CÁC CHUYÊN đề CHỌN lọc bồi DƯỠNG học SINH GIỎI TOÁN thpt (rất hay)

Các chuyên đề tập trung vào các lĩnh vực khác nhau của Toán học như: Số học, Hình học, Tổ hợp, Dãy số,Bất đẳng thức, Phương trình, Bất phương trình.. Nguyễn Văn Ngọc, Một số bất đẳng thứ

LỜI MỞ ĐẦU

Nguyễn Văn Phê

Tỉnh ủy viên - Giám đốc Sở GD& ĐT Hưng Yên

Thực hiện Nghị quyết 29-NQ/TW Hội nghị lần thứ 8, Ban Chấp hành Trung ương khóa

XI về đổi mới căn bản, toàn diện giáo dục và đào tạo; Nghị quyết số 09-NQ/TU ngày4/10/2016 của Ban Chấp hành Đảng bộ tỉnh khóa XVIII về Chương trình phát triển GD

& ĐT tỉnh Hưng Yên giai đoạn 2016-2020, một số định hướng đến năm 2025; Kế hoạch321/KH_UBND ngày 29/12/2016 của UBND tỉnh Hưng Yên về thực hiện Nghị quyết số 09-NQ/TU ngày 4/10/2016 của Ban Chấp hành Đảng bộ tỉnh khóa XVIII, Sở GD & ĐT Hưng

Yên phối hợp với Hội Toán học Hà Nội tổ chức Hội thảo Các chuyên đề chọn lọc bồi dưỡng học

sinh giỏi Toán THPTtỉnh Hưng Yên lần thứ Nhất năm 2017

Trong những năm qua, công tác phát hiện và bồi dưỡng học sinh giỏi của tỉnh luôn đượcquan tâm chú trọng Hằng năm, Sở GD & DT tổ chức kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh các mônvăn hóa cho học sinh lớp 9 và học sinh THPT, làm tốt công tác tuyển chọn và bồi dưỡng chohọc sinh tham gia kì thi Học sinh giỏi cấp quốc gia THPT Kết quả kì thi chọn học sinh giỏiquốc gia hằng năm được giữ ổn định, trong đó có nhiều em đạt giải cao Trong 2 năm trở lạiđây, có 3 học sinh được tham gia thi Olympic Quốc tế Châu Á - Thái Bình Dương Song songvới việc bồi dưỡng học sinh, công tác đào tạo, bồi dưỡng đội ngũ giáo viên được quan tâm,như một khâu quan trọng tạo nên chất lượng công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Nhiều hộithảo, các lớp tập huấn chuyên môn được tổ chức hằng năm theo quy mô cấp tỉnh với mụctiêu nâng cao kiến thức, kĩ năng, nghiệp vụ sư phạm cho giáo viên

Hội thảo Các chuyên đề Toán học bồi dưỡng học sinh giỏi tỉnh Hưng Yên lần thứ Nhất năm

2017 được tổ chức nhằm đánh giá khách quan thực trạng công tác đào tạo, bồi dưỡng họcsinh giỏi, từ đó đề ra những giải pháp hữu hiệu nhằm đào tạo học sinh giỏi trong nhữngnăm tiếp theo

Hội thảo được vinh dự đón tiếp nhiều nhà khoa học, nhà giáo lão thành, các chuyên giaToán học đầu ngành, các chuyên gia giáo dục về với đất Hưng Yên ngàn năm Văn Hiến Ban

tổ chức Hội thảo hy vọng đây sẽ là cơ hội để các giáo viên bộ môn Toán của tỉnh Hưng Yên

và các tỉnh bạn được trao đổi, chia sẻ, rút ra những bài học kinh nghiệm quý báu trong côngtác bồi dưỡng học sinh giỏi nói chung, bộ môn Toán cấp THPT nói riêng Hội thảo Toán họccũng sẽ là tiền đề để chúng ta tổ chức những hội thảo tiếp theo đối với các bộ môn khoa họckhác

