Chuyên đề phương trình lượng giác bồi dưỡng học sinh giỏi toán 11

Giải các phương trình trên với a .2 b.. Tìm tất cả các giá trị của a để hai phương trình 1 và 2 tương đương.. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất để phương trình sau có nghiệm:... Tính số đo các

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LƯỢNG GIÁC

Bài 2 Tìm tất cả các nghiệm x�(2009; 2011) của phương trình : cosx  sinx cos 2 1 sin 2x  x0

Bài 3 Chứng minh rằng: 1 sin 2 cot2

a

a a

Bài 6 Cho tam giác ABC với các kí hiệu thông thường, biết: sin 3 sin 3

cos  cos Chứng minh

rằng tam giác ABC cân.

Bài 7 Giải phương trình sau: 2(sinx 3 cos )x  3cos x2 sin 2 x

Bài 8 Tìm a để bất phương trình đúng với mọi x: 3sin2x2sin x cosx c os2x a �3

Bài 9 Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a , b , c, độ dài ba đường phân giác trong tương ứng với

2 cos sin 2

16sin os2

sinx os2 2 2

.cos os2 1

Bài 13 Cho hai phương trình sau:

2sin7x (1 sina).sinx a sin3x (1)

(a1)(1cos x2 ) 2sin 6x2sin2x2(a (2)1)3

a Giải các phương trình trên với a 2

b Tìm tất cả các giá trị của a để hai phương trình (1) và (2) tương đương

Bài 14 Giải hệ phương trình:

3 3sin sin sin

2 3cos cos cos

Bài 15 Tìm tất cả các giá trị x�0; 2 sao cho: 2cosx� 1 sin 2 x 1 sin 2x �2

Bài 16 Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất để phương trình sau có nghiệm:

Bài 18 Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh thoả mãn hệ thức: BC AB BC.

AB BC AC





 Tính tổng số đogóc: 3A B

Bài 19 Xét các tam giác ABC thoả mãn ràng buộc:  , , 

Bài 20 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (2m1)(sinxcos ) (sinx  xcos ) 2x  m22m 2 0

Bài 21 Chứng minh rằng với mọi x �� ta luôn có sin x  cosx � 1

Bài 22 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm

 sin cos 1 sin 2 sin cos 2

m x  x   x  x  x 

Bài 23 Giải phương trình: cos2xcos3xsinxcos4xsin 6x

Bài 24 Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm của phương trình 2x 1 2x 1 2 2x 1

Bài 26 Trong tất cả các tam giác ABC cho trước, tìm tam giác có P c os2Acos2B c os2C lớn nhất

Bài 27 Giải phương trình : 8cos 4 cos 2x 2 x 1 cos3 x 1 0

Bài 28 Tính số đo các góc trong tam giác ABC , biết sin sin sin

Bài 29 Giải phương trình 2cos2x1 cot x2sin2x  1 0

Bài 30 Tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức cos 2A 2 cos 2 Bcos 2C  2 0

Bài 31 Tìm số tự nhiên a bé nhất để phương trình sau có nghiệm :

;0232cos.2

3cos)(cos2)

x x

a x

a

Bài 32 Cho tam giác ABC có : tanA+tanC=2tanB.CMR : ;

4

23coscosA C

Bài 33 Giải phương trình: 1 tan tan 2 x xcos3x

Bài 34 Trong tam giác ABC biết số đo ba góc , , A B C lập thành cấp số cộng với A B C� � và thỏa hệthức cos cos cos 1 3

Bài 39 Cho phương trình: (m3)sin3x(m1)cos3xcosx(m2)sinx 0

a) Giải phương trình khi m  5

b) Xác định tham số m để phương trình có đúng một nghiệm , 5

Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.

