LỜI NÓI ĐẦU í)ê đáp ứng nhu cầu học tập cùa học sinh, tài liệu tham kháo cho giáo viên, chúng tòi xin giới thiệu cuôn sách Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán HÌNH HỌC 9 Trong quyên sách này. tác giả đà phân chia thành 7 chuyên đê cơ bàn sau, bao gôm: Chuyên để ỉ: Các hài toán tính toán hình học Chuyên để 2: Các bài toán chứng minh vể đa giác. Chuyên đê 3: Các bài toán chứng minh vê đường tròn Chuyên để 4: Các bài toán dựng hình, quỹ tích, c huyên để 5: Các bài toán hình học không gian Chuyên đê 6: Bài tập tông hợp. Chuyên để 7. Một sổ để thi học sinh gioi và để thi tự luyện Trong môi phân, sách được câu trúc gôm 4 nội dung chính như sau: Ị. Phương pháp chung. 2. Các ví dụ ntinh họa. 3. Bài tập vận dụng. 4. Hướng dẫn và đáp số. Các bài tập được lựa chọn từ dê đên khó, bám sát theo chuân kiên thức kỹ năng của chương trình SGK Toán 9 và nhiều bài tập được tác giả đưa ra nhiều phương pháp khác nhau đê bạn đọc tham khào thêm. Với mỗi dạng bài tập cơ bản đều có phương pháp giải cụ thể và ví dụ minh họa. Ngoài ra, các bài tập đều có hướng dẫn giải chi tiết, dễ hiểu. Nhiều ví dụ có lời nhận xét để giúp học sinh tránh các sai lầm cơ bản. Mặc dù đã hết sức cố gắng, song lời giải các bài toán trong quyển sách này có khi chưa phải là phương án giải hay nhât và cũng có thê còn thiêu sót. Tuy vậy, tác giả hy vọng rằng quyên sách này sẽ giúp ích cho bạn đọc trong quá trình học tập và giảng dạy, đặc biệt là quá trình tự học. Chức các em học sinh và các thây cô giáo quan tâm đên quyên sách này thành công trên mọi lĩnh vực. Rât mong nhận được sự góp ý chân thành của các em học sinh và các thây cô giáo, tác giả xin chân thành cảm ơn trước. Mọi ý kiến đóng góp xin liên hệ: Trung tâm Sách giáo dục Aĩtpha . 225C Nguyễn Tri Phuơng, p.9, Q.5, Tp. HCM. Công ti Sách thiết bị giáo dục Anpha SO Nguyễn Văn Săng, Quận Tân Phú, TP.HCM ĐT: 08.62676463, 38547464. Email: alphabookcenteryahoo.com Xin trân trọng cảm ơn
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỞ TOÁN HINH HOC BỐI dưỡng học sinh giỏi Rèn kĩ giải toán tử CO’ đến nâng cao TRẦN THỊ VÂN ANH r Mil BỊI DƯỠNG HỌC SINH GIỞ TCÁN ■ HÌNH HỌC • Bồi dưỡng học sinh giỏi • Rèn kĩ giải toán từ đến nâng cao Hà NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC Quốc GIA HÀ NỘI 16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội Điện thoại: Biên tập-Chế bản: (04) 39714896; Hành chính: (04) 39714899; Tổng biên tập: (04) 39714897 Fax: (04) 39714899 *** Chịu trách nhiệm xuất bản: Giám đốc PHÙNG Qưốc BẢO Tổng biên tập PHẠM THỊ TRẦM Biên tập nội dung BÍCH HẠNH Sửa LÊ HỒ Chế CƠNG TI ANPHA Trình bày bìa SƠN KỲ Đối tác liên kết xuất CÔNG TI ANPHA SÁCH LIÊN KẾT BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỐN HÌNH HỌC Mã số: 1L-315ĐH2010 In 2.000 cuổn, khổ 16 X 24 cm công ti TNHH MTV Song Nguyên Số xuất bản: 238-2010/CXB/23-45/ĐHQGHN, ngày 12/03/2010 Quyết định xuất số: 315LK-TN/ĐHQGHN ỉn xong nộp lưu chiểu quý IV năm 2010 LỜI NÓI ĐẦU Để đáp ứng nhu cầu học tập học sinh, tài liệu tham khảo cho giáo viên, xin giới thiệu cuôn sách Bồi dưững học sinh giỏi Tốn HÌNH HỌC Trong qun sách này, tác giả phân chia thành chuyên đề sau, bao gồm: Chun đề 1: Các tốn tính tốn hình học Chun để 2: Các tốn chứng minh đa giác Chuyên đề 3: Các toán chứng minh đường trịn Chun để 4: Các tốn dựng hình, quỹ tích Chun đề 5: Các tốn hình học khơng gian Chun để 6: Bài tập tong họp Chuyên đề 7: Một sổ để thi học sinh giói để thi tự luyện Trong mồi phần, sách cấu trúc gồm nội dung sau: Phương pháp chung Các ví dụ minh họa Bài tập vận dụng Hướng dẫn đáp số Các tập lựa chọn từ dễ đến khó, bám sát theo chuẩn kiến thức kỹ chương trình SGK Tốn nhiều tập tác giá đưa nhiều phương pháp khác để bạn đọc tham khảo thêm Với mồi dạng tập có phương pháp giải cụ thể ví dụ minh họa Ngồi ra, tập có hướng dẫn giải chi tiết, dễ hiểu Nhiều ví dụ có lời nhận xét để giúp học sinh tránh sai lầm Mặc dù cố gắng, song lời giải toán quyến sách có chưa phải phương án giải hay cịn thiếu sót Tuy vậy, tác giả hy vọng sách giúp ích cho bạn đọc q trình học tập giảng dạy, đặc biệt trình tự học Chúc em học sinh thầy cô giáo quan tâm đến sách thành công lĩnh vực Rất mong nhận góp ý chân thành em học sinh thầy cô giáo, tác giả xin chân thành cảm ơn trước Mọi ý kiến đóng góp xin liên hệ: - Trung tâm Sách giáo dục Anpha 225C Nguyễn Tri Phương, p.9, Q.5, Tp HCM - Công ti Sách - thiết bị giáo dục Anpha 50 Nguyễn Văn Săng, Quận Tân Phú, TP.HCM ĐT: 08.62676463, 38547464 Email: alphabookcenter@yahoo.com Xin trân trọng cảm ơn! Các tốn tính tốn hình học Một số kiến thức bân I Một số hệ thức cạnh dường cao tam giác vuông Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH (hình vẽ) Ta có: b2 -ab'; c‘ = ac' b2 + c2 = a2 (định lí Py-ta-go) h2 - b'c' ah - bc Tỉ số lượng giác góc nhọn Các ti so lượng giác góc nhọn a (hình vẽ) định nghĩa sau: sin a = cạnh đoi / cạnh huyền; cosa = cạnh kè / cạnh huyền; tan a = cạnh đối / cạnh kể; cot a = cạnh kề / cạnh đối; Cạnh kề Với hai góc a p phụ nhau, ta có: sin a = cos(3, cosa = sin Ị3; tan«=cot/?,' cotnr = tan/7 Với số góc đặc biệt, ta có: sin 30' - cos60 — Ậ; COS30 = sin 60' = ệ; sin 45 = COS45' = -T-; cot60 = tan 30’ = —7=-; V3 cot30' = tan 60’ = V3 tan 45 = cot45" = 1; Một sổ hệ thức cạnh góc tam giác vng Trong tam giác vng, moi cạnh góc vng cạnh huyền nhân với sin góc đoi nhân với cơsin góc kề; cạnh góc vng cạnh góc vng nhân tang góc đổi nhân với cơtang góc kề Độ dài