Nhân dịp này, Sở GD& ĐT Hưng Yên chân thành cảm ơn Hội Toán học Hà Nội, các nhàkhoa học, nhà giáo lão thành, các chuyên gia Toán học đầu ngành Sở GD & ĐT tỉnh ghinhận sự đóng góp của các chuyên gia giáo dục, lãnh đạo, cán bộ phụ trách chuyên môn của

Sở GD & ĐT, các thầy, cô giáo bộ môn Toán đã viết bài và tham gia Hội thảo Sự đóng gópcủa các đồng chí góp phần làm nên thành công của Hội thảo

T RƯỜNG T HPT C HUYÊN H ƯNG Y ÊN

-NƠI THẮP SÁNG NHỮNG TÀI NĂNG TOÁN HỌC

Nguyễn Thị Hồng Thúy

Hiệu trưởng trường THPT Chuyên Hưng Yên

Trường Trung học phổ thông Chuyên Hưng Yên được thành lập ngày 23 tháng 5 năm

1997 Ban đầu, trường có tên là trường Phổ thông Năng khiếu Hưng Yên Từ năm 2003 đếnnay, trường mang tên trường THPT Chuyên Hưng Yên Trường tọa lạc tại số 1, đường ChuVăn An, phường An Tảo, thành phố Hưng Yên Mục tiêu của nhà trường là xây dựng mộtngôi trường chất lượng cao, trong đó học sinh được bồi dưỡng năng khiếu, đồng thời đượcphát triển toàn diện về trí tuệ, năng lực tư duy, nghiên cứu và thể chất

Trải qua gần 20 năm kể từ khi thành lập đến nay, trường THPT Chuyên Hưng Yên khôngngừng phát triển lớn mạnh về mọi mặt Trong đó, công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, học sinhnăng khiếu được coi là nhiệm vụ trọng tâm hàng đầu Tính đến nay, trường đã có tổng số

714 học sinh đoạt giải học sinh giỏi Quốc gia, trong đó có 12 giải nhất, 85 giải nhì, 328 giải ba,

290 giải khuyến khích; có 1 học sinh đạt Huy chương Đồng quốc tế, 4 học sinh được thamgia dự thi Olympic Quốc tế Châu Á-Thái Bình Dương Đối với bộ môn Toán, nhà trường có

92 giải, trong đó có 1 giải nhất, 6 giải Nhì, 53 giải Ba, 32 giải khuyến khích; 1 học sinh đượctham gia dự thi Olympic Quốc tế Châu Á-Thái Bình Dương

Trong không khí của những ngày đầu xuân mới Đinh Dậu 2017, trường THPT Chuyên

Hưng Yên được vinh dự chọn là đơn vị đăng cai tổ chức Hội thảo Các chuyên đề chọn lọc bồi

dưỡng học sinh giỏi Toán THPTcủa ngành GD& ĐT Hưng Yên Đây là dịp sinh hoạt chuyênmôn bổ ích góp phần nâng cao chất lượng đội ngũ giáo viên, nâng cao chất lượng bồi dưỡnghọc sinh giỏi môn Toán, đồng thời cũng là hoạt động ý nghĩa hướng tới kỉ niệm 20 nămthành lập trường THPT Chuyên Hưng Yên (1997-2017)

Tham gia viết bài cho Hội thảo có 25 tác giả, nhóm tác giả là các chuyên gia đầu ngành

bộ môn Toán; hội viên Hội Toán học Hà Nội; Báo Toán học và Tuổi trẻ; giảng viên trườngĐại học Thăng Long, học viện An Ninh nhân dân; giáo viên bộ môn Toán thuộc các trườngTHPT của thành phố Hải Phòng, tỉnh Bắc Giang, Bình Định; giáo viên Toán các trường THPTChuyên ĐHSP Hà Nội, Vĩnh Phúc, Tuyên Quang và THPT Chuyên Hưng Yên Các chuyên

