u n v n , ∀n ∈ ℕ*, x n = n Từ ñó tìm u n , v n , x n xn VD7 Cho dãy (x n ) có x1 = 1, x n +1 = , ∀n ∈ ℕ*, tìm x n chứng minh x n < , ∀n ≥ 2 + xn n u HD Xét hai dãy (u n ), (vn ) thoả mãn u1 = v1 = 1, u n +1 = u n , v n +1 = u n + 2v n , ∀n ∈ ℕ*, x n = n Ta thấy x n = 1, ∀n ∈ ℕ * Và vn+1 = 2vn +1, ∀n ∈ ℕ* ⇔ vn+1 +1 = 2(vn +1), ∀n ∈ ℕ* Suy +1 = 2.(vn −1 +1) = 22 (vn −2 +1) = xa.nguyenvan@gmail.com www.boxtailieu.net www.VNMATH.com TÂM SÁNG – CHÍ BỀN u = = 2n −1 (v1 + 1) = 2n ⇒ v n = 2n − 1, ∀n ∈ ℕ * Vậy x n = n = , ∀n ∈ ℕ * Ta có 2n = C0n + C1n + Cnn > n − 1 > C0n + C1n = + n, ∀n ≥ 2, tức x n = < , ∀n ≥ n −1 n 2x n + , ∀n ∈ ℕ, tìm x n tìm phần nguyên S = x1 + x + + x n + xn u HD Xét hai dãy (u n ), (v n ) thoả mãn u = 2, v0 = 1, u n +1 = 2u n + v n , v n +1 = u n + 2v n , ∀n ∈ ℕ, x n = n Ta có u1 = 2u + v0 = 5, u n + = 2u n +1 + +1 = 2u n +1 + u n + 2vn = 2u n +1 + u n + 2(u n +1 − 2u n ) ⇒ u n + = 4u n +1 − 3u n , phương trình x − 4x + = ⇔ x = 1, x = 3, nên u n = A + B.3n , ∀n ∈ ℕ Do u = 2, u1 = nên A = , B = 2 VD8 Cho dãy (x n ) có x = 2, x n +1 = 3n +1 + un = , ∀n ∈ ℕ 3n +1 − = , ∀n ∈ ℕ 3n +1 + , ∀n ∈ ℕ ðặt 3n +1 − 32 + 33 + 3n + 3n +1 + 3n +1 + S = x1 + x + + x n = + + + + Lưu ý x n = = 1+ > 1, ∀n ∈ ℕ Ta có n n −1 n +1 n +1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 (1 + 2)n +1 = C0n +1 + C1n +1.2 + Cn2 +1.22 + + Cnn ++11.2n +1 ≥ C0n +1 + C n2 +1.22 = + (n + 1)n .4 = 2n(n + 1) + 1, ∀n ∈ ℕ * 2 1 Dẫn tới 3n +1 − ≥ 2n(n + 1), ∀n ∈ ℕ* ⇒ x n = + ≤ 1+ = 1+ − , ∀n ∈ ℕ * Do với n(n + 1) n n +1 3n +1 − 1 1 1 1 ∀n ∈ ℕ * S = x1 + x + + x n ≤ (1 + − ) + (1 + − ) + + (1 + − ) = n +1− < n + Mặt khác 2 n n +1 n +1 S = x1 + x + + x n > n, ∀n ∈ ℕ * Như n < S < n + 1, ∀ ∈ ℕ*, nên [S] = n, ∀∈ ℕ * Tính ñược Vậy xn = ox ta ilie u ne t Suy b MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI TÍNH CHẤT CỦA DÃY SỐ VD9 Cho số dương a1, a , , a13 thoả mãn a1 + a + + a13 ≥ 13 Chứng minh dãy (un) cho w n u n = a1n + a n2 + + a13 , ∀n ∈ ℕ*, dãy tăng không nghiêm ngặt HD Với số dương a số nguyên dương n ta có (a n − 1)(a − 1) ≥ nên a n +1 − a n ≥ a − Từ ñó suy w w n +1 n u n +1 − u n = (a1n +1 + a n2 +1 + + a13 ) − (a1n + a n2 + + a13 ) ≥ a1 + a + + a13 − 13 ≥ 0, ∀n ∈ℕ*, hay un+1 ≥ un , ∀n ∈ ℕ * Vậy (un) dãy số tăng không nghiêm ngặt −1 VD10 Chứng minh dãy số (un) cho u1 = 1, u n = , ∀n = 2,3, dãy số giảm bị chặn + u n −1 −3 + −3 + , ∀n ∈ ℕ * Thật vậy, với n = u1 = > Giả sử 2 −3 + 3+ 3− −1 −3 + ⇒ < = ⇒ u k +1 = > Theo nguyên lí uk > Khi ñó + u k > + uk + + uk 2 HD * Trước hết ta chứng minh u n > −3 + −3 + , ∀n ∈ ℕ*, tức (un) bị chặn 2 u + 3u n + 1 −3 + * Bây ta xét hiệu u n − u n +1 = u n + = n > 0, ∀n ∈ ℕ*, u n > , ∀n ∈ ℕ * Vậy (un) + un + un dãy số giảm qui nạp toán học, ta có u n > * Vì (un) giảm nên = u1 > u > > u n > u n +1 > suy (un) bị chặn Vậy (un) dãy số bị chặn xa.nguyenvan@gmail.com www.boxtailieu.net www.VNMATH.com TÂM SÁNG – CHÍ BỀN Nhận xét Ta có kết luận tương tự ñối với dãy số (un) cho u1 = α , u n = −a , ∀n = 2,3, , với a, b, c b + cu n −1 −b + b − 4ac dương, b − 4ac > 0, α > 2c VD11 Xét tính ñơn ñiệu bị chặn dãy số (un) có x1 > 0, x n +1 = a (x n + ), ∀n ∈ ℕ*, ñó a > số xn a HD Do x1 > 0, a > x n +1 = (x n + ), ∀n ∈ ℕ*, nên qui nạp ta chứng minh ñược x n > 0, ∀n ∈ ℕ*, xn x a tức dãy (un) bị chặn Áp dụng bất ñẳng thức Côsi ta có x n = (x n −1 + ) ≥ a , ∀n ≥ Do ñó n +1 = xn x n −1 a a = + ≤ + = 1, ∀n ≥ Suy (un) dãy giảm không nghiệm ngặt, kể từ số hạng thứ trở ñi Dễ thấy 2x 2n 2a ilie u ne t (un) bị chặn Vậy (un) dãy bị chặn BÀI TẬP 7) Cho dãy (x n ) : x1 = 7, x = 50, x n + = 4x n +1 + 5x n − 1975, ∀n ∈ ℕ * Chứng minh x1996 ⋮1997 8) Cho dãy số nguyên (x n ) : x1 = 15, x = 35, x = 405, x n + = 6x n + + 13x n +1 − 42x n , ∀n ∈ ℕ * Tìm số hạng dãy mà chữ số tận số hạng ñó số w w w b ox ta GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Chúng lưu ý kí hiệu n biến số nguyên dương, n0 số nguyên dương (trừ trường hợp có thích cụ thể) Một dãy số có giới hạn hữu hạn ñược gọi dãy số hội tụ, có giới hạn vô cực giới hạn ta nói phân kì Khi xét giới hạn dãy số (un) ta xét số hạng dãy kể từ số hạng thứ n0 trở ñi, tức việc thay ñổi hữu hạn số hạng ñầu tiên dãy số không làm ảnh hưởng ñến tính hội tụ, không làm ảnh hưởng ñến giới hạn (nếu có) dãy số ñó Giới hạn dãy số (nếu có) Tức limun = u limun+k = limun-k = u, với k số nguyên dương tùy ý limun = ⇔ lim|un| = limun = u ⇔ lim|un – u| = limun = u ⇔ limu2n = limu2n+1 = u Nếu limun = u lim|un| = |u| lim u kn = uk (k nguyên dương), lim 1 = (u ≠ 0) un u Nếu un < un+1 < M (∀n ≥ n0) (un) hội tụ, limun = u ≤ M, un < u (∀n ≥ n0) Nếu un ≤ un+1 ≤ M (∀n ≥ n0) (un) hội tụ, limun = u ≤ M, un ≤ u (∀n ≥ n0) Nếu un ≤ un+1(∀n ≥ n0) (un) không bị chặn limun = + ∞ Nếu un > un+1 > m (∀n ≥ n0) (un) hội tụ, limun = u ≥ m, un > u (∀n ≥ n0) Nếu un ≥ un+1 ≥ m (∀n ≥ n0) (un) hội tụ, limun = u ≥ m, un ≥ u (∀n ≥ n0) Nếu un ≥ un+1(∀n ≥ n0) (un) không bị chặn limun = – ∞ Một dãy số hội tụ bị chặn Nếu xn ≤ yn ≤ zn (hoặc xn < yn < zn ) với ∀n ≥ n0, ñồng thời limxn = limzn = a limyn = a (nguyên lí giới hạn kẹp) Nếu un ≥ (hoặc un > 0) với ∀n ≥ n0, limun = u u ≥ lim u n = u xa.nguyenvan@gmail.com www.boxtailieu.net www.VNMATH.com TÂM SÁNG – CHÍ BỀN Giả sử un ≤ (hoặc un < vn) với ∀n ≥ n0 Khi ñó: • Nếu limun = u, limvn = v u ≤ v • Nếu limun = + ∞ limvn = + ∞ • Nếu limvn = – ∞ limun = – ∞ n    1 Ta có lim 1 +  = e Nếu limun = + ∞ limun = – ∞ lim 1 +   n  un  Nếu (un) bị chặn limvn = lim(unvn) = un = e 2a n −1.a n +1 , ∀ n > Tìm lim an a n −1 + a n +1 2a a 2a k a k + HD Nếu tồn số nguyên dương k cho ak = a k+1 = = , suy a k+2 = k+1 k +3 = , a k + a k +2 a k+1 + a k +3 2a k a k + dẫn tới a k+1 = nghĩa Do an ≠ 0, ∀ n ∈ N * Bây ta ñặt un = (∀ n ∈ N *), un a k + a k +2 an ≠ (∀ n ∈ N *), thay vào ñẳng thức ñề ta ñược un = (un-1+ un+1), ∀n >1, suy (un) cấp số cộng có công a1 sai d, số hạng tổng quát un = u1 + (n – 1)d ≠ 0, với n ∈ N * Như a n = (∀ n ∈ N *) + (n − 1)da1 ilie u ne t VD12 Cho dãy số (an) thỏa mãn a n = Nếu d = (⇔ u1 = u2 = …⇔ a1 = a2 = …) an = a1(∀ n ∈ N *) lim an = a1 Nếu d ≠ (⇔ số hạng ox ta dãy (un) phân biệt ⇔ số hạng dãy (an) phân biệt) lim a n = lim a1 = + ( n − 1) d a b Vậy, số hạng (an) lim an = a1, số hạng dãy (an) phân biệt lim an = w w w  0, q <  1, q =  n  VD13 Chứng minh limq = + ∞, q >  không tô`n tai, q ≤ −1  HD Nếu q = có limqn = Và q = có limqn = Nếu 0)⇒ n = (1 + a)n = C0n + a.C1n + + a n Cnn ≥1 + na > 0, với ∀ n ∈ N * q q 1 , với ∀ n ∈ N * Vì a > nên lim = Theo nguyên lí giới hạn kẹp lim|q|n = 0, + na + na Nếu q > < q < nên theo chứng minh lim = Ta ñi ñến limqn = + ∞ n q Nếu q = –1 limq2n = limq2n+1 = –1 nên không tồn limqn Nếu q < – q2 > nên limq2n = lim(q2)n = + ∞, limq2n+1 = lim[q.(q2)n] = – ∞, không tồn limqn VD14 Cho dãy số (an) thỏa mãn an ≤ an+1 – a 2n +1 , ∀n ∈ ℕ * Tìm giới hạn liman xa.nguyenvan@gmail.com www.boxtailieu.net www.VNMATH.com TÂM SÁNG – CHÍ BỀN , ∀n ∈ℕ * Tức (an) dãy bị chặn không giảm Do ñó (an) có giới hạn hữu hạn liman = a Lấy giới hạn hạn hai vế bất ñẳng thức ñề cho, ñược a ≤ a – a2, hay a = Vậy liman = HD Từ an ≤ an+1 – a 2n +1 , ∀n ∈ ℕ * , suy an ≤ an+1 an ≤ VD15 Cho dãy số (xn) thỏa mãn x1 = 3, x n+1 − 3x n +1 = + x n , ∀ n ∈ N * Tìm giới hạn lim xn HD Ta thấy x1 = > Giả sử xk > 2, lúc x 3k+1 − 3x k +1 = + x k > + = nên x 3k+1 − 3x k +1 − > ⇔ (xk+1 + 1)2(xk+1 – 2) > ⇔ xk+1 > Tức xn > 2, ∀ n ∈ N * Xét hàm số f(t) = t3 – 3t, có f ’(t) = 3t2 – = 3(t + 1)(t – 1) > 0, ∀ t > 2, suy f(t) ñồng biến khoảng (2; + ∞) Kiểm tra thấy x13 − 3x1 = 18 x 32 − 3x = ⇒ > f(x1) > ⇒ x1 > f(x2) x2 Giả sử xk > xk+1 ⇒ + x k > > + x k+1 ⇒ x k+1 − 3x k +1 > x 3k+2 − 3x k + ⇒ f(xk+1) > f(x k +2) ⇒ xk+1 > xk+2 Do ñó xn > xn+1 với ∀ n ∈ N * Dãy (xn) giảm bị chặn nên tồn giới hạn hữu hạn lim xn = x ≥ Lấy giới hạn hai vế ñẳng thức ñề + x ⇔ x6 – 6x4 + 9x2 = x + (vì x ≥ nên x3 – 3x > 0) ⇔ x6 – 6x4 + 9x2 – 2 3 ne t ta ñược x3 – 3x = x –2=0⇔ u (x – 2).(x + 2x – 2x – 4x + x + 1) = ⇔ (x – 2).