đường trịn cịn gọi chu vi hình trịn kí hiệu c Gọi kính cùa đường trịn R, ta có c = 2ĩĩR Trẽn đường trịn bán kính R, độ dài l cung n tỉnh theo công , ĩĩRn thức l = — — Diện tích s hình trịn bán kính R tính theo cơng thứcS = ĩtR1 Các dạng tập Tinh độ dài đoạn thẳng Tinh số đo góc Tính độ dài cung trịn Tỉnh dện tích hình Các ví dụ minh họa Tính độ dài đoạn thẳng Ví dụ 1: Hình thang cân ABCD có đáy lớn CD = 10cm, đáy nhỏ bànj chường cao, đường chéo vng góc với cạnh bên Tính đường cao hình tiarig Giải Gọi AH, BK đường cao hình thang Đạt AB = AH = BK - X Dễ dàng chứng minh DH - CK = iO-"do đó: HC = ^^ Xét tam giác ADC vng A ta có AH2 = HD.HC 10-X 10+ x 100-X2 , 10V3 Do đó: X = ————-— = ——— ứ X = —-7—cm ~ _ , ,, _ , i Đường cao hình thang băng I0V3 „ ■ cm Vỉ dụ 2: Tính cạnh đáy BC tam giác cân ABC biết đường cao ingỊ với cạnh đáy 15,6cm đường cao ứng với cạnh bên 12cm G7ả/ Gọi AH, BK đường cao A ABC Ta có: AC = B(AAH = BC*5,6 = 1,3BC Đặt BC = X AC = 1,3: Theo BK 12 định lí Pytago: AH2 + HC2 = AC2 nên 15,62 + A2 = (l,3x)2 Ta tính X = 13 Vậy BC = 13cm Vi dụ 3: Cho tam giác ABC vng A, đường phân giác AD, đưịig cao AH Biết BD = 7,5 cm DC = 10cm Tính độ dài AH, BH, H) Giải Ta có -7— = —— = -77- = — nên tính AB = 10,5 cm AC = llcim AC DC 10 Nhờ cơng thức ah = bc ta tính AH = 8,4 cm Nhờ công thức c2 = a.c' ta tính BH = 6,3cm nên HD = l,2cm Ví dụ 4: Cho tam giác ABC vng A, đường cao AH, AB = 20cm 9cm Tính độ dài AH L/ Đặt BI = X, ta có AB2 - BC.BH nên 202 = (x + 9).x Giải phương trình trên, ta (x - 16)(x + 25) = nên X = 16 (thích hợp) Từ đo AH = 12cm Vi dụ 5; a Cho tam giác ABC có Â = 120°, AB = 3cm, AC = 6cm Tính độ dài đường phân giác AD b Cho tam giác ABC với đường phân giác AD thỏa mãn AD AB AC Tính số đo góc BAC Giải a Kẻ DE // AB, AADE Đặt AD = DE = EA = X , DE CE X 6-X a có: —— = - =>77 = ——— AB CA Từ X = Vậy AD = 2cm b Kẻ DE // AB Đặt DE - EA = X Ta có: DK_.CE X AC-X X AB " CA AB " AC AC X X 1 -X* ~ '1—-——- — ——— 4—~~~z — — (1) AB AC AB AC X Theo đề Ụ— + Suy AD = X, AADE đều, ABC = 120° AB AC AD J Ví dụ : Cho tam giác BC có AB = 6cm, AC = 8cm, đường trung tuyến BD CE vng góc với Tính độ dài BC Giải: Gọi G giao điểm BD CE Đặt GD = X, GE = y GB = 2x, GC = 2y Áp dụng định lý Pi ta go cho tam giác vng BGE, CGD Ta có EG2 + BG- = EB2 = => 5x2 = 9, DG2 + CG2 = DB2 = 16 => 5y2 = 16 suy X2 + y2 = Áp dụng định lý Pi ta go cho tam giác vng BCG ta có 4(x2 + y2) = 20 => BC = Vs Vi dụ 7: Cho tam giác ABC có B = 60°,BC = 8cm, AB + AC = 12cm Tính độ dài AB, AC Giải Dặt AB = X Ta có AH2 + HC2 = AC2 nên + (8 - -J)2 = (12 - x)2 Giải phương trình ta X = Đáp so: AB = 5cm, AC = 7cm ■Iỉ fi'lí Vỉ dụ 8: Trong tam giác vuông Đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giác