đề tập trung vào các lĩnh vực khác nhau của Toán học như: Số học, Hình học, Tổ hợp, Dãy số,Bất đẳng thức, Phương trình, Bất phương trình Nhiều chuyên đề có chất lượng chuyênmôn sâu, thể hiện sự đầu tư của tác giả trong nghiên cứu, tổng hợp Nhiều chuyên đề cótính ứng dụng cao và mới, có thể áp dụng trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi quốc gia.Hội thảo nhận được sự quan tâm sâu sắc của Lãnh đạo Sở GD& ĐT, Hội Toán học Hà Nội,các trường THPT, THPT Chuyên trong và ngoài tỉnh Nhân dịp này, trường THPT ChuyênHưng Yên xin chân thành cảm ơn sự quan tâm chỉ đạo của Ban Giám đốc Sở GD& ĐT, các

phòng chuyên môn thuộc Sở GD& ĐT; xin bày tỏ tình cảm biết ơn sâu sắc đến GS-TSKHNguyễn Văn Mậu và Hội Toán học Hà Nội đã phối hợp giúp đỡ về chuyên môn và công tác

tổ chức Hội thảo; xin cảm ơn các cán bộ quản lí, các thầy cô giáo đã tham gia và viết bài gópphần tạo nên thành công của Hội thảo

CHƯƠNG TRÌNH HỘI THẢO

Sáng ngày 25.02.201710h00-11h00 Họp Ban Tổ chức và Ban Chương trình

11h30-12h30 Ăn trưa

Chiều ngày 25.02.201713h30-13h45 Văn nghệ chào mừng

13h45-14h15 Khai mạc

Phát biểu chào mừng: Nguyễn Thị Hồng Thúy, HT trường THPT Chuyên Hưng YênPhát biểu khai mạc: Nguyễn Văn Phê, Giám đốc sở GD & ĐT Hưng Yên

Phát biểu đề dẫn: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, Chủ tịch hội THHN

