Chuyên Đề Tìm GTLN Và GTNN Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán Lớp 8

www.thuvienhoclieu.com CHUYÊN ĐỀ : TÌM GTLN, GTNN CỦA BIỂU THỨC A Các kiến thức thường sử dụng là: + Bất đẳng thức Côsi: “Cho hai số không âm a, b; ta có bất đẳng thức: a+b ≥ ab ; Dấu “=” xảy a = b” + Bất đẳng thức: ( ac + bd ) ≤ ( a + b ) ( c + d ) (BĐT: Bunhiacopxki); Dấu “=” xảy a b = c d + a + b ≥ a + b ; Dấu “=” xảy ab ≥ + Sử dụng “bình phương” để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Nếu y = a + [ f ( x)] y = a f(x) = Nếu y = a − [ f ( x)] max y = a f(x) = + Phương pháp “tìm miền giá trị” (cách ví dụ dạng 2) B CÁC DẠNG TỐN VÀ CÁCH GIẢI • Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT ĐA THỨC Bài tốn 1: Tìm GTNN biểu thức: a) A = x + x + 11 b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) c) C = x − x + y − y + Giải: a) A = x + x + 11 = x + x + + 10 = ( x + 1) + 10 ≥ 10 2 ⇒ Min A = 10 x = − b) B = (x-1)(x+2)(x+3)(x+6) = (x-1)(x+6)(x+2)(x+3) = (x2 + 5x – 6)(x2 + 5x + 6) = (x2 + 5x)2 – 36 ≥ -36 ⇒ Min B = -36 x = x = -5 c) C = x − x + y − y + = (x2 – 2x + 1) + (y2 – 4y + 4) + = (x – 1)2 + (y – 2)2 + ≥ ⇒ Min C = x = 1; y = www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Bài tốn 2: Tìm GTLN biểu thức: a) A = – 8x – x2 b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y Giải: a) A = – 8x – x2 = -(x2 + 8x + 16) + 21 = -(x + 4)2 + 21 ≤ 21 ⇒ Max A = 21 x = -4 b) B = – x2 + 2x – 4y2 – 4y = -(x2 – 2x + 1) – (4y2 + 4y + 1) + = -(x – 1)2 – (2y + 1)2 + ≤ ⇒ Max B = x = 1, y = − Bài toán 3: Tìm GTNN của: a) M = x − + x − + x − + x − b) N = ( x − 1) − x − + 2 Giải: a) M = x − + x − + x − + x − Ta có: x −1 + x − = x −1 + − x ≥ x −1+ − x = Dấu “=” xảy (x – 1)(4 – x) ≥ hay ≤ x ≤ x − + x −3 = x − + 3− x ≥ x − 2+ 3− x =1 Dấu “=” xảy (x – 2)(3 – x) ≥ hay ≤ x ≤ Vậy Min M = + = ≤ x ≤ b) N = ( x − 1) − x − + = x − − x − + 2 Đặt t = x − t ≥ 1 ⇒N ≥− 4 3 Dấu “=” xảy t − = ⇔ t = 2   2x −1 = x=   3 ⇒  Do N = − t = ⇒ x − = ⇒  2 2 x − = −  x = −   Do N = t2 – 3t + = (t − 32 ) − www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Vậy N = − ⇔ x = hay x = − 4 Bài toán 4: Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức M = x3 + y3 Giải: M = x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2) = x2 - xy + y2 x2 y2 x2 y2 y   x = + + − xy + = (x + y2 ) +  − ÷ 2 2 2  ⇒ M ≥ ( x2 + y ) Ngoài ra: x + y = ⇒ x2 + y2 + 2xy = ⇒ 2(x2 + y2) – (x – y)2 = => 2(x2 + y2) ≥ 1 1 x + y = ⇔ x = y = 2 1 1 Ta có: M ≥ ( x + y ) ( x + y ) ≥ ⇒ M ≥ = 2 2 1 Do M ≥ dấu “=” xảy ⇔ x = y = 1 Vậy GTNN M = ⇔ x = y = Do x + y ≥ Bài toán 5: Cho hai số x, y thỏa mãn điều kiện: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = Tìm GTLN GTNN biểu thức x2 + y2 