(x (x – 4) + 2x (x – 1) + x + 1) = ⇔ x = (do x ≥ 2) Vậy limxn = VD16 Tính giới hạn: a) c ilie [(2+ 3) n ] lim , ñó [x] phần nguyên số thực x, tức số nguyên lớn không vượt x (2+ 3) n b ox ta n 1 2n − b) lim( + + + + ) c) lim d)lim n n e) lim n n (a > 1, c > 0) n 2 a n! 2 n n (2 + 3) + (2 − 3) , nhờ công thức khai triển nhị thức Niuton ta thấy an số nguyên HD a) ðặt a n = dương Mặt khác – 1< – (2 − 3) < nên có [(2+ 3) n ] = [2an – (2 − 3) ] = 2an +[– (2 − n n 3)n ] = 2an – w w w 2a n − 1 [(2+ 3) n ] (2 + 3)n + (2 − 3) n − 1 + − Vậy lim = lim = lim = lim( ) = (2+ 3) n (7 + 3) n (2+ 3) n (2+ 3) n (2+ 3)n Nhận xét Với x, y, n, r nguyên dương, r không số phương tồn hai dãy số nguyên dương (an) (bn) cho (x +y r )n = an + bn r ; (x y r )n = an - bn r ; với an = (x + y r)n + (x − y r)n (x + y r)n − (x − y r)n , bn = 2 b) Ta ñặt xn = =2+ 2n − 1 2n − + + + + n ⇒ 2xn = + + + + n-1 Ta có xn = 2xn – xn = 2 2 2 1 n 1 1 − 2n + + + n −2 + n = – n − + n – n −1 Dễ thấy lim n − = lim n = Với n > 2 2 2 2 2 n−1 ta có 2n −1 = Cn−1 + Cn−1 + Cn−1 + + Cn−1 ≥ C 2n −1 = Mà lim 2n n − 3n + 2 n − 3n + 2n > Từ ñó suy < n < , ∀ n > n − 2 n − 3n + n = nên lim n −1 = Vậy lim xn = xa.nguyenvan@gmail.com www.boxtailieu.net www.VNMATH.com TÂM SÁNG – CHÍ BỀN  n  n c) Với hai số a > c > ta biến ñổi n = n a  ac c  c  =  n  ñó b = a c – > Nhận thấy với n ≥   (1+b) n   (n − n)b n 2 n n 2 n > suy < < , ∀ n ∈ N * (1 + b) = Cn + bCn + b Cn + + b Cn ≥ b Cn = n (1+b) (n − 1)b c c  n  n nc Từ ñây lim = nên lim = 0, dẫn tới lim = lim =  n  (n − 1)b (1+b)n an (1+b)   n d) Với n ≥ ta có  C1n C2n C3n Cnn n − n − 3n +  + = C + + + + + ≥ + n + + = n   n n n n n n  nn 1 n n n n n n n n n n( n − 3) + n+ + + > + =n+ − =n+ ≥ n Dẫn ñến < n n < + với 2 6 6 n n n ≥ Mà lim (1 + ) = nên suy lim n n = n log a n Nhận xét Với a >0, a ≠ 1, lim = n 1 , ∀ n ∈ N * Mặt khác ∀k = 1, n ta có e) Trước hết ta có n! = 1.2.3…n ≤ nn ⇒ ≤ n n n! ilie u ne t = b ox ta (n − k)(k − 1) ≥ ⇒ k(n − k + 1) ≥ n , cho k chạy từ ñến n ta thu ñược n bất ñẳng thức mà hai vế ñều dương, nhân 1 n bất ñẳng thức này, vế với vế tương ứng, ta ñược (n!)2 ≥ nn hay ≤ , ∀n ∈ ℕ* Từ n n! n 1 1 1 ≤n ≤ , ∀n ∈ ℕ* , lim = lim = suy lim = n n n n! n n n! w VD17 Cho dãy số (un) thỏa mãn u1 = – 2, un+1 = un , ∀ n ∈ N * − un w a Chứng minh un < 0, ∀ n ∈ N * 1+ u n , ∀ n ∈ N * Chứng minh (vn) cấp số cộng un w b ðặt = c Tìm công thức số hạng tổng quát (un), (vn), tính giới hạn limun, limvn HD a) Ta chứng minh un < (∀ n ∈ N *) phương pháp quy nạp toán học Rõ ràng u1 = – < Bây giả uk < Vậy un < (∀ n ∈ N *) − uk 1+ u n 1− un b) ðặt = ≠ un = Ta có v1 = ta có = Từ un+1 = un − −2 1− un 1 1 = : (1 − ) hay vn+1 = – (∀ n ∈ N *) Vậy (vn) cấp số cộng có số hạng ñầu