................................................................................................................................................................................................................................................................................
CHUYÊN ĐỀ - PHẤN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ B CÁC PHƯƠNG PHÁP VÀ BÀI TẬP I TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ: Định lí bổ sung: + Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ có dạng p/q p ước hệ số tự do, q ước dương hệ số cao + Nếu f(x) có tổng hệ số f(x) có nhân tử x – + Nếu f(x) có tổng hệ số hạng tử bậc chẵn tổng hệ số hạng tử bậc lẻ f(x) có nhân tử x + + Nếu a nghiệm nguyên f(x) f(1); f(- 1) khác f(1) f(-1) số nguyên a-1 a+1 Để nhanh chóng loại trừ nghiệm ước hệ số tự Ví dụ 1: 3x2 – 8x + Ví dụ 2: x3 – x2 - Ví dụ 3: f(x) = 3x3 – 7x2 + 17x – Ví dụ 4: x3 + 5x2 + 8x + Ví dụ 5: f(x) = x5 – 2x4 + 3x3 – 4x2 + Ví dụ 6: x4 + 1997x2 + 1996x + 1997 II THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ: Thêm, bớt số hạng tử để xuất hiệu hai bình phương: Ví dụ 1: 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2 Ví dụ 2: x8 + 98x4 + Thêm, bớt số hạng tử để xuất nhân tử chung Ví dụ 1: x7 + x2 + Ghi nhớ: Các đa thức có dạng x3m + + x3n + + như: x7 + x2 + ; x7 + x5 + ; x8 + x4 + ; x5 + x + ; x8 + x + ; … có nhân tử chung x2 + x + Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê Hữu Nam III T BIN PH: Vớ dụ 1: x(x + 4)(x + 6)(x + 10) + 128 Ví dụ 2: A = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + Ví dụ 3: A = ( x + y + z )( x + y + z )2 + ( xy + yz +zx)2 Ví dụ 4: B = 2( x + y + z ) − ( x + y + z )2 − 2( x + y + z )( x + y + z )2 + ( x + y + z )4 Ví dụ 5: (a + b + c)3 − 4(a + b3 + c3 ) − 12abc III PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH: Ví dụ 1: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + Nhận xét: số ± 1, ± không nghiệm đa thức, đa thức khơng có nghiệm ngun củng khơng có nghiệm hữu tỉ Như đa thức phân tích thành nhân tử phải có dạng (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a + c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd a + c = −6 ac + b + d = 12 đồng đa thức với đa thức cho ta có: ad + bc = −14 bd = Xét bd = với b, d ∈ Z, b ∈ { ±1, ±3} với b = d = hệ điều kiện trở thành a + c = −6 ac = −8 2c = − c = − ⇒ ⇒ a = −2 a + 3c = −14 ac = bd = Vậy: x4 - 6x3 + 12x2 - 14x + = (x2 - 2x + 3)(x2 - 4x + 1) Ví dụ 2: 2x4 - 3x3 - 7x2 + 6x + Ví dụ 3: 12x2 + 5x - 12y2 + 12y - 10xy - Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê Hữu Nam BÀI TẬP: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: 1) x3 - 7x + 2) x3 - 9x2 + 6x + 16 3) x3 - 6x2 - x + 30 4) 2x3 - x2 + 5x + 10) 64x4 + y4 11) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6 12) x3 + 3xy + y3 - 13) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 5) 27x3 - 27x2 + 18x - 14) x8 + x + 6) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12 15) x8 + 3x4 + 7) (x + 2)(x +3)(x + 4)(x + 5) - 24 16) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 +10 8) 4x4 - 32x2 + 17) x4 - 8x + 63 9) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2 CHUYÊN ĐỀ 2: HOÁN VỊ, TỔ HỢP A MỤC TIÊU: * Bước đầu HS hiểu chỉnh hợp, hoán vị tổ hợp * Vận dụng kiến thức vào ssó tốn cụ thể thực tế * Tạo hứng thú nâng cao kỹ giải toán cho HS B KIẾN THỨC: I Chỉnh hợp: định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi cách xếp k phần tử tập hợp X ( ≤ k ≤ n) theo thứ tự định gọi chỉnh hợp chập k n phần tử Số tất chỉnh hợp chập k n phần tử kí hiệu Tính số chỉnh chập k n phần tử A k n = n(n - 1)(n - 2)…[n - (k - 1)] Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê Hữu Nam A k n II Hoỏn vị: Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi cách xếp n phần tử tập hợp X theo thứ tự định gọi hoán vị n phần tử Số tất hoán vị n phần tử kí hiệu Pn Tính số hốn vị n phần tử Pn = ( n! : n giai