DEDA HSG MON TOAN 6 HUYEN HOANG HOA NAM HOC 20112012

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ... Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB.[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN HOẰNG HOÁ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - NĂM HỌC 2011 – 2012 MÔN TOÁN - LỚP Thời gian làm bài 120 phút ( Không kể thời gian giao đề) Bài (4.0 điểm) : Tính giá trị biểu thức a/ A 2    11   2012     1   B             1         2011   2012  b/ Bài (4.0 điểm) : a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 1 1      2 (2n) b/ Chứng minh : 2n  3n  4n  A   n n n Bài (3.0 điểm ) : Cho biểu thức : a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên b/ Tìm n để A là phân số tối giản Bài (3.0 điểm) : Tìm số nguyên tố ab ( a > b > ), cho ab  ba là số chính phương Bài (4.0 điểm) : Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA góc ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC góc (a + 10)o và với tia OB góc (a + 20)o Tính ao b/ Tính góc xOy, biết góc AOx 22o và góc BOy 48o c/ Gọi OE là tia đối tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD góc AOC ao 2012 2011 2010 2009 Bài (3.0 điểm) : Cho A 10  10 10 10  a/ Chứng minh A chia hết cho 24 b/ Chứng minh A không phải là số chính phương Hết GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN : HUYỆN HOẰNG HOÁ NĂM 2011-2012 CÂU NỘI DUNG ĐIỂM A     11   2012 a/ 2.0 A (2  2012) (2012  2) :  : 675697       1   B            1           2011   2012  b/ Câu B           2011    2012           2   3   4   2011 2011   2012 2012  2010 2011 B  2011 2012 B 2012 Câu a/ Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 2.0 =>(3y – 1)(2x + 1) = -55 => x 1   55 y  (1) 1;5;11;55;  1;  5;  11;  55 Để x nguyên thì 3y –  Ư(-55) =  +) 3y – = => 3y = => y = 1, thay vào (1) => x = 28 +) 3y – = => 3y = => y = (Loại) 13 +) 3y – = 11 => 3y = 13 => y = (Loại) 2.0 +) 3y – = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1 +) 3y – = - => 3y = => y = (Loại) +) 3y – = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = +) 3y – = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x =  53 +) 3y – = -55 => 3y = -53 => y = (Loại) Vậy ta có cặp số x, y nguyên thoả mãn là (x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3) 1 1      2n b/ Chứng minh : Ta có 1 1     (2n) 1 1 A     2 (2.2) (2.3) (2.4) (2.n) 1 1 1  1 1 1  A              4 n   1.2 2.3 3.4 (n  1)n  A 1 1 1 1 1 A            41 2 3 ( n  1) n  2.0 1 1 A  1    n  (ĐPCM) 2n  3n  4n  A   n n n Cho biểu thức : a/ Tìm n để A nhận giá trị nguyên : Đ/k n  Ta có : 2n  3n  4n  (2n  1)  (3n  5)  (4n  5) 2n   3n   4n  n       n n n n n n n  34 A 1  n n  (2) A 1; 2; 4;  1;  2;  4 A nguyên n – Ư(4) =  b/ Tìm n để A là phân số tối giản Câu Ta có : A => n   4;5; 7; 2;1;  1 1.0 (Thoả mãn) n 1 n  (Theo câu a) ( n  3) TH : n là số lẻ => n + và n – là số chẵn A n 1 n  không tối giản => TH : n là số chẵn => n + không chia hết cho Gọi d là ước chung (n + 1) và (n – 3) => d không chia hết cho => (n + 1)  d và (n – 3)  d => (n + 1) - (n – 3) chia hết cho d => chia hết cho dƯ(4) ={1 ; 2; 4; -1 ; -2; -4) Vì d không chia hết cho => d = ; - A 1.0 n 1 n  là phân số tối giản => ƯCLN(n + 1; n – 3) = => Kết luận : Với n là số chẵn thì A là phân số tối giản Tìm số nguyên tố ab ( a > b > ), cho ab  ba là số chính phương Ta có : ab  ba (10a  b)  (10b  a) 10a  b  10b  a 9a  9b 9(a  b) 3 (a  b)  1; 2;3; 4;5;6; 7;8;9  =>  a- b  Vì => a,b  Để ab  ba là số chính phương thì a – b = 1; Câu +) a – b = (mà a > b) ta có các số ab là : 98 ; 87 ; 76; 65; 54 ; 43; 32; 21 Vì ab là số nguyên tố nên có số 43 thoả mãn +) a – b = (mà a > b) ta có các số ab là : 95 ; 84 ; 73; 62; 51 Vì ab là số nguyên tố nên có số 73 thoả mãn Kết luận : Vậy có hai số thoả mãn điều kiện bài toán là 43 và 73 Câu Hình vẽ 3.0 2.0 D C y (a+20)o (a+10)o x ao 22o 48o A B O E Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA và OB a/ Vẽ tia OC tạo với tia OA góc ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC góc (a + 10)o và với tia OB góc (a + 20)o.Tính ao Do OC, OD nằm trên cùng nửa mặt phẳng bờ AB và   COD  COA ( a  10  a) Nên tia OC nằm hai tia OA v à OD AOC  COD    DOB  AOB => => ao + (a + 10)o + (a + 20)o = 180o => 3.ao + 30o = 180o => ao = 50o b/ Tính góc xOy, biết góc AOx 22o và góc BOy 48o Tia Oy nằm hai tia OA v à OB o o o o o    Ta có : AOy 180  BOy 180  48 132  AOx 22 Nên tia Ox nằm hai tia OA và Oy    o  o  o 1.0 o o => AOx  xOy  AOy  22  xOy 132  xOy 132  22 110 c/ Gọi OE là tia đối tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD góc AOC ao V ì tia OC nằm hai tia OA và OD nên o AOC  COD   AOD  AOD a o   a  10  2a o  10o 2.50o  10o 110o  AOx  AOD (22o  110o ) 1.0 Vì nên tia Ox nằm hai tia OA và OD AOx  xOD      AOD  22o  xOD 110o  xOD 110o  22o 88o => Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo là : 180o – 88o = 92o Câu Cho A 102012  102011 102010  102009  a/ Chứng minh A chia hết cho 24 Ta có : 1.5 A 103 102009  102008  102007  102006  8.125 102009  102008  102007  102006        A 8  125 102009  102008  102007  102006  1 8 (1) Ta lại có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có tổng tổng các chữ số 1, nên các số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 chia cho có số dư chia cho dư Vậy A chia cho có số dư là dư phép chia (1 + + + + 2) chia cho Hay dư phép chia chia cho (có số dư 0) Vậy A chia hết cho Vì và là hai số nguyên tố cùng nên A chia hết cho 8.3 = 24 b/ Chứng minh A không phải là số chính phương Ta có các số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có chữ số tận cùng là 2012 2011 2010 2009 Nên A 10  10 10  10  có chữ số tận cùng là Vậy A không phải là số chỉnh phương vì số chính phương là số có chữ số tận cùng là ; 4; ; ; GV : Nguyễn Đức Tính – số 08 - Bào Ngoại - Đông Hương – TP Thanh Hoá 1.5