tiên v1= , v n+1 − v n − − sử uk < ⇒ – uk > Dẫn tới uk+1 = công sai d = –1 xa.nguyenvan@gmail.com www.boxtailieu.net www.VNMATH.com TÂM SÁNG – CHÍ BỀN c) Từ câu b ta có = 1 – n, un = = hay un = (∀ n ∈ N *) Như limun = 0, − − n − 1 − 2n limvn = – ∞ VD18 Cho dãy số (un) thỏa mãn < un < un+1 < – với n ∈ N * Chứng minh un > , ∀ n ∈ N * 4u n HD Từ < un < un+1 < – 1 suy un(1 – un+1) > (∀ n ∈ N *) Áp dụng bất ñẳng thức Côsi cho hai số 4u n un – un+1 ta có un + (1 – un+1) ≥ u n (1 − u n+1 ) > = hay u n + − u n+1 > hay u n > u n+1 (∀ n ∈ N *) Dãy (un) giảm bị chặn nên có giới hạn hữu hạn lim u n = u ∈ [0; 1] Lấy giới hạn hai vế bất ñẳng thức 1 1 ta ñược u(1 – u) > ⇔ u = Tức limun = 4 2 (∀ n ∈ N *) phương pháp phản chứng Giả sử tồn số nguyên dương k Bây ta ñi chứng minh un > 1 cho uk ≤ Lúc ≥ uk > uk+1 > … > un+k > … , ∀ n ∈ N * Suy ≥ uk > uk+1≥ lim un + k = n→+∞ 2 2 (∀ n ∈ N *) ðiều vô lí Vậy un > BÀI TẬP 9) Tính giới hạn: 9) lim 11 + 22 + + n n nn w 7) lim w w b ox 13 33 53 (2n − 1)3 1) lim( + + + + ) n n n n3 1 3) lim( ) + + + 1.2 2.3 n(n + 1) 1 5) lim(cos + a.sin )n n n ta ilie u ne t un(1 – un+1) > + 2n + + 2010n n n 13 + 23 + + n 2) lim n4 2n − 4) lim( ) 2n 1 6) lim( ) + + + n2 +1 n2 + n n2 + n an 8) lim (với a > 0) n! 1 10) lim( + + + + ) n 10) Dãy số (xn) có x1 = a >0, x 2n+1 − x n = a (∀ n ∈ N *) Tìm limxn 11) Dãy số (an) có < an < an+1 = an(2 – an) với n ∈ N * Tìm limxn DÃY SỐ SINH BỞI PHƯƠNG TRÌNH VD19 Cho số nguyên dương n Chứng minh phương trình xn+1 = x + có nghiệm dương nhất, kí hiệu xn Tìm limxn HD Trước hết x > x + > 1, từ phương trình xn+1 = x + ⇒ xn+1> ⇒ x > Do ñó phương trình xn+1 = x + có nghiệm dương nghiệm ñó lớn Ta xét hàm số fn(x) = xn+1 – x – với x > 1, có ñạo hàm fn’(x) = (n + 1)xn –1 > (n + 1) – = n > với x > Suy fn(x) ñồng biến khoảng (1; + ∞) Từ ñây, tính liên tục fn(x), fn(1) = – 1< 0, lim f n (x) = +∞ , ta kết luận phương trình xn+1 = x + có nghiệm x→+∞ n+1 dương xn Tất nhiên xn > Do fn+1(x) liên tục, fn+1(1) = – 1< 0, fn+1(xn) = x n+2 n − xn −1 > xn − xn −1 = xa.nguyenvan@gmail.com www.boxtailieu.net www.VNMATH.com TÂM SÁNG – CHÍ BỀN = fn(xn) = 0, nên phương trình xn+2 = x + có nghiệm dương xn+1 < xn+1< xn Dãy (xn) giảm bị chặn nên có giới hạn hữu hạn limxn = a ≥ Do xn nghiệm dương phương trình xn+1 = x + nên 1 − = ⇒ x n = (1 + x n ) n +1 ⇒ limx n = lim(1 + x n ) n +1 = (1 + a ) = VD20 Cho n số nguyên dương > Chứng minh phương trình xn = x + có nghiệm dương nhất, ký hiệu xn Chứng minh xn dần n dần ñến vô tìm lim n( x n − 1) x n+1 n − xn n→ ∞ HD Rõ ràng xn > ðặt fn(x) = xn – x – Khi ñó fn+1(1) = - < fn+1(xn) = xnn+1 – xn – > xnn – xn – 1= =fn(xn) = Từ ñó ta suy < xn+1 < xn Suy dãy {xn} có giới hạn hữu hạn a Ta chứng minh a = Thật vậy, giả sử a > Khi ñó xn ≥ a với n ta tìm ñược n ñủ lớn cho: xnn ≥ an > xn + < 3, mâu thuẫn fn(xn) = ðể giải phần cuối toán, ta ñặt xn = + yn với lim yn = Thay vào phương trình fn(xn) = 0, ta ñược (1+yn)n = + yn Lấy logarith hai vế, ta ñược nln(1+yn) = ln(2+yn) Từ ñó suy lim nln(1+yn) = ln2 Nhưng lim ln(1+yn)/yn = nên từ ñây ta suy lim nyn = ln2, tức lim n( xn − 1) = ln n →∞ VD21 Ký hiệu xn nghiệm phương trình: 1 + + + = thuộc khoảng (0, 1) x x −1 x−n b ox ta ilie u ne t a) Chứng minh dãy {xn} hội tụ b) Hãy tìm giới hạn ñó HD Rõ ràng xn ñược xác ñịnh cách nhất, < xn < Ta có fn+1(xn) = fn(xn) + 1/(xn-n-1) = 1/(xn-n-1) < 0, ñó fn+1(0+) > Theo tính chất hàm liên tục, khoảng (0, xn) có nghiệm fn+1(x) Nghiệm ñó xn+1 Như ta ñã chứng minh ñược xn+1 < xn Tức dãy số {xn} giảm Do dãy bị chặn nên dãy số có giới hạn Ta chứng minh giới hạn nói ðể chứng minh ñiều này, ta cần ñến kết quen thuộc sau: + 1/2 + 1/3 + … + 1/n > ln(n) (Có thể chứng minh dễ dàng cách sử dụng ñánh giá ln(1+1/n) < 1/n) Thật vậy, giả sử lim xn = a > Khi ñó, dãy số giảm nên ta có xn ≥ a với n Do + 1/2 + 1/3 + … + 1/n +∞ n + ∞ nên tồn N cho với n ≥ N ta có + 1/2 + 1/3 + … + 1/n > 1/a Khi ñó với n ≥ N ta có = + + + < + + + + < − = Mâu thuẫn Vậy ta xn xn − xn − n xn −1 −2 −n a a phải có lim xn = w w w VD22 (VMO 2007) Cho số thực a > fn(x) = a10xn+10 + xn + …+x + a) Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình fn(x) = a có ñúng nghiệm dương b) Gọi nghiệm ñó xn, chứng minh dãy {xn} có giới hạn hữu hạn n dần ñến vô HD Kết câu a) hiển nhiên hàm fn(x) tăng (0, +∞) Dễ dàng nhận thấy < xn < Ta chứng minh dãy xn tăng, tức xn+1 > xn Tương tự lời giải trên, ta xét fn+1(xn) = a10xnn+11 + xnn+1 + xnn + … + x + = xnfn(xn) + = axn + 10 Vì ta ñã có fn+1(1) = a + n + > a nên ta cần chứng minh axn + < a suy xn < xn+1 < Như vậy, cần chứng minh xn < (a-1)/a Thật vậy, xn ≥ (a-1)/a n +1 n +10  a −1  fn (xn ) ≥ a10    a   a −1  1−   a  +  a −1 1− a n n  a −1   a −1  = (a −1)10   + a − (a −1)   >a  a   a  (do a – > 1) Vậy dãy số tăng {xn} tăng bị chặn nên hội tụ 1 1 + + + = x − 4x − n x −1 có nghiệm xn > Chứng minh n dần ñến vô cùng, xn dần ñến VD23 (VMO 2002) Cho n số nguyên dương Chứng minh phương trình HD ðặt fn(x) gọi xn nghiệm > phương trình fn(x) = Ta có fn (4) = 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + + + − = + + + − =  − + − + + − − =− −1 16 −1 (2n −1)(2n +1) 2  3 2n −1 2n  4n 4n −1 1.3 3.5 xa.nguyenvan@gmail.com www.boxtailieu.net www.VNMATH.com TÂM SÁNG – CHÍ BỀN Áp dụng ñịnh lý Lagrange, ta có : 1/4n = |fn(xn) – f(4)| = |f’(c)||xn-4| với c thuộc khoảng (xn, 