thừa) A n n = n(n - 1)(n - 2) …2 = n! III Tổ hợp: Định nghĩa: Cho tập hợp X gồm n phần tử Mỗi tập X gồm k phần tử n phần tử tập hợp X ( ≤ k ≤ n) gọi tổ hợp chập k n phần tử Số tất tổ hợp chập k n phần tử kí hiệu C k n Tính số tổ hợp chập k n phần tử C k n = A n n n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)] k! : k! = C Ví dụ: Ví dụ 1: Cho chữ số: 1, 2, 3, 4, a) có số tự nhiên có ba chữ số, chữ số khác nhau, lập ba chữ số b) Có số tự nhiên có chữ số, chữ số khác nhau, lập chữ số c)Có cách chọn ba chữ số chữ số Giải: a) số tự nhiên có ba chữ số, chữ số khác nhau, lập ba chữ số chỉnh hợp chập phần tử: A = 5.(5 - 1).(5 - 2) = = 60 số Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê H÷u Nam b) số tự nhiên có chữ số, chữ số khác nhau, lập chữ số hoán vị cua phần tử (chỉnh hợp chập phần tử): A 5 = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3).(5 - 4) = = 120 số c) cách chọn ba chữ số chữ số tổ hợp chập phần tử: C = 5.(5 - 1).(5 - 2) 5.4.3 60 = = = 10 nhóm 3! 3.(3 - 1)(3 - 2) Ví dụ 2: Cho chữ số 1, 2, 3, 4, Dùng chữ số này: a) Lập số tự nhiên có chữ số khơng có chữ số lặp lại? Tính tổng số lập b) lập số chẵn có chữ số khác nhau? c) Lập số tự nhiên có chữ số, hai chữ số kề phải khác d) Lập số tự nhiên có chữ số, chữ số khác nhau, có hai chữ số lẻ, hai chữ số chẵn Giải a) số tự nhiên có chữ số, chữ số khác nhau, lập chữ số chỉnh hợp chập phần tử: A = 5.(5 - 1).(5 - 2).(5 - 3) = = 120 số Trong hang (Nghìn, trăm, chục, đơn vị), chữ số có mặt: 120 : = 24 lần Tổng chữ số hang: (1 + + + + 5) 24 = 15 24 = 360 Tổng số lập: 360 + 3600 + 36000 + 360000 = 399960 b) chữ số tận có cách chọn (là 4) bốn chữ số trước hốn vị của chữ số lại có P4 = 4! = = 24 cách chọn Tất có 24 = 48 cách chọn c) Các số phải lập có dạng abcde , : a có cách chọn, b có cách chọn (khác a), c có cách chọn (khác b), d có cách chọn (khác c), e có cách chọn (khác d) Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê Hữu Nam Tt c cú: = 1280 số d) Chọn chữ số chẵn, có cách chọn chọn chữ số lẻ, có cách chọn Các chữ số hốn vị, có: 4! =1 = 72 số Bài 3: Cho Trên Ax lấy điểm khác A, Ay lấy điểm khác A 12 điểm nói (kể điểm A), hai điểm củng nối với đoạn thẳng Có tam giác mà đỉnh 12 điểm Giải Cách 1: Tam giác phải đếm gồm ba loại: + Loại 1: tam giác có đỉnh A, đỉnh thứ thuộc Ax (có cách chọn), đỉnh thứ thuộc Ay (có cách A B1 B2 B3 A1 A chọn), gồm có: = 30 tam giác + Loại 2: Các tam giác có đỉnh điểm B1, B2, A3 B4 A4 B5 y A5 A B3, B4, B5 (có cách chọn), hai đỉnh điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 ( Có C = 6.5 30 = = 15 cách chọn) 2! Gồm 15 = 75 tam giác + Loại 3: Các tam giác có đỉnh điểm A1, A2, A3, A4, A5, A6 hai đỉnh điểm B1, B2, B3, B4, B5 gồm có: C = 5.4 20 = = 60 tam giác 2! Tất có: 30 + 75 + 60 = 165 tam giác Cách 2: số tam giác chọn 12 điểm C 12 = 12.11.10 1320 1320 = = = 220 3! 3.2 Số ba điểm thẳng hang điểm thuộc tia Ax là: C Số ba điểm thẳng hang điểm thuộc tia Ay là: C Số tam giác tạo thành: 220 - ( 35 + 20) = 165 tam giác D BÀI TẬP: Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê H÷u Nam = 7.6.5 210 210 = = = 35 3! 3.2 = 6.5.4 120 120 = = = 20 3! 3.2 x Bài 1: cho số: 0, 1, 2, 3, từ chữ số lập số tự nhiên: a) Có chữ số gồm chữ số ấy? b) Có chữ số, có chữ số khác nhau? c) có chữ số, chữ số khác nhau? d) có chữ số, chữ số giống nhau? Bài 2: Có số tự nhiên có chữ số lập chữ số 1, 2, biết số chia hết cho Bài 3: Trên trang có đường kẻ thẳng đứng đường kẻ nằm ngang đôi cắt Hỏi trang có hình chữ nhật CHUN ĐỀ - LUỸ THỪA BẬC n CỦA MỘT NHỊ THỨC A MỤC TIÊU: HS nắm công thức khai triển luỹ thừa bậc n nhị thức: (a + b)n Vận dụng kiến thức vào tập xác định hệ số luỹ thừa bậc n nhị thức, vận dụng vào tốn phân tích đa thức thành nhân tử B KIẾN THỨC VÀ BÀI TẬP VẬN DỤNG: I Nhị thức Niutơn: Trong đó: C kn = (a + b)n = an + C1n an - b + C2n an - b2 + …+ Cnn −1 ab n - + bn n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)] 1.2.3 k II Cách xác định hệ số khai triển Niutơn: Cách 1: Dùng công thức C kn = n(n - 1)(n - 2) [n - (k - 1)] k! Chẳng hạn hệ số hạng tử a4b3 khai triển (a + b)7 C 74 = 7.6.5.4 7.6.5.4 = = 35 4! 