Tài liệu gồm các bài tập, bài giảng lý thuyết và hướng dẫn giải chi tiết. Được trình bày theo hướng giảng giải, nên nó có tính tự học rất cao. Đây là tài liệu rất bổ ích, cung cấp kiến thức một cách có hệ thống. Dùng cho các em học sinh lớp 9 ôn thi và ôn thi học sinh giỏi. Đặc biệt, các thầy cô giáo có thể sử dụng nó làm tài liệu luyện thi.
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 11 Một số tập toán nâng cao LỚP PHẦN I: ĐỀ BÀI Chứng minh số vô tỉ a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = x2 + y2 a+b ≥ ab a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : bc ca ab + + ≥a +b+c b c b) Cho a, b, c > Chứng minh : a c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) Tìm liên hệ số a b biết rằng: a+b > a−b a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh bất đẳng thức: a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho: a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 12 Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : A= x − 4x + 17 So sánh số thực sau (không dùng máy tính) : CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU + 15 a) 23 − 19 c) 27 18 Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn 19 Giải phương trình : 22 b) 17 + + d) 45 nhỏ 3x + 6x + + 5x + 10x + 21 = − 2x − x 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = S= 21 Cho 1 1 + + + + + 1.1998 2.1997 k(1998 − k + 1) 1998 − Hãy so sánh S 1998 1999 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a số phương 23 Cho số x y dấu Chứng minh : x y + ≥2 y x a) x y2 x y + ÷− + ÷ ≥ y x y x b) x y4 x y2 x y + ÷− + ÷+ + ÷ ≥ y x y x y x c) 24 Chứng minh số sau số vô tỉ : a) b) 1+ m+ n với m, n số hữu tỉ, n ≠ 25 Có hai số vô tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ? x y x y2 + + ≥ 3 + ÷ x y x 26 Cho số x y khác Chứng minh : y x y2 z2 x y z + 2+ 2≥ + + y z x y z x 27 Cho số x, y, z dương Chứng minh : 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) a số vô tỉ CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 33 b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ 31 Chứng minh : [ x ] + [ y] ≤ [ x + y] 32 Tìm giá trị lớn biểu thức : A= 33 Tìm giá trị nhỏ : A= x − 6x + 17 x y z + + y z x với x, y, z > 34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = 36 Xét xem số a b số vô tỉ không : a a) ab b số vô tỉ a b) a + b b số hữu tỉ (a + b ≠ 0) c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) a b c d + + + ≥2 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh: b + c c + d d + a a + b 39 Chứng minh [ 2x ] 2[ x] 2[ x ] + 40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng: a + 15; a + 30; a + 45; … ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A= x − B= x + 4x − C= x − 2x − D= 1 − x2 − E= x+ G = 3x − − 5x − + x + x + 42 a) Chứng minh rằng: | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy ? b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: M = x + 4x + + x − 6x + c) Giải phương trình: 4x + 20x + 25 + x − 8x + 16 = x + 18x + 81 2 43 Giải phương trình: 2x − 8x − x − 4x − = 12 + −2x x CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 44 44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A = x2 + x + E= B= 1 − 3x G= 2x + + x C = − − 9x x + x−2 x −4 D= x − 5x + H = x − 2x − + − x 2 x − 3x =0 x − 45 Giải phương trình: 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A = x + x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : B = − x + x a = + b= 48 So sánh : a) c) n + − n + +1 b) − 13 + −1 n+1 − n (n số nguyên dương) 2 49 Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A = − − 6x + 9x + (3x − 1) 50 Tính : a) 4−2 11 + b) d) A = m + 8m + 16 + m − 8m + 16 M= 51 Rút gọn biểu thức : c) 27 − 10 e) B = n + n − + n − n − (n ≥ 1) 41 45 + 41 + 45 − 41 52 Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x − y) + (y − 2) + (x + y + z) = 2 53 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = 25x − 20x + + 25x − 30x + 54 Giải phương trình sau: a) x − x − − x − = d) x − x − 2x + = b) x − + = x e) x + 4x + + x − = h) x − 2x + + x − 6x + = k) x + − x − + x + − x − = c) x − x + x + x − = g) x − + x − = −5 i) x + + − x = x − 25 l) 8x + + 3x − = 7x + + 2x − x + y2 ≥2 55 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y CMR: x − y 56 Rút gọn biểu thức : CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU a) 13 + 30 + + 55 b) m + m − + m − m − c) + + + + + + − + + 2+ = 57 Chứng minh d) 227 − 30 + 123 + 22 + 2 58 Rút gọn biểu thức : a) C = 6+2 ( ) + + − 6−2 ( 6− 3+ ) b) D = 9−6 − 59 So sánh : a) + 20 1+ 17 + 12 b) +1 c) 28 − 16 − 2 60 Cho biểu thức : A = x − x − 4x + a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A 61 Rút gọn biểu thức sau: a) 11 − 10 c) − 14 b) + 11 + − + + + − + 10 62 Cho a + b + c = 0; a, b, c ≠ Chứng minh đẳng thức: 1 1 1 + 2+ = + + a b c a b c 63 Giải bất phương trình : 64 Tìm x cho : x − 16x + 60 < x − x2 − + ≤ x2 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A = x − 2x − A= 67 Cho biểu thức : 16 − x b) B = + x − 8x + 2x + x + x − 2x x − x − 2x − x − x − 2x x + x − 2x a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa (1) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU b) Rút gọn biểu thức A 66 c) Tìm giá trị x để A < 0,9999 (20 chữ số 9) 68 Tìm 20 chữ số thập phân số : | + | y – | với | x | + | y | = 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = n + n + n+1 (n số nguyên dương), số lớn ? 71 Trong hai số : 72 Cho biểu thức A = + + − Tính giá trị A theo hai cách 73 Tính : ( + + 5)( + − 5)( − + 5)( − + + 5) 74 Chứng minh số sau số vô tỉ : 3+ ; 3− ; 2 +3 75 Hãy so sánh hai số : a = 3 − b=2 − ; 76 So sánh + +1 + − − − số 2+ 3+ 6+ 8+4 2+ 3+ Q= 77 Rút gọn biểu thức : 78 Cho P = 14 + 40 + 56 + 140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : x − y2 + y − x = 80 Tìm giá trị nhỏ lớn : A = − x + + x M= 81 Tìm giá trị lớn : ( a+ b ) với a, b > a + b ≤ 82 CMR số 2b + c − ad ; 2c + d − ab ; 2d + a − bc ; 2a + b − cd có hai số dương (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức : N = + + + 18 84 Cho x + y + z = xy + yz + zx , x, y, z > Chứng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2…an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n 86 Chứng minh : ( a+ b ) ≥ 2(a + b) ab (a, b ≥ 0) 87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 88 Rút gọn : a) A= B= ab − b a − b b b) 77 (x + 2) − 8x x− x a2 + 89 Chứng minh với số thực a, ta có : a2 +1 ≥2 Khi có đẳng thức? 90 Tính: A = + + − hai cách +5 6,9 91 So sánh : a) 2+ P= + 2+ 92 Tính : b) 2− + 94 Chứng minh ta có : − 2− Pn = 1.3.5 (2n − 1) < 2.4.6 2n a+ b≤ 95 Chứng minh a, b > A= a b +b a : =a−b ab a− b (a, b > ; a ≠ b) 14 − 15 − b) + = −2 ÷: − − − c) − − 29 − 20 + 48 − 99 So sánh : a) c) 100 Cho đẳng thức : a + a a − a c) 1 + ÷1 − ÷= − a a + a − (a > 0) ; b) + − 13 + 48 28 − 16 ÷ + 15 18 + 