Giải các phương trình trên với a .2 b.. Tìm tất cả các giá trị của a để hai phương trình 1 và 2 tương đương.. Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất để phương trình sau có nghiệm:... Trong tất cả c
Trang 1CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI LƯỢNG GIÁC
Bài 2 Tìm tất cả các nghiệm x�(2009; 2011) của phương trình : cosx sinx cos 2 1 sin 2x x0
Bài 3 Chứng minh rằng: 1 sin 2 2
a
a a
�� ��
Trang 2Bài 5 Giải phương trình : 3 tan 2 3 21 cot 2 2 0
cos cos Chứng minh
rằng tam giác ABC cân.
Bài 7 Giải phương trình sau: 2(sinx 3 cos )x 3cos x2 sin 2 x
Bài 8 Tìm a để bất phương trình đúng với mọi x: 3sin2x2sin x cosx c os2x a �3
Bài 9 Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a , b , c, độ dài ba đường phân giác trong tương ứng với
16sin os2
Bài 13 Cho hai phương trình sau:
2sin7x (1 sina).sinx a sin3x (1)
(a1)(1cos x2 ) 2sin 6x2sin2x2(a (2)1)3
a Giải các phương trình trên với a 2
b Tìm tất cả các giá trị của a để hai phương trình (1) và (2) tương đương
Bài 14 Giải hệ phương trình:
3 3
2 3
Bài 15 Tìm tất cả các giá trị x�0; 2 sao cho: 2cosx� 1 sin 2 x 1 sin 2x �2
Bài 16 Tìm số tự nhiên a nhỏ nhất để phương trình sau có nghiệm:
Trang 3Bài 17 Cho tam giác ABC có tan AtanC2 tanB Chứng minh rằng: cos cos 3 2.
Bài 19 Xét các tam giác ABC thoả mãn ràng buộc: , ,
Bài 20 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: (2m1)(sinxcos ) (sinx xcos ) 2x m22m 2 0
Bài 21 Chứng minh rằng với mọi x �� ta luôn có sin x cosx � 1
Bài 22 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm
sin cos 1 sin 2 sin cos 2
m x x x x x
Bài 23 Giải phương trình: cos2xcos3xsinxcos4xsin 6x
Bài 24 Tìm tổng nghịch đảo các nghiệm của phương trình 2x 1 2x 1 2 2x 1
Bài 26 Trong tất cả các tam giác ABC cho trước, tìm tam giác có P c os2Acos2B c os2C lớn nhất
Bài 27 Giải phương trình : 8cos 4 cos 2x 2 x 1 cos3 x 1 0
Bài 28 Tính số đo các góc trong tam giác ABC , biết sin sin sin
Bài 29 Giải phương trình 2cos2x1 cot x2sin2x 1 0
Bài 30 Tam giác ABC thỏa mãn đẳng thức cos 2A 2 cos 2 Bcos 2C 2 0
Bài 31 Tìm số tự nhiên a bé nhất để phương trình sau có nghiệm :
;0232cos.2
3cos)(cos2)
x x
a x
a
Bài 32 Cho tam giác ABC có : tanA+tanC=2tanB.CMR : ;
4
23coscosA C
Bài 33 Giải phương trình: 1 tan tan 2 x xcos3x
Bài 34 Trong tam giác ABC biết số đo ba góc , , A B C lập thành cấp số cộng với A B C� � và thỏa hệthức cos cos cos 1 3
Trang 4Bài 36 Tìm m để phương trình sau có 4 nghiệm phân biệt trong khoảng ;
x
Bài 39 Cho phương trình: (m3)sin3x(m1)cos3xcosx(m2)sinx 0
a) Giải phương trình khi m 5
b) Xác định tham số m để phương trình có đúng một nghiệm , 5
Chứng minh tam giác ABC là tam giác đều.
