Một số bài toán chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán

Tham khảo một số bài toán chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán với các câu hỏi kiến thức nâng cao, giúp chọn lọc và phát triển năng khiếu của các em, thử sức với các bài tập hay trong đề thi để củng cố kiến thức và ôn tập tốt cho các kỳ thi sắp tới.

TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI SỞ GD& ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨ A MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN VIẾT BỞI : PHẠM KIM CHUNG – THÁNG 12 NĂM 2010 MỤC LỤC PHẦN I PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM II PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀĐA THỨ C III BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ IV GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ V HÌNH HỌC KHƠNG GIAN VI ĐỀ TỰ LUYỆN VÀ LỜI GIẢI Trang DANH MỤC CÁC TÀI LIỆU THAM KHẢO Các diễn đàn : www.dangthuchua.com , www.math.vn , www.mathscope.org , www.maths.vn ,www.laisac.page.tl, www.diendantoanhoc.net , www.k2pi.violet.vn , www.nguyentatthu.violet.vn ,… Đề thi HS G Quốc Gia, Đề thi HSG Tỉnh – Thành Phố nước, Đề thi Olympic 30 -4 Bộ sách : Một số chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi ( Nguyễn Văn Mậu – Nguyễn Văn Tiến ) Tạp chí Tốn Học Tuổi Trẻ Bộ sách : CÁC PHƯƠNG PHÁP GI ẢI … ( Trần Phương - Lê Hồng Đức ) Bộ sách : 10.000 BÀI TOÁN S Ơ CẤP (Phan Huy Khải ) Bộ sách : Toán nâng cao ( Phan Huy Khải ) Giải TỐN HÌNH HỌC 11 ( Trần Thành Minh ) Sáng tạo Bất đẳng thức ( Phạm Kim Hùng ) 10 Bất đẳng thức – Suy luận khám phá ( Phạm Văn Thuận ) 11 Những viên kim cương Bất đẳng thức Toán học ( Trần Phương ) 12 340 tốn hình học khơng gian ( I.F Sharygin ) 13 Tuyển tập 200 Bài thi Vơ địch Tốn ( Đào Tam ) 14 … số tài liệu tham khảo khác 15 Chú ý : Những dòng chữ màu xanh chứa đường link đến chuyên mục website MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr  Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT - HỆ PT VÀ CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM Tìm giá trị tham số m để hàm số : y =−2x + + m x2 − 4x + có cực đại ĐS : m < -2  + xsin2 x − 1, x =/ Cho hàm số : f(x) =  Tính đạo hàm hàm số x = chứng minh hàm số đạt cực tiểu , x =0  x =0 Tìm cực trị hàm số := y f(x) = | x | ( x − 3) ĐS : x =0 ; x=1 Xác đị nh giá trị tham số m để phương trì nh sau có nghiệm thực : a) ( 4m − 3) x + + (3m − ) − x + m − = ĐS : ≤ m ≤ b) c) x2 + − x = m ĐS : < m ≤ m ( ) + x2 − − x2 + = − x + + x2 − − x2  x2 + y = Xác đị nh số nghiệm hệ phương trình :  ĐS : log3 x log y =  x2 + y −x2 e =  ĐS : (x,y)=(7;7) Giải hệ phương trình :  y2 + 3log (x + 2y= + 6) 2log (x + y + 2) +  y −1  x + x − 2x + 2= + Giải hệ phương trình :  y + y − 2y + 2= 3x−1 + ( )  + 42x−y 5y −2x+1 = 22x−y +1 +  Giải hệ phương trình :   y + 4x + ln y + 2x + = Giải phương trình : ( x − 3) log3 (x − 5) + log5 (x − 3) = x +2 10 Giải bất phương trì nh : ( ) (x + 2)(2x − 1) − x + ≤ − (x + 6)(2x − 1) + x + ĐS : 11 Giải bất phương trì nh : 3 − 2x + ( 2x − ) − 2x ≤ 12 Giải phương trình : 3x + 9x + + ( 4x + 2) 13 Giải phương trình : x3 − 4x − 5x += ( ≤ x ≤7 ) + x + x2 + = 7x + 9x − 2 xy − y + x + y = ĐS : m ∈ 1;  14 Tìm m để hệ phương trì nh sau có nghiệm :    x y m − + − =    15 Xác đị nh m để phương trình sau có nghiệm thực : x + x − m x + + x ( x − 1)  = x −1    x + + y + = 16 Tìm m để hệ có nghiệm:  m x y + + y x + + x + + y + = ( ) 17 Giả sử f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0) đạt cực đại x1 ;x2 CMR: f '''(x)  f ''(x)  , ∀x ≠ x1 ,x2 < f '(x)  f '(x)  18 Cho hàm số : f(x) = cos2 2x + 2(sin x + cosx)3 − 3sin2x + m Tìm m cho f (x) ≤ 36, ∀ m 19 Trong nghiệm(x;y) BPT : log x2 +y2 ( x + y ) ≥ Tìm nghiệm để P = x + 2y đạt GTLN 20 ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Giải phương trì nh : 2009 x ( ) x +1 - x = ĐS : x=0 21 ( Đề thi HSG Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Tìm m để hệ phương trình s au có ba nghiệm phân biệt : m  x + y = 3 ĐS : m ≥  2 ( y + ) x + xy = m ( x + ) MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr  Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM  x − y = 240 22 Giải hệ PT :  3 2 x − 2y = x − 4y − ( x − 8y ) x + x3 y + 9y = y x + y x2 + 9x 23 Giải hệ phương trình :  ĐS : (x,y)=(1;2) 3  x y − x = ( ) ( ( ) )  4x + x + ( y − 3) − 2y = 24 Giải hệ phương trình :  4x + y + − 4x = 2 xy − y + x + y = 25 Tìm m để hệ phương trình s au có nghiệm :  ĐS : m ∈ 1;    m  − x + − y =   26 Xác đị nh m để phương trình sau có nghiệm thực : x + x − m x + + x ( x − 1)  = x −1   3( x + )2 + y − m = 27 Tìm m để hệ phương trình :  có ba cặp nghiệm phân biệt x + xy = ( )  x + x2 − 2x + 2= 3y −1 + 28 Giải hệ PT :  y + y − 2y + 2= 3x−1 + sin x  x −y  e = sin y  29 ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) Giải hệ phương trình : sin2x − cos2y = sin x + cosy −   Π  x,y ∈  0;   4  30 Giải phương trình : 16x3 − 24x + 12x − = x 2x y y 2x 2x − − +  1+4 −y +1 + =  31 Giải hệ phương trình :   y + 4x + ln y + 2x + = 32 Giải phương trình : 3x = + x + log3 (1 + 2x ) ( ) ( ) 33 Giải phương trình : −2x3 + 10x − 17x= + 2x 5x − x3 ĐS  x + xy =y + y 34 Giải hệ phương trình :   4x + + y + = 10  x2 + 2x + 22 − y = y + 2y + 35 Giải hệ phương trình :   y + 2y + 22 − x = x2 + 2x + 1  x+ y=   36 Giải hệ phương trình :  y x  x +  = y +    y   x   37 ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Giải