Chuyên đề dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi toán có lời giải

DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP... Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn.Bài 12... Cho dãy số  u nđược xác định như sau... Hãy xác định số hạ

CHUYÊN ĐỀ DÃY SỐ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN

1.1 DỰ ĐOÁN SỐ HẠNG TỔNG QUÁT VÀ CHỨNG MINH BẰNG QUY NẠP.

Bài 1. Cho dãy số  u n xác định bởi :

1 1

đúng với n k  1Vậyu n 10n , n  � n N

Bài 2. Cho dãy số ( )u biết n

Bài 3. Cho dãy số  u n

và 1

12

b/Tìm biểu thức f n .

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu a

Vì f n  � nên từ giả thiết (1) ta được: Z f n 1 �f n 1,  �n Z..

Kết hợp giả thiết (2) ta được  �n Z..

n   n  f f n��  ���f f n�� ��  n

do đó: f n  1 f n  1,  �n Z..Câu b

b)Cho dãy số  u n

có

1 1

Gọi d là công sai, số hạng thứ 2 là a Khi đó 3 số hạng đầu của csc là a d a a d , ,  .

Theo giả thiết ta có hệ:  2 2  2

9125

n u

n





Bài 6. Cho dãy số  u n xác định bởi : u11;u2 4;u n2 7u n1   �� u n 2, n *

Chứng minh : u là số chính phương với mọi n nguyên dương n

Hướng dẫn giải

Ta có u11;u2 4;u325.

Đặt

25

Từ hệ thức u u n2 n (u n11) ;2  �� và n * u u1; 2 là các số chính phương suy ra u n là số chính phương với

mọi n nguyên dương

Bài 7. Cho dãy số  a n n�1

tăng, a n   0 n 1, 2,3, và   Xét dãy số 0  x n n�1

xác định bởi1

 1

1 1

x n

*6

Hướng dẫn giải

Ta có:

1(3 ) (2 ) 2 (1)

Xét dãy ( )a , n n1, 2,�

được xác định như sau: 1

23

và

2 1

Thật vậy, khi n thì theo (2), ta có ngay (3).1

Giả sử mệnh đề (3) đúng với n k Khi đó

Tiếp theo ta chứng minh lima n  Thật vậy, ta thấy ngay 1 a n   �� Do đó:1 n * 1

, suy ra dãy ( )a tăng ngặt n

Dãy ( )a tăng và bị chặn trên nên hội tụ Đặt lim n a n  thì l l13l223

với l� , suy ra 11 l Vậylima n  1

Do đó từ (3) suy ra f x( )�x với mỗi x (đpcm).0

Bài 10. Tìm tất cả các hàm số f :� �� thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau đây.



� �� ��

� �.

Cố định x0�� ta có   20

x n

2 n 1

x n n

 ��  ��

� � ta có:.

0 2

20152016

Vậy dãy đã cho tăng và bị chặn trên nên có giới hạn hữu hạn.

Bài 12. Cho dãy số ( )u xác định như sau n

11;

2

.1

2

n n

Bài 13. Cho dãy số  u n

được xác định như sau

1

1,2013

1

1,2013

n n

u u

1(n1)nw n n n( 1)w n

.Lại có: 1 1

Hướng dẫn giải a) Dễ thấy u n   � 0, n N*

.Đặt x n   thì ta có:v n 1 x n1 3x n Từ đây suy ra  x n

là cấp số nhân với x1 , công bội là 3.2Nên: x n 2.3n1�v n 2.3n11�u n  2.3n11.

Giả sử u k 2k đúng với 1 k� �1,k N .

Ta chứng minh: 1 2k 1 1

k

u     Thật vậy: 1 2k 2k 1 2k 2k 1 1

a) Ta có:

2

2 tan8

k

a k u

1 12

u u

Suy ra khi chia v2013 cho 2011 ta được số dư là 152

Bài 22. Cho dãy số

* 1

1:

u u

u u u

9( ) : 3

, ( )2

n

v v

Vì phương trình đặc trưng của dãy  y n

có hai nghiệm phân biệt 2;5 nên  2 n 5n

B A

n n n

72:

n

u u

u u

b) Lập công thức tổng quát của dãy số  u n

Ta có

*7

n n

n

u x

2015 1

,2016

n

n n

u u

Ta có:

1

1

12016

.Giả sử: u k 1, (k1); Cần chứng minh: u k11

n n

2016

n n

23

u u

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy u n

.b) Tìm số dư khi chia u2016 cho 2015

Hướng dẫn giải

1 2

11

v v

b) Ta có u2016 2015! 2016 chia cho 2015 dư 1.

