Chuyên đề các bài toán về tứ giác bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8

Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán CHUYÊN ĐỀ : CÁC BÀI TOÁN VỀ TỨ GIÁC MỤC LỤC CHỦ ĐỀ 1: TỨ GIÁC Dạng Tính số đo góc tứ giác .2 Dạng So sánh độ dài đoạn thẳng CHỦ ĐỀ 2: HÌNH THANG – HÌNH THANG CÂN 11 Dạng Bài tập hình thang 11 Dạng Bài tập hình thang cân 13 CHỦ ĐỀ 3: ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG 20 Dạng Bài tập đường trung bình tam giác 20 Dạng Bài tập đường trung bình hình thang .26 CHỦ ĐỀ 3: HÌNH BÌNH HÀNH .29 Dạng Bài tập vận dụng tính chất hình bình hành 29 Dạng Nhận biết hình bình hành 33 Dạng Dựng hình bình hành 34 CHỦ ĐỀ 3: HÌNH CHỮ NHẬT 35 Dạng Bài tập vận dụng tính chất dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật 35 Dạng Tính chất đường trung tuyến tam giác vuông .39 Dạng Đường thẳng song song với đường thẳng cho trước 41 CHỦ ĐỀ 6: HÌNH THOI VÀ HÌNH VUÔNG 43 Dạng Bài tập vận dụng tính chất dấu hiệu nhận biết hình thoi 43 Dạng Bài tập vận dụng tính chất dấu hiệu nhận biết hình vng 45 CHỦ ĐỀ 7: ĐỐI XỨNG TRỤC – ĐỐI XỨNG TÂM 50 Dạng Bài tập vận dụng đối xứng trục 50 Dạng Bài tập vận dụng đối xứng tâm 53 Chủ đề 8.HÌNH PHỤ ĐỂ GIẢI TOÁN TRONG CHƯƠNG TỨ GIÁC .55 A Kiến thức cần nhớ 55 B Bài tập vận dụng 56 CHỦ ĐỀ 8: TỐN QUỸ TÍCH 65 A Kiến thức cần nhớ 65 B Bài tập áp dụng 65 CHỦ ĐỀ 1: TỨ GIÁC Dạng Tính số đo góc tứ giác • Phương pháp: Vân dụng định lý tổng góc tứ giác, tính chất góc ngồi tam giác, hai góc bù nhau, phụ • Bài tập vận dụng: Bài 1.1 Cho tứ giác ABCD,   A  B = 40 Các tia phân giác góc C góc D cắt O Cho biết COD = 110 Chứng minh AB  BC • Tìm cách giải Muốn chứng minh AB  BC ta chứng minh B = 90 Đã biết hiệu A   • Lời B giải: Xét COD có C B A nên cần tính tổng A + B O  ( ) 1 22C C +D   OD = 180 C + D = 180    (vì C1 = C2  ; 1D =2 D ) D ( ) Xét tứ giác ABCD có: C + D = 360 A + B ,  COD =180 ( 360 A + B A Vậy COD =  +B ) =180180 + A + B   Theo đề C OD   A + B = 220 = 110 nên Mặt khác, A  B = 40 nên  B = (220 40) : = 90 Do AB  BC Bài 1.2 Cho tứ giác ABCD có   A + B = 220 Các tia phân giác ngồi đỉnh C D cắt K Tính số đo góc CKD Lời giải: B ( Xét tứ giác ABCD có: A + B = 360  C + D ( ) ( ) ) ( 0 CDx + DCy = 180  D + 180  C = 360  C + D Suy ra: CDx + DCy = A + B = 220  CDx + CDy Do = 110  = 110 D2 + C )D x A 22 C y Xét CKD ( ) có: CKD = 180  D + C = 180 110 = 70 Bài 1.3 Tứ giác ABCD có M   A = C Chứng minh đường phân giác góc B góc D song song với trùng Lời giải: ( A ) N Xét tứ giác ABCD có: B + D = 360  A + C = 360  2C Vì B1 = B , (1) Xét BCM D = D nên B + D = 180  C  B + D + C = 180 1 1 có B1 + M1  + C = 180 (2) D M C B