phương trình : (5x − 6)2 − Lời giải : ĐK : x > 5x − = x2 − x −1 4x − =0 ⇔ x = (x − 1)(5x − 7)  x − + 5x −    1 Cách : Viết lại phương trình dạng : (5x − ) − x2 − = (5x − 6) − x −1 Cách : PT ⇔ 6(4x − 6)(x − 1) + Và xét hàm số : f(t) t − = t −1 ,t> MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr  Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM 38 ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Xác định tất gi trị tham số m để BPT sau có nghi ệm : x3 + 3x2 − ≤ m( x − x − 1)3 HD : Nhân liên hợp đưa dạng : ( ) x + x − (x3 + 3x2 − 1) ≤ m 39 ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) Giải phương trình : HD : PT ⇔ (x + 1)3 + = (x + 1) ( 3x + ) x3 + 3x2 + 4x + 2= (3x + 2) 3x + + 3x + Xét hàm số : f ( t) = t + t ,t > 40 ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) Giải phương trình : 2x −= 27x3 − 27x + 13x − HD : PT ⇔ (2x − 1) + 2x − 1= (3x − 1)3 + 2(3x − 1) ⇒ f( 2x − 1) = f(3x − 1) (4x + 1)x + (y − 3) − 2y = 41 ( Đề thi Khối A – năm 2010 ) Giải hệ phương trình :  2 4x + y + − 4x = HD : Từ pt (1) cho ta : [(2x)2 + 1].2x=   ( − 2y ) + 1 − 2y ⇒ f(2x)= f( − 2y )  Hàm số : f(t) (t + 1).t ⇒ f '(t) = = 3t + > ⇒ 2x = − 2y ⇒ 4x =5 − 2y ⇒ y = − 4x 2  − 4x  ( Hàm nghịch biến khoảng ) có Thế vào (2) ta có : 4x +  , với ≤ x ≤  + − 4x =   nghiệm : x =  x + y = (a tham số) 42 ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2008 ) Cho hệ:   x + + y + ≤ a Tìm a để hệ có nghiệm (x;y) thỏa mãn điều ki ện x ≥ HD : Đứng trước toán chứa tham số cần lưu ý điều kiện chặt bi ến muốn quy biến để khảo s át : − x =y ≥ ⇒ x ≤ 16 Đặt t = x , t ∈[3;4] khảo s át tìm Min ĐS : a ≥ + 2 43 Giải hệ phương trình : y − 4x + 2xy −2x+4 =  x 3 y 2 + x = y + 44 Xác định m để bất phương trình s au nghi ệm với x : (e sinx ) − e + − 2esinx esinx − (e − 1)sinx − 1 ≤ 45 ( Đề thi HS G Tỉnh Thừa Thiên Huế năm 2003 ) Giải PT : log 2+ (x − 2x = − 11) log 2+ (x2 − 2x − 12) 46 Định giá trị m để phương trình sau có nghiệm: ( 4m − 3) x + + (3m − ) − x + m − =  y −x2 x + =  e 47 (Olympic 30-4 lần thứ VIII ) Giải hệ phương trì nh sau:  y +1 3log (x + 2y= + 6) 2log (x + y + 2) +  48 Các toán liên quan đến định nghĩa đạo hàm : −x   Cho f(x) =  (x2 + 1)e , x > Tìm a để tồn f’(0)    −x − ax + 1, x ≤ acosx + bsin x, x ≤ Cho F(x) =  Tìm a,b để tồn f’(0)  ax + b + 1, x <  x2 x2 x ln x, x >  ln x − , x > f(x) =  CMR : F'(x) = f(x) F(x) =   0, x =  0, , x =  Cho f(x) xác định R thỏa mãn điều kiện : ∀a > bất đẳng thức sau ∀x ∈ R : | f(x + a) − f(x) − a |< a2 Chứng minh f(x) hàm MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr  Phần I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM  Tính giới hạn : N1 = limπ x→  Tính giới hạn : N3 = lix→m0 Tính gi ới hạn : N2 = lim x + x + − + x3 x esin 2x − esinx x→0 sin x Tính giới hạn : N4 = lim Tính giới hạn : N6 = lim sin10x 4x − x Tính giới hạn : N8 = lim x→0 x−32 sin 3x sin2x  Tính giới hạn : N7 = lim e − e x→0  e−2x − + x2 x→0 ln(1 + x )  Tính giới hạn : N5 = lim x + − x→0  Tính giới hạn : N9 = lim x→0 e−2x − + x2 x→0 ln(1 + x ) tanx − 2sin2 x − sin4x 32x − cos4x 3x + sinx − − sinx Cho P(x) đa thức bậc n có n nghiệm phân biệt x1 ; x ; x3 x n Chứng minh đẳng thức sau : P''(x1 ) P''(x ) P''(x n ) + + + = P'(x1 ) P'( x2 ) P'(x n ) a)  1 + + + = P'(x1 ) P'(x ) P'(x n ) b) Tính tổng sau : a) Tn (x) = cosx + 2cos2x + + ncosnx b) c) d) Tn= (x) CMR : x x x tan + tan + + n tan n 2 2 2 2.1.C2n + 3.2.C3n + + n(n − 1)Cnn= n(n − 1).2n−2 Sn (x) = s inx + 4sin2x + 9sin3x + + n2sinnx 2x + 2x + 2x + (2n − 1) + + + 2 2 x (x + 1) (x + 1) (x + 2)  x + (n − 1) (x + n)2 49 Các toán liên quan đến cực trị hàm số : e) = Sn (x) α a n + bn a+b Cho α ∈ R: a + b ≥ Chứng minh :  ≤    b) Chứng minh với a > 3,n ≥ ( n ∈ N,n chẵn ) phương trình s au vơ nghiệm : a) (n + 1)x n+2 − 3(n + 2)x n+1 + a n+2 =  x2   x2  c) Tìm tham số m để hàm số sau có cực trị : y = − 3m  + 4m (m + 1)  2 2 1 + x  1 + x   x2 xn   x2 xn  d) Cho n ≥ 3,n∈ N ( n lẻ ) CMR : ∀x = / , ta có : 1 + x + + +  1 − x + − −  < 2! n!   2! n!   e) Tìm cực trị hàm số : y = x + x + + x2 − x + f) g) Tìm a để hàm số : y f(x) = −2x + a x + có cực tiểu = Tìm m để hàm số : y = msin x − cosx − đạt cực trị điểm phân biệt thuộc khoảng mcosx 50 Các tốn chứng minh phương trình có nghiệm : a)  9π   0;    Cho số thực a,b,c,d,e Chứng minh phương trình : ax + ( b + c ) x + d + e = có nghiệm thực thuộc nửa khoảng [1; +∞ ) phương trình : ax + bx3 + cx + dx + e = có nghiệm b) Cho phương trình : P( x ) = x5 − 5x + 15x3 − x2 + 3x − = Chứng minh rằng, phương trình có nghi ệm thực MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr  Phần II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM VÀ ĐA THỨC PHẦN II : PHƯƠNG TRÌNH HÀM-ĐA THỨC Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn đồng thời điều kiện sau : f(x) a) lim =1 x→0 x b) f ( x + y )= f ( x ) + f ( y ) + 2x + 3xy + 2y , ∀x,y ∈ R ( ) ( ) Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f ( x − f(y)) = f x + y 2008 + f f(y) + y 2008 + 1, ∀x,y ∈ R ( ) Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f ( x + cos(2009y)) = f ( x ) + 2009cos f ( y ) , ∀x,y ∈ R Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn đồng thời điều kiện sau : c) d) f ( x ) ≥ e2009x f ( x + y ) ≥ f ( x ) f ( y ) , ∀x,y ∈ R Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f = ( x + y ) f(x).ef ( y )−1 , ∀x,y ∈ R ( ) Tìm