4.3.2.1 n! 7! 7.6.5.4.3.2.1 k = = 35 Chú ý: a) C n = n!(n - k) ! với quy ước 0! = ⇒ C 74 = 4!.3! 4.3.2.1.3.2.1 b) Ta có: C kn = C kn - nên C 74 = C 37 = 7.6.5 = 35 3! Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê Hữu Nam Cách 2: Dùng tam giác Patxcan Đỉnh Dòng 1(n = 1) 1 Dòng 2(n = 1) Dòng 3(n = 3) 3 Dòng 4(n = 4) Dòng 5(n = 5) 10 10 Dòng 6(n = 6) 15 20 15 Trong tam giác này, hai cạnh bên gồm số 1; dòng k + thành lập từ dòng k (k ≥ 1), chẳng hạn dòng (n = 2) ta có = + 1, dòng (n = 3): = + 1, = + dòng (n = 4): = + 3, = + 3, = + 1, … Với n = thì: (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 Với n = thì: (a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 Với n = thì: (a + b)6 = a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6 Cách 3: Tìm hệ số hạng tử đứng sau theo hệ số hạng tử đứng trước: a) Hệ số hạng tử thứ b) Muốn có hệ số của hạng tử thứ k + 1, ta lấy hệ số hạng tử thứ k nhân với số mũ biến hạng tử thứ k chia cho k Chẳng hạn: (a + b)4 = a4 + 1.4 4.3 2 4.3.2 4.3.2 ab+ ab + ab3 + b 2.3 2.3.4 Chú ý rằng: hệ số khai triển Niutơn có tính đối xứng qua hạng tử đứng giữa, nghĩa hạng tử cách hai hạng tử đầu cuối có hệ số (a + b)n = an + nan -1b + n(n - 1) n - 2 n(n - 1) n a b + …+ ab 1.2 1.2 -2 + nan - 1bn - + bn III Ví dụ: Ví dụ 1: phân tích đa thức sau thành nhân tử a) A = (x + y)5 - x5 - y5 b) B = (x + y)7 - x7 - y7 Ví dụ 2:Tìm tổng hệ số đa thức có sau khai trin Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê Hữu Nam a) (4x - 3)4 * Ghi chú: Tổng hệ số khai triển nhị thức, đa thức giá trị đa thức x = C BÀI TẬP: Bài 1: Phân tích thành nhân tử a) (a + b)3 - a3 - b3 b) (x + y)4 + x4 + y4 Bài 2: Tìm tổng hệ số có sau khai triển đa thức a) (5x - 2)5 b) (x2 + x - 2)2010 + (x2 - x + 1)2011 CHUÊN ĐỀ - CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CHIA HẾT CỦA SỐ NGUYÊN A MỤC TIÊU: * Củng cố, khắc sâu kiến thức toán chia hết số, đa thức * HS tiếp tục thực hành thành thạo toán chứng minh chia hết, không chia hết, sốnguyên tố, số phương… * Vận dụng thành thạo kỹ chứng minh chia hết, không chia hết… vào tốn cụ thể B.KIẾN THỨC VÀ CÁC BÀI TỐN: I Dạng 1: Chứng minh quan hệ chia hết Kiến thức: * Để chứng minh A(n) chia hết cho số m ta phân tích A(n) thành nhân tử có nhân tử làm bội m, m hợp số ta lại phân tích thành nhân tử có đoi nguyên tố nhau, chứng minh A(n) chia hết cho số * Chú ý: + Với k số nguyên liên tiếp củng tồn bội k + Khi chứng minh A(n) chia hết cho m ta xét trường hợp số dư chia A(n) cho m + Với số nguyên a, b số tự nhiên n thì: +) an - bn chia hết cho a - b (a - b) +1 +1 +) a2n ®Ị + b2n chiasinh hếtgiái cho a +8 b Chuyên bồi dỡng học toán GV:Lê Hữu Nam n n + (a + b) = B(a) + b +) (a + 1)n BS(a )+ +)(a - 1)2n B(a) + +) (a - 1)2n + B(a) - Bài tập: Các toán Bài 1: chứng minh a) 251 - chia hết cho b) 270 + 370 chia hết cho 13 c) 1719 + 1917 chi hết cho 18 d) 3663 - chia hết cho không chia hết cho 37 e) 24n -1 chia hết cho 15 với n∈ N Bài 2: chứng minh a) n5 - n chia hết cho 30 với n ∈ N ; b) n4 -10n2 + chia hết cho 384 với n lẻ n∈ Z c) 10n +18n -28 chia hết cho 27 với n∈ N ; Bài 3: Chứng minh với số nguyên a a) a3 - a chia hết cho b) a7 - a chia hết cho Bài 4: Chứng minh A = 13 + 23 + 33 + + 1003 chia hết cho B = + + + + 100 Bài tập nhà Chứng minh rằng: a) a5 – a chia hết cho b) n3 + 6n2 + 8n chia hết cho 48 với n chẵn c) Cho a l số nguyên tố lớn Cmr a2 – chia hết cho 24 d) Nếu a + b + c chia hết cho a3 + b3 + c3 chia hết cho e) 20092010 không chia hết cho 2010 f) n2 + 7n + 22 không chia hết cho Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê Hữu Nam BH CM AD = HC AM BD 2) Chøng minh: BH = AC Câu 5: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác x, y, z độ dài