14h15-15h15 CÁC BÁO CÁO MỜI PHIÊN HỌP TOÀN THỂ

Điều khiển: PGS.TS Trần Huy Hổ, PGS.TS Nguyễn Thủy Thanh

1 PGS.TS Đàm Văn Nhỉ, Một vài kết quả về đường bậc ba

2 TS Nguyễn Văn Ngọc, Một số bất đẳng thức của các hàm hyperbolic

3 TS Vũ Tiến Việt, Xung quanh một bài toán thi IMO

4 TS Nguyễn Việt Hải, Số lũy thừa

5 ThS Nguyễn Bá Đang, Tứ giác điều hòa

15h15-15h45 Nghỉ giải lao

15h45-17h45 CÁC BÁO CÁO CHUYÊN ĐỀ PHIÊN HỌP TOÀN THỂ

Điều khiển: PGS.TS Nguyến Minh Tuấn, PGS.TS Hà Tiến Ngoạn

6 Hoàng Minh Quân, Một số mở rộng và áp dụng của bất đẳng thức Klamkin

7 Đặng Thị Mến, Một số phương pháp giải phương trình hàm trên tập số nguyên

8 Trần Thị Lan Hương, Phương trình và hệ phương trình qua các kì thi học sinh giỏi

9 Huỳnh Duy Thủy, Tiếp cận các phương pháp tìm cực trị của một biểu thức đa biến

10 Lê Thị Mai, Một số dạng toán về bất đẳng thức đối với hàm phân thức

11 Vũ Văn Thưởng, Sử dụng bất đẳng thức Karamata khảo sát bất đẳng thức trong tam giác

12 Phan Ngọc Toản, Sử dụng tính chất giải tích trong các bài toán số học

13 Phạm Văn Dũng, Một số ứng dụng của định lý Lagrange

14 Mông Thanh Hằng, Phương pháp lượng giác giải phương trình đa thức bậc cao

17h45-18h00 Tổng kết hội thảo

Điều khiển: GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

18h30-20h30 Ăn tối và giao lưu văn nghệ

M ỤC LỤC

2 Đàm Văn Nhỉ, Một vài kết quả về đường bậc ba 5

4 Nguyễn Văn Ngọc, Một số bất đẳng thức của các hàm hyperbolic 23

6.Vũ Tiến Việt, Xung quanh một bài toán thi IMO 49

7 Nguyễn Duy Liên, Định lý thặng dư Trung hoa và một số ứng dụng 55

8 Hoàng Phương Anh, Lý thuyết đồ thị và ứng dụng 79

9 Phạm Văn Dũng - Hoàng Thị Nhung,

Phương pháp đạo hàm trong chứng minh bất đẳng thức 90

10 Phạm Văn Dũng - Hoàng Thị Minh Thúy, Một số ứng dụng của định lý Lagrange 105

11 Mông Thanh Hằng, Phương pháp lượng giác giải phương trình đa thức bậc cao 116

12 Lương Thị Hằng, Phương pháp hàm sinh xác định dãy số 130

13 Trần Thị Lan Hương,

Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình qua các kì thi học sinh giỏi 143

14 Lê Thị Mai,

Một số dạng toán về bất đẳng thức đối với hàm phân thức bậc hai trên bậc nhất 166

15 Đặng Thị Mến, Một số phương pháp giải phương trình hàm trên tập số nguyên 172

16 Đặng Thị Mến, Cấp của một số nguyên và ứng dụng giải một số bài toán số học 184

17 Hoàng Minh Quân - Ngụy Phan Tiến,

Một số mở rộng và áp dụng của bất đẳng thức Klamkin 193

18 Nguyễn Thị Tâm - Hoàng Thị Nhung - Trần Thi Hằng, Định lí Helly và ứng dụng 205

19 Vũ Thị Thuần - Nguyễn Thị Đan Quế, Số chính phương theo modul bậc tùy ý 214

20 Vũ Thị Thuần, Sử dụng đại lượng bất biến và đơn biến trong toán tổ hợp 226

21 Huỳnh Duy Thủy, Tiếp cận các phương pháp tìm cực trị của một biểu thức đa biến 241

22 Phan Ngọc Toàn, Sử dụng tính chất giải tích trong các bài toán số học 254

23 Đặng Thị Mến, Một số ứng dụng của số phức trong đại số và toán tổ hợp 259

24 Vũ Văn Thưởng, Sử dụng bất đẳng thức Karamata khảo sát bất đẳng thức trong tam giác 270

25 Quách Thị Tuyết Nhung, Một số bài toán về dãy số truy hồi tuyến tính cấp hai 279

26 Hoàng Tuấn Doanh, Một số tính chất của hàm số học cơ bản và áp dụng 290

M ỘT VÀI KẾT QUẢ VỀ ĐƯỜNG BẬC BA

lý Newton, Pappus, Brianchon và mở rộng bài toán con bướm Việc sử dụng phươngpháp đa thức và mở rộng trường cho ta hình dung được sự phát triển của môn Hình học

Sơ cấp từ đa thức bậc 0, đa thức bậc 1 rồi đến đa thức bậc 2 và tiếp tục phải xét đa thứcbậc 3 Bậc cao hơn nữa của hình học sẽ được tiếp tục nghiên cứu trong Hình học Đại số.Mục tiêu của chuyên đề nhằm trang bị một cách sâu sắc các kiến thức, rèn luyện tưduy và kĩ năng giải toán hình cho các em học sinh khá, giỏi; cho các em sinh viên, cáchọc viên cao học Với một vài bài toán mở để các em tập dượt nghiên cứu, xây dựng kếtquả mới

1 Định lý Pascal

Định lý 1 (Pascal) Giả sử 6 điểm A1,A2, ,A6nằm trên đường tròn(C).Khi đó, điểm giao

A= (A1A5) × (A2A4),B= (A3A4) × (A6A1),C= (A2A6) × (A3A5)thẳng hàng.

Định lý Menelaus, với tam giác IJK và các bộ ba điểm(A, A2,A4),(B, A1,A6),(C, A3,A5)

thuộc ba cạnh tương ứng thẳng hàng ta nhận được ba hệ thức sau:

Ví dụ 1 Giả sử tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong đường tròn(T).Giả sử giao I = AC×BD,

J = AB×CD và K là giao hai tiếp tuyến Bb và Cc của đường tròn tại B và C Khi đó ba điểm

I, J, K thẳng hàng.