hàm số : f : R → R thoả mãn điều kiện sau : f x.f ( x += y ) f(y.f ( x )) + x ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Phịng năm 2010 ) Tìm hàm f :  →  thỏa mãn : f (x) + 2yf(x) + f(y) = f ( y + f(x)) , ∀,x,y ∈ R MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr  Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ PHẦN III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Cho a,b,c ∈ R: a2 + b2 + c2 = Chứng minh : a2b + b2c + c2a ≤ Cho số thực không âm a,b,c Chứng minh : a2b2 ( a − b ) + b2c2 ( b − c ) + c2a2 ( c − a ) ≥ ( a − b ) ( b − c ) ( c − a ) 2 Cho số thực a,b,c Chứng minh : 2 a2 b2 c2 81 a2b 13 + + + ∑ ≥ (a + b + c) b c a (2a + b) 4 Cho số thực không âm a,b,c thoả mãn : a + b + c + 36abc = Tìm Max : P = a7 b8 c9 Cho số thực dương tuỳ ý x,y,z CMR : Cho a,b,c >0 Tìm GTNN : a b c + + ≤ a+b b+c c+a (a + b + c) P= ab2c3 Cho số thực dương x,y,z thõa mãn : x + y + z2 = 10 11 2x − (y − z)2 2y − (z − x)2 2z − (x − y)2 + + yz zx xy bc ca ab a+b+c Cho số thực dương a,b,c CMR : + + ≤ a + 3b + 2c b + 3c + 2a c + 3a + 2b 1 1 Cho số thực dương a,b,c CMR : + + ≤ a + b3 + abc b3 + c3 + abc c3 + a3 + abc abc 1 Cho số thực thỏa mãn điều kiện : CMR : ab + bc + ca ≤ + + = a +2 b +2 c +2 Cho số thực dương thỏa mãn điều kiện : a2 + b2 + c2 = CMR : 1 + + ≥3 2−a 2−b 2−c CMR : 12 Cho x,y,z số thực dương tùy ý CMR : x y z + + ≤ x+y y +z z+x a2 b2 c2 4(a − b)2 + + ≥a+b+c+ b c a a+b+c 1 14 Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn : abc=1 CMR : + + ≥ a (b + c) b (c + a) c (a + b) 15 Cho số thực x,y,z thỏa mãn : xyz=1 v ( x − )( y − )( z − ) =/ CMR : 13 Cho số thực dương a,b,c CMR : 2  x   y   z   x −1  +  y −1  +  z −1  ≥       (3a − b + c)2 (3b − c + a)2 (3c − a + b)2 16 Cho a,b,c số thực dương CMR : + + ≥ 2a2 + (b + c)2 2b2 + (c + a)2 2c2 + (a + b)2 17 Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn : a2 + b2 + c2 = CMR : 1 + + ≤ − ab − bc − ca 18 Cho số thực a,b,c thỏa mãn : a2 + b2 + c2 = CMR : 2(a + b + c) ≤ 10 + abc a3 b3 c3 + + ≥ 2 (1 − a) (1 − b) (1 − c)2 20 (Chọn ĐTHS G QG Nghệ An năm 2010 ) Cho số thực dương a,b,c thỏa mãn : 9(a + b4 + c4 ) − 25(a2 + b2 + c2 ) + 48 = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : 19 Cho a,b,c số thực dương : a+b+c =1 CMR : F= a2 b2 c2 + + b + 2c c + 2a a + 2b MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr  Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Lời giải : Từ giả thiết : 9(a + b4 + c4 ) − 25(a2 + b2 + c2 ) + 48 =0 ⇒ 25(a2 + b2 + c2 ) = 48 + 9(a + b4 + c4 ) ≥ 48 + 3(a2 + b2 + c2 )2 ⇒ 3(a2 + b2 + c2 )2 − 25(a2 + b2 + c2 ) + 48 ≤ ⇒ ≤ a2 + b2 + c2 ≤ Ta lại có : F= 16 a2 b2 c2 a4 b4 c4 (a2 + b2 + c2 )2 + + = + + ≥ 2 b + 2c c + 2a a + 2b a (b + 2c) b (c + 2a) c (a + 2b) (a b + b c + c2a) + 2(a2c + b2a + c2b) Lại có : a2 b + b2c + c2a= a(ab) + b(bc) + c(ca) ≤ (a2 + b2 + c2 )[a2 b2 + b2c2 + c2a2 ] ≤ a2 + b2 + c2 Tương tự : (a2c + b2a + c2b) ≤ a2 + b2 + c2 a2 + b2 + c2 (a2 + b2 + c2 )2 a +b +c ≥ Dấu xảy : a=b=c=1 ĐÁP ÁN CỦA S Ở GD&ĐT NGHỆ AN Từ ta có : F ≥ 2 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM, ta có a2 (b + 2c)a2 a2 (b + 2c)a2 2a2 + ≥2 = b + 2c b + 2c b2 (c + 2a)b2 2b2 c2 (a + 2b)c2 2c2 , + ≥ + ≥ c + 2a a + 2b Tương tự a2 b2 c2 + + b + 2c c + 2a a + 2b ≥ a2 + b2 + c2 − a2 (b + 2c) + b2 (c + 2a) + c2 (a + 2b) (*) Lại áp dụng AM – GM, ta có a3 + a3 + c3 b3 + b3 + a3 c3 + c3 + b3 a2c + b2a + c2b ≤ + + =a3 + b3 + c3 (**) 3 Từ (*) (**) suy ra: 2 F ≥ a2 + b2 + c2 − ( a + b + c )(a2 + b2 + c2 ) ≥ a2 + b2 + c2 − a2 + b2 + c2 9 F= Suy ra: ( Đặt = t ( ) ( ) ) ( ( ) 25( a + b + c ) − 48= ( a + b + c ) ≥ 3( a + b + c ) ⇒ 3( a + b + c ) − 25( a + b + c ) + 48 ≤ ⇒ ≤ a + b + c a2 + b2 + c2 , từ giả thiết ta có: 2 2 2 4 2 2 ) 3( a ) + b2 + c2 2 Do F ≥ t − t = f(t) với t ∈3;  (* * *) 27 Mà f(t) = f(3) = (* * **) Từ (***) (****) suy F ≥ ≤ 16 t ∈3;4  Vậy minF = xảy a = b= c = 21 ( Đề thi HS G Tỉnh Nghệ An năm 2009 ) Cho số thực dương x,y,z Chứng minh : 1 36 + + ≥ 2 x y z + x y + y z2 + z2 x Lời giải : BĐT cho tương đương với : (9 + x y 2 1 1 + y 2z2 + z2 x2  + +  ≥ 36 x y z )  xy + yz + zx  Ta = có : ( xyz ) (xy)(yz)(zx) ≤     MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr  Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ  1   xy + yz + zx  27 ( xy + yz + zx ) 27 Do : = + +   =  ≥ xyz xy + yz + zx (xy + yz + zx) x y z   2 ( ) Lại có : + x y + y 2z2 + z2 x2 = + x y + + (y 2z2 + 1) + (z2 x2 + 1) ≥ 3 + (xy + yz + zx) Nên : ( VT ) 2   27 108  ≥ 3 + (xy + yz + zx) = + + (xy + yz + zx) ≥ xy + yz + zx  xy + yz + zx    ≥ 108  + (xy + yz + zx) =  1296 ⇒ VT ≥ 36  xy + yz + zx   ĐÁP ÁN CỦA S Ở GD&ĐT NGHỆ AN : Bất đẳng thức cần chứng mi nh tương đương (xy + yz + zx)(9 + x2y + z2y +x2z2) ≥ 36xyz Áp dụng bất đẳng thức Cơsi ta có : xy + yz + zx ≥ 3 x y 2z2 (1) Và 9+ x2y + z2y +x2z2 ≥ 12 12 x y z hay + x2y + z2y +x2z2 ≥ 12 xyz (2) Do vế dương, từ (1), (2) suy ra: (xy + yz + zx)(9 + x2y + z2y +x2z2) ≥ 36xyz (đpcm) Dấu đẳng thức xảy x = y = z =1 22 ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Ninh năm 2010 ) Cho số thực dương x,y thỏa mãn đk : x + y + = 3xy Tìm giá trị lớn := M Lời giải : M = Ta có : 3x 3y 1 + − 2− y(x + 1) x( y + 1) x y Ta có : 3xy = x + y + ≥ xy + ⇒ xy ≥ ⇒ xy ≥ (*) 3x 3y 1 1 3xy(x + y) − (x + y)2 + 2xy 3xy (3xy − ) − (1 − 3xy) + 2xy = + = = + − − y (3x − 1) x (3y − 1) x y y (3x − 1) x2 (3y − 1) x2 y 9xy − 3(x + y ) + 