Bài 41 Giải phương trình :

x

có nghiệm

Bài 43 Tam giác ABC có ba góc thỏa mãn hệ thức :

017)coscos

(sin34sin

sin

cos

8 A B C A B C   Hãy tính các góc của tam giác đó

Bài 44 Giải phương trình: cos 2 3cos 1 1

sin cos 1 sin cosx 1 2sin cos 3 0

sin cos 1 sin cos 1 sin cosx 1 2sin cos 3 0

sin cos 1 sin 2cos 4 0

Bài 47 Tìm tập xác định của hàm số 1 cot

2cos 1

x y

2sin 0

x x

S P

Đặt f(x) = 1 + 2cosx + 1 + 2sinx Bài toán trở thành: tìm m sao cho maxf(x)  2m – 1.

Ta có f2(x) = 6 + 4(sinx + cosx) + 21 + 2(sinx + cosx) + 4sinxcosx

Bài 55 Rút gọn : P =

12cos

12

3cos12

2cos12

n n

cos1

x  , hãy tìm cặp số

nguyên (p, q).

Bài 58 Cho

b a b

x a

x





cos 1sin4 4

Chứng minh rằng: 3 3

8 3

8

)(

1cos

sin

b a b

x a

x





 , (a > 0, b > 0)

Bài 59 Cho tg2xtg2ytg2ytg2ztg2ztg2x2tg2xtg2ytg2z1 Tính giá trị của biểu thức

z y

x

Psin2 sin2 sin2

Bài 60 Tính giá trị của biểu thức:

7

5cos

1

7

3cos

1

7cos

cos2

giá trị lớn nhất

Bài 62 Cho các số thực a, b, c thoả mãn a2 b2 c24 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu

thức Tab 2sinxcsin2x, trong đó )

2

;0( 



Bài 63 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y f x x sin2 x

2)(  

2

;2[  



Bài 64 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

n n

x x

x f

11)

Bài 66 Cho tam giác ABC thoả mãn:

2

12

B tg

sin2

sin2sin A B C 

7

6cos

37

4cos

37

 thoả mãn:

cos2cos

1sinsinsin

sin

t z

y x

t z y x

Bài 70 Tìm GTNN của hàm số )

2

;0(,cos

1sin

1

4cos1

x

Bài 72 Tìm GTLN, GTNN của hàm số:

1cos

1coscos

Bài 73 Cho tam giác ABC có C = 2B = 4A Gọi O, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm của

tam giác ABC Tính tỷ số

R

OH trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Bài 74 Cho tam giác ABC vuông ở C Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, m , a m blần lượt là

độ dài các đường trung tuyến của tam giác kẻ từ A, B Tìm giá trị lớn nhất của: 2 2

Bài 75 Giải các phương trình sau:

1/ sin3 x cos3 x sin3 xcotgx cos3 xtgx 2sin2x

)3cos(

sin43)8(cos2)8cos(

)8sin(

3

5/ 2sin5x(16sin4 x 20sin2 x5)1

6/ (16sin4 x 20sin2x5)(16sin45x_20sin25x51

Bài 76 Chứng minh rằng: 4cos360 cot 70 0 1 2 3 4 5 6

1cot

11

2 2

2

x x

x g x

Bài 78 Chứng minh rằng:

2

15

2cos5cos   

Bài 79 Thu gọn tổng S =tga.tg2atg2a.tg3a tg(na).tg(n1)a

Bài 80 Thu gọn P = (2cosa-1)(2cos2a-1) (2cos2n 1a 1)

Bài 81 Tính các tổng:

S =

7

6sin

1

7

3sin

1

7

2sin

1

2 2

2      , P =

18

718

518

8 8

tg tg

tg   , R =

18

718

518

6 6

tg tg

1

221

2

221

2

221

2

C tg

B tg

A tg

B tg

A tg

C tg A

tg

C tg

B tg C

tg

B tg

A tg

2 ,cos 1

cos 0cos 0

1 5sin sin 1 0 sin

22

x x

sinx 0cos 0cot 1

x x

  sin cos s in 2 sin

cos cos sin

s in

2 sin 0

cos1 sin ( 2) 0

cossin 0

x x x x

Giá trị 2 k 

4

x   k  0 �Z bị loại do điều kiện cotx�1

Vậy pt đã cho có họ nghiệm là: 2 k 

4(1 2sin os ) 1 sin 2 1

4(1 sin 2 ) 1 sin 22

2sin 2 sin 2 3 0 sin 2 1

3

sin 2

2sin 2 1

4

x x x

Theo BĐT Bunhiacôpski sinx2cosx� (122 )(sin2 2x cos x 2 ) 5.

