Chuyên đề hình học không gian bồi dưỡng học sinh giỏi toán

www.thuvienhoclieu.com CHUN ĐỀ HÌNH HỌC KHƠNG GIAN BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI Bài Xét hình chóp n – giác S A1 A2 An   ( n số tự nhiên tùy ý lớn ) thỏa mãn đồng thời điều kiện sau: a/ Đáy có tất cạnh A1 A2 An b/ · A = SA · A = = SA · A = 600 SA 2 n Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ độ dài đường cao Chứng minh hình chóp SH hình chóp nêu Hướng dẫn giải tồn hình chóp đều: S A1 A2 An   Chứng minh cạnh bên Đặt : ; ; ; SA1 = x1 SA2 = x2 SAn = xn Dùng định lý cosin tam giác ; ; ; ta có: SA1 A2 SA2 A3 SAn A1 x22 = + x12 - x1 cos 600 = + x12 - x1 x32 = + x22 - x2 cos600 = + x22 - x2 xn2 = + xn2- - xn- 1cos600 = + xn2- - xn- x12 = + xn2 - xn cos600 = + xn2 - xn Đặt f ( x) = x - x +1 = ( x - ) + Trên   f ( x)  ; +∞ ÷ ÷   đồng biến www.thuvienhoclieu.com , ta có hệ: ìï x22 = f ( x1 ) ïï ïï x = f ( x ) ïï ïí ïï ïï xn2 = f ( xn- ) ïï ïïỵ x1 = f ( xn ) với é3 x1 , x2 , , xn ẻ ờ ; +Ơ ë ÷ ÷ ÷ ÷ ø Trang www.thuvienhoclieu.com Do đó: x1 ≠ x2 Thật vậy: Tương tự Do x1 = x2 vơ lý x1 < x2 ⇒ f ( x1 ) < f ( x2 ) ⇒ x 22 < x 32 ⇒ x < x ⇒ ⇒ x n < x1 x1 > x ta suy điều vô lý: x = x − x1 + ⇔ x = 2 x1 > x1 Vậy x1 = x2 Từ ta được: Ta có x1 < x1 ( vơ lý) x1 = x2 = = xn = Chứng minh đáy đa giác Từ suy hình vng góc lên H S A1 A2 An SA1 = SA2 = = SAn = đáy cách đỉnh đáy Đa giác có cạnh nội tiếp đường tròn nên A1 A2 An đa giác a) Tìm lớn nhất, nhỏ SH b) Chứng minh Ta có mặt bên hònh chóp tam giác cạnh n 2) Tính tìm giá trị lớn nhất, nhỏ : SH SH Xét tam giác vuông : SHA1 SH = SA12 − HA12 SA1 = 1; HA1 = 2sin π n 1 π 1 π π n = 3; 4;5 SH = − = − 1 + cot g ÷ =  − cot g ÷, SH= − cot g π 4 4 4 4 4sin n n = : SH = • ; n = : SH = Do giá trị lớn www.thuvienhoclieu.com SH ; n = : SH = 2 1 − 2 , giá trị nhỏ SH 1 − 2 Trang www.thuvienhoclieu.com Bài Cho hình lập phương cạnh Gọi trung điểm cạnh a E , G, K ABCD A ' B ' C ' D ' tâm hình vng hai điểm hai đường thẳng A ' D ', B ' C ' AA' H DCDC ' M , N cho vng góc với cắt Tính độ dài đoạn theo a AD KH KH EG MN MN Hướng dẫn giải D’ C’ E A’ H H1 D G M B’ I I1 E1 M H1 D E1 I1 A Xác định đoạn Gọi N1 C G1 N1 B C A G1 B MN E1 , N1 , G1 , H1 hình chiếu vng góc E , N , G, H mặt phẳng ( ABCD ) Do (gt) K suy , suy KH ⊥ MN KH ⊥ NN1 KH ⊥ MN1 AH1 ⊥ MN1 I1 Mà theo giả thiết cắt suy mà trung điểm đoạn nên phải KH I I MN MN II1 // NN1 I1 trung điểm MN1 Từ suy cách dựng hai điểm M, N Tính độ dài MN Đặt α = DAH1 ⇒ H1 AN1 = E1 N1M = α Xét tam giác vng , ta có: DAH sin α = ⇒ tgα = ⇒ cos2α = ⇒ AN1 = AE1 = a cos 2α Xét tam giác vng , ta có: AIN1 IN1 = AN1 sin α = a a a = ⇒ MN1 = 6 (Cách khác: Gọi trung điểm , suy , suy ) P AP CG1 N1 E1 N1 = a www.thuvienhoclieu.com Trang www.thuvienhoclieu.com EN a 5 14 a 14 MN1 = 1 = ⇒ MN = NN12 + MN12 = a + a = a ⇒ MN = cos α 9 Cách khác: Dùng phương pháp tọa độ không gian Bài Cho hình chóp tứ giác có cạnh đáy ,các cạnh bên nghiên với đáy a = 12, 54 (cm) S ABCD góc Tính thể tích diện tích xung quanh hình chóp S ABCD α = 72 Hướng dẫn giải Chiều cao hình chóp: SH = a tg720 ≈ 27,29018628 Thể tích hình chóp: V = a2h ≈ 1430,475152 cm3 ( ) Trung đoạn hình chóp a2 d = SH + ≈ 28,00119939 Diện tích xung quanh hình chóp: Bài Sxq = 4a.d ≈ 702,2700807 cm2 Cho hình chóp tứ giác ( S ABCD có cạnh đáy ) , ,các cạnh bên a = 12, 54 (cm) a = 12, 54 (cm) nghiên với đáy góc α = 720 a) Tính thể tích hình cầu nội tiếp hình chóp S ABCD ( S1 ) b) Tính diện tích hình tròn thiết diện hình cầu cầu ( S2 ) với mặt bên hình chóp S ABCD ( S1 ) cắt mặt phẳng qua tiếp điểm mặt Hướng dẫn giải SH = 27.29018628; IH = SH MH = 4.992806526 = R MH + MS S (bán kính mặt cầu nội tiếp) www.thuvienhoclieu.com K 72 Trang I A D H B M C www.thuvienhoclieu.com Thể tích hình chóp ( S1 ) : V = π R ≈ 521.342129 (cm ) SM ≈ 28, 00119939 MH = 6, 27; IK = IH Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng qua tiếp điểm ( S1 ) với mặt bên S hình chóp: d = EI = IH = 4.866027997 SH − IH E Bán kính đường tròn giao tuyến: K I r = EK = R − d ≈ 1,117984141 Diện tích hình tròn giao tuyến: Bài H M S ≈ 74,38733486 (cm ) đựng nước cao lên 12, 24 ( cm ) 4,56 ( cm ) so với mặt đáy Một viên bi hình cầu thả vào thùng mực nước dâng lên sát với điểm cao viên bi (nghĩa mặt nước tiếp diện mặt cầu) Hãy tính bán kính viên bi Hướng dẫn giải Ta có phương trình : π R h + π x = π R 2 x ⇔ x − R x + 3R h = (0 < x < R ) Với Một thùng hình trụ có đường kính đáy ( bên trong) R, x, h bán kính đáy hình trụ, hình cầu chiều cao ban đầu cột nước Bấm máy giải phương trình: x − 224, 7264 x + 512,376192 = (0 < x ≤ 6,12) Ta có: x ≈ 2,588826692; x ≈ 5,857864771 ( AB) : x − y + = 0; ( AC ) : x − y + 42 = 0; ( BC ) : x + y − = B Xét hai độ dài khác Tìm điều kiện để tồn tứ diện có cạnh a a, b a, b (T) cạnh lại (α) tứ diện (T) b Với tứ diện (T) hình vng www.thuvienhoclieu.com này, xác định mặt phẳng (V ) (α) Tính diện tích hình vng cho thiết diện mặt phẳng (V ) theo a b Trang www.thuvienhoclieu.com Điều kiện độ dài + Giả sử tứ diện Gọi I a, b : tồn Gọi (T) trung điểm cạnh CD Từ AB = a; AI = BI = +Ngược lại với: b 0 0, x ≠ 1) MS NA minh song song với mặt phẳng cố định thay đổi tìm để x x MN NG / / ( SAD ) Bài 88 [ÔN THI ĐỘI TUYỂN FESTIVAL – ĐỀ SỐ 3] Cho hình chóp cạnh , cạnh bên a S ABC mặt phẳng qua song song với vng góc với mặt phẳng Gọi I BC A ( SBC ) Gọi ( P) a trung điểm BC a) Xác định thiết diện hình chóp với (P).Tính khoảng cách từ điểm b) Tính sin Bài 89 α với α góc AB ( P) AB = a , AC = 2a, AA’ = 2a a) CMR: MB ⊥  MA ' b) Tính khoảng cách từ Bài 90 A BAC = 120 đến mặt phẳng đến ( P) [ÔN THI ĐỘI TUYỂN FESTIVAL – ĐỀ SỐ 2] góc I O ( A’BM ) Gọi M Cho hình lăng trụ trung điểm CC ' ABC A ' B ' C ' có [HỌC SINH GIỎI TỈNH NAM ĐỊNH, LỚP 11, 2005] Cho tứ diện có OABC OA, OB, OC đơi vng góc với Gọi thứ tự trung điểm cạnh O BC , CA, AB A1 , B1 , C1 a) Chứng minh tam giác tam giác nhọn A1B1C1 b) Biết số đo góc