1 4x2 y 23 ( Đề thi HS G Tỉnh Quảng Bình năm 2010 ) Cho số thực dương a, b, c CMR : a3 b3 c3 a b c + + ≥ + + b3 c3 a3 b c a  a3 a3 a + +1≥3  b  b b HD :   a3 b3 c3 3 ≤ + + b c a  24 ( Đề thi HS G Tỉnh Vĩnh Phúc năm 2010 ) Cho x, y, z ≥ thỏa mãn : x + y + z2 = Tìm giá trị lớn biểu thức : P= 6(y + z − x) + 27xyz y + z2 − x2 HD : P ≤  2(y + z2 ) − x  + 27x =  2(1 − x ) − x  + 27x ( PMax = 10)     2 25 ( Đề thi HS G Tỉnh Hải Phòng năm 2010 ) Cho a, b,c ≥ 0: a2 + b2 + c2 = Chứng minh : a3 + 2b3 + 3c3 ≥ HD : Có thể dùng cân hệ số Svacxơ 26 Cho x,y,z số thực dương thỏa mãn : xyz = Chứng minh : (x + y )3 (y + z4 )3 (z4 + x )3 + 6 + ≥ 12 x6 + y y +z z + x6 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr  10 Phần III : BẤT ĐẲNG THỨC VÀ CỰC TRỊ Lời giải : Đặt = x a;y = b;z = c ⇒ abc = Bất đẳng thức cho trở thành : 2 (a2 + b2 )3 (b2 + c2 )3 (c2 + a2 )3 + 3 + 3 ≥ 12 a3 + b3 b +c c +a Áp dụng Bất đẳng thức AM-GM cho số ta có : ( ) ( ) ( (a2 + b2 )3 = a6 + a b2 + a b2 + a b2 + b6 + a2 b4 + a2 b4 + a2 b4 ≥ 4 a6 b6 a3 + b3 ) 27 (Đề thi HS G Tỉnh Đồng Nai năm 2010 ) Cho a,b,c > Chứng mi nh : 1 3(a + b + c) + + ≥ a + b b + c c + a 2(a2 + b2 + c2 ) HD : (a2 + b2 ) + (b2 + c2 ) + (c2 + a2 )  1  3(a + b + c) BĐT ⇔ + +  ≥ 2 a + b b + c c + a  (a + b)2 28 ( Đề thi HS G Tỉnh Phú Thọ năm 2010 ) Cho x,y,z > : x + y + z = Chứng minh : Và ý : a2 + b2 ≥ x + y y + z3 z + x ≥9 + + xy + yz + zx + 29 ( Đề thi chọn ĐT Ninh Bình năm 2010 ) Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh 272 : a2 + b2 + c2 + 2abc ≤ 27 HD : Bài chọn phần tử lớn mà đạo hàm a3 b3 c3 30 (Đề thi HSG Tỉnh Bình Định năm 2010 ) Cho a,b,c >0 CMR : + + ≥a+b+c bc ca ab a (a2 + b2 + c2 )2 (a + b + c)4 HD : VT = ∑ ≥ ≥ ≥a+b+c abc 3abc 27abc 31 ( Đề thi chọn HS G QG Tỉnh Bình Định năm 2010) Cho x,y,z >0 thỏa mãn : xy + xz = Tìm giá trị nhỏ : S = 3yz 4zx 5xy + + x y z 32 ( Đề thi chọn HS G Thái Nguyên năm 2010 ) Cho số thực x,y,z thỏa mãn điều ki ện : Tìm giá trị nhỏ : P = xyz + + = 1+ x 2+ y 3+z 33 ( Đề thi chọn HS G QG tỉnh Bến Tre năm 2010 ) Cho a,b, c > :a2 + b2 + c2 = Chứng minh bất đẳng thức : + + ≤1 − ab − bc − ca 34 ( Đề thi chọn ĐT trường ĐHSP I Hà Nội 2010 ) Cho số thực dương x,y,z Tìm giá trị nhỏ : x y y z z2 x 13xyz P = + + + z3 x y 3(xy + yz2 + zx2 ) Lời giải : a b c 13 x y z Đặt : = a; = b; = c ⇒ abc = Lúc : P = + + + y z x + (a b + c) b c a Ta có : (a + b += c) abc(a + b += c) (ab)(ac) + (ab)(bc) + (ac)(bc) ≤ 1 a  a + b2 ≥ b  a b c 1 1 b Lại có :  + ≥ ⇒ + + ≥ + + = ab + bc + ca c a b c b c a b c 1 c  + ≥2 c c a 13 Do : P ≥ (ab + bc + ca) + ( Với ab + bc + ca ≥ ) (ab + bc + ca)2 (ab + bc + ca)2 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 10 Phần V : HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 50 Cho tứ diện ABCD có AB vng góc với AC v chân đường v ng góc hạ từ A đến mặt phẳng (BCD) trực tâm tam 32 ( giác BCD Chứng minh : ( BC + CD + DB ) ≤ AB2 + AD2 + AC2 ) 51 ( Đề thi HS G TP Hà Nội năm 2004 ) Cho tứ diện ABCD DA=a, DB=b, DC=c đơi vng góc với nhau.Một điểm M tuỳ ý thuộc khối tứ di ện a) Gọi góc tạo tia DM với DA, DB, DC α , β., γ CMR : sin2 α + sin2 β + sin2 γ =2 b) Gọi S A ,SB ,SC ,SD diện tích mặt đối di ện với đỉ nh A, B, C, D khối tư diện Tìm gi trị nhỏ biểu thức: Q = MA.S A + MB.SB + MC.SC + MD.SD 52 ( Đề thi HS G TP Hà Nội năm 2005 ) Hình chóp S.ABC có cạnh bên đơi vng góc SA =a, SB=b, SC=c Gọi A’, B’, C’ điểm di động l ần lượt thuộc cạnh SA, SB, SC thỏa mãn SA.SA’ =SB SB’=SC SC’ Gọi H trực tâm tam giác A’B’C’ I giao ểm SH với mặt phẳng (ABC) a) Chứng minh mặt phẳng (A’B’C’) song song với mặt phẳng cố định H thuộc đường thẳng cố định b) Tính IA 2+IB2+IC2 theo a, b, c 53 ( Đề thi HS G TP Hà Nội năm 2006 ) Cho tứ diện ABCD có cạnh Các điển M, N chuy ển động đoạn AB, AC s ao cho mặt phẳng (DMN) vng góc với m ặt phẳng (ABC) Đặt AM=x, AN=y a) Cmr: mặt phẳng (DMN) chứa đường phẳng cố định : x + y = 3xy b) Xác định vị trí M, N để diện tích tồn phần tứ di ện ADMN đạt giá trị nhỏ v lớn nhất.Tính giá trị 54 ( Đề thi HS G TP Hà Nội năm 2008 ) Cho hình chóp S.ABCD có SA làđường cao v đáy hình chữ nhật ABCD, biết SA = a, AB = b, AD = c a) Trong mặt phẳng (SBD), vẽ qua trọng tâm G tam giác SBD đường thẳng cắt cạnh SB M cắt cạnh SD N Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC hình chóp S.ABCD K Xác định vị trí M cạnh SB cho thể tích hình chóp S.AMKN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Tính giá trị theo a, b, c b) Trong mặt phẳng (ABD), tia At phân giác góc BAD ta chọn điểm E cho góc BED 450 Cmr: AE = ( ) b2 + c2 + ( b + c ) 55 Cho hì nh chóp S.ABCD,đáy hì nh bình hành tâm O Hai mặt bên SAB v SCD vng góc A C hợp với  = ϕ Chứng mi nh SBC SAD hợp với đáy ABCD góc β thỏa mãn hệ thức : đáy góc α Biết ABC cot= β cot α.cosϕ 56 Cho hình chóp S.ABC,đáy ABC tam giác vng B với AB=a, SA vng góc với mặt phẳng (ABC) ; mặt (SAC) hợp với mặt phẳng (SAB) góc α hợp với mặt phẳng (SBC) góc β Chứng minh : SA = acosβ cos[π − (α + β)].cos(α − β) 57 Cho hình chóp S.ABCD cóđáy ABCD hình chữ nhật ; SA vng góc với mặt phẳng MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 32 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN 33 PHẦN VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA Giáo viên đề : Phạm Kim Chung BÀI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN THAM GIA KỲ THI HSG TỈNH NĂM HỌC 2010 – 2011 ( Lần thứ ) _ Thời gian