Bài 41 Giải phương trình :
x
có nghiệm
Bài 43 Tam giác ABC có ba góc thỏa mãn hệ thức :
017)coscos
(sin34sin
sin
cos
8 A B C A B C Hãy tính các góc của tam giác đó
Bài 44 Giải phương trình: cos 2 3cos 1 1
Trang 52sin cos 1
P tan cos sin
Bài 47 Tìm tập xác định của hàm số 1 cot
2cos 1
x y
2sin 0
x x
Trang 6S P
Trang 7Xét hàm số f(t) = (1 2)t , ta có f(t) đồng biến với mọi t nên ta có: f(3cosx) = f(4cost 3x) 3cosx = 4cos3x
Đặt f(x) = 1 + 2cosx + 1 + 2sinx Bài toán trở thành: tìm m sao cho maxf(x) 2m – 1
Ta có f2(x) = 6 + 4(sinx + cosx) + 21 + 2(sinx + cosx) + 4sinxcosx
x x
1
3cos2cos
12
coscos
Bài 55 Rút gọn : P =
12cos
12
3cos12
2cos12
n n
sin1
cos1
x , hãy tìm cặp số
Trang 8Bài 58 Cho
b a b
x a
8
)(
1cos
sin
b a b
x a
x
Psin2 sin2 sin2
Bài 60 Tính giá trị của biểu thức:
7
5cos
17
3cos
17
cos2
giá trị lớn nhất
Bài 62 Cho các số thực a, b, c thoả mãn a2 b2 c24 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thức Tab 2sinxcsin2x, trong đó )
2
;0(
Bài 63 Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y f x x sin2 x
2)(
2
;2[
Bài 64 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
n n
x x
x f
11)
Bài 66 Cho tam giác ABC thoả mãn:
2
12
B tg
sin2
sin2sin A B C
7
6cos3
7
4cos3
72
Trang 9Bài 69 Cho x, y, z, t là các số thực nằm giữa
2
và2
thoả mãn:
cos2cos
1sinsinsin
sin
t z
y x
t z y x
1sin
1
4cos1
x
Bài 72 Tìm GTLN, GTNN của hàm số:
1cos
1coscos
Bài 73 Cho tam giác ABC có C = 2B = 4A Gọi O, H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp, trực tâm của
tam giác ABC Tính tỷ số
R
OH trong đó R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác.
Bài 74 Cho tam giác ABC vuông ở C Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác, m , a m blần lượt là
độ dài các đường trung tuyến của tam giác kẻ từ A, B Tìm giá trị lớn nhất của: 2 2
2
b
a m m
r
Bài 75 Giải các phương trình sau:
1/ sin3 x cos3 x sin3 xcotgx cos3 xtgx 2sin2x
)3cos(
sin43)8(cos2)8cos(
)8sin(
3
5/ 2sin5x(16sin4 x 20sin2 x5)1
6/ (16sin4 x 20sin2x5)(16sin45x_20sin25x51
Bài 76 Chứng minh rằng: 4cos360 cot 70 0 1 2 3 4 5 6
Trang 10Bài 77 Cho 7
cos
1sin
1cot
11
2 2
2
x x
x g x
Bài 78 Chứng minh rằng:
2
15
2cos5cos
Bài 79 Thu gọn tổng S =tga.tg2atg2a.tg3a tg(na).tg(n1)a
Bài 80 Thu gọn P = (2cosa-1)(2cos2a-1) (2cos2n 1a 1)
Bài 81 Tính các tổng:
S =
7
6sin
17
3sin
17
2sin
1
2 2
2 , P =
18
718
518
8 8
tg tg
tg , R =
18
718
518
6 6
tg tg
12
21
22
21
22
21
2
C tg
B tg
A tg
B tg
A tg
C tg A
tg
C tg
B tg C
tg
B tg
A tg
Trang 11cos 0cos 0
1 5sin sin 1 0 sin
22
x x
Trang 12Điều kiện:
sinx 0cos 0cot 1
x x
sin cos s in 2 sin
cos cos sin
s in
2 sin 0
cos1 sin ( 2) 0
cossin 0
x x x x
42
4(1 2sin os ) 1 sin 2 1
4(1 sin 2 ) 1 sin 22
2sin 2 sin 2 3 0 sin 2 1
3
sin 2
2sin 2 1
4
x x x
Trang 135 sin x sinx2cosx.