Ví dụ 2 Giả sử 5 điểm A1,A2,A3,A4,A6 nằm trên đường tròn (C) Khi đó ba điểm giao

A = (A1A3) × (A2A4), B = (A3A4) × (A6A1)và C = (A2A6) × (A3t), ở đó A3t là tiếp tuyến với đường tròn(C)tại A3,thẳng hàng.

Hệ quả 1 (Newton) Giả sử đường tròn nội tiếp trong tứ giác lồi ABCD tiếp xúc với các cạnh

AB, BC, CD, DA tại E, F, G, H, tương ứng Khi đó, bốn đường thẳng AC, BD, EG, FH đồng quy tại một điểm.

GD, HD nên, theo Định lý Pascal, Định lý 1, cho 6 điểm E, G, G, F, H, H có ba điểm

O, D, X thẳng hàng Tương tự, với 6 điểm E, E, H, F, F, G ta cũng có B, X, O thẳng hàng.

Ta đã có : BD, EG, FH đồng quy tại O Hoàn toàn tương tự, AC, EG, FH cũng đồng quy tại O Như vậy, AC, BD, EG, FH đồng quy tại một điểm.

Định lý 2 Giả sử 6 điểm A1,A2, ,A6nằm trên đường cong bậc hai không suy biến(ℓ).Khi

Đây là một đa thức bậc ba đối với x và y Tọa độ 6 điểm A1, ,A6 thỏa mãn phương

trình p(x, y) = 0.Lấy một điểm bất kỳ A thuộc (ℓ),khác 6 điểm trên Ta chọn α để tọa

độ điểm A thỏa mãn p(x, y) = 0 Nếu thế x qua y2 ta được đa thức p(y2,y) bậc 6 6.

Phương trình p(y2,y) = 0cho tung độ của 7 điểm khác nhau, có nghĩa: p(y2,y) =0có

7 nghiệm y khác nhau Vậy p(y2,y) ≡0hay mọi điểm thuộc(ℓ)đều có tọa độ thỏa mãn

p(x, y) =0.Coi p(x, y)như là một đa thức của x Với phép chia đa thức, ta nhận được

p(x, y) = (x−y2)q(x, y) +r(y),

trong đó q(x, y)là thương và r(y)là phần dư Vì mọi điểm thuộc(ℓ) : x = y2 đều thỏa

mãn p(x, y) = 0 nên r(y) ≡ 0.Vậy p(x, y) = (x−y2)q(x, y).Vì p(x, y)là đa thức bậc

3 nên q(x, y)phải là đa thức bậc nhất hay p(x, y) = (x−y2)(ax+by+c Do 9 điểm

A1,A2, ,A6và A, B, C đều thuộc đường cong phẳng p(x, y) =0,nhưng A, B, C không

thuộc(ℓ):x =y2nên A, B, C thuộc đường thẳng(d):ax+by+c=0hay A, B, C thẳng

hàng

Hệ quả 2 (Pappus) Giả sử 3 điểm A1,A2,A3nằm trên đường thẳng(d1)và 3 điểm A4,A5,A6

nằm trên đường thẳng (d2) khác (d1) Khi đó ba điểm giao A = (A1A5) × (A2A4), B =(A1A6) × (A3A4)và C= (A2A6) × (A3A5)thẳng hàng.