Giải: (x2 – y2 + 1)2 + 4x2y2 – x2 – y2 = ⇔ [(x2 + 1) – y2]2 + 4x2y2 – x2 – y2 = ⇔ x4 + 2x2 + + y4 – 2y2(x2 + 1) + 4x2y2 – x2 – y2 = ⇔ x4 + y4 + 2x2y2 + x2 – 3y2 + = ⇔ x4 + y4 + 2x2y2 - 3x2 – 3y2 + = -4x2 ⇔ (x2+y2)2-3(x2+y2)+1=-4x2 Đặt t = x2 + y2 Ta có: t2 – 3t + = -4x2 Suy ra: t2 – 3t + ≤ www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com ⇔ t − .t + − ≤ 4  3 ⇔ t − ÷ ≤ ⇔ t − ≤ 2  2 5 ≤t− ≤ 2 3− 3+ ⇔ ≤t ≤ 2 ⇔− Vì t = x2 + y2 nên : 3+ 3− GTNN x2 + y2 = GTLN x2 + y2 = Bài toán 6: Cho ≤ a, b, c ≤ Tìm GTLN GTNN biểu thức: P = a + b + c – ab – bc – ca Giải: Ta có: P = a + b + c – ab – bc – ca = (a – ab) + (b - bc) + (c – ca) = a(1 – b) + b(1 – c) + c(1 – a) (vì ≤ a, b, c ≤ ) Dấu “=” xảy chẳng hạn: a = b = c = Vậy GTNN P = Theo giả thiết ta có: – a ≥ 0; – b ≥ 0; – c ≥ 0; ⇒ (1-a)(1-b)(1-c) = + ab + bc + ca – a – b – c – abc ≥ ⇒ P = a + b + c – ab – bc – ac ≤ − abc ≤ Dấu “=” xảy chẳng hạn: a = 1; b = 0; c tùy ý ∈ [ 0;1] Vậy GTLN P = Bài toán 7: Cho hai số thực x, y thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 = Tìm GTLN GTNN x + y Giải: Ta có: (x + y)2 + (x – y)2 ≥ (x + y)2 ⇔ 2(x2 + y2) ≥ (x + y)2 Mà x2 + y2 = ⇒ (x + y)2 ≤ www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com ⇔ x+ y ≤ ⇔ − ≤ x+ y ≤ - Xét x + y ≤ x = y  Dấu “=” xảy ⇔   x + y = ⇔x= y= 2 - Xét x + y ≥ − x = y  Dấu “=” xảy ⇔   x + y = − ⇔x= y= Vậy x + y đạt GTNN − ⇔ x = y = − 2 − Bài toán 8: Cho số thực dương thỏa mãn điều kiện: x2 + y2 + z2 ≤ 27 Tìm GTLN GTNN biểu thức: x + y + z + xy + yz + zx Giải: Ta có: (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 ≥ ⇔ 2x2 + 2y2 + 2z2 - 2xy - 2yz - 2zx ≥ ⇒ (x + y + z)2 = x2 + y2 + z2 +2(xy + yz + zx) ≤ 3(x2 + y2 + z2) ≤ 81 ⇒ x + y + z ≤ (1) Mà xy + yz + zx ≤ x2 + y2 + z2 ≤ 27 (2) Từ (1) (2) => x + y + z + xy + yz + zx ≤ 36 Vậy max P = 36 x = y = z = Đặt A = x + y + z B = x2 + y2 + z2 A2 − B ( A + 1) B + B +1 = − ≥− 2 2 B +1 ≥ -14 ⇒ P ≥ -14 Vì B ≤ 27 ⇒ −  x + y + z = −1 Vậy P = -14  2  x + y + z = 27 ⇒ P = A+ Hay x = − 13; y = 13; z = −1 Bài toán 9: Giả sử x, y số dương thỏa mãn đẳng thức: x + y = 10 Tìm giá trị x y để biểu thức: P = (x4 + 1)(y4 + 1) đạt GTNN Tìm GTNN Giải: Ta có: P = (x4 + 1)(y4 + 1) = (x4 + y4) + (xy)4 + www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Đặt t = xy thì: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy = 10 – 2t x4 + y4 = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (10 – 2t)2 – 2t2 = 2t2 – 40t + 100 P = 2t2 – 40t + 100 + t4 + = t4 + 2t2 – 40t + 101 Do đó: = (t4 – 8t2 + 16) + 10(t2 – 4t + 4) + 45 = (t2 – 4)2 + 10(t – 2)2 + 45 ⇒ P ≥ 45 dấu “=” xảy ⇔ x + y = 10 xy = Vậy GTNN P = 45 ⇔ x + y = 10 xy = Bài tốn 10: Cho x + y = Tìm GTNN biểu thức: A = x2 + y2 Giải: Ta có: x + y = ⇒ y = – x Do đó: A = x2 + y2 = x2 + (2 – x)2 = x2 + – 4x + x2 = 2x2 – 4x + = 2( x2 – 2x) + = 2(x – 1)2 + ≥ Vậy GTNN A x = y = • Dạng 2: CÁC BÀI TOÁN MÀ BIỂU THỨC CHO LÀ MỘT PHÂN THỨC Bài tốn 1: Tìm GTLN GTNN của: y = 4x + x2 + Giải: * Cách 1: y= 4x + −ax + x + − a = a + x2 + x2 + Ta cần tìm a để −ax + x + − a bình phương nhị thức  a = −1 a = Ta phải có: ∆ ' = + a(3 − a) = ⇔  - Với a = -1 ta có: y= 4x + x2 + 4x + ( x + 2) = −1 + = − + x +1 x2 + x2 + www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com ⇒ y ≥ −1 Dấu “=” xảy x = -2 Vậy GTNN y = -1 x = -2 - Với a = ta có: 4x + -4x + x − (2 x − 1) = 4+ = − ≤4 x +1 x2 + x2 + 1 Dấu “=” xảy x = Vậy GTLN y = x = y= * Cách 2: Vì x2 + ≠ nên: y = 4x + ⇔ yx − x + y − = (1) x +1 y giá trị hàm số ⇔ (1) có nghiệm - Nếu y = (1) ⇔ x = − - Nếu y ≠ (1) có nghiệm ⇔ ∆ ' = − y ( y − 3) ≥ ⇔ ( y + 1)( y − 4) ≤  y +1 ≥  y +1 ≤ ⇔  y − ≤ y − ≥ ⇔ −1 ≤ y ≤ Vậy GTNN y = -1 x = -2 Vậy GTLN y = x = Bài tốn 2: Tìm GTLN GTNN của: A = x2 − x + x2 + x + Giải: Biểu thức A nhận giá trị a phương trình ẩn x sau có nghiệm: x2 − x + a= (1) x + x +1 Do x2 + x + = x2 + .x +  1 + =x+ ÷ + ≠ 4  2 Nên (1) ⇔ ax2 + ax + a = x2 – x + ⇔ (a – 1)x2 + (a + 1)x + (a – 1) = (2) • Trường hợp 1: Nếu a = (2) có nghiệm x = • Trường hợp 2: Nếu a ≠ để (2) có nghiệm, điều kiện cần đủ ∆ ≥ , tức là: www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com (a + 1) − 4(a − 1)( a − 1) ≥ ⇔ (a + + 2a − 2)( a + − 2a + 2) ≥ ⇔ (3a − 1)(a − 3) ≤ ⇔ ≤ a ≤ 3( a ≠ 1) −(a + 1) a +1 Với a = a = nghiệm (2) x = 2(a − 1) = 2(1 − a) Với a = x = Với a = x = -1 Kết luận: gộp trường hợp 2, ta có: GTNN A = x = GTLN A = x = -1 Bài toán 3: a) Cho a, b số dương thỏa mãn ab = Tìm GTNN biểu thức: A = ( a + b + 1)( a + b ) + a+b b) Cho m, n số nguyên thỏa 1 + = Tìm GTLN B = mn 2m n Giải: a) Theo bất đẳng thức Côsi cho hai số dương a2 b2 a + b ≥ a 2b = 2ab = (vì ab = 1) 4 ⇒ A = (a + b + 1)(a + b ) + ≥ 2(a + b + 1) + = + (a + b + ) + (a + b) a+b a+b a+b Cũng theo bất đẳng thức côsi cho hai số dương a + b a+b 4 ≥ (a + b) =4 Ta có: (a + b) + a+b a +b Mặt khác: a + b ≥ ab = Suy ra: A ≥ + (a + b + ) + ( a + b) ≥ + + = a+b Với a = b = A = Vậy GTNN A a = b = b) Vì 1 + = nên hai số m, n phải có số dương Nếu có 2m n hai số âm B < Vì ta tìm GTLN B = mn nên ta xét trường hợp hai số m, n dương www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Ta có: 1 + = ⇔ 3(2m + n) = 2mn ⇔ (2m − 3)(n − 3) = 2m n Vì m, n ∈ N* nên n – ≥ -2 2m – ≥ -1 Ta có: =1.9 = 3.3 = 9.1; Do xảy ra:  2m − =  m = ⇔ B = mn = 2.12 = 24 n − = n = 12  2m − =  m = ⇔ +  B = mn = 3.6 = 18 n − = n =  2m − = m = ⇔ +  B = mn = 6.4 = 24 n − = n = m = m = Vậy GTLN B = 24  hay   n = 12 n = +  Bài toán 4: Giả