Hướng dẫn giải2
(Hệ phương trình vô nghiệm)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm
Câu 5: Tìm nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình cos x( 2)cos[ ( x22x 1)]
Trang 14Câu 6: Cho phương trình:cos2 – 2x m1cosx m 1 0
a Giải phương trình khi 3
x m
x m
x
1cos0
cos)12(cos
2 sin 1 2 cos sin
cos x x x x (*)
+ 1 sin 2 x cosxsinx
Trang 15
cos2x cosx sinx cosx sinx
+ * � cosx sinx 1 cosx sinx cosxsinx 0
cosx sinx 0 1
� hoặc cosx sinx cosxsinx 1 2
+ 1 �cos2x0(1)
+ 2 �1 sin 2 x 1 sin 2 x 1�sin 2x0 (vì sin 2x không thể xảy ra)0
Ta có: * �cos2x0 hoặc sin 2x0 sin 4 0 ,
4
x x k k
+ Với điều kiện 2004 x 2005, chọn số nguyên k 2552 Vậy x638
Câu 8: Cho phương trình msinxcosx 1 m (1) ( m là tham số).
a Giải phương trình (1) với m1
b Tìm m để phương trình có nghiệm.
Hướng dẫn giải
a Với m Thay vào phương trình 1 1 ta được:
2cos
x x
Ta có:
2(2 3) cos 2sin
2cos
x x
Trang 161 3 1 1sin cos sin cos cos sin
Đặt tan x t , ta được phương trình: mt2mt 1 0 *
Do phương trình tan x t có nghiệm với mọi t nên phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi
Trang 17
cos3cos 2 sin 2 2 cos5 0sin 3
cos 2 cos3 sin 2 sin 3 2 cos5 sin 3 0cos5 1 2 sin 3 0
5
10 52
2 tan 2sin 2 2sin 2 tan
2sin costan 2sin 2
4sin 4cos 1 0sin 2cos 2 1 0sin 0
x x
Câu 13: Giải phương trình sin 32 xcos 42 xsin 52 xcos 62 x
Lời giải
sin 3 cos 4 sin 5 cos 6
1 cos 6 1 cos8 1 cos10 1 cos12
cos12 cos 6 cos10 cos8 0sin 9 sin 3 2sin 9 sin 0
Trang 18x k x
Câu 15: Tìm điều kiện của tham số m để phương trình cos2x4cosx m có nghiệm.0
Lời giải
Đặt tcosx, điều kiện � �1 t 1
Phương trình cos2x4cosx m (1) trở thành 0 t2 4t m 0� f t 4t t2 m (2).
Để (1) có nghiệm thì (2) phải có nghiệm t�1;1.
Lập bảng biến thiên của f t , dựa vào bảng biến thiên ta có điều kiện cần tìm là � �5 m 3
Câu 16: Với giá trị nào của m thì phương trình sin 2 x 3 cos 2x có nghiệm?1 m
Trang 19Câu 17: Cho 3 số thựca b c 0 Số nghiệm của phương trình sina x b cosx c trên khoảng ;0
� � thì phương trình có 1 nghiệm duy nhất.
Giải thích: Khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, các họ nghiệm của phương trình sinusinv
sẽ được biểu diễn bởi 2 điểm đối xứng với nhau qua Oy , mà ở đây đề bài chỉ cho trên 1 góc phần
tư thứ IV nên chỉ có 1 nghiệm duy nhất
Câu 18: Với giá trị nào của m thì phương trình cos2x2sin cosx xsin2x m có nghiệm
Trang 21Dựa vào bảng biến thiên, phương trình 1 có nghiệm ;
x k k
Vậy có 4 nghiệm dương bé hơn 10 ứng với k 0,k 1,k 2,k 3
sin 2
x
x
sin cos sin cos
x x x x
22cos 2xcos 2x 1 0
�
1cos 2
2cos 2 1
x x
x �x� k k�� (thỏa điều kiện).