đờng phân giác tam giác Chøng 1 1 1 minh: + + > + + x y z a b c Câu 1: Trong hộp đựng số táo Đầu tiên ngời ta lấy nửa số táo bỏ lại quả, sau lấy thêm 1/3 số táo lại lấy thêm Cuối hộp lại 12 Hỏi hộp lúc đầu có táo Câu 2: Cho a > 0, b > vµ c > Chøng minh: 1 + + > b + c a+ c a+ b a+ b + c Câu 3: Cho tam giác ABC vuông A cã ®êng cao AH Cho biÕt AB = cm, BH = cm TÝnh BC ? C©u 4: Cho tam giác ABC Một đờng thẳng song song với BC cắt AC E cắt đờng thẳng song song với AB kẻ từ C F Gọi S giao điểm AC BF Chứng minh rằng: SC2 = SE.SA C©u 5: C©u 1: 9x − = Giải phơng trình: x 3x + x + 27 x + C©u 2: Chøng minh đẳng thức sau: a2 + 3ab 2a2 5ab − 3b2 a2 + an + bn + ab + = a2 − 9b2 6ab − a2 − 9b2 3bn a2 an + 3ab Câu 3: Cho hình bình hành ABCD có đờng chéo AC lớn đờng chéo BD Gọi E F lần lợt hình chiếu B D xuống đờng thẳng AC 1) Tứ giác BEDF hình gì? chứng minh điều 2).Gọi CH CK lần lợt đờng cao tam giác ACB ACD CH CK = a) Chứng minh: CB CD b) Chøng minh hai tam gi¸c CHK ABC đồng dạng với c) Chứng minh r»ng: AB.AH + AD.AK = AC C©u 4: Cho hình bình hành ABCD Trên cạnh AB CD lần lỵt 1) Chøng minh: 49 50 50 50 50 50 51 51 51 51 Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê Hữu Nam 51 52 52 52 52 52 53 53 53 53 lấy điểm M K cho AM = CK Trên đoạn AD lấy điểm P tuỳ ý Đoạn thẳng MK lần lợt cắt PB PC E F Chứng minh r»ng: SPFE = SBME + SCKF C©u 5: C©u 1: Phân tích thành tích: a3 + b3 + c3 3abc Câu 2:Tìm giá trị lớn biểu thức: A = x + y + xy – x y2 giá trị tơng ứng x y Câu 3: 1) Giải phơng trình: 3x3 + 4x2 + 5x – = x−3 > 2) Giải bất phơng trình: x+ Câu 4: Cho đoạn thẳng AC = m Lấy điểm B thuộc đoạn AC (B A, B C) Vẽ tia Bx vuông góc với AC, tia Bx lần lợt lấy điểm D E cho BD = AB vµ BE = BC 1) Chøng minh r»ng: CD = AE CD vuông góc với AE 2) Gọi M trung điểm AE, N trung ®iĨm cđa CD, I lµ trung ®iĨm cđa MN Chøng minh khoảng cách từ I đến AC không đổi B di chuyển đoạn AC 3) Tìm vị trí điểm B đoạn AC cho tổng điện tích hai tam giác ABE BCD có giá trị lớn Tính giá trị lớn theo m Câu 5: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AB lấy điểm M Vẽ CH vuông góc với CM Vẽ HN vu«ng gãc víi DH (N thc BC) 1) Chøng minh hai tam giác DHC NHB đồng dạng víi 2) Chøng minh r»ng: AM.NB = NC.MB C©u 1: Tính giá trị biểu thức: x2 25 y− A= : BiÕt: x2 + 9y2 − 4xy = 2xy − x − x − 10x + 25x y − y − C©u 2: Giải phơng trình: 2x3 + 3x2 + 2x = C©u 3: 1) Chøng minh r»ng: x2 + xy + y2 – 3x – 3y + ≥ 2) Chøng minh r»ng: (a + b – c)(a – b + c)(b + c – a) ≤ abc, với a, b, c độ dài cạnh tam giác Câu 4: Cho hình bình hành ABCD Gọi M, N lần lợt trung điểm BC AD K điểm nằm C D Gọi P Q theo thứ tự điểm đối xứng K qua tâm M vµ N 1) Chøng minh r»ng Q, A, B, P thẳng hàng 2) Gọi G giao điểm PN QM Chứng minh GK Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê Hữu Nam 53 54 54 54 54 54 55 55 55 55 qua điểm I cố định K thay đổi tên đoạn CD Câu 5: Cho tam giác ABC có góc nhọn, đờng cao AD, BE, CF cắt H Chứng minh rằng: 1) Tam giác FHE đồng dạng với tam giác BHC 2) H giao điểm đờng phân giác tam giác FED Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) x3 5x2 + 8x – 2) 3x2 − y2 + y − 3 C©u 2: Tìm x, y, z thoả mãn đẳng thức: x2 + 4y2 + z2 = 2x + 12y – 4z - 14 C©u 3: x + 6x2 − 3x x+1 + − ÷: + − 2+ x Cho biÓu thøc: A = x − x + x x − x + 2x 1) Rót gän biĨu thức A 2) Tìm giá trị x để A có giá trị âm Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A Về phía tam giác ta vẽ hình vuông ABDE ACGH 1) Chứng minh tứ giác BCHE hình thang cân 2) Kẻ đờng cao AH1 tam giác ABC Chứng minh đờng thẳng AH1, DE GH đồng quy Câu 5: Cho hình chữ nhật ABCD, kẻ BH vuông góc với AC H Gọi M K lần lợt trung điểm AH CD Chứng minh BM vuông góc với MK Câu 1: Giải bất phơng tr×nh: 1) x2 – 3x > x− >1 2) Câu 2: Chứng minh cá bất đẳgn thức: 1) a4 + b4 ≥ a3b + ab3 2) a4 + b4 + c4 ≥ a2b2 + b2c2 + a2c2 C©u 3: x2 + x + Tìm số nguyên x, y thoả mãn đẳng thức sau: y = x+1 Câu 4: Cho tam giác ABC vuông A có ®êng cao AH Cho biÕt AH = cm, CH = cm 1) TÝnh AC vµ AB 2) VÏ đờng phân giác AD góc A tam giác ABC Tính diện tích tam giác ABD Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê Hữu Nam 55 56 56 56 56 56 57 57 57 57 Câu 5: Cho hình thang ABCD có AD//BC BC = 10 cm, AD = cm, AB = cm CD = cm Các đờng phân giác góc A B (trong hình thang) cắt M Các đờng phân giác góc C D (trong hình thang) cắt N Tính MN? Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) ab + ac + b2 + 2bc + c2 2) x4 + 2x2 – 3) (x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + C©u 2: Rót gọn tính giá trị biểu thức A với x + y = 2005 x(x + 5) + y(y + 5) + 2(xy − 3) A= x(x + 6) + y(y + 6) + 2xy C©u 3: Thùc hiƯn phÐp tÝnh: a+ b b+ c a+ c + + (b − c)(c − a) (c − a)(c − b) (a − b)(b − c) C©u 4: 1 Cho a + b + c = vµ + + = Chøng minh: a2 + b2 + c2 a b c =1 Câu 5: Cho hình thang ABCD (AB//CD) Điểm M nằm hình thang, vẽ hình bình hành MDPA, MCQB Chứng minh rằng: PQ//CD Câu 1: Cho a, b, c số khác tho¶ m·n a + b + c = 2002 vµ 1 1 + + = a b c 2002 Chøng minh r»ng sè a, b, c tồn hai số đối Câu 2: Cho x, y, z số thoả mãn điều kiƯn: x + y + z = vµ x + y2 + z2 = 14 H·y tÝnh gi¸ trÞ cđa biĨu thøc: A = + x4 + y4 + z4 Câu 3: Tìm số x, y, z cho: x2 + 5y2 − 4xy + 10x − 22y + x + y + z + 26 = Câu 4: Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 2 1) a + b a + ≥ 4a b , víi mäi a,b ( 2) )( ) 1 + ≥ , víi a,b > a b a+ b Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê Hữu Nam 1 1 1 + + ≥ + + ,víi a,b,c a + 3b b + 3c c + 3a a + 2b + c b + 2c + a c + 2a + b > C©u 5: Cho tứ giác lồi ABCD Trên hai cạnh AB CD ta lần lợt lấy hai AE CF = ®iĨm E vµ F cho: Chøng minh r»ng nÕu ®êng BE DF chÐo AC ®i qua trung ®iĨm I đoạn FE AC chia đôi điện tích tứ giác ABCD Câu 6: Cho hình thoi ABCD biết  = 1200 Vẽ tia Ax tạo với tia AB góc BAx = 150 cắt cạnh BC M, cắt đờng thẳng CD N 3 + = Chøng minh r»ng: 2 AM AN AB2 Câu 1: Phân tích thành tích: 1) 3x2 – 2x – 2) x3 + 6x2 + 11x + C©u 2: x+ 2 − − =0 1) Giải phơng trình: x x x(x 2) 4x + < 2) Giải bất phơng trình: 2x Câu 3: Chứng minh nếu: xyz = th× : 1 + + =1 1+ x + xy 1+ y + yz 1+ z + xz C©u 4: 1) Chøng minh r»ng: a4 + a3b + ab3 + b4 ≥ 0, víi ∀a,b∈ Q 2) Cho : 7x2 + 8xy + 7y2 = 10 Tìm giá trị nhỏ lớn cđa A = x2 + y2 C©u 5: Cho tø giác ABCD Đờng thẳng qua A song song với BC cắt BD P, đờng thẳng qua B song song với AD cắt AC Q Chứng minh rằng: PQ//CD Câu 6: Cho tam giác ABC Trên cạnh BC, AC AB lần lợt lấy điểm M, N, P SANP AN.AP = 1) Chøng minh: SABC AB.AC 3) 57 57 58 58 58 58 58 58 Chuyªn đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê Hữu Nam ( SABC ) 64 59 C©u 1: Rút gọn tính giá trị biểu thức: xy2 (x + y) + x2y(x + y) A= ví i x = 2;y = 2 2y − 2x 59 Câu 2: Rút gọn tính giá trị cđa biĨu thøc: (27x3 − y3 )(16y2 − x2 ) A= ví i x = − ; y = (x + 4y)(9x2 + 3xy + y2 ) 59 Câu 3: Xác định thơng d phÐp chia: (x4 – 1) : (2x2 + 1) 59 Câu 4: Cho hình vuông ABCD Gọi M, N, P, Q lần lợt trung điểm cạnh AB, BC, CD, AD Đờng thẳng AN lần lợt cắt DM, BP I J Đờng thẳng CQ lần lợt cắt BP, DM H, K Hỏi tứ giác IJHK hình gì? 59 Câu 5: Câu 1: Phân tích thành nh©n tư: x3 – 3x2 – 9x – C©u 2: Chứng minh phơng trình: x4 3x3 + 8x 24 = có hai nghiệm Câu 3: x + x3 x − x3 1+ x 1− x − − Cho biÓu thøc: A = ÷: ÷ 1+ x2 1− x 1+ x 1− x 60 1) Tìm giá trị x để A có nghÜa 2) Rót gän biĨu thøc A C©u 4: Cho hình bình hành ABCD Vẽ phân giác AM góc A (M thuộc cạnh CD), vẽ phân giác CN góc C (N thuộc cạnh AB) Các phân giác góc A C cắt BD lần lợt E F Chứng minh diện tích hai tứ giác AEFN vµ CFEM b»ng 61 6x3 + 7x2 + 5x + Câu 1: Tìm x thoả mãn đẳng thức: = x−5 2x2 + x + 61 C©u 2: 3x + x2 x Rót gän biĨu thøc: A = ÷− ÷ 1+ + x xy − 2y2 x + x 2xy 2y 61 Câu 3: Cho hình thang ABCD (AB//CD, AB < CD) Gäi M, N lÇn lợt trung điểm cạnh BC, AD, I trung điểm MN Một đờng thẳng bấ kỳ qua I cắt hai đáy AB, CD lần lợt E F CHứng minh hai tứ giác AEFD vµ BEFC cã diƯn tÝch b»ng 