................................................................................................................................................................................................................................................................................
Phòng giáo dục đào tạo triệu sơn Đề thức Số báo danh Kiểm định chất lợng học sinh giỏi lớp Năm học: 2011 - 2012 Môn: Toán Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 09/05/2012 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) Câu 1: (4,0 điểm) x + − 2x − − Cho biÓu thøc: P = : x +1 x −1 1− x x −1 Rót gọn biểu thức P Tìm x để P < Câu 2: (4,0 điểm) x x − x − − = Giải phơng trình: ( ) ( ) 2 Giải bất phơng trình: x + 3x + − x + x + > Câu 3: (4,0 điểm) Tìm cá số tự nhiên n để n + 36 số nguyên tố Tìm số nguyên x, y thỏa mãn bất đẳng thức: 10 x + 20 y + 24 xy + x − 24 y + 51 < C©u 4: (6,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, ®êng cao AH Cho biÕt AB = 15cm vµ AC = 20cm a) Chøng minh r»ng: AH.BC = AB.AC TÝnh: BC, AH b) KỴ HM ⊥ AB, HN ⊥ AC Chøng minh: ∆ AMN ∼ ∆ ACB c) Trung tuyÕn AK tam giác ABC cắt MN I Tinh diƯn tÝch tam gi¸c AMI BC Cho tam gi¸c ABC cân A, có BAC = 108 Tính tỷ số AC Câu 5: (2,0 điểm ) 1 Cho a, b, c lµ ba sè dơng + = a c b a+b c+b + ≥ Chøng minh r»ng: 2a − b 2c − b ( ) HÕt -Thí sinh không đợc sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Đáp án thang điểm Bài ý Câu 1: 4,0 điể m đ 2 đ đ Câu 2: 4,0 điể m 2 đ Câu 3: 4,0 điể m ® Néi dung Rót gän: P = − 2x 2® < ⇔x > − 2x Để P < 0, nghĩa là: x − x − x − = Giải phơng trình: điể m 2® (1) ( loai ) x = NÕu: x ≥ (1) ⇔ 2x(2x – 7) = ⇔ x = 1® 1® (loai ) x = 1 • NÕu: x < (1) ⇔ (2x + 5)(x – 1) = ⇔ x = − VËy (1) cã nghiÖm x = - ; x = 2 2 Giải bất phơng trình: x + 3x + − x + x + > ( ) ( ) 1® 1® BiÕn ®ỉi vỊ d¹ng: x(x + 2)(3x + 4x +8) > NhËn xÐt: v× 3x + 4x +8 = (x + 2) + 2x + > ⇒ x(x + 2) > ⇔ x < - ∪ x > ( ( ) Tìm cá số tự nhiên n để n + 36 số nguyên tố ) 1đ Ta cã: n − + 36 = ( ) ( )( n − 16n + 64 + 36 = n + 100 − 16n = n + 10 − 36n = n + 10 − 6n n + 10 + 6n ( ) ) §Ĩ n + 36 số nguyên tố, điều kiện cần là: n + 10 6n = ⇔ ( ) 1® (n − 3) = ⇔ n = Thư l¹i: víi n = th×: n − + 36 = 37 số nguyên tố Vậy n = n + 36 số nguyên tè 2 ® ( ) 1® BiÕn ®ỉi: 10 x + 20 y + 24 xy + x − 24 y + 51 < ⇔ ( 3x + y ) + ( x + ) + ( y − ) − < 2 1® 3 x + y = x = −4 ⇒ x + = ⇔ y = 2 y − = C©u 4: 6,0 ®iĨ a AB AH = BC AC ⇒ AH.BC = AB.AC Và tính dợc: BC = 25 cm ∆ABH ∼ ∆CBH ⇒ (*) m AB AC = 12 cm BC Chøng minh: ∆ACB ∼ ∆HCA ∆HCA ∼ ∆NHA ∆NHA = ∆AMN ⇒ ∆AMN ∼ ∆ACB (1) ⇒ AH = b c ∧ ∧ ⇒N = B (AKC cân K) 0 A1 = C , mµ B + C = 90 ⇒ N + A1 = 90 ⇒ AIN vuông cân I NHA ACB (chứng minh trªn) NH AH AC AH 20.12 = = = 9,6 cm ⇒ ⇒ NH = AC BC BC 25 ⇒ AM = NH = 9,6 cm AM IM AI 9,6 = = = Vµ ∆IMA ∼ ∆AMN ⇒ ∆IMA ∼ ∆ACB ⇒ BC AC AB 25 192 144 1 192 144 13824 = ⇒ IM = ; AI = ⇒ S AMI = AI.IM = 15 25 2 25 25 625 Vµ A 1 I N M H B C K A B C M AB BM AB + BC BM + AC BC = ⇒ = = BC AC BC AC AC BC AB AC BC = 1+ =1+ ⇒ Đặt: x = (x > 0) AC BC BC AC 1+ ⇒x = + ⇔ x − x − = Gi¶I ta đợc: x = x BC 1+ VËy: = AC 1 ab bc + = ⇒ 2a – b = Tõ: vµ 2c – b = a c b c a a+b c+b a+b c+b c c a a ac + = + = + + + ≥ 44 ≥ ⇒ 2a − b 2c + b ab bc b a b c b c a Ta cã: ∆AMB ∼ BAC Câu 5: 2,0 điể m Bất đẳng thức Cosi a, b, c dơng Dấu xẩy ⇔ a = b = c