Biểu diễn hai họ nghiệm ,
3
x� k k�� trên đường tròn lượng giác ta được 4 điểm.
Trang 22Bài 1. Giải các phương trình sau: (cos 1)(2 cos 1) 2
Điều kiện: sinx�۹�0 x m(m Z)
Phương trình đã cho tương đương với: 2cos2x3cosx 1 sinx2sin cos2 x x2sin cosx 2x
cos 2 3cos 2 sin cos (1 cos 2 ) sin (1 cos 2 )
Trang 2336 36
Bài 5. Cho phương trình: sin4xcos4xcos 42 x m ( m là tham số)
1) Giải phương trình khi m 3
Trang 242) Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn ;
phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt t�1;1 (3)
Xét g(t) = 4t2t với t�1;1 ta có bảng biến thiên :
Trang 253sin
2
3cos
2 2
Trang 28x t
Trang 291 Cho phương trình:cos 2xm1 sin x m 0
a) Giải phương trình với m 1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc [0; ].
2 Tính các góc của tam giác ABC biết: cos3Acos 3Bcos 3C 1,5
Bài 16. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: f x cos4 xsin2xcos sinx x
x P
Trang 30
2 2
2 cos sin
sin2 13sin2 2 1 sin 2 2 1 sin2 1 2sin 2 sin2 1 0 1
sin2
24
Bài 3 Giải phương trình: sinx 1 2sin+ x=cos 2 x
Bài 4 Giải phương trình: 2sin 2 4cos 6 3
1cos
2
3cos16
9cos
2
1cos16
Trang 31Bài 7 Giải phương trình:
Bài 8 Giải phương trình: 3 tanx+1 sinx 2cos( + x)=5 sin( x+3cos x)
Bài 9 Giải phương trình: 4 2
(1 cot 2 cot ) 48
Bài 10.Giải phương trình: 2(sinx 3 cos )x 3 cos 2xsin 2 x
Bài 11 Giải phương trình:
Bài 13 Chứng minh với mọi giá trị của x,ta có: sinx 1 sin x � 1
Bài 14 Giải phương trình: sinx 1 sin x 2cosxcos 2 x
Bài 15 Cho phương trình sau:
m3 sin 3xm1 cos 3xcosxm2 sin x0
a) Giải phương trình khi m 5
b) Xác định tham số m để phương trình có đúng 1 nghiệm
Bài 16 Cho phương trình sau:
Bài 17 Tìm x thuộc khoảng 0;14 nghiệm đúng phương trình:
cos3x4cos 2x3cosx 4 0
Bài 18 Giải phương trình: sin3 2 sin
Trang 32Tìm m để phương trình có đúng 4 nghiệm thuộc 3 ; 2
Bài 25 Giải phương trình: 1 4 1 2 9 4 3 2 1
16 x2 x 16 x2 x 2
Bài 26 Giải phương trình: cos2xcos 22 xcos 32 xcos 42 x 2
Bài 27 Tìm a để phương trình: cos2a x a cos4xcos6x có nghiệm 1 , , v��i
3
x�� k x k k��
và chỉ có nghiệm ấy
Bài 28 Giải phương trình: sin2 sin4x x2 3sin x4sin2x 1 0
Bài 29 Giải phương trình: cos2xcos3xsinxcos4xsin6x
Bài 30 Giải phương trình: sin4
1 cos cos cos2
Bài 34 Giải phương trình sau: 2 sin xcosxtan5xcot5x