Bài 27. Xác định công thức số hạng tổng quát của dãy số

2 1

3:

y x

, khi đó ta được dãy  y n xác định như sau: 1

13

và2

1.2 DÃY SỐ CHO BỞI CÔNG THỨC TRUY HỒI.

Bài 1. Cho dãy số( )u n biết

11lim

Giả sử công thức (1) đúng với n k ta có: 10k

Vậy u n 10n n,  � n N

Bài 3. Cho dãy số ( )u n xác định bởi:

1

* 1

41( 4 4 1 2 ),9

Hướng dẫn giải

Đặt x n  1 2 u n �x n2  1 2 ,u n

210

u u

Do đó, v n   v1 n 1d 2n1, *

n

 �� .Vậy

Bài 5. Cho dãy số ( )u n xác định bởi: u1 1; *

và 1

12

n n n

u v u





  ��n *. Chứng minh dãy số  v n

là một cấp số cộng Tìm số hạngtổng quát của dãy số  u n .

   Thử lại thấy dãy số này thỏa mãn.

Vậy số hạng tổng quát của dãy số  u n là n 33 2

n u

1.3 PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG.

Bài 1. Cho dãy số  u n xác định bởi u11,u2 2, u n2  u n 2u n1, n� Tìm 1

1lim n n n

u u

Ta thấy chỉ có a b  1 2 thỏa mãn và đây là giới hạn cần tìm.

Bài 2. Tìm số các dãy số  u n thỏa mãn điều kiện:

2 1 2004

12

Quy nạp ta được: u n sin2(2n1a) 1 12 2 cos(2 )n

.2004

thỏa điều kiện đã cho

Bài 3. Cho x x1, , , , 2 x n là các nghiệm dương của phương trình tan x x được sắp theo thứ tự tăng

a�� để dãy số ( )u có giới hạn hữu hạn và tính giới hạn đó n

Hướng dẫn giải

Ta có: u n1 u n�(u n a)2 0 u n1 u n; n 1, 2,3, .

* Suy ra dãy số ( )u tăng; từ đó dãy số ( ) n u có giới hạn hữu hạn khi và chỉ khi dãy bị chặn trên n

Giả sử tồn tại limu n L L( �� , thì chuyển qua giới hạn hệ thức ) 2 2

- Nếu có chỉ số k��* mà u k  thì a u n   � nên L a a; n k  trái với kết quả limu n   L a

Do đó: u k � với mọi a k1, 2, hay u n2 (1 2 )a u n a2 �a, n 1, 2,3, nói riêng

Bằng quy nạp ta chứng minh được a1� �u n a,  n 1, 2,3, (H/s trình bày ra).

Như vậy dãy ( )u tăng, bị chặn trên bới a , do đó dãy ( ) n u có giới hạn hữu hạn n

Kết luận: Với điều kiện 2014� �a 2015 thì dãy số ( )u có giới hạn hữu hạn và lim n u n a

Bài 5. Cho hai dãy số  a n

a b

 

 ;b n1 a n1.b n , n1, 2,�.Chứng minh rằng  a n và  b n có cùng giới hạn, tìm giới hạn đó.

n n n

9sin cos sin

n n n



Bài 6. Cho dãy số (xn) thỏa mãn:

1

2

12

Hướng dẫn giải

*) Ta chứng minh x n  n2  

12

trung bình của tam giác ABC .

Xây dựng dãy các tam giác A B C 1 1 1, A B C 2 2 2, A B C3 3 3, sao cho tam giác A B C là một tam giác đều1 1 1

cạnh bằng 1 và với mỗi số nguyên n�2, tam giác A B C là tam giác trung bình của tam giác n n n

A B C   Với mỗi số nguyên dương n , kí hiệu r tương ứng là bán kính của đường tròn ngoại tiếp n

tam giác A B C Chứng minh rằng dãy số n n n  r n

là một cấp số nhân Hãy xác định số hạng tổng quát củacấp số nhân đó?