làm : 180 phút Câu Giải phương trình : ln ( x + 1) = x + 2x Câu Xác định tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm : 2(x +1)  m2 2x = y + y   m2  2y = x +  x Câu Cho a,b,c > Tìm giá trị nhỏ biểu thức : P= 4a b + 3c 8c + − a + b + 2c 2a + b + c a + b + 3c Câu Cho dãy s ố ( x n ) ,n∈ N * , xác định sau : x1 = y n = x1 + x + + x n Tìm lim y n n →+∞ xn x n +1 = , ∀n ∈ N * Đặt 2(2n + 1)x n + Câu Cho hình chóp S.ABCD có SA đư ờng cao đáy hình chữ nhật ABCD, biết SA = a, AB = b, AD = c Trong m ặt phẳng (SBD), vẽ qua trọng tâm G tam giác SBD đường thẳng cắt cạnh SB M cắt cạnh SD N Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC hình chóp S.ABCD K Xác định vị trí M cạnh SB cho thể tích hình chóp S.AMKN đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Tính giá trị theo a, b, c Câu Cho hình l ập phương ABCD.A1B1C1D1 có độ dài Lấy điểm E ∈ AA1 cho AE = Lấy điểm F ∈ BC cho BF = phương ) Tìm khoảng cách từ B1 đến mặt phẳng FEO ( O tâm hình lập Câu Tìm hàm số f : ( 0; +∞ ) → ( 0; +∞ ) thoả mãn : xf ( xf(y)) = f ( f(y)) , ∀x, y ∈(0; +∞ ) Hết Thanh Chương ,ngày 03 tháng 12 năm 2010 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 33 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN 34 HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ Câu Giải phương trình : ln ( x + ) 2(x +1) = x2 + 2x (1) Lời giải : Điều kiện : x > −1 Lúc : PT ⇔ 2(x + 1)ln(x + 1) = x2 + 2x ⇔ 2(x + 1)ln( x + 1) − x2 − 2x = Xét hàm số : f(x) = 2( x + ) ln( x + 1) − x2 − 2x, x > −1 Ta có : f '(x) = 2ln(x + 1) − 2x ; −2x ; −= x +1 x +1 f '''(x) = − < 0, ∀x > −1 (x − 1)2 Lại có := f ''(0) 0, f '''(0) < nên hàm số g(x) = f '(x) đạt cực đại x = Do : f '(x)≤ f ′(0)= 0, ∀x > −1 f ''(x) = Vậy hàm số f(x) = 2( x + ) ln(x + 1) − x2 − 2x nghịch biến khoảng ( −1; + ∞ ) Nhận thấy x = nghiệm phương trình (1), suy phương trình có nghiệm x = Câu Xác định tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau :  m2 2x = y + y   m2  2y = x +  x có nghiệm Lời giải : Điều kiện := x / 0;y =/ 2x2= y y + m2 Hệ cho tương đương với :  (*) x x + m2 2y = Từ hệ (*) nhận thấy vế trái phương trình khơng âm, nên hệ có nghiệm (x,y) : x > 0;y > x > 0,y >  y= x >   Do : (*) ⇔  2x2 y − y = m2 ⇔ m2 (1) 2x − x = (x − y)(2xy + x + y ) =  Do tốn trở thành tìm tham số m để phương trình (1) có nghiệm dương Xét hàm số : f(x) = 2x3 − x2 , ∀x > x = Ta có : f '(x) = 6x − 2x; f '(x) = 0⇔  x =  MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 34 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN 35 Nhìn vào bảng biến thi ên ta thấy, phương trình (1) có nghiệm dương : m2 ≥ Vậy với m ∈ R hệ phương trình cho có nghiệm Câu Cho a,b,c > Tìm giá trị nhỏ bi ểu thức : P= 4a b + 3c 8c + − a + b + 2c 2a + b + c a + b + 3c Lời giải :  x = a + b + 2c  a = y + z − 2x   Đặt : y = 2a + b + c ⇒ b = 5x − y − 3z(x,y,z > 0)  z = a + b + 3c  c = z − x   Lúc : ( y + z − 2x ) 2x − y 8(z − x)  4y 2x   4z 8x  + − = +  +  +  − 17 ≥ + 32 −= P= 17 12 − 17 x y z y   x z   x  −4 + t a =    2y = 2x 10 − Dấu “=” xảy :  ⇒ b = t ( t ∈ R,t > 0) 2z = 2x   c = −1 t   ( ) Câu Cho dãy số ( x n ) ,n∈ N * xác định sau : x1 = y n = x1 + x2 + + x n Tìm lim y n n→+∞ xn x n+1 = , ∀n ∈ N * Đặt 2(2n 1)x n + + Lời giải :  xn v1 = 1  , ta có :  ⇒ = 2(2n + 1) + Đặt : v n = un 2(2n + 1)x n + x n+1 xn v = 2(2n + 1) + v  n+1 n (2n + 1)(2n + 3) Dễ dàng tìm cơng thức tổng qt dãy : v n+1 = 1 1 Do : x n+1 = suy : = − = − v n+1 2n + 2n + 2n + 2(n + 1) + Từ : x n+1=    1  1   yn = x1 + x2 + + x n = x1 +  − 1+  +  2.2 + − 2.3 +  + +  2(n − 1) + − 2n +  = 2.2 2n + + +1         Do : lim y n =lim  − =1 n→+∞ n→+∞ 2n +   Câu Cho hì nh chóp S.ABCD có SA l àđường cao đáy hình chữ nhật ABCD biết SA = a, AB = b, AD = c Trong mặt phẳng (SBD) vẽ qua trọng tâm G tam gi ác SBD đường thẳng cắt cạnh SB M cắt cạnh SD N Mặt phẳng (AMN) cắt cạnh SC hì nh chóp S.ABCD K Xác định vị trí M cạnh SB cho thể tích hình chóp S.AMKN đạt giá trị lớn nhỏ Tính giá trị theo a, b, c Lời giải : Do G trọng tâm tam giác SDB, suy G trọng tâm tam giác SAC Do AG cắt SC trung điểm K SC MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 35 36 Đặt : Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN SM SN 1  = x, = y  ≤ x ≤ 1; ≤ y ≤  SB SD 2  VSANK SA SN SK y VSAKM SA SK SM x Theo cơng thức tính tỷ số thể tích ta có := Lại có = = ; = VSADC SA SD SC VSACB SA SC SB VSADC == VSACD 1 VSANKM Nên ta có : VSABC abc : VSANK + VSAKM = = 2V x+y abc(x + y) (*) = SANKM = ⇒ VSANKM = VSABCD 12 VSANK VSAKM + VSADC VSACB Ta lại có :  SN    SM     = SN = = SD ySD;= SM = SB xSB; SG SO SD SB       Vì O trung điểm BD nên : 2SO = SD + SB ⇒ SG = SN + SM (1) 3y 3x Mà : M, N, G thẳng hàng nên từ (1) ta có : 1 y 1  + =1 ⇒ x = ≤ y ≤ 1 3y 3x 3y −    y  +y abc   3y −  abc y Thay vào (*) = suy : VSANKM = 24 3y − Xét hàm số : f(y) = Ta có : f '(y) = y2 1  ≤ y ≤ 1  3y −   3y − 2y ; f '(y) = ⇒ y = (3y − 1) Bảng biến thi ên : Nhìn vào bảng biến thi ên ta thấy : Minf(y) = Từ ta có :  y= ⇔ y = ; Maxf(y) = ⇔    y = abc ⇔ MN / /BD abc Min ( VSANKM = ) ⇔ M trung điểm SB, N trung điểm SD Max ( VSANKM = ) Câu Cho hì nh lập phương ABCD.A1B1C1D1 có độ dài Lấy điểm E ∈ AA1 cho AE = F ∈ BC cho BF = Lấy điểm Tìm khoảng cách từ B1 đến mặt phẳng FEO ( O tâm hì nh lập phương ) Lời giải : Chọn hệ trục tọa độ Ixyz cho I ≡ A(0;0;0);A1 (0;0;1);D(1;0;0);B(0;1;0) MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 