19 a2 b2 + b a 97 Chứng minh đẳng thức sau : a) 2n + ; ∀n ∈ Z+ x − 4(x − 1) + x + 4(x − 1) 1 − ÷ x −1 x − 4(x − 1) a) 98 Tính : 7− x + + 2x − + x − − 2x − = 2 93 Giải phương trình : 96 Rút gọn biểu thức : 13 − 12 + 48 b) + 15 12 + d) 16 25 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 88 a + a2 − b a − a2 − b a± b = ± 2 (a, b > a2 – b > 0) Áp a) c) dụng 2+ + 2+ kết + 2− − 2− ; b) để 3−2 17 − 12 rút gọn 3+ 2 − 17 + 12 2 10 + 30 − 2 − : 10 − 2 −1 101 Xác định giá trị biểu thức sau : a) A = b) B = xy − x − y − 1 1 x = a + ÷, y = xy + x − y − với 2 a 2 a + bx + a − bx a + bx − a − bx x= với 1 1 b + ÷ 2 b 2am , m ; b > 1) 2x − x − P(x) = 3x − 4x + 102 Cho biểu thức a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) < A= 103 Cho biểu thức x +2−4 x −2 + x +2+4 x −2 4 − +1 x2 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau: a) − x e) − − 3x b) x − x (x > 0) g) 2x − 2x + 105 Rút gọn biểu thức : A = 106 Rút gọn biểu thức sau : b) c) + − x d) x − − h) − − x + 2x + i) 2x − x + x + 2x − − x − 2x − , ba cách ? a) + 48 − 10 + 4 + 10 + + − 10 + c) 94 − 42 − 94 + 42 : CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 107 Chứng minh đẳng thức với b ≥ ; a ≥ a) ( a+ b ± a− b = a± a −b 108 Rút gọn biểu thức : A = 109 Tìm x y cho : ) 99 b a + a2 − b a − a2 − b a± b = ± 2 b) x + 2x − + x − 2x − x+ y−2 = x + y − a + b2 + c2 + d ≥ 110 Chứng minh bất đẳng thức : ( a + c) + ( b + d) a2 b2 c2 a +b+c + + ≥ 111 Cho a, b, c > Chứng minh : b + c c + a a + b 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : a) a + + b + + c + < 3,5 113 CM: (a + c2 ) ( b + c2 ) + a +b + b+c + c+a ≤ b) (a + d ) ( b + d ) ≥ (a + b)(c + d) với a, b, c, d > 114 Tìm giá trị nhỏ : A = x + x 115 Tìm giá trị nhỏ : A= (x + a)(x + b) x 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 117 Tìm giá trị lớn A = x + 2−x 118 Giải phương trình : x − − 5x − = 3x − 119 Giải phương trình : x + x −1 + x − x −1 = 2 120 Giải phương trình : 3x + 21x + 18 + x + 7x + = 121 Giải phương trình : 3x + 6x + + 5x + 10x + 14 = − 2x − x 122 Chứng minh số sau số vô tỉ : 123 Chứng minh 3− ; 2+ x −2 + 4−x ≤ 124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học : a + b b + c ≥ b(a + c) 125 Chứng minh với a, b, c > (a + b)(c + d) ≥ ac + bd với a, b, c, d > CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 1010 126 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác (a + b) a + b + ≥a b+b a 127 Chứng minh với a, b ≥ a b c + + >2 b+c a+c a+b với a, b, c > 128 Chứng minh 129 Cho x − y + y − x = Chứng minh x2 + y2 = 130 Tìm giá trị nhỏ A = x − x −1 + x + x −1 131 Tìm GTNN, GTLN A = − x + + x 132 Tìm giá trị nhỏ A = x + + x − 2x + 2 133 Tìm giá trị nhỏ A = − x + 4x + 12 − − x + 2x + 134 Tìm GTNN, GTLN : ( a) A = 2x + − x b) A = x 99 + 101 − x ) a b + =1 x y 135 Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn (a b số dương) 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = A= xy yz zx + + z x y với x, y, z > , x + y + z = A= x2 y2 z2 + + x + y y + z z + x biết x, y, z > , 137 Tìm GTNN 138 Tìm GTNN A= 139 Tìm giá trị lớn : a) b) B= ( a+ b ) +( a+ c ) +( ( a+ b a+ d ) ) +( xy + yz + zx = với a, b > , a + b ≤ b+ c ) +( b+ d ) +( c+ d ) với a, b, c, d > a + b + c + d = 140 Tìm giá trị nhỏ A = 3x + 3y với x + y = 141 Tìm GTNN A= b c + c + d a + b với b + c ≥ a + d; b, c > 0; a, d ≥ 142 Giải phương trình sau : a) x − 5x − 3x + 12 = 10 b) x − 4x = x − c) 4x + − 3x + = CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU x2 + a2 ≤ 4949 x ≤ x + a − x ⇔ 5x ≤ x + a ⇔ x > 25x ≤ 9x + 9a ) ( Vì : (1) ⇔ x ≤ ⇔ ⇔ x≤ a 0 < x ≤ a 4 x= 207 c) Trước hết tính x theo a − 2a a(1 − a) Sau tính + x a(1 − a) Đáp số : B = d) Ta có a2 + = a2 + ab + bc + ca = (a + b)(a + c) Tương tự : b2 + = (b + a)(b + c) ; c2 + = (c + a)(c + b) Đáp số : M = A2 = 208 Gọi vế trái A > Ta có 2x + x Suy điều phải chứng minh 1 = 209 Ta có : a + b = - , ab = - nên : a2 + b2 = (a + b)2 – 2ab = + 2 17 − = =− a4 + b4 = (a2 + b2)2 – 2a2b2 = ; a3 + b3 = (a + b)3 – 3ab(a + b) = - - 17 239 − − − ÷( −1) = − 64 Do : a7 + b7 = (a3 + b3)(a4 + b4) – a3b3(a + b) = 64 2 210 a) a = ( − 1) = − 2 = − a = ( − 1)3 = 2 − + − = − = 50 − 49 b) Theo khai triển Newton : (1 - )n = A - B ; (1 + Suy : A2 – 2B2 = (A + B )(A - B ) = [(1 + )(1 - )n = A + B với A, B ∈ N )]n = (- 1)n Nếu n chẵn A2 – 2b2 = (1) Nếu n lẻ A2 – 2B2 = - (2) Bây ta xét an Có hai trường hợp : * Nếu n chẵn : an = ( - 1)n = (1 - )n = A - B = A − 2B2 Điều kiện A2 – 2B2 = thỏa mãn (1) * Nếu n lẻ : an = ( - 1)n = - (1 - )n = B - A = 2B2 − A Điều kiện 2B2 – A2 = thỏa mãn (2) 211 Thay a = 49 vào phương trình cho : 2 + 2a + b + c = CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 5050 (b + 2) = -(2a + c) ⇔ Do a, b, c hữu tỉ nên phải có b + = 2a + c = Thay b = - , c = - 2a vào phương trình cho : x3 + ax2 – 2x – 2a = ⇔ x(x2 – 2) + a(x2 – 2) = ⇔ (x2 – 2)(x + a) = - a Các nghiệm phương trình cho là: ± 1 + + + n A= 212 Đặt a) Chứng minh A > n − : Làm giảm số hạng A : 2 = > =2 k k+ k k +1 + k ( ( k +1 − k ) ( ) ) ( ) A > − + + − + + + − n + n + = Do =2 ( ) n +1 − = n +1 − 2 > n +1 − > n − b) Chứng minh A < n − : Làm trội số hạng A : 2 = < =2 k k+ k k + k −1 A < 2 Do : 213 Kí hiệu ( ) n − n − + + ( k − k −1 ( 3− + ) ) ( a n = + + + + ) − = n −2 có n dấu Ta có : a1 = < ; a = + a1 < + = ; a = + a < + = a 100 = + a 99 < + = Hiển nhiên a100 > > Như < a100 < 3, [ a100 ] = 214 a) Cách (tính trực tiếp) : a2 = (2 + Ta có = 48 nên < < Cách (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + Xét biểu thức y = (2 Dễ thấy < - Vậy [ x ] = 13 tức [ a2 ] = 13 50 13 < a2 < 14 Vậy [ a2 ] = 13 )2 x = + )2 y = - Suy x + y = 14 < nên < (2- b) Đáp số : [ a3 ] = 51 ⇒ )2 = + )2 < 1, tức < y < Do 13 < x < 14 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 215 Đặt x – y = a ; a) Nếu b ≠ 5151 x + y = b (1) a b số hữu tỉ Xét hai trường hợp : x−y a = ⇒ x+ y b 1 a x = b + ÷ 2 b số hữu tỉ ; x− y= a b số hữu tỉ (2) Từ (1) (2) ta có : 1 a y = b − ÷ 2 b số hữu tỉ b) Nếu b = x = y = 0, hiển nhiên x , y số hữu tỉ n 1 1 = = n − + − ÷= n ÷ ÷= n(n + 1) n n + (n + 1) n n n + n n + 216 Ta có n 1 = 1 + − − ÷ ÷< ÷ n +1 n n +1 n +1 n Từ ta giải toán 217 Chứng minh phản chứng Giả sử 25 số tự nhiên cho, hai số Không tính tổng quát, giả sử a1 < a2 < … < a25 Suy : a1 ≥ , a2 ≥ , … a25 ≥ 25 Thế : 1 1 1 + + + ≤ + + + a1 a2 a 25 25 (1) Ta lại có : 1 1 2 + + + + = + + + +1 < 25 24 25 + 25 24 + 24 2+ < 2 + + + +1= 24 + 24 23 + 23 2+ =2 ( ) 25 − + = Từ (1) (2) suy : ( ) 25 − 24 + 24 − 23 + + − + = (2) 1 + + + x= Từ hệ phương trình cho ta có : 2y 2y ≤ = y 1+ y y y ≤ z ; z ≤ x Suy x = y = z Xảy dấu “ = ” bất đẳng thức với Tương tự x = y = z = Kết luận : Hai nghiệm (0 ; ; 0) , (1 ; ; 1) 221 a) Đặt A = (8 + )7 Để chứng minh toán, cần tìm số B cho < B < 10 A + B số tự nhiên Chọn B = (8 - )7 Dễ thấy B > > Ta