Hướng dẫn giải

+  r n

là một cấp số nhân với công bội

12

và số hạng đầu 1

1.3

+ Số hạng tổng quát: 1

1.3.2

a) Chứng minh rằng dãy số  b n

là một cấp số cộng Hãy xác định số hạng đầu và công sai của cấp sốcộng đó

b) Cho số nguyên dương N Hãy tính tổng N số hạng đầu tiên của dãy số  b n

theo N Từ đó, hãy suy

ra số hạng tổng quát của dãy số  a n .

Hướng dẫn giải

a) Từ giả thiết �b n 2n1� b n là một cấp số cộng với số hạng đầu b1 và công sai 2.1 d

b) + Tổng N số hạng đầu của dãy  b n là: S N N2..

+ Số hạng tổng quát của dãy  a n

u v

u 

, thì dãy (v ) n

2048 2 2048

n n n

1.6 SỬ DỤNG PHÉP THẾ LƯỢNG GIÁC

Bài 1. Cho dãy số  U n

1 1

U U

2

2 3

1 3 2

n n

1 tan

12

n n

n

u u

1.7 CÁC DẠNG KHÁC Bài 1.

a/Tìm p N� * sao cho hệ

1 1 1 1

44

0, 1,

p i i p i i

p :Khi đó: x i 1,i�1, 4 Vậy hệ có nghiệm.

1 (1 1)

p i

2 1 1

1( , )

1

a a

3 3lim g(x)= ; lim g(x)=+

n

i i

, k0,n.

Do đó 1

1max ( )

2n

Vậy   1;1  1

1min max | ( ) |

Bài 4. Cho dãy số dương  x n

thoả mãn: x nx n12x n2 với mọi số tự nhiên n� Chứng minh rằng1dãy {xn} hội tụ

Tóm lại, cả hai trường hợp đều dẫn đến x n a .

Vậy dãy số {xn} hội tụ

Bài 5. Cho phương trình x2x 1 0 với  là số nguyên dương Gọi  là nghiệm dương của

phương trình Dãy số  x n được xác định như sau:.

Bài 6. Cho dãy  a n

với n > 0 được xác định bởi:

n Chứng minh tồn tại vô số số nguyên dương n để 2015 là một ước của b n..

Mệnh đề đúng với n1; 2;3; 4. Giả sử mệnh đề đúng đến n Khi đó ta có:.3

n4b n4 2n3F n3 n 2F n22n1F n1nF n..

Dùng công thức của dãy Fibonaci : F m2 F m1F m ta dễ dàng biến đổi vế phải thành n4F n4.

suy ra b n4 F n4..

Vậy mệnh đề đúng với n  , do đó nó đúng với mọi n nguyên dương.4

Điều đó chứng tỏ a n luôn chia hết cho n với mọi n nguyên dương.

b) Gọi r n là số dư của b n cho 2015 với n1; 2;3 .

Trước tiên ta chứng minh  r n

là một dãy tuần hoàn Thật vậy: Ta có

Bằng quy nạp ta chứng minh được: r m k r m T k  với k1; 2;3; ;m1. (2).

Từ (1) và (2) suy ra  r n ,n0là một dãy tuần hoàn.

Bổ sung vào dãy  b n

phần tử b0 0 thỏa mãn b0 b1 b2 suy ra r0 0..

Khi đó dãy  r n là dãy tuần hoàn bắt đầu từ phần tử đầu tiên r0 0. Do đó tồn tại vô số phần tử trong dãy

 r n

bằng 0.Như vậy câu b) được chứng minh xong

Bài 7. Cho dãy số  u n

được xác định như sau: u0 0,u11, u n2 2u n1u n,n0,1, 2, Chứng minhrằng

Khi đó ta được dãy  S n được xác định như sau: S1 2, S2 6,

S    S n1, 2, .

Do S1 �2 mod 4 ,  S2 �2 mod 4  nên bằng quy nạp ta được: S n �2 mod 4  hay

Một số chính phương khi chia 4 có số dư là 0 hoặc 1

Vì vậy từ số hạng thứ 3 trở đi, dãy không có số chính phương nào

Nếu cả a và 1 a đều chính phương, giả sử 2 2

Trường hợp 1:

3 3

12019

b a

3673

b a



�

� �



� , vô lí do 335 không là lập phương.