Bài 35 Giải phương trình sau: 3tan2 3 21 cot 2cos2 0
Trang 33Bài 84. Giải phương trình: 3 1 cos 2 x 3 1 sin cos x xsinxcosx 3 0
3 1 cos 3 1 sin cos sin cos 3 0
3 cos 1 3 sin cos cos sin cos sin cos 0
3 sin 3 sin cos cos sin cos sin cos 0
3 sin sin cos cos sin cos sin cos 0
sin cos 3 sin cos 1 0
cos 2 sin cos
Trang 34
2 2
3sin 2 3 2 cos sin 2 cos 2 0
3sin 2 3 2 1 sin 2 2 1 sin 2 0
12sin 2 sin 2 1 0 sin 2 1;sin 2
Bài 86. Giải cỏc phương trỡnh sau đõy:
1) sin 1 sin 2 cos 22) (1 t anx)sin2x=2tanx
x x x
2 tan cot tan
+) Tìm đợc tanx = 1 hoặc tanx = 0
+) Giải đúng và loại nghiệm đúng ĐS:
Và PT (1) có nghiệm khi đờng thẳng y = 2m +1 (song song hoặc trùng 0x )cắt
f(t) trên (-1; 0)
+) ĐS: 1
( ;1) 2
Trang 35Bài 89. Giải phương trình: 2sin3x 6cos3x cos x 3sin x 0
(sinx 2cos ) os2 sinx ( os4 1)cos
Sử dụng ct nhân đôi giải được: sinx=0; sinx=1/2
Từ đó suy ra nghiệm của pt:
sin(
2 sin 2 2 cos
6 5 sin(
2 ) 6 sin(
) 3 sin(
3
x x
Trang 36
sin 3 sin cos3 cos cos sin 1 0
2sin 2 cos 2sin 2 sin cos sin 1 0
2sin 2 cos sin cos sin 1 0
Bài 99. Cho phương trình sau:
1) Giải phương trình khi
2) Xác định tham số m để phương trình có đúng một nghiệm
inx
cos 1 2cos 1
1 sin 2 2coss
Trang 374sin 5cos 2sin2 5
4sin 5 cos 4sin 5 0
4sin 5 (1 cos ) 0
cos 1
5 sin
Từ gt có SinA(SinA-CosB) +SinB(SinB-CosA)=0 (SinA CosB)(SinB CosA)0(1) (2đ)
Lại có : Sin2A Cos2BSin2B Cos2A (SinA CosB)(SinB CosA)0(2) (2đ)
Vậy SinA=CosB hoặc SinB=CosB
2
B
A Tam giác đã cho vuông đỉnh C (1đ)
a) Giải phương trình: sin3 cos3 2 2cos 1 0
Trang 38Bài 105. Giải phương trình: 3 1 cos 2x 3 1 sin cos x xsinxcosx 3 0
3 1 cos 3 1 sin cos sin cos 3 0
3 cos 1 3 sin cos cos sin cos sin cos 0
x � x k
Trang 39Kiểm tra ĐK thỏa món Vậy nghiệm của PT là ; , .
x k x k k��
Tỡm số tự nhiờn a bộ nhất để phương trỡnh sau cú nghiệm.
cos2 ( ) 2cos ( ) cos3 os 2 0
sin2
1210
cos
(2) 3)2cos21(4sin2
(1) sin0
33)2cos21(4
sin
2
sin
0sin33)sin43(sin
x x
x x
x x
x x
Giải (1) ta đợc x=k với k
Giải (2): Ta có (2) 2sin4xcos2xsin4x
2
33
2
334sin2cos2sin
2cos,2sin
2 2
3
2 2 2
2
2
4
)2cos2(sin32
2cos2
22cos2sin2
24sin2cos2sin
4 x 2 x x <
2
33
Suy ra (3) vô nghiệm nên (2) vô nghiệm
Kết luận: Phơng trình có nghiệm x=k với k
2
x
Trang 40�2 4sin x 2sin cosx xcosx 2 3 sin2x 3 sinx
26