sử x y hai số thỏa mãn x > y xy = Tìm GTNN biểu thức: A = x2 + y x− y Giải: x +y x − xy + y + xy ( x − y ) + xy = = x− y x− y x− y ( x − y ) + xy x− y x− y = x− y+ = + + Do x > y xy = nên: A = x− y x− y x− y Ta viết: A = 2 2 Vì x > y ⇒ x – y > nên áp dụng bất đẳng thức cơsi với số khơng âm, ta có: x− y x− y + x− y x− y 2 Dấu “=” xảy ⇔ = x − y ⇔ ( x − y) = ⇔ ( x − y) = (Do x – y > 0) Từ đó: A ≥ + = x − y = Vậy GTNN A ⇔   xy = A ≥  x = +  x = − ⇔ hay  Thỏa điều kiện xy =  y = −1 +  y = −1 − Bài toán 5: Tìm GTLN hàm số: y = x + x +1 Giải: Ta viết: 1 y= = x + x +1  1 x+ ÷ + 2  www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com 1 3  Vì  x + ÷ + ≥ Do ta có: y ≤ Dấu “=” xảy ⇔ x = − 2 4  −1 Vậy: GTLN y = x = Bài tốn 6: Cho t > Tìm GTNN biểu thức: f (t ) = t + 4t Giải: f (t ) = t + Ta viết: 4t + (2t − 1) + 4t (2t − 1) = = = +1 4t 4t 4t 4t Vì t > nên ta có: f (t ) ≥ Dấu “=” xảy ⇔ 2t − = ⇔ t = 2 Vậy f(t) đạt GTNN t = Bài tốn 7: Tìm GTNN biểu thức: g (t ) = t −1 t2 +1 Giải: Ta viết: g (t ) = t −1 = 1− 2 t +1 t +1 g(t) đạt GTNN biểu thức đạt GTLN Nghĩa t2 + đạt GTNN t +1 Ta có: t2 + ≥ ⇒ (t2 + 1) = t = ⇔ g(t) = – = -1 Vậy GTNN g(x) -1 t = Bài toán 8: Cho x, y, z số dương thỏa mãn điều kiện: xyz = Tìm GTNN 1 biểu thức: E = x3 ( y + z ) + y ( z + x) + z ( x + y ) Giải: 1 1 Đặt a = x ; b = y ; c = z ⇒ abc = xyz = 1 Do đó: x + y = a + b ⇒ x + y = (a + b).xy ⇒ x + y = c (a + b) Tương tự: y + z = a(b + c) z + x = b(c + a) www.thuvienhoclieu.com Trang 10 www.thuvienhoclieu.com ⇔ 2( x + y ) ≥ ( x + y )2 ⇔ 2( x + y ) ≥ (vì x + y = 1) ⇔ x2 + y ≥ (2) Dấu “=” xảy x = y = Từ (1) (2) cho ta: M = + ( x + y )(1 + Do đó: M ≥ 1 25 ) ≥ + (1 + 16) = x y 2 25 Dấu “=” xảy đồng thời (1) (2) xảy dấu “=” nghĩa x= y= Vậy GTNN M = 25 x = y = 2 * Dạng 3: CÁC BÀI TỐN MÀ BIỂU THỨC CHO CĨ CHỨA CĂN THỨC Bài tốn 1: Tìm GTLN hàm số: y = x − + − x Giải: * Cách 1: x − ≥ ⇔ ≤ x ≤ 4(*) 4 − x ≥ Điều kiện:  Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) a b = c d Dấu “=” xảy Chọn a = x − 2; c = 1; b = − x ; d = với ≤ x ≤ Ta có: ( ) ( ≤  x−2  ⇔ y ≤ ( x − ) + ( − x )  y2 = x−2 + 4− x ) +( ) − x  ( 12 + 12 )  ⇔ y2 ≤ ⇔ y ≤ Vì y > nên ta có: < y ≤ Dấu “=” xảy ⇔ x − = − x ⇔ x − = − x ⇔ x = (Thỏa mãn (*)) Vậy GTLN y x = * Cách 2: Ta có: y = x − + − x www.thuvienhoclieu.com Trang 13 www.thuvienhoclieu.com x − ≥ ⇔2≤ x≤4 4 − x ≥ Điều kiện:  Vì y > nên y đạt GTLN y2 đạt GTLN Ta có: y = x − + − x + ( x − 2)(4 − x) ⇔ y = + ( x − 2)(4 − x) x − ≥ nên áp dụng bất đẳng thức côsi cho hai số không âm 4 − x ≥ Do ≤ x ≤ ⇒  cho ta: ( x − 2)(4 − x) ≤ ( x − 2) + (4 − x) = Do y ≤ + = Dấu “=” xảy ⇔ x − = − x ⇔ x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy GTLN hàm số y x = Bài tốn 