tam giác cos α theo c) Gọi d B C ABC A, B, C Gọi α số đo góc nhị diện [ C1 , OA1, B1 ] , tìm độ dài lớn độ dài cạnh đường cao tam giác ABC OA, OB, OC gọi h độ dài lớn độ dài Chứng minh rằng: www.thuvienhoclieu.com h≤d ) SD vng góc với AC Mặt bên SBC b) Mặt phẳng BM = x , , đáy S ABCD tam giác Gọi x thuộc đoạn S ABCD OB ( không trùng với M với mặt phẳng (α ) B ), song song với Tính diện tích thiết diện theo SD a và x AC biết để diện tích thiết diện lớn Hướng dẫn giải a) Tính SD +) Dựng song song ( thuộc cạnh ); OI SD I SB AC = BD = a Ta có: OA AD 2a = = ⇒ OC = AC = OC BC 3 +) Mặt khác: 2a  SI = BS =  OI BI BO 3 = = = ⇒ SD BS BD  SD = OI  +) Áp dụng định lý cosin tam giác , tính SIC +) Do SD ⊥ AC Trong tam giác vuông OI / / SD OIC nên OI ⊥ AC , tính www.thuvienhoclieu.com IC = 28a 4a OI = ⇒ SD = OI = 2a Trang 73 www.thuvienhoclieu.com b) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (α ) +) Xác định thiết diện tam giác NPQ (với N, P, Q nằm cạnh BA, BC, BS) +) Ta có:  MQ / / SD, NP / / AC ⇒ NP ⊥ MQ   SD ⊥ AC ⇒ Diện tích thiết diện: NP.MQ +) Trong tam giác SBD , tính MQ = x S NPQ = +) Trong tam giác , tính BAC NP = x +) Diện tích thiết diện: S NPQ = +) Vì M thuộc đoạn BO Do đó, M ≠  B S NPQ Bài 99 ( 3x 2 3  2a  2a ≤  ÷ =   ) nên < x ≤ BO = 2a 2a ⇔0< x≤ 3 Vậy, S NPQ 2a = Cho tứ diện SABC Hai điểm I, J thứ tự chuyển động AB, AC cho AB AC + =3 AI AJ Chứng minh mặt phẳng (SIJ) qua đường thẳng cố định Hướng dẫn giải Đặt uuu Gọi M trung điểm BC, gọi G trọng tâm tam giác ABC Gỉa sử r r uuur r AB = b; AC = c uur r r uuu r uur r r AB AC 3k − uuu k r uu k r AI = kb ⇒ = ⇒ = 3− = ⇒ AJ = c ⇒ IJ = AJ − AI = c − kb AI k AJ k k 3k − 3k − www.thuvienhoclieu.com Trang 74 www.thuvienhoclieu.com r r uur uur uur uuu r u u u r r r r 3k − r r 2 b +c GI = GA + AI = − AG + kb = − AM + kb = − + kb = b − c 3 3 Ta thấy Ta có: uur 3k − r r − 3k  k r r r  − 3k uu GI = b− c= c − kb = IJ  3 3k  3k − 3k Vậy G, I, J thẳng hàng Hay IJ qua điểm G cố định, hay mặt phẳng (SIJ) qua đường thẳng cố định SG Bài 100 Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC vng góc với đơi Gọi A, B, C ba góc tam giác ABC α , β ,γ góc tạo OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC) Chứng minh rằng: cos α cos β cos γ = = sin A sin B sin 2C 2 Hướng dẫn giải Gọi H hình chiếu vng góc O mặt phẳng (ABC) ⇒ H trực tâm tam giác ABC ⇒ · · · OAH = α ; OBH = β ; OCH =γ Gọi AK đường cao tam giác ABC Ta có: AH AH AH cos α = = = OA AH AK AK Mặt khác: cos A = Tương tự: ( 1) AB + AC − BC 2OA2 = >0 AB AC AB AC cos B,cos C > nên tam giác ABC nhọn - Gọi R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta có: BC BC · = R ; sin A = sin BHC ⇒ = 2R · sin A sin BHC ⇒ R bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác BHC www.thuvienhoclieu.com Trang 75 www.thuvienhoclieu.com - Trong tam giác ABH: AH = R.sin ·ABH = R.cos A Nên: sin A = 2sin A.cos A = Từ (1) (2) ta có: BC AH BC AH = 2R 2R R2 ( 2) cos A R2 = sin A