Vậy điều giả sử sai, nghĩa là dãy trên có nhiều nhất 1 số chính phương

Bài 9. Cho dãy  u n

thỏa mãn các điều kiện sau :

2 3 9999

{0;1}

003333

Khi đó 22n11 3 c3 Mặt khác n chẵn suy ra n lẻ suy ra 1 2n 1 M1 3 khi đó đặt.

1

2 n 2k �23k 3 c3 �c2k c2c.2k 22k3

mà c2c.2k22k  c 2k nên:.

2 2

2k 1; 2k 2 k 3

c  c c   (2) Giải hệ (2) ta được hệ không có nghiệm nguyên với mọi k suy ra0không tồn tại n chẵn

Vậy không tồn tại n chẵn để  x n 3 là lập phương của một số tự nhiên.

Bài 11. Cho dãy số  u n

được xác định như sau: u0 0,u11,u n2 2u n1u n n, 0,1, 2, Chứng minhrằng

Khi đó ta được dãy  S n

được xác định như sau:

u

khi và chỉ khi 2

k n

Bài 12. Cho dãy số thực  x n

được xác định như sau:

1 1

thì

10,2

n

x    n

.Vậy

Giả sử n là số thỏa mãn x x n1 n500 là số chính phương.

Đặt x x n1 n500b x x2, n1 n 1 a a b2, , ��,a b .

Ta có 2 2    

a  b � a b a b    .

Khi đó ta tìm được a = 201, b=1 thì x x n1 n 12600�n2.

Với a = 85, b =82 thì 1

72245

(ở đây n2016 ) Ta sẽ chứng minh (5) đúng với mọi n Khi đó nó sẽ đúng với n2016.

Do u n nguyên dương với mọi n , (5) tương đương.

Như thế với n k  , ta thu được:.1

Từ (8) suy ra (6) đúng với mọi n2,3, .

Vì vậy (5) đúng n2016 Ta có điều phải chứng minh!.

Bài 5. Cho dãy ( )a n n� 1

n

n n

� �

� �

� �.Dẫn đến

limlim

k k

2

5 105

Trường hợp n2k , chú ý 1 2 1

5 52

1 2

*

12

u u

Do n là số nguyên tố lớn hơn 2

( 1)2

nên u chia hết cho 6 n

Mặt khác n là số nguyên tố nên theo định lý Fermat.

n n

n n

Suy ra u chia hết cho 6n n

Bài 8. Cho dãy số  x n

a) Chứng minh x n 5n1, với mọi n� 2

b) Đặt 1

13

p i i

u





� chia hết cho p

Hướng dẫn giải

p i

i  p i cũng chia hết cho

, 1, 1

p i  p nên: 1 3  3

1(3 3)

p p

2014 1007 (3 3)

p i

Bài 10. Cho dãy số  x n

Giả sử n là số thỏa mãn x x n1 n500 là số chính phương.

n n

x x  �n

Vậy n = 2 thì x n1.x n là số chính phương.1

Bài 11. Bài 3 Cho phương trình x2x 1 0 với  là số nguyên dương Gọi  là nghiệm dương

của phương trình Dãy số  x n được xác định như sau x0 , x n1 x n, n0,1,2,3, .

Chứng minh rằng tồn tại vô hạn số tự nhiên n sao cho x chia hết cho n  .

Thật vậy, xét dãy số (x n ) xác định bởi

ta chứng minh (1) đúng với n = k+2, nghĩa là chứng minh v k2 x k22.

Thật vậy, theo công thức truy hồi của dãy số  a n

, giả thiết quy nạp, tính chất (2) của dãy số  x n

, côngthức truy hồi của dãy số  x n

Do đó v là số chính phương Vậy ta có điều phải chứng minh n

Bài 13. Cho dãy số( )x n được xác định bởi x n 2013n a 38n3  1, n 1, 2, a là số thực

a))Tìm a sao cho dãy số có giới hạn hữu hạn

b)Tìm a sao cho dãy số ( )x là dãy số tăng (kể từ số hạng nào đó) n

a 

.b)Từ lý luận phần a) ta suy ra)

201322013lim 0

220132

Bởi vậy điều kiện cần để tồn tại m N� *sao cho x mx m1x m2  là a�20132

Ta đi chứng minh

20132

a�

là điều kiện đủ để có kết luận trên

Thật vậy: Với

20132

a�

và trong trường hợp đó ( )x n là dãy số

tăng từ x1.