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số: y = x − + − x (1 ≤ x ≤ 5) Giải: a) GTLN: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho hai số: (3; 4) ( ( x − 1; − x ) ta có: y = (3 x − + − x )2 ≤ (32 + 42 )   ( ) ( x −1 + ) − x  = 100  y ≤ 100 => y ≤ 10 Dấu “=” xảy x = * b) Gía trị nhỏ nhất: Ta có: y = x − + − x = x − + − x + − x = 3( x −1 + − x ) + − x Đặt: A = x − + − x t2 = + ( x − 1) ( − x ) ≥ => A ≥ dấu “=” xảy x = x = Vậy y ≥ + = Dấu “=” xảy x = www.thuvienhoclieu.com Trang 14 www.thuvienhoclieu.com Do GTNN y x = Bài toán 3: GTNN y x = Tìm GTNN biểu thức: M = ( x − 1994 ) + ( x + 1995) 2 Giải: M = ( x − 1994 ) + ( x + 1995) = x − 1994 + x + 1995 Áp dụng bất đẳng thức: a + b ≥ a + b ta có: M = x − 1994 + x + 1995 = x − 1994 + 1995 + x => M ≥ x − 1994 + 1995 − x = Dấu “=” xảy (x – 1994) (1995 – x) ≥ 1994 ≤ x ≤ 1995 Vậy GTNN M =  1994 ≤ x ≤ 1995 Bài toán 4: Tìm GTNN B = 3a + − a với -1 ≤ a ≤ Giải: B = 3a + − a = × ×a + × 16 ×( − a ) 25 Và áp dụng bất đẳng thức Cô si với hai số không âm cho ta 3 16 ×a + ( 1− a) ữ 16 5 ì ìa + ×( − a ) ≤ ×  + ×25 25 2 2  + 25a + 41 − 25a  => B ì ữ= ì25 => Do B ≤ dấu “=” xảy   a =  a =  16 = − a  25 Vậy GTNN B = a = Bài toán 5: Tìm GTNN biểu thức: www.thuvienhoclieu.com Trang 15 www.thuvienhoclieu.com A= + 2x − x2 + Giải: Điều kiện: x − x + ≥ − ( x − x + 1) + ≥ 2 -(x-1)2 + ≥ ( x − 1) ≤ −2 ≤ x − ≤ 2 − 2 ≤ x ≤ 2 + Với điều kiện ta viết: x − x + = − ( x − 1) + ≤ => x − x + ≤ = 2 2 => + x − x + ≤ + 2 = ( + 1) Do đó: + 2x − x2 + Vậy A ≥ × ≥ ( ) +1 = −1 2 −1 dấu “=” xảy x -1 = Vậy GTNN A = ( x = (thỏa mãn điều kiện) ) − x = Bài tốn 6: Tìm GTNN biểu thức: A = − 3x − x2 Giải: Điều kiện: – x2 > x2 < - < x < => A > => GTNN A  A2 đạt GTNN Ta có: A2 = ( ( − 3x ) − x2 ) 25 − 30 x + x ( − x ) = = + 16 ≥ 16 − x2 − x2 2 Vậy GTNN A = x = Bài toán 7: Cho x > ; y = thỏa mãn x + y ≤ Tìm GTNN biểu thức: A = x × − x Giải: www.thuvienhoclieu.com Trang 16 www.thuvienhoclieu.com Điều kiện: – x2 ≥ −1 ≤ x ≤ Áp dụng bất đẳng thức Cô si hai số: x2 ≥ – x2 ≥ Ta có: x2 + – x2 ≥ x ( − x ) => ≥ × x × − x 2 − Vậy GTLN A = x = × hay x = 2 ≥ ×A => A ≤ Bài tốn 8: Tìm GTLN biểu thức: y = x − 1996 + 1998 − x Giải: Biểu thức có nghĩa 1996 ≤ x ≤ 1998 Vì y ≥ với x thỏa mãn điều kiện 1996 ≤ x ≤ 1998 Áp dụng bất đẳng thức Cơ si ta có: ( x − 1996 ) ( 1998 − x ) ≤ ( x − 1996) + (1998 − x) = Dấu “=” xảy x – 1996 = 1998 – x x = 1997 Do y2 ≤ => y ≤ Vậy GTLN y x = 1997 Bài tốn 9: Cho ≤ x ≤ Tìm GTLN biểu thức y = x + ( − x ) Giải: Ta có: y = x + ( − x ) = x + × ( − x ) Vì ≤ x ≤ nên – x ≥ Áp dụng bất đẳng thức Cô si số: (1 – x) cho ta: 1 ( 1− x) ≤ x + + ( 1− x) = 2 1 Dấu “=” xảy = − x => x = 2 Vậy GTLN y x = 2 y = x + 2× Bài toán 10: www.thuvienhoclieu.com Trang 17 www.thuvienhoclieu.com Cho M = a + − a − + a + 15 − a − Tìm TGNN M Giải: M = a + − a − + a + 15 − a − = a − − a − + + a − − a − + 16 = ( a −1 − ) + ( a −1 − ) Điều kiện để M xác định a – ≥ a ≥ Ta có: M = a − − + a − − Đặt x = a − điều kiện x ≥ Do đó: M = x − + x − Ta xét ba trường hợp sau: 1) Khi x ≤ x − = − ( x − ) = − x Và x − = − ( x − ) = − x => M = – x + – x = – 2x ≥ − 2.2 = Vậy x < M ≥ 2) Khi x ≥ x − = x − x-4 =x-4 => M = x − + x − = x − ≥ ×4 − = Vậy x > M ≥ 3) Khi < x < x − = x − x − = − x => M = x – + – x = (không phụ thuộc vào x) Trong trường hợp thì: ≤ a − < ≤ a − ≤ 16 ≤ a ≤ 17 Cả ba trường hợp cho ta kết luận: GTNN M = tương ứng với: ≤ a ≤ 17 C CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Bài 1: Tìm GTNN biểu thức: A = (2x – 3)2 – với x ≤ −1 x ≥ Gợi ý: www.thuvienhoclieu.com Trang 18 www.thuvienhoclieu.com - Xét trường hợp: x ≥ x ≤ -1 - Kết luận: Min A = x = Chú ý: Mặc dù A = (2x – 3)2 – ≥ −7 Xảy đẳng thức x = giá trị không thỏa mãn x ≤ −1 , không thỏa mãn x ≥ Do khơng thể kết luận GTNN A – Bài 2: Gọi x1; x2 nghiệm phương trình: x2 – (2m – 1) x + (m – 2) = Tìm giá trị m để x12 + x22 có giá trị nhỏ Gợi ý: ∆ = 4(m - )2 + > Phương trình cho có nghiệm với m theo hệ thức Vi-ét, ta có: x12 + x22 = ( x1 + x2 ) − x1 x2 = (2m − 1) − 2( m − 2) = 4m − 6m +  11 11  =  2m − ÷ + ≥ 2 4  11 => Min ( ( x12 + x22 ) = với m = 4 Bài toán 3: Cho x, y hai số thỏa mãn: x + 2y = Tìm GTNN E = x2 + 2y2 Gợi ý: Rút x theo y vào E Bài tốn 4: Tìm GTLN GTNN biểu thức: A = x2 + y2 Biết x y số thực thỏa mãn: x2 + y2 – xy = Gợi ý: Từ x2 + y2 – xy = 2x2 + 2y2 – 2xy = A + (x – y)2 = Max A = x = y Mặt khác: 2x2 + 2y2 = + 2xy www.thuvienhoclieu.com Trang 19 www.thuvienhoclieu.com 3A = + (x + y)2 ≥ 8 => A ≥ => A = x = - y Bài toán 5: Cho x, y thỏa mãn: x2 + 4y2 = 25 Tìm GTLN GTNN biểu thức: M = x + 2y Giải: Áp dụng bất đẳng thức: Bunhiacôpxki (x +2y)2 ≤ ( x + y ) (12 + 12) = 50 x + y ≤ 50 − 50 ≤ M ≤ 50 5 ;y= 2 5 Min M = -5 x = ;y=2 2 Vậy Max M = 50 x = Bài tóan 6: Cho x, y hai số dương thỏa mãn điều kiện: xy = Tìm GTLN biểu thức: x y A = x4 + y + x2 + y Gợi ý: Từ (x2 – y)2 ≥ => x + y ≥ x y x x => x + y ≤ x y = Tương tự: y ≤ y +x  x2 = y  => A ≤ => Max A =  y = x x = y =  xy =  Bài tóan 7: Tìm GTNN biểu thức: A = x + ( + x + 1) + x + ( − x + 1) Gợi ý: B = x + + + − x + => Min B = - ≤ x ≤ www.thuvienhoclieu.com Trang 20 www.thuvienhoclieu.com Bài toán 8: Tìm GTNN biểu thức: B = (x – a )2 + (x – b)2 + (x – c)2 với a, b, c cho trước Gợi ý: ( a + b + c) a+b+c  2 Biểu diễn B =  x − ÷ +( a +b +c ) − 3   a + b + c) => GTNN B = (a2 + b2 + c2) - ( 2 Bài tốn 9: Tìm GTNN biểu thức: P = x2 – 2xy + 6y2 – 12x + 3y + 45 Gợi ý: Biểu diễn P = (x – – y)2 + 5(y – 1)2 + Vậy Min P = y = ; x = Bài tốn 10: Tìm GTLN biểu thức: E = – x2 + 2xy – 4y2 + 2x + 10y – Gợi ý: Biểu diễn E = 10 – (x – y – 1)2 – (y – 2)2 => GTLN E = 10  y = ; x = Bài tốn 11: Tìm GTLN biểu thức: P = x + y + ×z Biết x, y, z biến thỏa mãn : x2 + y2 + z2 = 169 Gợi ý: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki Max P = 65 x = y = z    x = 265    ⇔  y = 525     z = 13    Bài tốn 12: Tìm GTNN biểu thức sau: x2 + x+2 −8 b) B = 3x + x2 −1 c) C = x +1 a) A = Với x ≥ Với x Với x www.thuvienhoclieu.com Trang 21 www.thuvienhoclieu.com Gợi ý: a) Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ta: −4≥ 5−4 x+2 −8 1 ≥ −4 (vì ≤ ) b) B = 2 3x + 3x + 2 2x c) C = −1 + ≥ −1 => Min C = - x = x +1 A = (x + 2) + Bài toán 13: Tìm GTNN biểu thức A = x − x + 2000 ;( x ≠ 0) x2 Gợi ý: 2000 x − ×2000 x + 20002 ( x − 2000)2 + 1999 x = 2000 x 2000 x ( x − 2000) 1999 1999 + ≥ = 2000 x 2000 2000 1999 Vậy Min A = Khi x = 2000 2000 A= Bài tốn 14: Tìm GTNN biểu thức: x + 16 x + 56 x + 80 x + 356 P= x2 + x + Gợi ý: Biểu diễn P = ×( x + x + 5) + 256 ≥ 64 (áp dụng BĐT Côsi) x + 2x + => Min P = 64 x = x = -3 Bài toán 15: x2 + x + Tìm GTNN A = x x B= x −1 x2 + x + với x > với x > C= x2 + x +  1 D = (1 + x) 1 + ÷ với x >  x x + E= với < x < 1− x x www.thuvienhoclieu.com Trang 22 www.thuvienhoclieu.com F= x + x −1 với x > Gợi ý: x x A = x+ + ≥ x × + = (vì x > 0) => Min A = x = B= x2 −1 + 1 = + ( x − 1) + ≥ + = (vì x > 1) x −1 x −1 => Min B = x = ( x + x + 1) + × x2 + x + ≥ =2 x2 + x + x2 + x + 1  1 D = (1 + x) 1 + ÷ ≥ x = (vì x > 0) x  x C= 5( 1− x) x − 5x + 5x x x 5( 1− x) + = + +5≥ × +5 = +5 1− x x 1− x x 1− x x x −1 +1 x −1 x −1 + = + + ≥2 × + F= x −1 x −1 2 x −1 3 = +2= => Min F = x = 2 E= Bài 16: Tìm GTLN GTNN biểu thức: P= x + xy x2 + y2 Gợi ý: ( y + x) P = - 2 − ≥ −1 x +y ( x − y)2 P= - 2 ≤9 x +y Bài 17: Cho x, y hai số dương thỏa mãn: x + y = 10 1 Tìm GTNN biểu thức S = x + y x+ y 10 Gợi ý: S = 1x + 1y = xy = x(10 − x) S có GTNN x(10-x) có GTLN x = => GTNN S = x = y = 5 Bài 18: Tìm GTNN biểu thức: www.thuvienhoclieu.com Trang 23 www.thuvienhoclieu.com E = x2 + x + + x2 − x + Gợi ý: Ta có E > với x Xét E2 = (x2 + + x + x + 1) ≥ => Min E = x = Bài 19: Cho a b hai số thỏa mãn: a ≥ ; a + b ≥ Tìm GTNN biểu thức S = a2 + b2 Gợi ý: a+ b ≥ => 2a + 2b ≥ 10 => 3a + 2b ≥ 13 (vì a ≥ 3) 2 => 132 ≤ ( 3a + 2b ) ≤ 13 ( a + b ) => Min S = 13 Bài 20: Cho phương trình: x2 - 2mx – 3m2 + 4m – = Tìm m x1 − x2 đạt GTNN Gợi ý: ∆ ' = (2m − 1) + > => phương trình ln có nghiệm phân biệt x 1; x2 Theo định lý vi-ét ta có:  x1 + x2 = 2m   x1.x2 = −3m + 4m − Do x1 − x2 = ( 4m − ) + ≥ = 2 GTNN x1 − x2 m = m∈ R Bài 21: Tìm giá trị nhỏ của: y = x − + x − + + x − 1998 Gợi