Chuyên Đề Các Bài Toán Về Định Lí TaLét Bồi Dưỡng Học Sinh Giỏi Toán 8

www.thuvienhoclieu.com CHUN ĐỀ - CÁC BÀI TỐN VỀ ĐỊNH LÍ TA-LÉT A.Kiến thức: A Định lí Ta-lét: M ABC � AM AN = �� MN // BC � AB AC * Định lí Ta-lét: N C B * Hệ quả: MN // BC � AM AN MN =  AB AC BC B Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho tứ giác ABCD, đường thẳng qua A song song với BC cắt BD E, đường thẳng qua B song song với AD cắt AC G B a) chứng minh: EG // CD A b) Giả sử AB // CD, chứng minh AB2 = CD EG O Giải Gọi O giao điểm AC BD a) Vì AE // BC � G E OE OA = (1) OB OC BG // AC � OB OG = (2) OD OA Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: C D OE OG � EG // CD = OD OC b) Khi AB // CD EG // AB // CD, BG // AD nên AB OA OD CD AB CD =  = �  � AB2  CD EG EG OG OB AB EG AB Bài 2: Cho ABC vuông A, Vẽ phía ngồi tam giác tam giác ABD vuông cân B, ACF vuông cân C Gọi H giao điểm AB CD, K giao điểm Ac BF Chứng minh rằng: D a) AH = AK A b) AH = BH CK H F K Giải Đặt AB = c, AC = b BD // AC (cùng vng góc với AB) www.thuvienhoclieu.com B C Trang www.thuvienhoclieu.com nên AH AC b AH b AH b   �  �  HB BD c HB c HB + AH b + c Hay AH b AH b b.c  �  � AH  (1) AB b + c c b+c b+c AB // CF (cùng vng góc với AC) nên Hay AK AB c AK c AK c   �  �  KC CF b KC b KC + AK b + c AK b AK c b.c  �  � AK  (2) AC b + c b b+c b+c Từ (1) (2) suy ra: AH = AK b) Từ AH AC b AK AB c AH KC AH KC     suy  �  (Vì AH = AK) HB BD c KC CF b HB AK HB AH � AH2 = BH KC Bài 3: Cho hình bình hành ABCD, đường thẳng a qua A cắt BD, BC, DC theo thứ tự E, K, G Chứng minh rằng: a) AE2 = EK EG b) 1   AE AK AG c) Khi đường thẳng a thay đổi vị trí qua A tích BK DG có giá trị khơng đổi Giải A a B a) Vì ABCD hình bình hành K �BC nên b AD // BK, theo hệ định lí Ta-lét ta có: EK EB AE EK AE = = �  � AE  EK.EG AE ED EG AE EG b) Ta có: K E C D G AE DE AE BE = = ; nên AK DB AG BD AE AE BE DE BD � 1 �1  =    � AE �    (đpcm) � � AK AG BD DB BD AE AK AG �AK AG � c) Ta có: BK AB BK a KC CG KC CG = � = = � = (1); (2) KC CG KC CG AD DG b DG Nhân (1) với (2) vế theo vế ta có: BK a = � BK DG = ab khơng đổi (Vì b DG B E A a = AB; b = AD độ dài hai cạnh hình bình hành ABCD khơng đổi) Bài 4: H Cho tứ giác ABCD, điểm E, F, G, H theo thứ tự chia cạnh AB, D BC, CD, DA theo tỉ số 1:2 Chứng minh rằng: www.thuvienhoclieu.com P F O Q M N G Trang C www.thuvienhoclieu.com a) EG = FH b) EG vng góc với FH Giải Gọi M, N theo thứ tự trung điểm CF, DG Ta có CM = 1 BM BE BM � = = = CF = BC � BC BA BC � EM // AC � EM BM 2  = � EM = AC (1) AC BE 3 Tương tự, ta có: NF // BD � NF CF 2  = � NF = BD (2) BD CB 3 mà AC = BD (3) Từ (1), (2), (3) suy : EM = NF (a) Tương tự ta có: MG // BD, NH // AC MG = NH = AC (b) � Mặt khác EM // AC; MG // BD Và AC  BD � EM  MG � EMG = 900 (4) � = 900 (5) Tương tự, ta có: FNH � � = 900 (c) Từ (4) (5) suy EMG = FNH Từ (a), (b), (c) suy  EMG =  FNH (c.g.c) � EG = FH b) Gọi giao điểm EG FH O; EM FH P; EM FN Q � = 900 � QPF � + QFP � = 900 mà QPF � = OPE � � = QFP � (đối đỉnh), OEP (  EMG =  FNH) PQF � = PQF � = 900 � EO  OP � EG  FH Suy EOP Bài 5: Cho hình thang ABCD có đáy nhỏ CD Từ D vẽ đường thẳng song song với BC, cắt AC M AB K, Từ C vẽ đường thẳng song song với AD, cắt AB F, qua F ta lại vẽ đường thẳng song song với AC, cắt