có + > 10 suy : (8+3 7) < ( ⇒ 8−3 107 ) < 107 Theo khai triển Newton ta lại có : A = (8 + )7 = a + b với a, b ∈ N B = (8 - )7 = a - b Suy A + B = 2a số tự nhiên Do < B < 107 A + B số tự nhiên nên A có bảy chữ số liền sau dấu phẩy Chú ý : 10- = 0,0000001 b) Giải tương tự câu a 222 Ta thấy với n số phương số vô tỉ, nên an gần 52 n n số tự nhiên, n khác số phương n n dạng ,5 Do ứng với số n ∈ N* có số nguyên CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 5353 Ta thấy rằng, với n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … a n 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, … Ta chứng minh an nhận giá trị : hai số 1, bốn số 2, sáu số 3… Nói cách khác ta chứng minh bất phương trình : 1− 1 < x < 1+ 2 có hai nghiệm tự nhiên 2− 1 < x < 2+ 2 có bốn nghiệm tự nhiên 3− 1 < x < 3+ 2 có sáu nghiệm tự nhiên Tổng quát : k− 1 < x 3, A ≤ (2) So sánh (1) (2) ta đến kết luận x = 3−x max A = ⇔ ⇔ x=2 x ≥ 229 a) Lập phương hai vế, áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta : x + + − x + 3 (x + 1)(7 − x).2 = ⇔ (x + 1)(7 − x) = ⇔ x = - ; x = (thỏa) b) Điều kiện : x ≥ - (1) Đặt x − = y ; x + = z Khi x – = y2 ; x + = z2 nên z2 – y3 = Phương trình cho đưa hệ : y + z = (2) z − y = (3) z ≥ (4) Rút z từ (2) : z = – y Thay vào (3) : y3 – y2 + 6y – = ⇔ (y – 1)(y2 + 6) = ⇔ y = Suy z = 2, thỏa mãn (4) Từ x = 3, thỏa mãn (1) Kết luận : x = 230 a) Có, chẳng hạn : 1 + = 2 b) Không Giả sử tồn số hữu tỉ dương a, b mà a + b = Bình phương hai vế : a + b + ab = ⇒ ab = − (a + b) Bình phương vế : 4ab = + (a + b)2 – 2(a + b) ⇒ 2(a + b) = + (a + b)2 – 4ab Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vô tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẩn m3 m 3 231 a) Giả sử số hữu tỉ n (phân số tối giản) Suy = n Hãy chứng minh m m lẫn n chia hết cho 5, trái giả thiết n phân số tối giản 55 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU b) Giả sử m3 = n3 ( 3 5656 m + số hữu tỉ n (phân số tối giản) Suy : 2+34 ) = + 3 m 6m =6+ ⇒ m = 6n + 6mn (1) ⇒ m M2 ⇒ m M2 n n Thay m = 2k (k ∈ Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2 ⇒ 4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia hết cho m ⇒ n3 chia hết cho ⇒ n chia hết cho Như m n chia hết cho 2, trái với giả thiết n phân số tối giản a+b+c ≥ abc 232 Cách : Đặt a = x3 , b = y3 , c = z3 Bất đẳng thức cần chứng minh tương x + y3 + z ≥ xyz hay đương với x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ Ta có đẳng thức : x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2] (bài tập sbt) a+ b+c ≥ abc 3 3 Do a, b, c ≥ nên x, y, z ≥ 0, x + y + z – 3xyz ≥ Như : Xảy dấu đẳng thức a = b = c Cách : Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số không âm Ta có : a+b+c+d 1a+b c+d = + ÷≥ 2 2 ( ) ab + cd ≥ ab cd = abcd a+ b+c+d a+b+c d= ÷ ≥ abcd Trong bất đẳng thức , đặt ta : a+b+c a+ b+c+ ÷ a+b+c a+b+c a+ b+c ⇒ ÷ ≥ abc ÷ ≥ abc 3 ÷ a+b+c Chia hai vế cho số dương (trường hợp số a, b, c 0, toán a+b+c a+b+c ≥ abc ÷ ≥ abc ⇔ 3 chứng minh) : a+ b+c Xảy đẳng thức : a = b = c = ⇔ a=b=c=1 56 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 5757 b c d a + + ≤ 1− = a + a + Áp dụng bất đẳng thức Cauchy 233 Từ giả thiết suy : b + c + d + 1 b c d bcd ≥ + + ≥ 3 (b + 1)(c + 1)(d + 1) Tương tự : cho số dương : a + b + c + d + 1 acd ≥ 3 b +1 (a + 1)(c + 1)(d + 1) abd ≥ 3 c +1 (a + 1)(b + 1)(d + 1) abc ≥ 3 d +1 (a + 1)(b + 1)(c + 1) Nhân từ bốn bất đẳng