36 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN 37 1 1 1 1   Lúc : O trung điểm AC nên O  ; ;  ; E  0;0;  ;F  ;1;0  ; B1 ( 0;1;1 ) 3  2 2      3 Mặt phẳng (O EF) qua O nhận véctơ OE,OF  =  ; − ; −  làm véctơ pháp tuyến nên có phương trình :    24  1 1  1 3 1 x −  −  y − −  −  z −  =0 hay : 8x − 5y − 9z + =   24  2 8 2 Vậy : d ( B1 ;(OEF)) = −5 − + +5 +9 2 = 11 170 Câu Tìm hàm số f : ( 0; +∞ ) → ( 0; +∞ ) thoả mãn : xf ( xf(y)) = f ( f(y)) , ∀x, y ∈ (0; +∞ ) Lời giải : Cho y = 1, suy : xf ( xf(1)) = f ( f(1)) Đặt f(1) = a , ta có : xf(ax) = f(a) (1) 1 , suy : f(1)=f(a) ⇒ f(a)=1 a a Cũng từ (1) cho ta : f(ax) = (2) x a Từ (2) cho ax =⇒ y f(y) = y Từ (1) cho x = Thử lại ta thấy f(y) = a (a > 0) hàm số cần tìm y MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 37 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN SỞ GD& ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨ A Giáo viên đề : Phạm Kim Chung (ĐS>) - Nguyễn Thị Thỏa (HH) 38 BÀI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN THAM GIA KỲ THI HSG TỈNH NĂM HỌC 2010 – 2011 ( Lần thứ ) Thời gian làm : 180 phút _ Câu Giải phương trình: 3x + − − 2x − x3 + 3x + 10x − 26 = Câu Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm: log x − log y + = 2m −  3  log3 y − log32 x + = 2m − Câu Cho a, b, c dương thoả mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng: b c a 1 1 + + ≥ 3 + +  a b c a b c  Câu Cho hàm s ố f(x) = x + ax3 + bx2 + cx + d Ta kí hiệu đạo hàm bậc n ( n nguyên dương ) f(x) f (n) ( x ) Chứng minh f(x) > 0, ∀x ∈ R : F(x) = f ( x) + f (1)(x) + f (2) + f (3)(x) + f (4)(x) > 0, ∀x ∈ R Câu Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mặt phẳng (ABC), tam giác DAB cân và đáy ABC là  = α Gọi β là góc tạo bởi hai mặt phẳng ( DAC ) và ( DBC ) Chứng minh tam giác vuông tại B có BAC rằng: tan α.tan β = + cos2 α cos α Câu Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Với M là một điểm thuộc cạnh AB, chọn điểm N thuộc cạnh D'C' cho AM + D'N = a Tính thể tích khối chóp B'.A'MCN theo a và xác định vị trí của điểm M để khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng ( A'MCN ) đạt giá trị lớn nhất   f(1) =  Câu Cho hàm s ố f :R → R thỏa mãn hệ điều kiện : f(x + y)= f(x) + f(y) + 2xy, ∀x, y ∈ R    f(x)  f = , ∀x =/   x  x Tính giới hạn : L = lim e x →0 2f(x ) − + f (x ) ln (1 + f (x )) -Hết Thanh Chương, ngày 10 tháng 12 năm 2010 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 38 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN 39 HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ Câu Giải phương trình : Lời giải : ĐK : −1 ≤ x ≤ PT ⇔ ⇔ ( ) ( 3x + − − 3(x − 2) + 3x + − − 2x − x3 + 3x + 10x − 26 = ) − 2x − − (x − 2)(x2 − x − 12) = 2(x − 2) − (x − 2)(x2 − x − 12) = 3x + + − 2x +   ⇔ ( x − 2)  + − ( x2 − x − 12) = − 2x +  3x + +  5  Xét hàm số : f(x) = − x2 + x + 12, x ∈  −1;  2         Ta có : f '(x) = −2x + 1, f '(x) = ⇔ x = Suy : Minf(x) = Min f( −1);f   ;f    = f >0  5        −1 ;     5 − (x2 − x − 12) > 0, ∀x ∈  −1;  3x + + − 2x +  2 Vậy phương trình có nghiệm : x = Do : + log x − log y + = 2m −  3 Câu Tìm tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm :  log3 y − log32 x + = 2m − Lời giải : ĐK : x,y >  u = log x +  u2 − v= 2m − (1) Đặt :  u ≥ 1,v ≥ ) Lúc hệ PT trở thành :  ( v − u= 2m − (2) v = log3 y + Lấy (1)-(2), ta có : ( u − v )( u + v + 1) = ⇒ u = v ( Do u+v+1 > ∀u,v ≥ ) Lúc tốn trở thành tìm m để phương trình : u2 − u= 2m − có nghiệm u ≥ Xét hàm số : f(u) = u2 − u + , ta có : f '(u) = 2u − > 0, ∀u ≥ Và lim f(u) = +∞ u→+∞ Do đó, PT có nghiệm u ≥ 2m = f(u) ≥ f(1) =2 ⇒ m ≥ Câu Cho a, b, c dương thoả mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng : b c a 1 1 + + ≥ 3 + +  a b c b c  a 1 1 1 Lời giải : Ta có : ab + bc + ca = = x,= y,= z ⇒ x + y + z = ( x,y, z > ) Bất đẳng thức abc ⇒ + + = Đặt : a b c a b c cần chứng mi nh trở thành : x y z2 + + ≥ x + y + z2 y z x ( Áp dụng BĐT Svac-xơ ta có : VT = Ta chứng minh : ) x4 y4 z ( x2 + y + z2 )2 + + ≥ x y y z z2 x x y + y z + z2 x ( ) (x + y + z) x2 + y + z2 x + y + z2 ≥ ⇔ ≥ ( x + y + z = 1) x y + y z + z2 x x y + y z + z2 x ⇔ x3 + xy + y + yz2 + zx2 + z3 ≥ 2(x2 y + y 2z + z2 x) (*) Theo bất đẳng thức AM -GM ta có : x3 + xy ≥ x= y 2x y; y + yz2 ≥ y z2 ; z3 + zx2 ≥ z x Cộng BĐT ta chứng minh (*) Vậy : VT ≥ 3(x + y + z2 ) đpcm MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 39 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN 40 Câu Cho hàm số f(x) = x + ax3 + bx2 + cx + d Ta kí hiệu đạo hàm bậc n ( n nguyên dương ) f(x) f (n) ( x ) Chứng minh f(x) > 0, ∀x ∈ R : F(x) = f ( x) + f (1) (x) + f (2) + f (3) (x) + f (4) (x) > 0, ∀x ∈ R Lời giải : Ta có : F(x) hàm bậc : lim F(x) = +∞ , phương trình bậc : F’(x)=0 ln có nghiệm Do x→±∞ hàm số y = F(x) ln có GTNN gi trị cực tiểu hàm số Giả sử hàm số đạt cực tiểu x = x Lúc : F'(x ) = suy : = F'( x ) = f (x0 ) + f (x0 ) + f (x0 ) + f (x0 ) = F(x0 ) − f (x0 ) ⇒ F(x ) = f(x0 ) > ( Do f(x) > , ∀x ∈ R ) Từ ta có : F(x ) ≥ F(x ) > 0, ∀x ∈ R Câu Cho tứ diện ABCD có DA vuông góc với mặt phẳng (ABC),tam giác DAB cân và đáy ABC là tam giác vuông tại  = α Gọi β là góc tạo bởi hai mặt phẳng B có BAC Lời giải : ( DAC ) và ( DBC ) Chứng minh rằng : tan α.tan β = + cos2 α cos α Đặt DA = x Gọi K hình chiếu A lên DB, từ K kẻ KH vng góc với DC H Ta có : DA ⊥ BC  BC ⊥ DB Suy : ⇒ BC ⊥ (DAB) ⇒    AB ⊥ BC BC ⊥ AK  AK ⊥ KH AK ⊥ (DBC) ⇒  ⇒ DC ⊥ (AHK) ⇒ AH ⊥ DC  DC ⊥ AK  = β ⇒ tan β = AK (1) Do : AHK HK BC AB x Trong tam giác ABC : tan= ; α ⇒ BC = AB.tan= α x.tan α ; cos= α ⇒ AC = AB AC cosα Trong tam giác AD C : Trong tam giác ADB : 1 x 2x = + ⇒ AK = (2) : BD = AD2 + AB2 = AK AD2 AB2 x2 xcos α 1 1 cos2 α x2 2 2 ⇒ DH = AD − AH = x − ⇒ DH = = + = + ⇒ AH = 2 2 2 + cos α AH AD AC x x + cos α + cos2 α DH DB BC.DH ( x tan α ) xcos α Xét hai tam giác vuông : DHK ~ DBC ⇒ (3) = ⇒ HK = = HK BC BD + cos2α 2x Từ (1), (2), (3) ta có : ⇒ tan= β AK x 2x + cos2α = ⇒ tan α.tan= β HK x tanα.cosα + cos2α (đpcm) cosα Câu Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a Với M là một điểm thuộc cạnh AB chọn điểm N thuộc cạnh D'C' cho AM + D'N = a Tính thể tích khối chóp B'.A'MCN theo a và xác định vị trí của điểm M để khoảng cách từ điểm B' đến mặt phẳng ( A'MCN ) đạt giá trị lớn nhất Lời giải : Chọn hệ trục tọa độ Oxyz hình vẽ, với : A' ≡ O(0;0;0); B'(a,0,0); D'(0;a;0);A(0;0; −a) Đặt= AM x ( ≤ x ≤ a ) ⇒ = D'N a − x Lúc ta có :    A ′M = A ′A + AM ⇒ M(x;0; −a) ;     A ′C = A ′B + A ′D + A ′A ⇒ C(a;a; −a)    A ′N = A ′D + D′N ⇒ N(a − x;a;0) Ta lại có : MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 40 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN       VA ′B′MCN = VA ′B′MC + VA ′B′CN = A ′M  A ′B';A ′C  + A ′N  A ′B';A ′C      41    0 a a  1 a3 Mà :  A ′B'; A ′C  = ; ; 0;a2 ;a2 Do : VA ′B′MCN = −a3 + a3 = (đv.tt) =    6  a −a −a a a a    Lại có : A ′M = NC , suy tứ gi ác A’MCN hì nh bình hành Do :   S A ′MCN = A ′M, A ′N  a + a2 (a − x)2 + x 2a2= a a2 − ax + x2 Nên : =   ( ) ( 3VB′.A ,MCN = S A ′MCN d ( B',(A'MCN) = ) a2 = 2(a2 − ax + x ) Dấu “=” xảy : x = ) a2  3a  a  2 +  − ax + x2     4 2 ≤ a a hay M trung điểm AB   f(1) =  Câu Cho hàm số f : R → R thỏa mãn hệ điều kiện : f(x + y)= f(x) + f(y) + 2xy, ∀x,y ∈ R   f   = f(x) , ∀x =/  x x Tính giới hạn : L = lim e x→0 Lời giải : 2f(x ) − + f (x ) ln (1 + f (x )) Từ : f(x + y) = f(x) + f(y) + 2xy ,∀x,y ∈ R (1) Cho x = ⇒ f(y) = f(0) + f(y) ⇒ f(0) = Cho x = y ⇒ f(2x) = 2f(x) + 2x2 (2) Với t ∈ R, t = /0: 1 1 Từ (2) cho x = 2f   + (b) t ⇒ f ( 2t ) = 2f ( t ) + 2t (a) ; Cho x = ⇒ f   = 2t t  2t  2t   f(x)   f(t)   f(2t) f(t) f(2t) (c) Từ f   = , ∀x = t ⇒f  = ;x= 2t ⇒ f   = thay vào (b) ta có : = + / Cho x = x x t 2t t4 8t 2t     t   ( 2t ) f(t) 2f(t) + 2t = + ⇒ 8f(t)= 2f(t) + 2t + 4t ⇒ f(t)= t Hay f(x) = x2 t4 8t 2t Thử lại ta thấy f(x) = x2 thỏa mãn yêu cầu toán − + x2 2x2 Lúc : L = lim e Đặt= et Nên : t ln(1 + x2 ) , x → t → : + x2 = x→0 ln + x2 Từ (a), (c) ta có : ( ) t − et 2−2et − e e e = = L lim lim t →0 t →0 t t 2(et −1) t t t t Xét hàm số : f(t) = e2−2e − e3 , ta có : f(0) = 0; f '(t) = −2et e2−2e − e3 ⇒ f '(0) = − 3 t t f(t) − f(0) e2−2e − e3 Theo định nghĩa đạo hàm : f '(0) = lim lim = ⇒L= − t →0 t → t −0 t MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 41 42 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN SỞ GD&ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT ĐẶNG THÚC HỨA Giáo viên đề : Phạm Kim Chung BÀI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN THAM GIA KỲ THI HSG TỈNH NĂM HỌC 2010 – 2011 ( Lần thứ ) _ Thời gian làm : 180 phút  π π Câu Tìm m để phương trình : + 2sin2x = m(1 + cos x)2 có nghiệm đoạn  − ;  2  Câu Xác định tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghiệm :  (4x + 1)x + (y − 3) − 2y =  2 m 4x + y + − 4x = Câu Cho số thực dương x,y,z Tìm giá trị nhỏ : = P 13xyz x y y 2z z x + + + x y 3(xy + yz2 + zx2 ) z   x1 = n Câu Cho dãy số ( x n ):  Chứng minh dãy với (y ) = y ∑ n n 2 x n −1 + 4x n −1 + x n −1 i =1 x i  = , ∀n ≥ x n có giới hạn hữu hạn n → ∞ tìm giới hạn Câu Cho n s ố khơng âm a0 ,a1 , a2 , ,a n −1 có tổng a1 + a2 + + a n −1 > Chứng minh phương trình : x n − a n −1 x n −1 − a n −2 x n −2 − − a1 x − a0 = có nghiệm dương Câu Chứng minh với số tự nhiên n ta ln có đẳng thức : 2C0n + 3C1n + 4C2n + (n + 1)Cnn −1 + (n + 2)Cnn = (n + 4)2n −1 ( Trong Ckn tổ hợp chập k n ) Câu Cho tứ diện S.ABC , M điểm nằm tứ diện Một mặt phẳng (P) tùy ý qua M cắt cạnh SA,SB,SC A1 ;B1 ;C1 Đặt V, VA , VB , VC thể tích tứ diện SABC,SMBC,SMCA,SMAB Chứng minh : V = V VA V + B + C SA1 SB1 SC1 Câu Cho hình h ộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' , đường chéo AC' = a ( a không đổi ) hợp với đáy ABCD góc α hợp với mặt bên BCC’B’ góc β Tính thể tích V hình hộp ABCD.A'B'C'D' theo a, α , β Khi tứ giác A'D'CB hình vng, xác định α , β để V đạt giá trị lớn Hết Thanh Chương ,ngày 16 tháng 12 năm 2010 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 42 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN 43 HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP SỐ  π π Câu Tìm m để phương trình : + 2sin2x = m(1 + cosx)2 có nghiệm đoạn  − ;   2 Lời giải :  π π Rõ ràng với x ∈  − ;  + cos x =/ Do  2 phương trình cho tương đương với : x x  π π + 2sin2x = m Đặt t = tan , ∈  − ;  ⇒ t ∈ −1;1 (1 + cosx) 2  4 2t − t 2 + + 2sin2x t )2 + 8t(1 − t ) t − 4t + 2t + 4t + 1 + t + t 2(1 += Ta= có : Suy phương trình cho trở = (1 + cosx)2  − t2  1 +  + t2   thành : t − 4t + 2t + 4t + = 2m (*) Do tốn trở thành tìm m để phương trì nh (*) có nghiệm t ∈ −1;1 Xét hàm số : f(t) =t − 4t + 2t + 4t + 1, t ∈ −1;1 Ta có :  t= − ( Với t ∈ −1;1 ) Từ ta có bảng biến thiên : f '(t) = 4t − 12t + 4t + = 4(t − 1)(t − 2t − 1) ⇒ f '(t) = ⇒   t = Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình (*) có nghiệm t ∈ ( −1;1) : ≤ 2m ≤ hay ≤ m ≤ (4x + 1)x + (y − 3) − 2y = Câu Xác định tất giá trị tham số m để hệ phương trình sau có nghi ệm :  2 m 4x + y + − 4x =  x ≤ Hướng dẫn giải : ĐK :  y ≤  Từ pt (1) cho ta : [(2x)2 + 1].2x =   ( − 2y ) + 1 − 2y ⇒ f(2x) = f( − 2y )  Xét Hàm số : f(t) ( t + 1).t ⇒ f '(t ) = = 3t + > ⇒ Hàm số f(t) đồng bi ến R, từ : f(2x) = f (  x≥0  x ≥0  − 2y ⇒ 2x = − 2y ⇒  ⇒ − 4x 4x 2y = −  y =  ) MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 43 44 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN  − 4x  25 Thế vào pt (2) ta có : 4x +  Bài + − 4x = m (*) , với ≤ x ≤  + − 4x = m ⇔ 4x − 6x + 4    3 tốn trở thành, tìm m để phương trình (*) có nghiệm x ∈ 0;   4 Xét hàm số : f(x) = 4x − 6x + 25  3 + − 4x , x ∈ 0;  Ta có :  4 4  3 f= '(x) 16x3 − 12x = − 4x(4x − 3) − < 0, ∀x ∈ 0;  − 4x − 4x  4 Do yêu cầu toán tương đương với : 265   25 Minf(x) ≤ m ≤ Maxf(x) = f = = f ( 0= +2 )  64  3  3 4 0;  0;   4 ( Chú ý : Tham khảo thêm Câu 41 Phần I )  4 Câu Cho số thực dương x,y,z Tìm giá trị nhỏ : HD : Xem lời giải : Câu 34 Phần III = P x y y z z2 x 13xyz + + + z3 x y 3(xy + yz2 + zx2 )   x1 = n  Chứng minh dãy với có giới hạn hữu Câu Cho dãy số ( x n ):  (y ) y = ∑ n n 2 x n−1 + 4x n−1 + x n−1 i=1 x i  , ∀n ≥ = x n hạn n → ∞ tìm giới hạn HD : Xem lời giải : Câu 20.Phần IV Câu Cho n số không âm a0 ,a1 , a2 , ,a n−1 có tổng a1 + a2 + + a n−1 > Chứng mi nh phương trình : x n − a n−1 x n−1 − a n−2 x n−2 − − a1 x − a0 = có nghiệm dương Lời giải : Khi x>0 , ta có : PT : x n − a n−1 x n−1 − a n−2 x n−2 − − a1 x − a0 = ⇔ a n−1 x n−1 + a n−2 x n−2 + + a1 x + a0 = xn a a a a a a n−1 a n−2 a Xét hàm số : f(x)= n−1 + n2−2 + + n1−1 + 0n , khoảng (0; + ∞ ) , ta có : + + + n1−1 + 0n = x x x x x x x x na a 2a f '(x) =− n2−1 − n3−2 − − n+01 < 0, ∀x > ( Do a0 ,a1 , a2 , ,a n−1 không đồng thời ) x x x Từ ta có bảng biến thiên : ⇔ Nhìn vào bảng biến thi ên ta thấy, phương trình : f(x)=m ln có nghiệm dương m >0 Do phương trình f(x) = có nghiệm dương MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 44 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN Câu Chứng minh với số tự nhiên n ta ln có đẳng thức : 2C0n + 3C1n + 4C2n + (n + 1)Cnn−1 + (n + 2)Cnn = (n + 4)2n−1 ( Trong Ckn tổ hợp chập k n ) Lời giải : (1) Khai triển : (1 + x)n = C0n + C1n x + C2n x + + Cnn x n ⇒ x (1 + x)n = C0n x + C1n x3 + C2n x + + Cnn x n+2 45 Lấy đạo hàm vế (1) ta : 2x(1 + x)n + nx (1 + x)n−= 2xC0n + 3x 2C1n + + (n + 2)x n+1Cnn n−1 Từ đẳng thức (2), cho x = , ta có : (n + 4)2 = 2C + 3C + 4C + (n + 1)C n n n n−1 n (2) + (n + 2)C (đpcm) n n Câu Cho tứ diện S ABC M điểm nằm tứ di ện Một mặt phẳng (P) tùy ý qua M cắt cạnh SA, SB, SC A1 ;B1 ;C1 Đặt V,VA ,VB ,VC thể tích tứ diện SABC,SMBC,SMCA,SMAB Chứng minh : V = Lời giải : SA SB SC VA + VB + V SA1 SB1 SC1 C VSABM SA SB SM SM = = ; VSABS1 SA SB SS1 SS1 Gọi S= SM ∩ (ABC) Theo cơng thức tính tỷ số thể tích ta có VSA1B1M VSABS1 = Tương tự ta có : VSB C M = 1 VSA1B1C1 VSA B M SA1 SB1 SA1 SB1 SM SA1 SB1 ⇒ 11 = ⇒ VSA1B1M= V (1) SA SB SS1 VSABM SA SB SA SB C SB1 SC1 SA1 SC1 = VA (2) ; VSA1C1M V (3) SB SC SA SC B SA1 SB1 SC1 (4) VSABC SA SB SC Từ (1), (2), (3) ta có : SA1 SB1 SA1 SC1 SB SC VSA1B1C1 = VSA1B1M + VSB1C1M + VSA1C1M = VC + VB + VA (5) SA SB SA SC SB SC Từ (4), (5) suy : Lại có : = SC SA SB SA1 SB1 SA1 SC1 SB SC SA1 SB1 SC1 = V VC + VA + V đpcm VC + VB + VA ⇒ V = SC1 SA1 SB1 B SA SB SA SC SB SC SA SB SC Câu Cho hì nh hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' đường chéo AC' = a ( a không đổi ) hợp với đáy ABCD góc α hợp với mặt bên BCC’B’ góc β Tính thể tích V hình hộp ABCD.A'B'C'D' theo a, α , β Khi tứ gi ác A'D'CB hình vng xác định α , β để V đạt giá trị lớn Lời giải : Ta có : Hình chiếu AC’ lên mp(ABCD) AC , lên   mp(BCC’B’) BC’ : C ′AC = ′B = α;AC β Xét tam gi ác vuông : CAC’ v BAC’ ta có : CC' = AC'sin α =a.sin α ; AB = AC'.sin β =asinβ ; = BC' AC'.cos = β a.cosβ ⇒= BC Do : C'B2 − C'C = a cos2β − sin2 α V= C'C.CB.BA = a3 sin α.sinβ cos2 β − sin2 α (đvtt) ABCD.A ′B′C′D′ Tứ giác A’D’CB l hình vng : A’B=A’D MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 45 Phần VI : MỘT SỐ ĐỀ KIỂM TR A ĐỘI TUYỂN 46 ⇔ AB2 + A'A = A'D' ⇒ sin2 α + sin2 β = cos2β − sin2 α ⇔ 2sin2α = cos2β − sin2 β (1) Từ ta có : VABCD.A ′B′C′D′ = a3 sin α.sin = β cos2β − sin2α a3 Áp dụng BĐT AM-GM ta có : Dấu “=” xảy ⇔ sinβ= Vậy : V= Max a3 − 2sin2 β sin2 β sin2 β.(1 − 2sin2 β) = ⇒ β= 300 β a = sin β.(1 − 2sin β) (*) (1 − sin β ) − − 2sin 2 2sin2 β.(1 − 2sin2 β) 2 ≤ 2 1 2sin2 β + (1 − 2sin2 β) = 2 2 ⇔ α = β = 300 MATHVN.COM  Phạm Kim Chung – THPT Đ ẶNG THÚC HỨA – ĐT : 0984.333.030 – Mail : p.kimchung@gmail.com Tr 46 ... PHƯƠNG TRÌNH – BPT – HPT – CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Đ ẾN ĐẠO HÀM PHẦN I : PHƯƠNG TRÌNH – BPT - HỆ PT VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐẠO HÀM Tìm giá trị tham số m để hàm số : y =−2x + + m x2 − 4x +... =/ Cho hàm số : f(x) =  Tính đạo hàm hàm số x = chứng minh hàm số đạt cực tiểu , x =0  x =0 Tìm cực trị hàm số := y f(x) = | x | ( x − 3) ĐS : x =0 ; x=1 Xác đị nh giá trị tham số m để phương... - x n ) = lim{[x n + - (n + 1)] - (x n - n) + 1} = MỘT SỐ BÀI TỐN TÌM GIỚI HẠN KHI BIẾT CÔNG THỨ C TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ u1 =   30 Cho dãy số ( un ) :  Tìm limun = ? −9un−1 − 24 = un 5u +