Từ (1) (2) suy D = M Do DN // BM 1 Bài 1.4 Tứ giác ABCD có AB = BC hai cạnh AD, DC không Đường chéo DB đường phân giác góc D Chứng minh góc đối tứ giác bù A • Tìm cách giải Để chứng minh hai góc A C bù ta tạo góc thứ ba làm trung gian, góc góc A chẳng hạn Khi cịn phải chứng minh góc bù với góc C • Lời giải: - Xét trường hợp AD < DC Trên cạnh DC lấy điểm E cho DE = DA Ta có: ADB = (c.g.c)  AB = EDB EB B D E C A   A =E E2 Mặt khác, AB = BC nên BE = BC Vậy BEC 1 cân  C = E B     Ta có: E + E = 180  A +C = 180   Do đó: B + D = 360180 = 180 D - Xét trường hợp AD > DC C   CMTT trên, ta được: A + C =180 ; B + D = 180 Bài 1.5 Tứ giác ABCD có 0 A = 110 , B = 100 Các tia phân giác góc C D cắt E Các đường phân giác góc ngồi đỉnh C D  C ED, cắt F Tính CFD Lời giải: Tứ giác ABCD có C + D = 3600  A  B = 3600 1100A 100 = 150 0 C + D 1500   nên C + D = = = 750 2 ( D B E 2 ) CED có CED = 1800  C + D = 1800  750 = 1050 Vì DE DF tia phân giác hai góc kề bù nên DE  DF Tương tự, CE  CF Xét tứ giác CEDF: F Có: F = 3600  E  ECF  EDF = 3600 1050  900  900 = 750 C Bài 1.6 Cho tứ giác = 1800  C ABCD Chứng minh C tổng hai góc hai đỉnh A  A + C = 360 C tổng hai  A  C góc hai đỉnh B D Ta lại có: A + B + Lời giải: C + D = 360 Gọi Av  B + D = 360   góc A  C góc tron g C  đỉnh A C đỉnh A C A C Ta có: A + A = 180 (hai góc kề bù) C + C = 180 (hai góc kề bù) S 0và C uA y r a : A  = (1) (tổng góc tứ giác) A (2) Từ (1) (2)  B + D 1= A + CB2 D Bài 1.7 Chứng minh tứ giác, tổng hai góc ngồi hai đỉnh tổng hai góc hai đỉnh cịn lại Lời giải: B • Trường hợp hai góc ngồi hai đỉnh kề A  số đo hai góc Gọi C1 ,D1 số đo hai góc trong; D2 D  , hai đỉnh kề C D Ta có: 1 C ( ) ( D ) = 360  ( C + D ) (1) Xét tứ giác ABCD có: A + B = 360  ( C + D ) (2)  = 180  C1 + 180  D1 C +D 1 2 Từ (1) (2) suy ra: C2 + D2  = A + B Trường hợp hai góc ngồi hai đỉnh đối (xem VD4) Bài 1.8 Cho tứ giác ABCD có AD = DC = CB ; C = 130 D = 110 Tính số đo góc A, góc B ; (Olympic Tốn Châu Á - Thái Bình Dương 2010 ) Lời giải A E Vẽ đường phân giác góc chúng cắt B D C E 110 +130 Xét ECD có CED = 180  = 60 ADE = CDE (c.g.c)  AED = CED = 60 BCE = DCE (c.g.c)  BEC = DEC = 60 Suy AEB = 180 ba điểm A, E, B thẳng hàng Vậy Do ABC = 360  ( 65 +110 +130) = 55 1 22 D C Bài 1.9 Cho tứ giác ABCD , E giao điểm đường thẳng AB CD, F giao điểm đường thẳng BC AD Các tia phân giác góc E F cắt I Chứng minh : a) Nếu BAD = 1300 , BCD = 500 IE vng góc với IF b) Góc EIF nửa tổng hai cặp góc đối tứ giác ABCD F Lời giải a) Xem cách giải tống quát câu b b) Giả sử E F có vị trí hình bên, tia phân giác góc E F cắt I Trước hết ta chứng minh BAD + C = 2EIF Thây vậy, gọi H K giao điểm