thức : A= 234 Gọi ≥ 81abcd ⇒ abcd ≤ 81 x y2 z2 + + y z x2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : x2 y2 z x y z 3A = + + ÷(1 + + 1) ≥ + + ÷ z x y z x y (1) x y z x y z + + ≥ 3 = y z x Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm : y z x (2) Nhân vế (1) với (2) : x y z x y z x y z 3A + + ÷ ≥ + + ÷ ⇒ A ≥ + + y z x y z x y z x 3 3 235 Đặt x = + ; y = − x3 + y3 = (1) Xét hiệu b3 – a3 , ta : b3 – a3 = 24 – (x + y)3 = 24 – (x3 + y3) – 3xy(x + y) Do (1), ta thay 24 4(x3 + b3), ta có : b3 – a3 = 4(x3 + y3) – (x3 + y3) – 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) – 3xy(x + y) = = 3(x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = 3(x + y)(x – y)2 > (vì x > y > 0) Vậy b3 > a3 , b > a 236 a) Bất đẳng thức với n = Với n ≥ 2, theo khai triển Newton, ta có : n n(n − 1) n(n − 1)(n − 2) n(n − 1) 2.1 1 2+ + + n + ÷ = + n + n 2! n 3! n n! n n 1 1 1 + + + + + ÷ n! 2! 3! < 57 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 5858 1 1 1 + + + ≤ + + + = 2! 3! n! 1.2 2.3 (n − 1)n Dễ dàng chứng minh : = 1− 1 1 1 + − + + − = 1− < 2 n −1 n n b) Với n = 2, ta chứng minh Với n ≥ 3, ta chứng minh (2) ⇔ ( n +1 n +1 ) n(n +1) n > (1) Thật vậy, (1) ⇔ n > n +1 n + ( n) n < (1 + )n < n Do n(n +1) ( 3) > ( ) 6 ⇔ 32 > 22 (2) Thật : n ⇔ (n + 1) < n n n +1 (n + 1)n 1 ⇔ < n ⇔ 1 + ÷ < n n n n (3) n 1 1 + ÷ < n Theo câu a ta có , mà ≤ n nên (3) chứng minh Do (2) chứng minh 237 Cách : ) ( A = x2 + + x + x2 + ≥ A = với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A ≥ (x + x + 1)(x − x + 1) = x + x + ≥ A = với x = 238 Với x < A ≥ (1) Với ≤ x ≤ 4, xét - A = x 2(x – 2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : x x + +x−2÷ A x x 2x − − = (x − 2) ≤ ÷ = ÷ ≤ 2 3 ÷ - A ≤ 32 ⇒ A ≥ - 32 A = - 32 với x = 239 Điều kiện : x2 ≤ x2 x 2 + + − x 2 ÷ x x A = x (9 − x ) = (9 − x ) ≤ ÷ = 4.27 2 ÷ ÷ max A = với x = ± 240 a) Tìm giá trị lớn : Cách : Với ≤ x < Với x ≥ 58 Ta có A = x(x2 – 6) ≤ ≤ x ≤ ⇒ ≤ x2 ≤ ⇒ ≤ x2 – ≤ CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 5959 Suy x(x2 – 6) ≤ max A = với x = Cách : A = x(x2 – 9) + 3x Ta có x ≥ 0, x2 – ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ max A = với x = b) Tìm giá trị nhỏ : Cách : A = x – 6x = x3 + (2 )3 – 6x – (2 )3 == (x + 2 )(x2 - 2 x + 8) – 6x - 16 = (x + 2 )(x2 - 2 x + 2) + (x + 2 ).6 – 6x - 16 = (x + 2 )(x - )2 - ≥ - A = - với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số không âm : 3 x3 + 2 + 2 ≥ x 2.2 = 6x x x Suy x3 – 6x ≥ - A = - với x = x 3-2x 3-2x 241 Gọi x cạnh hình vuông nhỏ, V thể tích hình hộp x x x Cần tìm giá trị lớn V = x(3 – 2x)2 Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dương : 4x + − 2x + − 2x ÷ = 4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤ max V = ⇔ 4x = – 2x ⇔ x= Thể tích lớn hình hộp dm3 cạnh hình vuông nhỏ dm 242 a) Đáp số : 24 ; - 11 b) Đặt − x = a ; x − = b Đáp số : ; ; 10 c) Lập phương hai vế Đáp số : ; ± d) Đặt 2x − = y Giải hệ : x3 + = 2y , y3 + = 2x, (x – y)(x2 + xy + y2 + 2) = −1 ± ⇔ x = y Đáp số : ; ( ) x − x2 − e) Rút gọn vế trái : Đáp số : x = 59 x x CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU g) Đặt 6060 − x = a ; x − = b Ta có : a3 + b3 = 2, a3 – b3 = 12 – 2x, vế phải phương a3 − b a − b a3 − b Phương trình cho trở thành : a + b = trình cho a − b a3 − b = 3 Do a3 + b3 = nên a + b a + b ⇒ (a – b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 – b3) Do a + b ≠ nên : (a – b)(a2 – ab + b2 = (a – b)(a2 + ab + b2) Từ a = b ta x = Từ ab = ta x = ; x = h) Đặt x + = a ; x − = b Ta có : a2 + b2 + ab = (1) ; a3 – b3 = (2) Từ (1) (2) : a – b = Thay b = a – vào (1) ta a = Đáp số : x = i) Cách : x = - nghiệm phương trình Với x + ≠ 0, chia hai vế cho Đặt x +1 =a ; x+2 Cách : Đặt 3 x+2 x+3 =b x+2 Giải hệ a3 + b3 = 2, a + b = - Hệ vô nghiệm x + = y Chuyển vế : y3 – + y3 + + 3 y3 − + y3 + = − y Lập phương hai vế ta : y − (- y) = - y3 ⇔ y3 = y Với y = 0, có nghiệm x = - Với y ≠ 0, có y2 = 3 y6 − y6 − Lập phương : y6 = y6 – Vô n Cách : Ta thấy x = - nghiệm phương trình Với x < - 2, x > - 2, phương trình vô nghiệm, xem bảng : x x +1 x+2 x < -2 < -1 < x > -x > -1 > k) Đặt + x = a , – x = b Ta có : a + b = (1), Theo 3= bất đẳng thức a b + a + b ≤ = a + b +1 ≤ x+3 < 60 > ab + a + b = (2) 4 Cauchy a + b 1+ a 1+ b + + = 2 1+ a 1+ b a+b + +1 = +2 =3 2 Phải xảy dấu đẳng thức, tức : a = b = Do x = l) Đặt < > Vế trái a − x = m ≥ ; b − x = n ≥ m4 + n4 = a + b – 2x mn ≤ m+n , ta có CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU Phương trình cho trở thành : m + n = 6161 m + n Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế thu gọn : 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = Suy m = n = 0, m, n > 2m2 + 3mn + 2n2 > Do x = a , x = b Ta phải có x ≤ a , x ≤ b để thức có nghĩa Giả sử a ≤ b nghiệm phương trình cho x = a 243 Điều kiện để biểu thức có nghĩa : a2 + b2 ≠ (a b không đồng thời 0) x + x y + y x + 2x y + y − 2x y A= = 3 x + xy + y x + xy + y Đặt a = x ; b = y , ta có : = (x = + y ) − (xy) 2 x + xy + y 2 (x = + y + xy ) ( x + y − xy ) 3 Vậy : A = a + b − ab x + y + xy 2 = x + y − xy (với a2 + b2 ≠ 0) 244 Do A tổng hai biểu thức dương nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A = x2 − x +1 + x2 + x +1 ≥ x − x + x + x + = (x − x + 1)(x + x + 1) = 4 = x + x + ≥ Đẳng thức xảy : x + x + = x − x + ⇔ x=0 x + x + = Ta có A ≥ 2, đẳng thức xảy x = Vậy : A = ⇔ x = 245 Vì + 3(1 + nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta có : )3 + a(1 + )2 + b(1 + ) + 12 = Sau thực phép biến đổi, ta biểu thức thu gọn :(4a + b + 42) + (2a + b + 18) = Vì a, b∈ Z nên p = 4a + b + 42 ∈ Z q = 2a + b + 18∈ Z.Ta phải tìm số nguyên a, b cho p + q = Nếu q ≠ Vậy + p = - q , vô lí Do q = từ p + q = ta suy p = nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = : 4a + b + 42 = 2a + b + 18 = Suy a = - 12 ; b = 61 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 6262 p p p3 3 246 Giả sử số hữu tỉ q ( q phân số tối giản ) Suy : = q Hãy chứng minh p p q chia hết cho 3, trái với giả thiết q phân số tối giản 247 a) Ta có : Do : b) 1+ = (1+ ) = 1+ 2 + = + 2 ( + − 2 = + 2 − 2 = 32 − 2 ) =1 + − = −1 248 Áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có : a = 20 + 14 + 20 − 14 + 3 (20 + 14 2)(20 − 14 2).a ⇔ a = 40 + 3 20 − (14 2) a ⇔ a3 – 6a – 40 = ⇔ (a – 4)(a2 + 4a + 10) = Vì a2 + 4a + 10 > nên ⇒ a = 249 Giải tương tự 21 250 A = + 3− 251 Áp dụng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Từ x = 3 + Suy x3 = 12 + 3.3x ⇔ x3 – 9x – 12 = 252 Sử dụng đẳng thức (A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B) Tính x3 Kết M = 253 a) x1 = - ; x2 = 25 u = v3 + 3 u = x , v = x v = u + ⇔ u = v = - ⇒ x = b) Đặt , ta : c) Đặt : x + 32 = y > Kết x = ± 254 Đưa biểu thức dạng : A= x3 + + + x3 + − Áp dụng | A | + | B | ≥ | A + B | ⇔ -1 ≤ x ≤ A = 255 