2) Chøng minh: SANP SMPB SMNC Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê Hữu Nam 62 62 62 62 62 63 63 63 63 63 64 64 64 64 64 Câu 1: Giải phơng trình: (x2 9)(x2 + 4x) = x x+ = Câu 2: Giải phơng tình: x1 x+ 2x3 + 5x2 5x + Câu 3: Tìm giá trị nguyên x để A = có 2x giá trị số nguyên Câu 4: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn hai đờng cao AM BN cắt H Gọi D điểm đối xứng H qua trung ®iĨm I cđa BC 1) Chøng minh tứ giác BHCD la hình bình hành 2) Chứng minh hai góc BDC BAC bù Câu 5: 3x + 9 − x2 C©u 1: Cho biĨu thøc: A = : 5x + x + 2x + 1) Tìm x để A có nghĩa 2) Rót gän biĨu thøc A C©u 2: Rót gän biÓu thøc: x− y z− x x− y B= : : ( x ≠ y, y ≠ z, x ≠ z) y− z y− z z− x C©u 3: TÝnh giá trị biểu thức: x3 x C= x = −12, y = 99 (1+ xy)2 − (x + y)2 Câu 4: Cho hình thang cân có hai đay dài cm 11 cm, góc cạnh bên đáy lớn 450 Tính diện tích hình thang cho Câu 5: Một hình vuông mét h×nh thoi cã cïng chu vi Hái diƯn tÝch hình lớn hơn? Giải thích sao? x2 + 2x Câu 1: Giải phơng trình: 2x = x2 + 1 2x2 − C©u 2: Giải phơng trình: + = x1 x x + x+1 a− x a = + C©u 3: Giải biện luận phơng trình (ẩn x): 10 Câu 4: Giải biện luận phơng trình (ẩn x): x+ a b x− b a − = + b a a b Câu 5: Cho hình thang cân ABCD với AB//CD Gọi I,J,K,L lần l- Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê Hữu Nam 65 65 65 65 65 66 66 66 ợt trung ®iĨm cđa AB, BC, CD, DA 1).Chøng minh tø gi¸c IJKL hình thoi 2) Cho biết diện tích ABCD 20 cm2 Tính diện tích tứ giác IJKL Câu 1: Giải phơng trình sau: 1) 2x3 + 5x2 = 7x x − 11 x − 12 x − 33 x − 67 x − 88 x − 89 + + = + + 2) 89 88 67 33 12 11 x− + = 3) 4− x x − 2x x + 2x Câu 2: 1) Cho x, y thoả mãn x > y > vµ x2 + 3y2 = 4xy TÝnh: 2x + 5y A= x − 2y 2) Cho a, b, c, d tho¶ m·n: a + b = c + d vµ a2 + b2 = c2 + d2 Chøng minh r»ng: a2002 + b2002 = c2002 + d2002 Câu 3: Cho x Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: 2002x2 − 2x + B= x2 Câu 4: Cho tam giác ABC ( = 900), D điểm di động BC Gọi E, F lần lợt hình chiếu vuông góc điểm D AB AC 1) Xác định vị trí điểm D để tứ giác AEDF hình vuông 2) Xác định vị trí điểm D để tổng 3.AD + 4.FE đạt giá trị nhỏ Câu 5: Cho tam giác ABC có góc nhọn, BD CE hai đờng cao cắt H Chứng minh r»ng: 1) HD.HB = HE.HC 2) Hai tam gi¸c HDE HCB đồng dạng với 3) HB.BD + CH.CE = BC2 Câu 1: Phân tích đa thức thành nh©n tư: 1) a3 – b3 + c3 + 3abc 2) (a + 2)(a + 3)(a2 + a + 6) + 4a2 Câu 2: Giải phơng trình: 1) x8 2x4 + x2 – 2x + = + + + =0 2) x + 5x + x − 8x + 15 x 13x + 40 Câu 3: Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê Hữu Nam 66 66 66 67 67 67 67 68 68 1) Chứng minh bất đẳng thức: a2 + b2 + c2 + d2 + e2 ≥ ab + ac + ad + ae 2) Tìm giá trị nhỏ biÓu thøc: A = x + x 3x2 + 4x 3) Tìm giá trị lớn biểu thức: B = x +1 Câu 4:Cho tam giác ABC cân C Kẻ đờng phân giác AA1 góc A đờng trung tuyền CC1 tam giác ABC Biết AA1 = 2CC1 Tính số đo góc ACB? Câu 5: Cho tø gi¸c ABCD cã AC = 10 cm, BD = 12 cm Hai đờng chéo AC BD cắt O Biết số đo góc AOB = 300 Tính diện tích tứ giác ABCD Câu 6: Trên hai cạnh AB BC hình vuông ABCD lấy hai điểm P Q theo thứ tự cho BP = BQ Gọi H chân đờng vuông góc kẻ từ B xuống CP Chứng minh số đo góc DHQ = 900 Câu 1: = Giải phơng trình: 2x2 x + 2x Câu 2: x2 + 2x + 2x2 − 8x + 10 Cho biểu thức: A = B = x − 4x + x − x2 5x 1) Tìm điều kiện x để B có nghĩa 2) Tìm giá trị nhỏ A giá trị tơng ứng x 3) Tìm giá trị x để A.B < Câu 3: Cho tam giác ABC vuông A có đờng cao AH đờng phân giác BD cắt I Chứng minh rằng: 1) Tam giác ADI cân 2) AD.BD = BI.DC 3) Từ D kẻ DK vuông góc với BC K Tứ giác ADKI hình gì? chứng minh? Câu 4: Cho tam giác ABC có góc nhọn AD đờng phân giác Chứng minh r»ng: AD2 < AB.AC C©u 1: 4x3 − 6x3 + 8x Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A = có 2x giá trị nguyên Câu 2: Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê Hữu Nam 68 68 68 68 68 69 69 69 69 69 69 Tìm giá trị a, b ®Ó biÓu thøc B = a2 – 4ab + 5b2 2b + đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ Câu 3: 3x 2x + + =2 Giải phơng tr×nh: x − x + x + 2x Câu 4: Giải phơng trình: x+1 x+ x+ x+ x+ x+ + + = + + 2002 2001 2000 1999 1998 1997 C©u 5: Trên quãng đờng AB dài 72 km, hai ngời khởi hành lúc từ A để đến B VËn tèc cđa ngêi thø nhÊt lµ 12 km/h, vËn tèc cđa ngêi thø hai lµ 15 km/h Hái sau lúc khởi hành ngời thứ cách B quãng đờng gấp đôi quãng đờng từ ngời thứ hai đến B Câu 6: Cho hình vuông ABCD có cạnh a Gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB BC 1) TÝnh diƯn tÝch cđa tø gi¸c AMND theo a 2) Phân giác góc CDM cắt BC P, chứng minh DM = AM + CP C©u 7: Cho tam giác ABC vuông A, D điểm nằm A C, qua C dựng CE vuông góc với đờng thẳng BD E Chứng minh: 1) Tam giác ADE đồng dạng với tam giác BDC 2) AB.CE + AE.BC = AC.BE C©u 1: Cho x + y ≠ 0, y ≠ vµ x2 – 2y2 = xy Tính giá trị biểu thức: x y A= x+ y C©u 2: 2x − 2x − = m2x , với m tham số Giải phơng trình: b2 Câu 3: Cho a, b hai sè tho¶ m·n: 2a + + = Chøng a minh: ab + ≥ DÊu đẳng thức xảy nào? Câu 4: Cho sè a,b,c∈ [ 0;1] Chøng minh r»ng: a + b2 + c3 − ab − bc − ca ≤ Câu 5: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x4 + 2x3 + 3x2 + 2x + Câu 6: Cho tam giác ABC, gọi D ®iĨm thc c¹nh BC Chøng minh r»ng: AB2 CD + AC2.BD AD2 BC = CD.BD.BC Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê Hữu Nam 70 70 70 70 70 70 71 71 71 71 71 (Hệ thức Stewart) (+) Nếu D trung điểm BC, tìm hệ thức liên hệ trung tuyến AD cạnh tam giác (+) Nếu AD phân giác, tìm hệ thức liên hệ phân giác AD cạnh tam giác Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: x2 10x + 16 C©u 2: 10x2 − 7x − Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A = có 2x giá trị nguyên Câu 3: Giải bất phơng trình: m2x + < m x Câu 4: 5x2 4x + 1) Tìm giá trị nhỏ của: B = (x 0) x2 4x + 2) Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc: C = x +5 Câu 5: Cho tứ giác ABCD Gọi M, N, P, Q lần lợt trung điểm cạnh AB, BC, CD vµ AD AB + CD 1) Chøng minh r»ng: NQ ≤ AB + CD 2) Trong trờng hợp NQ = tứ giác ABCD hình gì? Vẽ đờng thẳng song song với AB cắt AD E, cắt MP O cắt BC F Chứng minh O trung điểm EF Câu 6: Cho hình vuông ABCD Trên cạnh BC lấy ®iĨm M bÊt kú Gäi P lµ giao ®iĨm cđa hai đờng thẳng AM CD 1 = + Chøng minh r»ng: AB2 AM AP2 C©u 1: yz xz xy 1 + + = TÝnh + + Cho x y z x y z Câu 2: Giải phơng trình: x3 + 2x2 – x – = x+ x−1 + = Câu 3: Giải phơng trình: x x − 6x − − x2 C©u 4: Chứng minh bất đẳng thức: a2 + b2 + c2 ab + ac + bc Câu 5: Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê Hữu Nam a b c 1 + + ≥ + + bc ac ab a b c C©u 6: Cho hình vuông ABCD, cạnh BC lấy điểm M, đờng thẳng AM cắt DC P Chứng minh rằng: 1 = + AB2 AM AP2 C©u 7: Cho tam giác ABC có đờng trung tuyến AD BE vuông góc với O Cho AC = b, BC = a TÝnh diƯn tÝch h×nh vuông có cạnh AB Câu 1: Phân tích đa thức thành nhân tử: 1) 4x2 9y2 + 4x – 6y 2) x2 – x – 2001.2002 C©u 2: Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n: a + b + c = Chøng minh r»ng: a3 + a2c – abc + b2c + b3 = C©u 3: Chøng minh: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) + với giá trị x Câu 4: Rút gọn tính giá trị cđa biĨu thøc x2 + 4x + víi x = 2002 A= x + 2x2 − 4x − Câu 5: Cho tứ giác ABCD Gọi E, F trung điểm AD BC 1) Tìm điều kiện tứ giác để 2EF = AB + CD 2) Gäi M, N, P, Q theo thø tù lµ trung điểm DF, EB, FA EC Chứng minh tứ giác MNPQ hình bình hành Cho a,b,c sè d¬ng Chøng minh: 71 71 72 72 72 72 72 73 73 73 73 Câu 1: Giải phơng tr×nh: 1 1) x + = 2) x + = x x Câu 2: Tìm giá trị lớn nhỏ biểu thức sau: A = 3x2 + 2x + 1; B = x – x C©u 3: 1) Chøng minh r»ng: (a3 + 11a – 6a2 – 6) chia hÕt cho 6, với a nguyên 2) Chứng minh tổng lập phơng ba số nguyên liên tiếp chia hết cho Câu 4: Chứng minh bất đẳng thức: Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê Hữu Nam 12ab + ab 2) Cho a, b, c số đo độ dài cạnh tam gi¸c Chøng minh: (a + b – c)(b + c – a)(a + c – b) ≤ abc C©u 5: Cho tam giác ABC cân