4) Nhưng + + > n ên từ ñây |xn – 4| < 9/4n, suy lim xn = | f n '(c) |= 2 (c − 1) (4c − 1) VD24 Cho n số nguyên dương > Chứng minh phương trình xn = x2 + x + có nghiệm dương nhất, ký hiệu xn Hãy tìm số thực a cho giới hạn lim n ( x n − x n +1 ) tồn tại, hữu hạn khác a n→∞ HD ðặt Pn(x) = xn – x2 – x – Ta có Pn+1(x) = xn+1 – x2 – x – = xn+1 – xn + Pn(x) = xn(x-1) + Pn(x) Từ ñó Pn+1(xn) = xnn(xn-1) + Pn(xn) = (xn2+xn+1)(xn-1) = xn3 – Áp dụng ñịnh lý Lagrange, ta có: (xn2+xn+1)(xn – 1) = Pn+1(xn) – Pn+1(xn+1) = (xn – xn+1)Pn+1’(c) với c thuộc (xn+1, xn), Pn+1’(x) = (n+1)xn – 2x – Từ ñó (n+1)(xn+1+1+1/xn+1) – 2xn+1 – = Pn+1’(xn+1) < Pn+1’(c) < Pn+1’(xn)= (n+1)(xn2+xn+1) – 2xn – Từ ñây, với lưu ý lim xn = 1, ta suy : lim Pn +1 '(c ) = Tiếp tục sử dụng lim n(xn – 1) = 3, ta suy ra: n →∞ n ' lim nPn +1 (c)( xn − xn +1 ) = lim n( xn + xn + 1)( xn − 1) = 3ln(3) ⇔ lim n ( xn − xn +1 ) n →∞ n →∞ Pn' +1 (c) P ' (c ) = 3ln(3) ⇔ lim n ( xn − xn +1 ) lim n +1 = 3ln(3) n →∞ n →∞ n n ne t n →∞ ⇔ lim n ( xn − xn +1 )3 = 3ln(3) ⇔ lim n ( xn − xn +1 ) = ln(3) n →∞ n →∞ n x + có nghiệm dương nhất, kí hiệu xn Tìm w w w b ox ta BÀI TẬP 12) Với số nguyên dương n phương trình x = lim(n(xn – 1)) ilie u Vậy với c = giới hạn ñã cho tồn tại, hữu hạn khác Dễ thấy với c > giới hạn ñã cho vô nới c < giới hạn ñã cho Vậy c = ñáp số toán xa.nguyenvan@gmail.com www.boxtailieu.net [...]... Chứng minh dãy {xn} hội tụ b) Hãy tìm giới hạn ñó HD Rõ ràng xn ñược xác ñịnh 1 cách duy nhất, 0 < xn < 1 Ta có fn+1(xn) = fn(xn) + 1/(xn-n-1) = 1/(xn-n-1) < 0, trong khi ñó fn+1(0+) > 0 Theo tính chất của hàm liên tục, trên khoảng (0, xn) có ít nhất 1 nghiệm của fn+1(x) Nghiệm ñó chính là xn+1 Như thế ta ñã chứng minh ñược xn+1 < xn Tức là dãy số {xn} giảm Do dãy này bị chặn dưới bởi 0 nên dãy số có giới... ñó, do dãy số giảm nên ta có xn ≥ a với mọi n Do 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n +∞ khi n + ∞ nên tồn tại N sao cho với mọi n ≥ N ta có 1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n > 1/a Khi ñó với n ≥ N ta có 0 = 1 + 1 + + 1 < 1 + 1 + 1 + + 1 < 1 − 1 = 0 Mâu thuẫn Vậy ta xn xn − 1 xn − n xn −1 −2 −n a a phải có lim xn = 0 w w w VD22 (VMO 2007) Cho số thực a > 2 và fn(x) = a10xn+10 + xn + …+x + 1 a) Chứng minh với mỗi số nguyên...  