Vậy phương trình xảy ra khi và chỉ khi

(Hệ phương trình vô nghiệm)

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

( ) [ ( 2 1)]

cos x cos x  x Hướng dẫn giải

Câu 6: Cho phương trình:cos2 – 2x  m1cosx m   1 0

a Giải phương trình khi 3

x m

x m

x

cos 2

1cos0

cos)12(cos

cos x  x  x  x  (*)

+ 1 sin 2 x  cosxsinx

cos2x cosx sinx cosx  sinx

+ * � cosx sinx  1 cosx  sinx cosxsinx 0

 cosx  sinx 0 1

� hoặc  cosx sinx cosxsinx 1 2 

+  1 �cos2x0(1)

+  2 �1 sin 2 x 1 sin 2 x 1�sin 2x0 (vì sin 2x0 không thể xảy ra)

Ta có: * �cos2x0 hoặc sin 2x0 sin 4 0 , 

4

x x k  k

+ Với điều kiện 2004 x 2005, chọn số nguyên k 2552 Vậy x638

a Giải phương trình (1) với m 1

b Tìm m để phương trình có nghiệm.

Hướng dẫn giải

a Với m1 Thay vào phương trình  1 ta được:

x x

Ta có:

2

(2 3) cos 2sin

2 4 12cos

x x

Câu 10: Cho phương trình sin  1 cos

Đặt tan x t , ta được phương trình: mt2mt 1 0 * 

Do phương trình tan x t  có nghiệm với mọi t nên phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi

cos 2 cos3 sin 2 sin 3 2 cos5 sin 3 0cos5 1 2 sin 3 0

5

10 52

2 tan 2sin 2 2sin 2 tan

2sin costan 2sin 2

4sin 4cos 1 0sin 2cos 2 1 0sin 0

x x

Câu 13: Giải phương trình sin 32 xcos 42 xsin 52 xcos 62 x

Lời giải

sin 3 cos 4 sin 5 cos 6

1 cos 6 1 cos8 1 cos10 1 cos12

cos12 cos 6 cos10 cos8 0sin 9 sin 3 2sin 9 sin 0

sin 9 sin 3 sin 02sin 9 sin 2 cos 0

x k x

Lời giải

Đặt tcosx, điều kiện  � �1 t 1.

Phương trình cos2x4cosx m  (1) trở thành 0 t2  4t m 0� f t    4t t2 m (2).

Để (1) có nghiệm thì (2) phải có nghiệm t�1;1.

Lập bảng biến thiên của f t , dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện cần tìm là    � �5 m 3

� � thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất.

Giải thích: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, các họ nghiệm của phương trình sinusinv

sẽ được biểu diễn bởi 2 điểm đối xứng với nhau qua Oy , mà ở đây đề bài chỉ cho trên 1 góc phần

tư thứ IV nên chỉ có 1 nghiệm duy nhất

Câu 18: Với giá trị nào của m thì phương trình cos2x2sin cosx xsin2x m có nghiệm

Lời giải

Ta có: cos2 2sin cos sin2 cos 2 sin 2 2 sin 2

2 2

x���� ���� 1 có nghiệm t�1;1.Phương trình  1 �t2  4 1 2t m là phương trình hoành độ giao điểm parabol

x  k k

Vậy có 4 nghiệm dương bé hơn 10 ứng với k 0,k 1,k 2,k  3

Điều kiện: sin 2 0 2 , 

2

k

x�۹۹�x k x  k �

2 cos 4cot tan

sin 2

x

x

sin cos sin cos

2cos 2 1

x x

x  �x� k k�� (thỏa điều kiện).