thành hai phân có diện tích 54cm2 96cm2 Tính đ( dài cạnh huyền Ta có hc’ = 54.2, hb’ = 96.2, mà h2 = b'.c' nên h4 = 124,suy h - 12 AA Dr _ 2(54 + 96) =_25(cm) Do đó: BC = Ví dụ 9: Một hình thoi có diện tích nừa diện tích hình vrụ có cạnh cạnh hình thoi Tính tỉ số đường chéo dàii đrờng chéo ngắn hình thoi Giải Gọi 2m 2n độ dài đường chéo hình thoi cạnh a Ta có m2 + n2 = a2 2mn = Từ ta tính m + n = 2V2 Suy — = 2= n 73-1 /0 a ^,m-n = —ị= V2 2V2 —— = + V3 Vỉ dụ 10: Cho hình vng ABCD có cạnh Idm Tính cạnh cùa taim giác AEF có E thuộc cạnh CD F thuộc cạnh BC Giải Đặt DE = X thìCE = - X thi: CF = CE = 1-X, AE2=X2+1 Đưa phương trình: Do X < nên ta chọn X - - V3 Ví dụ 11: Tam giác ABC vuông A, đường phân giác BD Tiai phân giác góc A cắt BD I Biết IB = 10x/5cm,ID = õVõcm, tính dicện tíchtam giác ABC Giải Die) tính chất đường phân giác: AB IB 10 Vo BC = BA =2 AẼ ID ~ 5^5 ’CD AD Đặt AD = X, DC = y Ta có AB = 2x jx2+(2x)2 =(15/5)2 (1) BC = 2y nen o [(2x)2 + (x + y)2 = (2y)2 (2) 1) ta X = 15 Thay vào (2) rút gọn y2 Oy - 375 = o (y - 25)(y + 15) = ló y = 25 Dáp sổ 600cm2 17 dụ ,2: Tam giác ABC vuông tạị A, gọi I giao điểm đường phân giá a Fiet AB = 5cm IC = 6cm Tính độ dài BC b Fiet IB = VõcmTC = Vĩõcm Tính độ dài AB, AC Giải D a Kẻ JH±BI, CH cắt BA D AFCD cân nên CH = HD Đặt BC = X AD = X -5 a/ \ A CHI vng cân có: (TH =45° >('H 72 Xé AACD vng có: =>DC = XI72 72 A-—-a - —Ềặ B K AP2 + AC2 = DC2 => (X - 5)2 + (x2 - 25) = 72 Rú gọn X2 - 5x - 36 = (x - 9)(x + 4) = Dái số BC = 9cm b Kẻ CHI BI Ta có ACIH vng cân nên CH = = - Vb(cm) Su/ BH = 2ự5cm Xét A BHC vuông; BC2 = BH2 + CH2 = 20 + = 25 nêi BC = 5cm Tacó ABCD cân B => BC = BD = 5cm; CD = 2CH = x/5 cm 2S., AC = BH.CD = AC.BD => AC Js.2\ls = 4cm _ BD CZA 7TT BC nrz—— AB = 7BC2 - AC2 = 725-16 = 3cm Ví dụ 13: Cho tam giác ABC vuông A Gọi I giao điếm đường phin giác, M trung điếm BC a Biết AB = 6cm, AC = 8cm Tính BIM b Biết BIM = 90° Ba cạnh tam giác ABC ti lệ với ba số nào? Giải BI cắt AC D a Dễ dàng tính được: BC = 10cm, DA = 3cm, DC = 5cm Do DC = MC = 5cm nên AIMC = AIDC (c.g.c) Suy Ỉ2 = Ĩ1 = Bl + Cl = 45° Vậy BIM = 90° b Đặt BC = a, AC = b, AB = c Ta biểu thị a c theo b À / Jxp / Trước hết có a2 -c2 = b2 (1) Do BIM = 90°, Ì1 = 45° nên ì2 = 45° X s \?|\ M Ta có A Die = A MIC (g.c.g) nên DC = MC Do a = 2DC, c = 2AD (tính chất đường phân giác) Suy a + c = 2(DC + AD) = 2AC = 2b (2) Ta có a2 — c2 - b2,a + c = 2b Giả sử b > c, ta a = —,c = — 4 Do a : b : c = —•: 1: — = 5:4:3 4 Ví dụ 14: Cho tam giác ABC vng A BC = 3\/5cm Hình vng ADEF cạnh 2cm có D thuộc AB, E thuộc BC, F thuộc AC Tính độ dài AC, AB Giải Đặt BD = X, FC = y ' ' X Các tam giác BDE EFC đông dạng nên A =—, suy xy = (1) y Ta lại có AB2 + AC2 = BC2 nên (x + 2)2 + (y + 2)2 = 45 (2) Từ (2) suy X2 + y2 + 4(x + y) - 37 Đặt X + y = a, kết hợp với (1) ta được: a2-8 + 4a = 37 (a-5)(a + 9) = nên a = B X Suy y = - X.Thay y - X vào (1) được: X2 - 5x + = (x - l)(x - 4) = Với X = y =4, AB = 3cm, AC = 6cm Với X = y = 1, AB = 6cm, AC = 3cm Vi dụ 15: Tam giác ABC cân A, gọi I giao điểm đường phân giác Biết IA = 2\/5cm,IB = 3cm Tính độ dài AB Giải Đường vng góc với AB A cắt BI K Ta có K phụ với Bi.AIKphụvới B2,B1=B2, nên K = AIK H trực tâm tam giác ABC nên: AHB + ACB =180° Suy ra: ANB + AHB - 180° Tứ giác AHBN nội tiếp cho ta NHB = NAB Mà NAB = MAB nên NHB = MAB (1) Tương tự ta có: EHC = MAC (2) Cộng (1) (2) ta có: NHB + ẼHC = BAC Mà ta lại có: BAC + BHC = 180° Nên: NHB + EHC + BHC = 180° Vậy N, H, E thẳng hàng Bài 6: Đặt SB0C = X, SA0D = y Ta có Sạqb _ OB _ SB0C Saod OD Scod _ X _ B — \ o \ Suy ra: — - => xy - 36 \ V— y \ \ Ta lại có \ \ / SABCD - + + X + y > 13 + 2yfxỹ = 13 + 2.6 = 25 \\ / Dấu “ = ” xảy X = y = Vậy diện tích tứ giác ABCD đạt giá trị nhỏ 25 ( Đề sổ Bài ỉ Ta có: fa + bỸ , a2+2ab + b2 > _a2-2ab + b2 (a-b)2 —-— - ab = - — ab = - - = -——- > V ỉ, b R l ; 4 (a + hỸ a+ > ab,Va,b e R (a + b)2 > 4ab,Va,b e R Dấu đẳng thức xảy a = b Vậy Bài Ta có:(a + b + c)2 = a + (b + c)2 >4a(b + c) Mà a + b + c = l(giả thiết) Nên: > 4a(b+ c) b + c > 4a(b + ()2 (vì a, b, c không âm nên b + c không âm) Nhưng: (b + c)2 > 4bc(khêng âm) Suy ra: b + c > 16abc Dấu đẳng thức xảy khi: a =b+c b=c 1 o b = c = — ;a = — Bài Ta có: p = sin6 a + cos6 a = (sin2 a)3 + (cos2 a)'3 p = (sin2 a + cos2 a) sin4 a - sin2 a cos2 a + cos4 a p = (sin2 a + cos2 a)2 - sin2 a cos2 a = - sin2 a cos2 a 274 I I có: (sin2 sin2excos2a o > 4sin2(Xcos2(X sin2 (XCOS2 (Z < — Suy ra: Pl- 3sin2 ex COS2 cz > - — = — Do đó: p ,n"’ = — chi khi: sin (X cos2 (X sin a = cosa (vì (X góc nhọn) sin ex tan « = a = cos ex Bài am bìa hình chừ nhật X có diện tích 5(đvdt) Để cat hình chừ nhật thành nanh ráp thành hình vng, cạnh cua hình vng bàng To , dộ dài cạnl' hun cua tam giác vng có hai cạnh góc vng có kích thước có diện tích bang (đvdt).t- Do nêu căt hình chừ nhật X theo đường chéo cua hình chữ nhật AEFD GBCH, cắt theo đường EF GH xong ráp lại thi dIỢC hình vng MNPQ hình bên Đề số 10 Bài ỉ: Chửng minh < —— 4- —— -4- —< (với a, b, c độ dài ba cạnh b 4- c c 4- a a+b tam giác) Ta có: — < ■■■— , (với < m < m, Vk > 0) (1) n n+k Thật (1) o < m(n + k) < n(m + k) < mk < nk < m < n(0 < m,n,k) Áp dạng: 0 < - ;0 o(vìm * n * p) Vậy phương trình (1) ln có hai nghiệm phân biệt Bài 3:7a có bất đẳng thức: 2n +1 > 2ựn(n 4-1) (2n +1)2 > 4n(n +1) 4n2 + 4n + > 4n2 + 4n : BĐT Do đó: — -■1—— 5;y > A =4 ■ x ~ Xk X y Theo bất đẳng thức Cauchy có: j + + 286 - < 7+y~7=4 « 2 X y < -U 2x/7 'J +