a −1 1− a n n  a −1   a −1  = (a −1)10   + a − (a −1)   >a  a   a  (do a – 1 > 1) Vậy dãy số tăng {xn} tăng và bị chặn bởi 1 nên hội tụ 1 1 1 1 + + + 2 = x − 1 4x − 1 n x −1 2 có một nghiệm duy nhất xn > 1 Chứng minh rằng khi n dần ñến vô cùng, xn dần ñến 4 VD23 (VMO 2002) Cho n là một số nguyên dương Chứng minh rằng phương trình HD ðặt fn(x) như trên và gọi xn là nghiệm > 1 duy nhất... một nghiệm dương duy nhất, kí hiệu là xn Tìm w w w b ox ta BÀI TẬP 12) Với mỗi số nguyên dương n phương trình x = lim(n(xn – 1)) ilie u Vậy với c = 2 thì giới hạn ñã cho tồn tại, hữu hạn và khác 0 Dễ thấy với c > 2 thì giới hạn ñã cho bằng vô cùng và nới c < 2 thì giới hạn ñã cho bằng 0 Vậy c = 2 là ñáp số duy nhất của bài toán xa.nguyenvan@gmail.com www.boxtailieu.net ... nguyên dương n, phương trình fn(x) = a luôn có ñúng một nghiệm dương duy nhất b) Gọi nghiệm ñó là xn, chứng minh rằng dãy {xn} có giới hạn hữu hạn khi n dần ñến vô cùng HD Kết quả của câu a) là hiển nhiên vì hàm fn(x) tăng trên (0, +∞) Dễ dàng nhận thấy 0 < xn < 1 Ta sẽ chứng minh dãy xn tăng, tức là xn+1 > xn Tương tự như ở những lời giải trên, ta xét fn+1(xn) = a10xnn+11 + xnn+1 + xnn + … + x + 1... fn(xn) = 0, nên phương trình xn+2 = x + 1 có nghiệm dương duy nhất xn+1 và 1 < xn+1< xn Dãy (xn) giảm và bị chặn dưới bởi 1 nên có giới hạn hữu hạn limxn = a ≥ 1 Do xn là nghiệm dương của phương trình xn+1 = x + 1 nên 1 1 − 1 = 0 ⇒ x n = (1 + x n ) n +1 ⇒ limx n = lim(1 + x n ) n +1 = (1 + a ) = 1 VD20 Cho n là một số nguyên dương > 1 Chứng minh rằng phương trình xn = x + 1 có một nghiệm dương duy nhất,... thuộc khoảng (xn, 4) Nhưng do 1 4 1 + + > n ên từ ñây |xn – 4| < 9/4n, suy ra lim xn = 4 | f n '(c) |= 2 2 9 (c − 1) (4c − 1) VD24 Cho n là một số nguyên dương > 1 Chứng minh rằng phương trình xn = x2 + x + 1 có một nghiệm dương duy nhất, ký hiệu là xn Hãy tìm số thực a sao cho giới hạn lim n ( x n − x n +1 ) tồn tại, hữu hạn và khác 0 a n→∞ HD ðặt Pn(x) = xn – x2 – x – 1 Ta có Pn+1(x) = xn+1 – x2 –... 0 và fn+1(xn) = xnn+1 – xn – 1 > xnn – xn – 1= =fn(xn) = 0 Từ ñó ta suy ra 1 < xn+1 < xn Suy ra dãy {xn} có giới hạn hữu hạn a Ta chứng minh a = 1 Thật vậy, giả sử a > 1 Khi ñó xn ≥ a với mọi n và ta tìm ñược n ñủ lớn sao cho: xnn ≥ an > 3 và xn + 1 < 3, mâu thuẫn vì fn(xn) = 0 ðể giải phần cuối của bài toán, ta ñặt xn = 1 + yn với lim yn = 0 Thay vào phương trình fn(xn) = 0, ta ñược (1+yn)n = 2 + ... ⋮1997 8) Cho dãy số nguyên (x n ) : x1 = 15, x = 35, x = 405, x n + = 6x n + + 13x n +1 − 42x n , ∀n ∈ ℕ * Tìm số hạng dãy mà chữ số tận số hạng ñó số w w w b ox ta GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Chúng lưu... xét số hạng dãy kể từ số hạng thứ n0 trở ñi, tức việc thay ñổi hữu hạn số hạng ñầu tiên dãy số không làm ảnh hưởng ñến tính hội tụ, không làm ảnh hưởng ñến giới hạn (nếu có) dãy số ñó Giới hạn dãy. .. biến số nguyên dương, n0 số nguyên dương (trừ trường hợp có thích cụ thể) Một dãy số có giới hạn hữu hạn ñược gọi dãy số hội tụ, có giới hạn vô cực giới hạn ta nói phân kì Khi xét giới hạn dãy số