Biểu diễn hai họ nghiệm , 

Điều kiện: sinx�۹�0 x m(m Z)

Phương trình đã cho tương đương với: 2cos2x3cosx 1 sinx2sin cos2x x2sin cosx 2x

cos 2 3cos  2 sin cos (1 cos 2 ) sin (1 cos 2 )  

4os2 0

x x

36 36

Bài 5. Cho phương trình: sin4xcos4xcos 42 x m ( m là tham số)

1) Giải phương trình khi 3

Xét g(t) = 2

4t t với t�1;1  ta có bảng biến thiên :

3sin

2

3cos

2 2

 

2 cosx 3 sinxcosx  1 1

cos 2x 3 sin 2x2cosx

2 0sin x sin x  

x t

a) Giải phương trình với m 1

b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc [0; ].

2 Tính các góc của tam giác ABC biết: cos3Acos 3Bcos 3C 1,5

Bài 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: f x  cos4 xsin2xcos sinx x

x P

Bài 1 Giải phương trình sau: 3tan2 2sin 2 3 2 cos sin 1

2 cos sin cos2

2 cos sin

sin2 13sin2 2 1 sin 2 2 1 sin2 1 2sin 2 sin2 1 0 1

Kết hợp với điều kiện (*) ta được nghiệm của phương trình đã cho là:

Bài 3 Giải phương trình: sinx 1 2sin+ x=cos 2 x

Bài 4 Giải phương trình: 2sin 2 4cos 6 3

1cos

2

3cos16

9cos

2

1cos16

Bài 8 Giải phương trình: 3 tanx+1 sinx 2cos( + x)=5 sin( x+3cos x)

Bài 9 Giải phương trình: 4 2

(1 cot 2 cot ) 48

cos xsin x  x x 

Bài 10.Giải phương trình: 2(sinx 3 cos )x  3 cos 2xsin 2 x

Bài 11 Giải phương trình:

a) f x  2 2.

b) f x   1 5

Bài 13 Chứng minh với mọi giá trị của x,ta có: sinx 1 sin x � 1

Bài 14 Giải phương trình: sinx 1 sin x 2cosxcos 2 x

Bài 15 Cho phương trình sau:

m3 sin 3xm1 cos 3xcosxm2 sin x0

a) Giải phương trình khi m  5

b) Xác định tham số m để phương trình có đúng 1 nghiệm

Bài 16 Cho phương trình sau:

Bài 17 Tìm x thuộc khoảng 0;14 nghiệm đúng phương trình:

cos3x4cos 2x3cosx  4 0

Bài 18 Giải phương trình: sin3 2 sin

Bài 25 Giải phương trình: 1 4 1 2 9 4 3 2 1

16 x2 x 16 x2 x 2

Bài 26 Giải phương trình: cos2xcos 22 xcos 32 xcos 42 x 2

Bài 27 Tìm a để phương trình: cos2a x a cos4xcos6x có nghiệm 1 , , v��i

3

x�� k x k   k��

và chỉ có nghiệm ấy

Bài 28 Giải phương trình: sin2 sin4x x2 3sin x4sin2x 1 0

Bài 29 Giải phương trình: cos2xcos3xsinxcos4xsin6x

1 cos cos cos2

Bài 34 Giải phương trình sau: 2 sin xcosxtan5xcot5x

Bài 35 Giải phương trình sau: 3tan2 3 21 cot 2cos2 0

3 1 cos 3 1 sin cos sin cos 3 0

3 cos 1 3 sin cos cos sin cos sin cos 0

3 sin 3 sin cos cos sin cos sin cos 0

3 sin sin cos cos sin cos sin cos 0

sin cos 3 sin cos 1 0

sin 0cot 1 cos sin 0

cos 2 sin cos

3sin 2 3 cos sin

3sin 2 3 2 cos sin 2 cos 2 0

3sin 2 3 2 1 sin 2 2 1 sin 2 0

12sin 2 sin 2 1 0 sin 2 1;sin 2

Bài 86. Giải các phương trình sau đây:

1) sin 1 sin 2 cos 22) (1 t anx)sin2x=2tanx

x  x  x



2 tan cot tan

sin 2

x

Hướng dẫn giải

+) Điều kiện

+) Tìm đợc tanx = 1 hoặc tanx = 0

+) Giải đúng và loại nghiệm đúng ĐS:

Và PT (1) có nghiệm khi đờng thẳng y = 2m +1 (song song hoặc trùng 0x )cắt

f(t) trên (-1; 0)

+) ĐS: 1

( ;1) 2

m � 

Bài 89. Giải phương trỡnh:  2sin3x  6cos3x  cos x  3sin x  0

(sinx 2cos ) os2 sinx ( os4 1)cos

Từ đó suy ra nghiệm của pt:

Bài 92. Giải phương tình : sin 2x cos2x sin x 2cos2 x 0

sin(

2 sin 2 2 cos

6 5 sin(

2 ) 6 sin(

) 3 sin(

sin 3 sin cos3 cos cos sin 1 0

2sin 2 cos 2sin 2 sin cos sin 1 0

2sin 2 cos sin cos sin 1 0

2) Xác định m để phương trình có nghiệm

Bài 99. Cho phương trình sau:

1) Giải phương trình khi

2) Xác định tham số m để phương trình có đúng một nghiệm

inx

cos 1 2cos 1

1 sin 2 2coss

4sin 5cos 2sin2 5

4sin 5 cos 4sin 5 0

4sin 5 (1 cos ) 0

cos 1

5 sin

Từ gt có SinA(SinA-CosB) +SinB(SinB-CosA)=0 (SinA CosB)(SinB CosA)0(1) (2đ)

Lại có : Sin2A Cos2BSin2B Cos2A (SinA CosB)(SinB CosA)0(2) (2đ)

Vậy SinA=CosB hoặc SinB=CosB      

2

B

A Tam giác đã cho vuông đỉnh C (1đ)

a) Giải phương trình: sin3 cos3 2 2cos 1 0

3 1 cos 3 1 sin cos sin cos 3 0

3 cos 1 3 sin cos cos sin cos sin cos 0

3 sin 3 sin cos cos sin cos sin cos 0

3 sin sin cos cos sin cos sin cos 0

sin cos 3 sin cos 1 0

x  � x   k

Kiểm tra ĐK thỏa món Vậy nghiệm của PT là ; ,

x  k x   k k��

Tỡm số tự nhiờn a bộ nhất để phương trỡnh sau cú nghiệm.

cos2 ( ) 2cos ( ) cos3 os 2 0

sin2

1210

cos

(2) 3)2cos21(4sin2

(1) sin0

33)2cos21(4

sin

2

sin

0sin33)sin43(sin

x x

x x

x x

x x

Giải (1) ta đợc x=k với k 

Giải (2): Ta có (2)  2sin4xcos2xsin4x

2

33

2

334sin2cos2sin





Áp dông B§T C«si cho 3 sè:

2

2cos,2

2cos,2sin2 2 x 2 x

x ta có : 1

3

2 2 2

2

2

4

)2cos2(sin32

2cos2

22cos2sin2

24sin2cos2sin

4 x 2 x x  <

2

33

Suy ra (3) v« nghiÖm nªn (2) v« nghiÖm

KÕt luËn: Ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x=k víi k 

2

x

Hướng dẫn giải

PT �1 2sin cos x x 1 cosx2 3 sin2x4sinx 3 sinx

�2 4sin x  2sin cosx xcosx 2 3 sin2x 3 sinx

26