Đang tải... (xem toàn văn)
................................................................................................................................................................................................................................................................................
PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HỐ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI- NĂM HỌC 2011- 2012 MÔN THI: TOÁN - LỚP Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Bài 1: (3,0 điểm) − x 1− 2x + − : Cho biểu thức A = ÷ 1− x x +1 − x x −1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm x để A > Bài 2: (4,0 điểm) a) Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào biến x: 7 ( x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1) 3x − ÷ x− y b) Tính giá trị biểu thức P = x + y Biết x – y = x y ( x + y ≠ 0, y ≠ 0) Bài 3: (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x6 – 7x3 – = b) Chứng minh rằng: Nếu 2n + 3n + (n ∈ N) số phương n chia hết cho 40 Bài 4:(6,0điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao BD, CE cắt H a) Chứng minh ∆ABD ∼ ∆ACE b) Chứng minh BH.HD = CH.HE c) Nối D với E, cho biết BC = a, AB = AC = b Tính độ dài đoạn thẳng DE theo a, b Bài 5: (3.0điểm) a) Giải phương trình: (8x – 4x2 – 1).(x2 + 2x + 1) = 4(x2 + x + 1) ab + b) Cho hai số a, b thoả mãn a + b ≠ Chứng minh rằng: a + b + ÷ ≥ a+b 2 ……………………………………HẾT………………………………… Họ tên thí sinh:……………………………………… Giám thị 1:……………………… Số báo danh:……………………… Giám thị 2:……………………… PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ Bài HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2011- 2012 MƠN THI: TỐN - LỚP Nội dung Điểm 0,25đ 0,75đ a) (2,0 điểm) KXĐ: x ≠ ± 1+ x + − 2x − + x − 2x : − x2 x −1 2 x −1 = = x −1 1− 2x 1− 2x A= Bài (3,0điểm) 1,0đ b) (1,0 điểm) A > ⇔ – 2x > ⇔ x < Đối chiếu ĐKXĐ, ta - ≠ x < 7 −77 = 12x2 – 18x + 14x - 21 – 12x2 + 7x – 3x + = 4 a) (2,0 điểm) ( x + 7)(2 x – 3) – (4 x + 1) 3x − ÷ Bài b) (2,0 điểm) x2 – 2y2 = xy ⇔ x2 – xy – 2y2 = ⇔ (x + y)(x – 2y) = (4,0điểm) Vì x + y ≠ nên x – 2y = ⇔ x = 2y 2y − y y Khi A = y + y = y = a) (2,0 điểm) Ta có x6 – 7x3 – = ⇔ (x3 + 1)(x3 – 8) = ⇔ (x + 1)(x2 – x + 1)(x – 2)(x2 + 2x + 4) = (*) Do x2 – x + = (x – ) + > x2 + 2x + = (x + 1)2 + > với x, nên (*) ⇔ (x + 1)(x – 2) = ⇔ x ∈{- 1; 2} b) (2,0 điểm) Do 2n + số phương lẻ nên 2n + chia cho Bài dư 1, suy n số chẵn Vì 3n + số phương lẻ nên 3n + chia cho dư 1, suy (4,0điểm) 3n M8 ⇒ n M8 (1) Do 2n + 3n + số phương lẻ nên có tận 1; 5; chia cho có dư 1; 0; Mà (2n + 1) + (3n + 1) = 5n + , 2n + 3n + chia cho dư Suy 2n M5 3n M5 ⇒ n M5 (2) Từ (1) (2) ⇒ n MBCNN(5; 8) hay n M40 0,5 đ 0,5đ 2,0đ 0,75đ 0,75đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,5đ a) (2,0điểm) Chứng minh A ∆ABD ∼ ∆ACE D E 2,0đ H C B Bài b) (2,0điểm) (6,0điểm) Chứng minh ∆BHE ∼ ∆CHD Suy BH.HD = CH.HE c) (2,0điểm) A Khi AB = AC = b ∆ABC cân A Suy DE // BC ⇒ ⇒ DE = D E H F B C (3,0điểm) 0,25đ DE AD = BC AC AD.BC AC 0,25đ a 0,25đ Gọi giao điểm AH BC F ⇒AF ⊥ BC, FB = FC = DC BC BC.FC a2 = ⇒ DC = = FC AC AC 2b AD.BC ( AC − DC ).BC ⇒ DE = = AC AC a a (2b − a ) (b − ).a = = 2b 2b b ∆DBC ∼ ∆FAC ⇒ Bài 1,0đ 1,0đ a) (1,5điểm) Nhận thấy x = - nghiệm phương trình 8x − x − x + x + = x + 2x + 2 2 x + x +1 x + x + 3( x + x + 1) + ( x − x + 1) = = Ta có x + x + 4( x + x + 1) 4( x + x + 1) ( x − 1) ≥ Đẳng thức xảy x – = ⇔ x = 1(1) = + 4( x + 1) x − x − − 4( x − x + 1) 3 = = − ( x − 1) ≥ Đẳng thức xảy Lại có: 4 4 Với x ≠ - PT cho tương đương với 0,5đ 0,25đ 0,5đ 0,25đ x – = ⇔ x = (2) Từ (1) (2) suy phương trình có nghiệm x = b) (1,5điểm) 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ ab + 2 2 Ta có a + b + ÷ ≥ ⇔ (a + b )(a + b) + (ab + 1) ≥ 2(a + b) a+b 2 0,25đ ⇔ (a + b)2 [(a + b)2 – 2ab] – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ ⇔ (a + b)4 – 2ab(a + b)2 – 2(a + b)2 + (ab + 1)2 ≥ ⇔ (a + b)4 – 2(a + b)2(ab + 1) + (ab + 1)2 ≥ ⇔ [(a + b)2 – ab - 1]2 ≥ suy đpcm 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,5đ