ý: Ta có: y = ( 1x − + x − 1998 ) + ( x − + x − 1997 ) + …+ ( x − 998 + x − 999 ) x − + x − 1998 nhỏ 1997 x ∈ [ 1;1998] x − + x − 1997 nhỏ 1995 x ∈ [ 2;1997 ] www.thuvienhoclieu.com Trang 24 www.thuvienhoclieu.com x − 998 + x − 1999 nhỏ x ∈ [ 999;1000] Vậy y đạt GTNN + + …+ 1997 Số số hạng + + … + 1997 (1997 – 1) : + = 999 Vậy Min y = 9992 999 ≤ x ≤ 1000 Bài 22: Cho biểu thức: M = x2 + y2 + 2z2 + t2 Với x, y, z, t số nguyên không âm , tìm gia strị nhỏ M giá trị tương ứng x, y, z, t Biết rằng:  x − y + t = 21  2  x + y + z = 101 (1) (2) Gợi ý: Theo giả thiết: x2 – y2 + t2 = 21 x2 + 3y2 + 4z2 = 101 => 2x2 + 2y2 + 4z2 + t2 = 122 => 2M = 122 + t2 Do 2M ≥ 122 M ≥ 61 Vậy Min M = 61 t = Từ (1) => x > y ≥ => x + y ≥ x − y ≥ Do đó: (x + y )(x – y) = 21.1 = 7.3 Từ (2) => 3y2 ≤ 101 => y ≤ 33 => ≤ y ≤ Ta chọn x = ; y = => z = Vậy Min M = 61 x = ; y = ; z = 4; t = Bài 23: Cho phương trình: x4 + 2x2 +2ax – (a – 1)2 = (1) Tìm giá trị a để nghiệm phương trình đó: a) Đạt GTNN b) Đạt gía trị lớn Gợi ý: Gọi m nghiệm phương trình (1) thì: www.thuvienhoclieu.com Trang 25 www.thuvienhoclieu.com m4 + 2m2 + 2am + a2 + 2a + = (2) Viết (2) dạng phương trình bậc hai ẩn a a2 + (m + 1) a + (m4 + 2m2 + 1) = Để tồn a ∆ ' ≥ Giải điều kiện m4 - m2 ≤ m(m – 1) ≤ ≤ m ≤ Vậy nghịêm phương trình đạt GTNN với a = -1 Vậy nghịêm phương trình đạt GTLN với a = -2 x2 + x + x2 + Bài 24: Tìm GTNN, GTLN t = Gợi ý: Vì x2 + > với x x2 + x + Đặt a = => (a – 1) x2 – x +a – = (1) x +1 a giá trị hàm số (1) có nghiệm - Nếu a = (1) x = −1 - Nếu a ≠ (1) có nghiệm ∆ ' ≥ Min A = 3− −1 − 3+ ; Max A = với x = với x = 2 −1 Bài 25: Tìm GTNN, GTLN A = x − xy + y x + xy + y Gợi ý: Viết A dạng sau với y ≠ x  y÷ −   (A= x  y÷ +   x +1 y x +1 y = a2 − a + a2 + a + Giải tương tự 24 được: x (đặt y = a ) ≤ A≤3 Còn với y = A = Do đó: Min A = với x = y ; max A = với x = - y Bài 26: Cho a + b = Tìm GTNN biểu thức: Q = a3 + b3 + ab Gợi ý: www.thuvienhoclieu.com Trang 26 www.thuvienhoclieu.com Với Q dạng Q = (a + b) ( a + b ) − 3ab  + ab = – 2ab = – 2a (1 – a) 1 Q = a = b = 2 => Q = 2a2 – 2a + ≥ Do đó: Min www.thuvienhoclieu.com Trang 27 ... => Min ( ( x12 + x22 ) = với m = 4 Bài toán 3: Cho x, y hai số thỏa mãn: x + 2y = Tìm GTNN E = x2 + 2y2 Gợi ý: Rút x theo y vào E Bài toán 4: Tìm GTLN GTNN biểu thức: A = x2 + y2 Biết x y số... Vậy GTLN A = x = × hay x = 2 ≥ ×A => A ≤ Bài tốn 8: Tìm GTLN biểu thức: y = x − 1996 + 19 98 − x Giải: Biểu thức có nghĩa 1996 ≤ x ≤ 19 98 Vì y ≥ với x thỏa mãn điều kiện 1996 ≤ x ≤ 19 98 Áp... ta có: ( x − 1996 ) ( 19 98 − x ) ≤ ( x − 1996) + (19 98 − x) = Dấu “=” xảy x – 1996 = 19 98 – x x = 1997 Do y2 ≤ => y ≤ Vậy GTLN y x = 1997 Bài toán 9: Cho ≤ x ≤ Tìm GTLN biểu thức y = x + (