BC P Chứng minh a) MP // AB b) Ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy Giải a) EP // AC � AK // CD � CP AF = (1) PB FB D C CM DC = (2) AM AK tứ giác AFCD, DCBK la hình bình hành nên I M P Trang www.thuvienhoclieu.com A K F B www.thuvienhoclieu.com AF = DC, FB = AK (3) Kết hợp (1), (2) (3) ta có CP CM � MP // AB (Định lí Ta-lét đảo) (4)  PB AM b) Gọi I giao điểm BD CF, ta có: Mà CP CM DC DC   = PB AM AK FB DC DI CP DI � IP // DC // AB (5)   (Do FB // DC) � FB IB PB IB Từ (4) (5) suy : qua P có hai đường thẳng IP, PM song song với AB // DC nên theo tiên đề Ơclít ba điểm P, I, M thẳng hang hay MP qua giao điểm CF DB hay ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy Bài 6: � ; đường Cho  ABC có BC < BA Qua C kẻ đường thẳng vng gốc với tia phân giác BE ABC thẳng cắt BE F cắt trung tuyến BD G Chứng minh B đoạn thẳng EG bị đoạn thẳng DF chia làm hai phần Giải K Gọi K giao điểm CF AB; M giao điểm DF BC M G F  KBC có BF vừa phân giác vừa đường cao nên  KBC cân B � BK = BC FC = FK A D E Mặt khác D trung điểm AC nên DF đường trung bình  AKC � DF // AK hay DM // AB Suy M trung điểm BC DF = AK (DF đường trung bình  AKC), ta có BG BK BG BK 2BK = =  ( DF // BK) � (1) GD DF GD DF AK Mổt khác Hay CE DC - DE DC AD CE AE - DE DC AD   1   (Vì AD = DC) �   1  1 DE DE DE DE DE DE DE DE CE AE - DE AE AB AE AB  1  2  (vì = : Do DF // AB) DE DE DE DF DE DF Suy CE AK + BK 2(AK + BK) CE 2(AK + BK) 2BK  2   (Do DF = AK) �  2  DE DE AK DE AK AK (2) Từ (1) (2) suy BG CE � EG // BC = GD DE www.thuvienhoclieu.com Trang C www.thuvienhoclieu.com Gọi giao điểm EG DF O ta có OG OE � FO � = �= �� OG = OE MC MB � FM � Bài tập nhà Bài 1: Cho tứ giác ABCD, AC BD cắt O Đường thẳng qua O song song với BC cắt AB E; đường thẳng song song với CD qua O cắt AD F a) Chứng minh FE // BD b) Từ O kẻ đường thẳng song song với AB, AD cắt BD, CD G H Chứng minh: CG DH = BG CH Bài 2: Cho hình bình hành ABCD, điểm M thuộc cạnh BC, điểm N thuộc tia đối tia BC cho BN = CM; đường thẳng DN, DM cắt AB theo thứ tự E, F Chứng minh: a) AE2 = EB FE �AN � b) EB = � � EF �DF � CHUYÊN ĐỀ – CÁC BÀI TOÁN SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TALÉT VÀ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC A Kiến thức: A Tính chất đường phân giác:  ABC ,AD phân giác góc A � BD AB = CD AC B D C A AD’là phân giác góc ngồi A: BD' AB = CD' AC D' B C B Bài tập vận dụng A Bài 1: Cho  ABC có BC = a, AB = b, AC = c, phân giác AD a) Tính độ dài BD, CD c b I www.thuvienhoclieu.com B Trang D a C www.thuvienhoclieu.com b) Tia phân giác BI góc B cắt AD I; tính tỉ số: AI ID Giải BD AB c �   a) AD phân giác BAC nên CD AC b � BD c BD c ac  �  � BD = CD + BD b + c a b+c b+c Do CD = a - ac ab = b+c b+c AI AB ac b+c �  c:  b) BI phân giác ABC nên ID BD b+c a Bài 2: � < 600 phân giác AD Cho  ABC, có B a) Chứng minh AD < AB b) Gọi AM phân giác  ADC Chứng minh BC > DM Giải A � � � � � =C � + A > A + C = 180 - B  600 a)Ta có ADB 2 >B � � � AD < AB � ADB b) Gọi BC = a, AC = b, AB = c, AD = d Trong  ADC, AM phân giác ta có DM AD DM AD DM AD � = = � = CM AC CM + DM AD + AC CD AD + AC � DM = C D M B abd CD.AD CD d ab  ; CD = ( Vận dụng 1) � DM = (b + c)(b + d) AD + AC b + d b+c Để c/m BC > DM ta c/m a > 4abd hay (b + d)(b + c) > 4bd (1) (b + c)(b + d) Thật : c > d � (b + d)(b + c) > (b + d)2 �4bd Bất đẳng thức (1) c/m Bài 3: Cho  ABC, trung tuyến AM, tia phân giác góc AMB , AMC cắt AB, AC theo thứ tự D E A a) Chứng minh DE // BC b) Cho BC = a, AM = m Tính độ dài DE D I E Trang www.thuvienhoclieu.com B M C www.thuvienhoclieu.com c) Tìm tập hợp giao diểm I AM DE  ABC có BC cố định, AM = m không đổi d)  ABC có điều kiện DE đường trung bình Giải � a) MD phân giác AMB nên DA MB  (1) DB MA EA MC �  ME phân giác AMC nên (2) EC MA Từ (1), (2) giả thiết MB = MC ta suy b) DE // BC � c) Ta có: MI = DA EA � DE // BC  DB EC x DE AD AI mx �   Đặt DE = x � x = 2a.m  BC AB AM a m a + 2m a.m DE = không đổi � I cách M đoạn không đổi nên tập hợp a + 2m điểm I đường tròn tâm M, bán kính MI = a.m (Trừ giao điểm với BC a + 2m d) DE đường trung bình  ABC � DA = DB � MA = MB �  ABC vuông A Bài 4: Cho  ABC ( AB < AC) phân giác BD, CE a) Đường thẳng qua D song song với BC cắt AB K, chứng minh E nằm B K b) Chứng minh: CD > DE > BE A Giải a) BD phân giác nên K AD AB AC AE AD AE = < = �  (1) DC BC BC EB DC EB Mặt khác KD // BC nên Từ (1) (2) suy � AD AK  (2) DC KB D E M C B AK AE AK + KB AE + EB  �  KB EB KB EB AB AB  � KB > EB � E nằm K B KB EB � = KDB � (Góc so le trong) � KBD � = KDB � b) Gọi M giao điểm DE CB Ta có CBD � � � KBD � � � EBD � � � EB < DE mà E nằm K B nên KDB > EDB > EDB > EDB � + ECB � = EDB � + DEC � � > ECB � � > DCE � � � ) � DEC � DEC Ta lại có CBD (Vì DCE = ECB www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com Suy CD > ED � CD > ED > BE Bài 5: Cho  ABC với ba đường phân giác AD, BE, CF Chứng minh a DB EC FA 1 DC EA FB b 1 1 1      AD BE CF BC CA AB H Giải A DB AB � = a)AD đường phân giác BAC nên ta có: (1) DC AC Tương tự: với phân giác BE, CF ta có: F E EC BC FA CA = = (2) ; EA BA FB CB (3) DB EC FA AB BC CA = Tửứ (1); (2); (3) suy ra: =1 DC EA FB AC BA CB B D b) Đặt AB = c , AC = b , BC = a , AD = da Qua C kẻ đường thẳng song song với AD , cắt tia BA H Theo ĐL Talét ta có: BA.CH c.CH c AD BA � AD     CH CH BH BH BA + AH b + c Do CH < AC + AH = 2b nên: d a  Chứng minh tương tự ta có : b  c �1 � 1 �1 � 2bc �   �  ��  � � d a 2bc �b c � d a �b c � bc 1 �1 � 1 �1 �  �  � Và  �  � Nên: db �a c � d c �a b � 1 1 �1 1 � � 1 1� �1 � �1 � �1 � �    �   �    � �  � �  � � � � da db dc � �b c � �a c � �a b � � d a d b d c �a b c � � 1 1 1      ( đpcm ) d a db dc a b c Bài tập nhà Cho  ABC có BC = a, AC = b, AB = c (b > c), phân giác BD, CE a) Tính độ dài CD, BE suy CD > BE b) Vẽ hình bình hành BEKD Chứng minh: CE > EK c) Chứng minh CE > BD www.thuvienhoclieu.com Trang C ... cắt AB theo thứ tự E, F Chứng minh: a) AE2 = EB FE �AN � b) EB = � � EF �DF � CHUYÊN ĐỀ – CÁC BÀI TỐN SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TALÉT VÀ TÍNH CHẤT ĐƯỜNG PHÂN GIÁC A Kiến thức: A Tính chất đường phân giác:... IP, PM song song với AB // DC nên theo tiên đề Ơclít ba điểm P, I, M thẳng hang hay MP qua giao điểm CF DB hay ba đường thẳng MP, CF, DB đồng quy Bài 6: � ; đường Cho  ABC có BC < BA Qua C kẻ... BK DG có giá trị khơng đổi Giải A a B a) Vì ABCD hình bình hành K �BC nên b AD // BK, theo hệ định lí Ta-lét ta có: EK EB AE EK AE = = �  � AE  EK.EG AE ED EG AE EG b) Ta có: K E C D G AE DE