S∆ABC Chứng minh tương tự ta có: cos2 B R2 cos 2C R2 = ; = sin B S∆ABC sin 2C S ∆ABC Vậy ta có ĐPCM Bài 101 Cho tam giác ABC vng A có AB=c, AC=b.Gọi (P) mặt phẳng qua BC vng góc với mặt phẳng (ABC) ; S điểm di động (P) cho S.ABC hình chóp có hai mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo α Gọi H, I, J hình chiếu vng góc π −α S BC, AB, AC a Chứng minh SH = HI HJ b Tìm giá trị lớn SH tìm giá trị α Hướng dẫn giải Bài 102 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tất cạnh bên a Gọi điểm M thuộc cạnh SD cho SD = 3SM, điểm G trọng tâm tam giác BCD a) Chứng minh MG song song với mp(SBC) b) Gọi ( mp( α α ) mặt phẳng chứa MG song với CD Xác định tính diện tích thiết diện hình chóp với ) c) Xác định điểm P thuộc MA điểm Q thuộc BD cho PQ song song với SC Tính PQ theo a Hướng dẫn giải www.thuvienhoclieu.com Trang 76 www.thuvienhoclieu.com Gọi I trung điểm BC Ta có Mà DG DM = = ⇒ MG / / SI DI DS SI ⊂ ( SBC ) nên MG //(SBC) Qua G kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD BC E F Qua M kẻ đường thẳng song song với CD cắt SC H Thiết diện hình chóp với mp( α ) tứ giác EFHM Ta có HM//EF song song với CD 2a a MD = HC = , DE = CF = , ∠MDE = ∠HCF = 600 3 nên tam giác DME tam giác CHF suy ME = HF EFHM hình thang cân Ta có: 4a a 2a a a EM = DM + DE − 2DM DE cos60 = + −2 = 9 3 2 a MH = ,EF = a www.thuvienhoclieu.com Trang 77 www.thuvienhoclieu.com Gọi h độ dài đường cao hình thang ta có a2 a2 a  EF − HM  h = EM −  − = ÷ =   Diện tích thiết diện S EFHM 1 a 4a 2a 2 = h.(EF + HM ) = = 2 3 Qua M dựng đường thẳng song song với SC cắt CD N Nối A với N cắt BD Q Trong mp (AMN) từ Q dựng đường thẳng song song với MN cắt AM P Ta có PQ//MN, MN//SC nên PQ//MN Suy hai điểm P, Q thỏa mãn điều kiện tốn Ta có , MN DM AQ AB AQ = = = = ⇒ = SC DS QN DN AN PQ AQ = = , MN AN Suy PQ = 2a PQ PQ MN 2 = = = SC MN SC 5 D’ C’ Bài 103 Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Gọi M,A’N trung điểm AB B’ N B’C’ Dựng tính đoạn vng góc chung AN DM www.thuvienhoclieu.com K Trang 78 D C H A M I B www.thuvienhoclieu.com Gọi I trung điểm BC NI ⊥ mp(ABCD) Chứng minh được: ⇒ NI ⊥ DM (1đ) AI ⊥ DM ⇒ DM ⊥ mp ( AIN ) Gọi H giao điểm AI DM, từ H hạ Tính AH = HK ⊥ AN ,HK đoạn vng góc chung AN DM, a a 3a AN = AI = AKH đồng dạng AIN KH AH = IN AN KH = a a 2a = 3a Vậy khoảng cách AN DM là: 2a 15 Bài 104 Cho tứ diện ABCD, Chứng minh mặt phẳng ,mỗi mặt phẳng qua trung điểm cạnh vng góc với cạnh đối diện đồng quy điểm www.thuvienhoclieu.com Trang 79 www.thuvienhoclieu.com Bài 105 Cho hình chóp SABC có tam giác ABC vng B Biết góc SC ⊥ ( ABC ) AB = a; AC = a hai mặt phẳng (SAB), (SAC) với Tính độ dài SC theo a α 13 sin α = 19 Hướng dẫn giải Xét hai trường hợp: +) B C khơng tù Khi A B’ 2 cos ∠CBB ' = ⇒ sin C = , cos C = 5 BB ' BC = = cos ∠CBB ' Suy sin B = CC ' = , cos B = BC 5 C’ H C B BB ' 5 ⇒ sin A = sin B cos C + sin C cos B = ⇒ AB = = ⇒ S = AB.CC ' = sin A 2 +) B C tù Do BB ' > CC ' nên B