FI với AB CD Theo tính chất góc ngồi tam giác ta có: BAD = H + , C = K         nên BAD + C = H1 + K1 = (EIF +  ) + (EIF   ) = 2EIF Do EIF = (BAD + C ) : Bài tập tự giải Bài Cho tứ giác ABCD có B = 1000 , D = CB = CD 800 αα B A H I E ββ D K C a) Nếu A  C = 400 , tính góc chưa biết tứ giác b) Chứng minh BAC = DAC Bài Nêu cách vẽ tứ giác ABCD biết A = 1300 , B = 800 , C = 700 , AB = cm CD = cm Bài Tứ giác ABCD có A  B = 500 Các tia phân giác góc C D cắt I CID = 1150 Tính góc A B Bài Cho tứ giác ABCD có B =0 120 , D = 60 A  = Tính góc cịn lại C Bài Tính góc ngồi tứ giác PQRS, biết: số đo góc 0 ngồi đỉnh R số đo góc P 80 , Q  S = 60 Dạng So sánh độ dài đoạn thẳng • Lý thuyết: Định lý tứ giác lồi: Nếu tứ giác ABCD tứ giác lồi hai đường chéo AC BD cắt • Bài tập Bài 2.1 Tứ giác ABCD có tổng hai đường chéo a Gọi M điểm Tìm giá trị nhỏ tổng MA + MB + MC + MD B • Tìm cách giải Để tìm giá trị nhỏ tổng MA ta phải + MB + MC + MD M A O chứng minh MA + MB + MC + MD  k ( k số) Ghép tổng thành hai nhóm (MA + MC)+(MB + MD) Ta thấy dùng bất đẳng thức tam giác mở rộng D • Trình bày lời giải Xét ba điểm M, A, C có MA + MC  AC Xét ba điểm M, B, D có MB + MD  BD C (dấu “=” xảy M  AC ) (dấu ‘=’ xảy M  BD ) Do đó: MA + MB + MC + MD  AC + BD = a Vậy min(MA + MB + MC + MD) = a M trùng với giao điểm O đường chéo AC BD Bài 2.2 Tứ giác ABCD có O giao điểm hai đường chéo, AB = 6, OA = , OB = 4, OD = Tính độ dài AD • Lời giải: H x B Kẻ AH  BD Đặt BH = x, AH = y Áp dụng định lý y C O P y t a g o v o c c t a m g i c v u ô n g A B H v A O H , t a c ó : 2  x + y = 36 ( x + ) + y = 64  A Giải hệ ta tìm được: =3 ; y2 = 2 Áp dụng định lý Pytago vào tam giác vng ADH, ta có: 135 2 2 AD = HD + AH = 166 11, + = 166  AD = Bài 2.3 Cho tứ giác MNPQ Chứng minh MN = NQ PQ  MP D • Lời giải: M Gọi O giao điểm hai đường chéo MP NQ Ta có : MN < MO + ON PQ < PO + OQ (Bđt tam giác) suy MN + PQ < MP + NQ ; mà MN = MP (gt) nên PQ < NQ O N P O Bài 2.4 Có hay khơng tứ giác mà độ dài cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 ? • Lời giải: A B Giả sử tứ giác ABCD có CD cạnh dài Ta chứng minh CD nhỏ tổng ba cạnh lại (1) Thật vậy, xét ABC ta có: AC < AB + BC Xét ADC có: CD < AD + AC Do CD < AD + AB + BC D Ta thấy cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 khơng thỏa mãn điều kiện (1) nên khơng có tứ giác mà cạnh tỉ lệ với 1, 3, 5, 10 C Bài 2.5 Tứ giác ABCD có hai đường chéo vng góc Biết AB = 3; BC = 6,6; CD = Tính độ dài AD • Lời giải: Gọi O giao điểm hai đường chéo Xét AOB , COD vng O, ta có: AB2 + CD2 = OA2 + OB2 + OC + OD2 Chứng minh tương tự, ta được: BC + AD2 = OB2 + OC + OD2 + OA2 Do đó: AB2 + CD2 = BC + AD2 2 2 B 6,6 O A ? C D Suy ra:  + = 6, + AD  AD = + 36  43,56 = 1, 44  AD = 1, Bài 2.6 Chứng minh tứ giác tổng hai đường chéo lớn nửa chu vi nhỏ chu vi tứ giác • Lời giải: Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD tứ giác ABCD Gọi độ dài cạnh AB, BC, CD, DA a, b, c, d Vận dụng bất đẳng thức tam giác ta được: OA + OB > a; OC + OD > c Do (OA + OC ) + (OB + OD) > a + c A a d B O D b c C hay AC + BD > a + c (1) Chứng minh tương tự, ta được: AC + BD > d + b (2) Cộng vế (1) (2), ta được: ( AC + BD) > a + b + c + d  AC + BD > a + b + c + d MB = MO (1)  MOB cân  B = O Xét OBC vuông O có B + BCO = 90  O + BCO = 90 1   M O C=  M C O (vì phụ với O cân  MO = MC (2) )  MOC Từ (1) (2) suy MB = MC Vậy M trung điểm BC Xét ABC có MA = n MA =  ABC vuông A MB = MC ê BC n c) Kết luận: Quỹ tích điểm M thuộc đường trung trực M đoạn thẳng M OA Bài 3.3 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi M điểm hình chữ nhật cạnh 1) Chứng minh MA2 +MC2 = MB2 +MD2 ; 2) Tìm quỹ tích điểm M MA + MC = MB + MD • Lời giải A E 1) Chứng minh B MA2 + MC2 = MB2 + MD2 (1) M Qua M vẽ đường thẳng vng góc với hai cặp cạnh đối G H hình chữ nhật dùng định lý Py-ta-go để chứng minh 2) Tìm quỹ tích điểm M D F C a) Phần thuận Ta có: MA + MC ( E A B = MB + MD Suy ( MA + MC )2 = ( MB + MD )2  MA2 + MC2 + 2MA.MC = MB2 + MD2 + 2MB.MD H M  2MA.MC = 2MB.MD (3) Từ (1) (3) ta có:  MA2 + MC2 2MA.MC = MB2 + MD2 2MB.MD F G D C  (MA  MC)  MD = ( MB  Do đó: 2MA = MD) 2MD  MA M(4) h S = MD B u o Vậy điểm y ặ  M nằm c M r M D đường a A trung trực  AD M M A C Giới hạn: Vì M nằm  = hình M M D chữ nhật C  M cạnh = B (5) nên M ● Từ (2) nằm (4) ta có: hai đoạn  MA +  thẳng EF  MC = GH nối trung MB + điểm hai MD cặp cạnh  đối diện = hình Do đó: chữ nhật 2MA = 2MB  MA b) Phần đảo = MB Lấy điểm Vậy điểm M M nằm đoạn đường thẳng trung trực GH AB Khi ● Từ (2) (5) ta có;  MA +   MC = MB + MD MA = MD; MB = MC Vậy MA + MC = MB + MD Nếu M  EF ta có kết c) Kết luận: Quỹ tích điểm M hai đoạn thẳng EF GH nối trung điểm hai cặp cạnh đối diện hình chữ nhật Bài 3.4 Cho tam giác ABC Trên nửa mặt phẳng bờ BC có chứa A vẽ tia Bx  BC lấy điểm D Vẽ tam giác CDM (M B thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ CD) Tìm quỹ tích điểm M D di động tia Bx • Lời giải x a) Phần thuận MAC DBC M có: MC = DC ; C = C y (vì cộng  A với ACD cho 60 ); CA = CB Vậy MAC = DBC (c.g.c) D   M AC = D BC = 90 Suy MA  A AC Do điểm M nằm đường thẳng qua A vng góc với AC Giới hạn: Khi điểm D trùng với B điểm M trùng với C B A Khi điểm D xa vơ điểm M xa vô Vậy điểm M nằm tia Ay b) Phần đảo Lấy điểm M tia Ay Vẽ đoạn thẳng MC Trên tia Bx lấy điểm D cho CD = CM