A, vẽ phân giác AH Gọi I trung điểm AB, đờng vuông góc với AB I cắt AH O Dựng M điểm cho O trung điểm AM 1) Chứng minh tứ giác IOMB hình thang vuông 2) Gọi K trung điểm OM Chứng minh tam giác IKB cân Chứng minh tứ giác AIKC có tổng góc đối 180 Câu 6: Cho tam giác ABC nhọn Kẻ ba đờng cao AD, BE vµ CF 1) Chøng minh: Gãc FEA = góc ABC 2) Chứng minh EB phân giác góc FED Câu 1: Giải phơng trình: x + x − = 1) Cho a > 0, b > Chøng minh: a + b ≥ 73 73 74 74 74 74 74 74 75 (x − 1)(x − 3) ≤ x2 + 2x + C©u 3: Chøng minh r»ng: x2 + 4y2 + z2 + 14 ≥ 2x + 12y + 4z, víi x,y,z Câu 4: Cho a, b, c sè d¬ng Chøng minh r»ng: bc ac ab + + ≥ a+ b + c a b c C©u 5: 1).Tìm giá trị nhỏ biểu thức: M = x2 + x + 2) Tìm giá trị lớn nhÊt cđa biĨu thøc: N = − x − Câu 2: Giải bất phơng trình: Câu 6: Cho tam giác ABC vuông A có độ dài cạnh huyền (đơn vị) Gọi AM, BN CP trung tuyến tam giác 1) Tính: AM2 + BN2 + CP2 2) Chøng minh: < AM + BN + CP < C©u 7: Cho tam giác ABC Trên tia đối tia BA CA lấy hai điểm di động M N cho BM = CN Gọi I trung điểm MN Hỏi điểm I di động đờng nào? Bài 1: Cho a, b, c số hữu tỉ thoả m·n: abc = vµ a b c b2 c2 a2 + + = + + b2 c2 a2 a b c Chøng minh r»ng mét ba sè a, b, c bình phơng Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê Hữu Nam 75 số hữu tỉ Bài 2: y2 + = Xác x định x, y để tích xy đạt giá trị nhỏ Bài 3: Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác a + b + c =2 52 ≤ a + b2 + c2 + 2abc < Chứng minh: 27 Bài 4: Cho tứ giác lồi ABCD có diện tích 32 (đơn vị), tổng AB + BD + CD = 16 (đơn vị) Tính BD Bài 5: Biết cạnh tam giác ba số tự nhiên liên = tiếp Tìm độ dài cạnh tam giác nếu: 3 + B 180 Bài 6: Cho tam giác ABC vuông A có AB = cm, AC = cm Gọi I giao điểm đờng phân giác trong, M trung điểm BC Tính số đo góc BIM Bài 7: Cho BE CF hai đờng phân giác tam giác ABC Gọi O giao điểm BE CF Chứng minh tam giác ABC vuông A 2OB.OC = BE.CF Bài 8: Cho tam giác ABC có độ dài cạnh 5cm, 6cm, 7cm Tính khoảng cách giao điểm đờng phân giác trọng tâm tam giác Bài 9: Cho tam giác ABC, hai điểm M, N theo thứ tự di động hai cạnh AB AC cho BN = CM Gọi I giao điểm BN CM Chứng minh đờng phân giác góc BIC qua điểm cố định Bài 10: Trên hai cạnh góc vuông AC, BC tam giác vuông ABC dựng bên tam giác lần lợt hình vuông ACKL BCMN Gọi R, P lần lợt giao điểm BL với AN AC Gọi Q giao điểm BC AN Chứng minh diện tích tứ giác CPRQ diện tích tam giác ABR Bài 11: Cho tam giác ABC, Gọi O trọng tâm tam giác M điểm thuộc cạnh BC (M không trùng với trung điểm BC) Kẻ MP MQ lần lợt vuông góc với AB AC, đờng vuông góc lần lợt cắt OB, OC I K 1) Chứng minh tứ giác MIOK hình bình hành 2) Gọi R giao điểm cđa PQ vµ OM Chøng minh R lµ trung Cho hai số x, y thoả mãn đẳng thức: 2x2 + 75 75 75 75 75 75 75 75 75 Chuyªn đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê Hữu Nam 75 75 75 điểm PQ Bài 12: Tứ giác ABCD có trung điểm hai đơng chéo M, N không trùng Đờng thẳng MN cắt AD P cắt BC Q Chứng minh rằng: PA.QB = PD.QC Bài 13: Cho tam giác ABC vuông A, có góc ABC = 20 Kẻ phân giác BI vµ vÏ gãc ACH = 300 vỊ phÝa tam giác Tính số đo góc CIH Bài 14: Gọi AA1, BB1, CC1 đờng phân giác tam giác ABC L giao điểm AA1, B1C1 ; K giao điểm CC1 A1B1 Chứng minh rằng: BB1 phân giác góc LBK Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê H÷u Nam ... 27 ) Bài 3: Tìm số dư chia số sau cho 2; cho 5: a) 38; 1415 + 1514 Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê Hữu Nam b) 200 9201 0 200 82 00 9 CHUYEN ĐỀ – ĐỒNG DƯ A Đònh nghóa: Nếu hai số nguyên... 1995k + 1996k ( k ∈ N, k chaün) b) B = 200 4200 4k + 200 1 Bài 2: Tìm số dư chia biểu thức sau cho a) A = 21 + 35 + 49 + + 200 380 05 b) B = 23 + 37 +411 + + 200 580 07 Giaûi a) Chữ số tận A chữ số tận... Số tam giác tạo thành: 220 - ( 35 + 20) = 165 tam giỏc D BI TP: Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán GV:Lê Hữu Nam = 7.6.5 210 210 = = = 35 3! 3.2 = 6.5.4 120 120 = = = 20 3! 3.2 x Bài 1: cho