Hệ quả 3 (Brianchon) Giả sử lục giác lồi ABCDEF ngoại tiếp một đường tròn Khi đó, ba

đường thẳng AD, BE, CF đồng quy tại một điểm.

cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA tại G, H, I, J, K, L, tương ứng Đặt M = AB×CD, N =

DE×FA Theo Hệ quả 1, với tứ giác AMDN ta có các đường thẳng AD, IL, GJ đồng quy tại A′ Tương tự, các đường thẳng BE, HK, GJ đồng quy tại B′; các đường thẳng

CF, HK, IL đồng quy tại C′.Chú ý rằng, hai đường thẳng IL và A′C′là một Theo Định

lý Pascal, Định lý 1, với các điểm G, G, I, L, L, H có ba điểm A, O, P thẳng hàng, ở đó

O=GI×HL, P= IL×GH Cũng theo Định lý Pascal, với các điểm H, H, L, I, I, G có ba điểm C, O, P thẳng hàng Vậy A, C, P thẳng hàng Xét G = AB×A′B′,H = BC×B′C′,

P = CA×C′A′ Theo phần đảo của Định lý ??, Định lý Desargues, đối với ∆ABC và

∆A′B′C′ có AA′ = AD, BB′= BE, CC′ =CFđồng quy

2 Mở rộng bài toán con bướm

Mệnh đề 1 (Bài toán con bướm) Qua trung điểm I của dây cung MN của một đường tròn ta

kẻ hai dây cung bất kỳ AB và CD, đều khác MN Gọi giao điểm giữa AC và BD với MN là P

và Q tương ứng Ta luôn có IP= IQ.

Vì ∆IAC ∼ ∆IDB nên ∆IAJ ∼ ∆IDK và suy ra∠I J A = ∠IKD Do tứ giác IOJP và

IOKQđều nội tiếp trong đường tròn tương ứng nên∠IOP= ∠I JP = ∠IKQ = ∠IOQ.

I A

IC.

AE.AG AB.AD

Mệnh đề 2 Cho dây cung MN của một đường tròn, (đường bậc hai), và điểm I thuộc đoạn

MN Giả sử hai dây cung bất kỳ AB và CD, đều khác MN, đi qua điểm I Gọi giao điểm giữa

Chứng minh. Giả sử MA cắt ND tại T và MC cắt NB tại H Do 6 điểm A, M, C, B, N, D cùng thuộc một đường tròn, (đường bậc hai), nên ba điểm T, I, H thẳng hàng theo Định

Giả sử tam giác ABC có độ dài ba cạnh a= BC, b =CA, c= AB.Ký hiệu a là đường

thẳng cắt đường thẳng AC tại điểm cách đều hai điểm A và B, cắt đường thẳng AB tại điểm cách đều hai điểm A và C Ký hiệu b là đường thẳng cắt đường thẳng BA tại điểm cách đều hai điểm B và C, cắt đường thẳng BC tại điểm cách đều hai điểm B và A Ký hiệu c là đường thẳng cắt đường thẳng CB tại điểm cách đều hai điểm C và A, cắt đường thẳng CA tại điểm cách đều hai điểm C và B.

Gọi A0,B0,C0 là những điểm đối xứng với A, B, C qua BC, CA, AB, tương ứng Gọi

A1,B1,C1 là những điểm đối xứng với A, B, C qua a, b, c, tương ứng Gọi 2 điểm E là những điểm thỏa mãn aEA = bEB = cEC, gọi 2 điểm F là những điểm nhìn các cạnh tam giác ABC dưới góc π

3 hay 2π

3 .Gọi H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp

∆ABC.

Gọi A2,A3 là các đỉnh của các tam giác đều BCA2,BCA3,gọi B2,B3là các đỉnh của các

tam giác đều CAB2,CAB3và gọi C2,C3là các đỉnh của các tam giác đều ABC2,ABC3

Ví dụ 3 Xác định phương trình a khi biết tọa độ A, B, C.

Bài giải. Dựng hệ tọa độ Oxy sao cho A(0; 0),B(x2;kx2),C(x3;hx3).Điểm P0(p; hp)cách

đều A và B khi và chỉ khi

=0

Mệnh đề 3 Giả sử ∆ABC có độ dài cạnh a, b, c Khi đó 21 điểm nêu trên đều thuộc tập K3gồm tất cả các điểm M thỏa mãn

...

=0

Mệnh đề Giả sử ∆ABC có độ dài cạnh a, b, c Khi 21 điểm nêu thuộc tập K3gồm