Ta phải chứng minh MCD Thật vậy, MAC DBC có: A = B = 90; CM = CD; CA = CB Do MAC = DBC (cạnh huyền, cạnh góc vng) Suy C1 = C2   MCD = BCA = 60 MCD cân có MCD = 60 nên tam giác c) Kết luận (tia Ay nằm nửa mặt phẳng bờ AC không chứa B) Quỹ tích điểm M tia Ay  AC III Quỹ tích tia phân giác Bài 3.1 Cho góc vng xOy Điểm A cố định tia Ox cho OA = 2cm Điểm B di động tia Oy Vẽ tam giác ABM vuông cân M M O thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ AB Tìm quỹ tích điểm M • Lời giải a) Phần thuận Vẽ MH  Ox, MK  Oy Mặt khác, y  MK = 90 ta H M  A MB = 90 nên M1 t  H MK =  K MB (hai góc có D cạnh tương ứng vng góc nhọn) HMA = KMB ( cạnh huyền, góc nhọn) Suy MH = MK Điểm M nằm góc xOy cách hai cạnh góc nên điểm M nằm tia phân giác Ot góc xOy A K O B y Giới hạn: Khi điểm B trùng với điểm O điểm M trùng với điểm M1 ( nằm tia Ot M1 OM1 = cm) Khi điểm B xa vơ điểm M xa vơ Vậy M nằm tia M1t b) Phần đảo Lấy điểm M tia M1t Từ M vẽ đường thẳng vng góc với MA cắt tia Oy B Ta phải chứng minh ABM vuông cân M Thật vậy, vẽ MH  Ox, MK  Oy HMK = 90 ta có MH = MK  H MA = (hai góc có cạnh tương ứng vng góc nhọn)  K MB Do HMA = KMB (g.c.g)  MA = MB ABM vuông M có MA = nên tam giác vng cân MB c) Kết luận: Vậy quỹ tích điểm M tia M1t nằm tia phân giác góc xOy Bài 3.2 Cho hình vng ABCD Trên tia đối tia AD lấy điểm E di động Trên tia đối tia BS lấy điểm F di động cho DE = BF Vẽ hình bình hành ECFM Hỏi điểm M di động đường nào? • Lời giải x Ta có: DCE = BCF (c.g.c)  CE = CF C1 = C2  M K Ta có: C + BCE = 90  C + BCE = 90 Hình bình hành ECFM có CE = CF ECF = 90 nên ECFM hình vng  ME = MF  M HK = 90 Vẽ MH  AB, MK  AD ta Mặt khác, EMF = 90 H  B E H A  MF = K ME (hai góc có F nên cạnh tương ứng vng góc nhọn) Suy HMF = KME (cạnh huyền, góc nhọn) D C  MH = MK Điểm M nằm góc vng EAB cách hai cạnh góc nên M nằm tia phân giác Ax góc EAB Lưu ý: Bài tốn khơng hỏi quỹ tích điểm M, mà hỏi điểm M nằm đường lời giải trình bày nội dung phần thuận Bài 3.3 Cho ta giác ABC vuông A Dọi D E điểm di động hai cạnh AB BC cho BD = BE Từ E vẽ đường thẳng vng góc với DE cắt AC F Gọi M trung điểm DF Tìm quỹ tích điểm M • Lời giải a) Phần thuận Xét EDF vng E có EM đường trung tuyến nên EM = DF = DM BDM = BEM (c.g.c)  B = B Vậy điểm M nằm tia phân giác Bx góc B Giới hạn: ● Khi điểm D trùng với A điểm M trùng với điểm M1 ( M1 giao điểm tia Bx với AC) ● Khi điểm D trùng với B điểm M trùng với điểm M2 ( M2 trung điểm b) Phần đảo B Lấy điểm M đoạn thẳng M1M2 L ấ y1 M2 đ1 i ể m D t r ê n c n h A B s a o c h o M D E M BM1 ) = MA (1) Lấy điểm E cạnh BC cho BE = BD Tia DM cắt cạnh AC F Ta phải chứng minh M trung điểm DF  Mặt khác, B