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần 256 Đặt 258 Ta có : x = y x = y P= ( x − a) + ⇒ P = 23 x + ( x − b) = | x – a | + | x – b | ≥ | x – a + b – x | = b – a (a < b) Dấu đẳng thức xảy (x – a)(x – b) ≥ ⇔ a ≤ x ≤ b Vậy P = b – a ⇔ a ≤ x ≤ b 259 Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương 62 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 6363 (a + b − c) + (b + c − a) (b + c − a) + (c + a − b) = b (b + c − a)(c + a − b) ≤ =c 2 (c + a − b) + (a + b − c) (c + a − b)(a + b − c) ≤ =a (a + b − c)(b + c − a) ≤ Các vế bất dẳng thức dương Nhân bất đẳng thức theo vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy : a + b – c = b + c – a = c + a – b ⇔ a = b = c (tam giác đều) 260 x − y = (x − y) = (x + y) − 4xy = + = 2 261 2A = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 Ta có : c – a = - (a – c) = - [(a – b) + (b – c)] = - ( + + - 1) = - 2 Do : 2A = ( + 1)2 + ( - 1)2 + (-2 )2 = 14 Suy A = 262 Đưa pt dạng : ( ) ( ) ( 2 x − −1 + y−3 −2 + z −5 −3 ) =0 263 Nếu ≤ x ≤ y = 264 Đặt : x − = y ≥ M = x − ( )( x −1 + − x −1 ) 265 Gọi kích thước hình chữ nhật x, y Với x, y ta có : x + y2 ≥ 2xy Nhưng x2 + y2 = (8 )2 = 128, nên xy ≤ 64 Do : max xy = 64 ⇔ x = y = 266 Với a, b ta có : a2 + b2 ≥ 2ab Nhưng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên : a+b c2 ≥ 2ab ⇔ 2c2 ≥ a2 +b2 + 2ab ⇔ 2c2 ≥ (a + b)2 ⇔ c ≥ a + b ⇔ c ≥ Dấu đẳng thức xảy a = b ( 267 Biến đổi ta : a 'b − ab ' 268 – ≤ x ≤ - ; ≤ x ≤ -Hết 63 ) +( a 'c − ac ' ) +( b 'c − bc ' ) =0 [...]... – 2x < 1 ⇔ (x – 1)2 < 2 ⇔ - 2 < x – 1 < 0 ,99 9 99 14 2 43 68 Đặt 20 chöõ soá 9 = a Ta sẽ chứng minh 20 chữ số thập phân đầu tiên của Muốn vậy chỉ cần chứng minh a < 0 ⇒ a2 < a Từ a2 < a < 1 suy ra a < 2 ⇒ kq a là các chữ số 9 a < 1 Thật vậy ta có : 0 < a < 1 ⇒ a(a – 1) < 0 ⇒ a2 – a < a < 1 0 ,99 9 99 14 2 43 = 0 ,99 9 99 14 2 43 Vậy 20 chöõ soá 9 20 chöõ soá 9 69 a) Tìm giá trị lớn nhất Áp dụng | a + b... x + y = 1 1 − x + x 2 − 3x + 2 + (x − 2) 1 79 Giải phương trình : x −1 =3 x−2 2 2 180 Giải phương trình : x + 2x − 9 = 6 + 4x + 2x 1 1 1 1 + + + + 0 : a c a 2 + ad + bc + c 2 4(a 2 + ad + bc + c2 ) + = ≥ b+c d+a (b + c)(a + d) (a + b + c + d) 2 27 (1) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU b d... ab + b ab − a ab 188 Rút gọn : ( 2 x+ x +a 1 89 Giải bất phương trình : 2 2 )≤ 5a 2 x2 + a2 (a ≠ 0) 1 − a a 1 + a a A = ( 1 − a 2 ) : + a ÷ − a ÷ + 1 1 + a 1 − a 190 Cho a) Rút gọn biểu thức A c) Với giá trị nào của a thì | A | = A 14 b) Tính giá trị của A với a = 9 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU B= 191 Cho biểu thức : 1515 a + b −1 a− b b b + + ÷... số tự nhiên không ? 1 49 Giải các phương trình sau : a) ( c) ( 5 − x) ) 3 −1 x − x + 4 − 3 = 0 5 − x + ( x − 3) x − 3 5− x + x −3 b) =2 ( ) 3 −1 x = 2 ( ) 3 +1 x − 3 3 d) x + x − 5 = 5 150 Tính giá trị của biểu thức: M = 12 5 − 29 + 25 + 4 21 − 12 5 + 29 − 25 − 4 21 A= 151 Rút gọn : 11 ) n +1 −1 1 b) 146 a) )( 1 1 1 1 + + + + 1+ 2 2+ 3 3+ 4 n −1 + n CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 1 1... là khi x = 1, y = 2 ⇒ max A = 2 ⇔ x = 2, y = 2 21 Bất đẳng thức Cauchy viết lại dưới dạng : 1 2 199 8 > 2 ab a + b Áp dụng ta có S > 199 9 22 Chứng minh như bài 1 x y x y x 2 + y 2 − 2xy (x − y) 2 + ≥2 + −2= = ≥0 y x y x xy xy 23 a) Vậy 24 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 2525 x 2 y2 x y x 2 y2 x y x y A = 2 + 2 ÷− + ÷ = 2 + 2 ÷ − 2 + ÷ + + ÷ x y x y x