AD = 180 60 = 120     Nên H AK = B AD  A = A D Giới hạn: Khi điểm B trùng với O D trùng với O điểm A trùng với HAB = KAD (cạnh huyền, góc nhọn)  AH = AK Điểm A nằm góc xOy cách hai cạnh góc O xOy nên A nằm tia phân giác Ot góc xOy C EF  DE Thật vậy, BMD = BME (c.g.c)  MD = ME (2)  M A D câ n O A  D  = A  T a c ó : khoảng M1 AB  Ox AD  A2 ( Oy , điểm A A2  cách trùng với Ot O ) Khi khoảng OA2 =   D + F = 90;   A + A = 90 mà 1 2a ) n (3)    D ê F =A  = n MF = MA b) Phần đảo Bài 3.4 Cho góc xOy có số đo 60 Một hình thoi ABCD có cạnh a, 1 • Lời giải a) Phần thuận Vẽ AH  Ox, AK  Oy Khi AK = 180  60 = 120 (tính A1 AH  A2 Ox, AK AH chất tia phân =  Oy AK Vẽ giác) Trên đoạn thẳng HO lấy điểm B, tia Ky lấy điểm D cho AD = AB = a Vẽ hình bình hành ABCD, ta phải  chứng minh ABCD B = 60 hình thoi cạnh a, Thật vậy, hình bình hành ABCD có AB = AD = a nên hình thoi cạnh a  B = 60 , đỉnh B1di động tia Ox, đỉnh D di động tia Oy, hai điểm A O thuộc hai nửa mặt phẳng đối bờ BD Tìm quỹ tích điểm A  Lấy điểm A đoạn thẳng  A Từ (1), (2), (3) suy ra: MD = ME = MF Vậy M trung điểm DF DEF vuông E  EF  DE c) Kết luận: Vậy quỹ tích M1 M2 tia phân giác điểm M đoạn thẳng góc B H OA1 = a F C A1 ( A1  Ot h H  AB (cạnh huyền, cạnh góc vng)  A x = = A K AD t H AA2 B A1 y K D     BAD = H AK =180 60 = 120 Do B = 180120 = 60 c) Kết luận: Vậy quỹ tích điểm A đoạn thẳng A A thuộc tia phân giác Ot góc xOy IV Quỹ tích đường trịn Bài 4.1 Cho hình bình hành ABCD, cạnh AB cố định, BC = 2cm Tìm quỹ tích giao điểm O hai đường chéo • Lời giải a) Phần thuận  OM = M A Gọi M trung điểm AB Do AB cố định nên M điểm cố định O giao điểm hai đường chéo hình bình hành  OA = OC Vậy OM đường trung bình ABC B O D BC = 1cm C Điểm O cách điểm M cố định khoảng cm nên điểm O nằm đường trịn tâm M, bánh kính cm Giới hạn: Vì ba điểm O, A, B khơng thẳng hàng nên điểm O nằm đường trịn tâm M, bán kính 1cm trừ giao điểm đường tròn với đường thẳng AB b) Phần đảo Lấy điểm O đường trịn tâm M, bán kính 1cm OM = 1cm Vẽ điểm C đối xứng với A qua O, xẽ điểm D đối xứng với B qua O Ta phải chứng minh tứ giác ABCD hình bình hành BC = 2cm Thật vậy, tứ giác ABCD có hai đường chéo cắt trung điểm đường nên hình bình hành OM đường trung bình tam giác ABC nên  OM = BC  BC = 2.1 = 2cm c) Kết luận Quỹ tích điểm O đường trịn tâm M bán kính 1cm trừ giao điểm đường trịn với đường thẳng AB Bài 4.2 Cho hình vuông ABCD cạnh 4cm Tia Dx nằm hai tia DA DC Vẽ tia phân giác góc ADx cắt AB E, tia phân giác góc CDx cắt BC F Tia Dx cắt EF M Hỏi tia Dx quay quanh D từ vị trí DA đến vị trí DC điểm M di động đường nào? • Lời giải    Ta có: D = D , D  =D    N A E B   D 2+ D = D1 + D = 90 : = 45 Trên tia đối tia AB lấy điểm N cho AN = CF ADN = CDF (c.g.c) M  DN = DF   D = D     Do D + D = D + D = 45   Suy N DE = F DE = 45   NDE = FDE (c.g.c)  N ED = F ED F D C Do DAE = DME (c.g.c)  DM = DA = 4cm Điểm M cách điểm D cho trước khoảng không đổi 4cm nên điểm M nằm đường trịn tâm D, bán kính 4cm Bài 4.3 Cho góc vng xOy Một đoạn thẳng AB = 2a khơng đổi, có A  Ox tích trung điểm M AB • Lởi giải a) Phần thuận b  Oy Tìm quỹ x OM = AB = A1 (tính chất a Vẽ đoạn thẳng OM ta có: trung tuyến tam giác vng) Điểm M cách điểm O cho trước khoảng a cho trước nên M nằm đường tròn tâm O, bán kính a Giới hạn: ● Khi điểm B di động tới O A tới điểm A M 1 M 22 M2 A1  Ox B B1 y H OA1 = 2a Khi điểm M di động tới M1 trung điểm OA1 ● Khi điểm A di động tới O B tới điểm B1  Oy OB1 = 2a Khi điểm M di động tới M2 trung điểm OB1 Vậy M nằm cung M M2 b) Phần đảo đường tròn tâm O, bán kính a Lấy điểm M cung M M Trên tia Ox lấy điểm A cho MA = MO (1) Tia AM cắt tia Oy B Ta phải chứng minh M trung điểm AB AB = 2a Thật vậy, MA = MO nên MOA nên  A =1 O Xét AOB vng O có A + B = 90  O + B = 90     O = B (cùng phụ với O ) 2 2 Do MOB cân MB = MO (2) Từ (1), (2) suy ra: MA = MB = MO = a Do đó: AB = 2a c) Kết luận: Quỹ tích điểm M cung M M đường trịn tâm O, bán kính a Bài 4.4 Cho hình bình hành ABCD cạnh CD cố định, AC = 2cm Tìm quỹ tích đỉnh B •Lời giải a) Phần thuận A Gọi O điểm đối xứng với D qua C O điểm cố định B D C O Tứ giác ABOC có AB // OC; AB = OC (vì CD) nên ABOC hình bình hành  OB = AC = 2cm Điểm B cách điểm O cố định khoảng 2cm nên điểm B nằm đường trịn tâm O bán kính 2cm Giới hạn: Vì B, C, D không thẳng hàng nên B nằm đường trịn tâm O, bán kính cm trừ giao điểm đường tròn với đường thẳng CD b) Phần đảo Lấy điểm B đường trịn tâm O bán kính 2cm (trừ giao điểm đường tròn với đường thẳng CD) Suy OB = 2cm Vẽ hình bình hành ABCD Ta phải chứng minh hình bình hành có AC = 2cm Thật vậy, AB / /CD AB = CD  AB / /CO AB = CO Do tứ giác ABOC hình bình hành, suy AC = OB = 2cm c) Kết luận: Vậy quỹ tích điểm B đường trịn tâm O bán kính 2cm ...CHỦ ĐỀ 1: TỨ GIÁC Dạng Tính số đo góc tứ giác • Phương pháp: Vân dụng định lý tổng góc tứ giác, tính chất góc ngồi tam giác, hai góc bù nhau, phụ • Bài tập vận dụng: Bài 1.1 Cho tứ giác ABCD,... đỉnh R số đo góc P 80 , Q  S = 60 Dạng So sánh độ dài đoạn thẳng • Lý thuyết: Định lý tứ giác lồi: Nếu tứ giác ABCD tứ giác lồi hai đường chéo AC BD cắt • Bài tập Bài 2.1 Tứ giác ABCD có tổng... Bài Tứ giác ABCD có A  B = 500 Các tia phân giác góc C D cắt I CID = 1150 Tính góc A B Bài Cho tứ giác ABCD có B =0 120 , D = 60 A  = Tính góc cịn lại C Bài Tính góc ngồi tứ giác