- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường[r]
(1)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | TRƯỜNG THCS TÂN TRIỀU ĐỀ THI HSG LỚP
MƠN: TỐN
(Thời gian làm bài: 120 phút) Đề số
Bài 1: (5,0 điểm) Cho A – 5= 50 48+546 −544 + +5 - 56 4+52 −1. a) Tính A
b) Tìm số tự nhiên n biết n 26.A 5+ = c) Tìm số dư phép chia A cho 100 Bài 2: (3,0 điểm).Tìm số tự nhiên x ,biết:
( )
9 2 –1 225
) + + + + ++ =
a x
x x x x x 2015 2019 b) 2 +2 + +2 + +2 + + +2 + =2 −8.
Bài 3: (5,0 điểm)
a) Cho số abc chia hết cho 37 Chứng minh số cabcũng chia hết cho 37 b) Tìm số x, y nguyên biết x.y 12+ = +x y
Bài 4 (3,0 điểm): Tìm số tự nhiên a nhỏ cho: a chia cho dư 1, a chia cho dư 1, a chia cho dư 4, a chia cho dư
Bài 5: (4,0 điểm)
1) Cho 30 điểm phân biệt có a điểm thẳng hàng, qua điểm ta vẽ đường thẳng Tìm a, biết số đường thẳng tạo thành 421 đường thẳng
2) Vẽ đoạn thẳng AB =6cm Lấy hai điểm C D nằm A B cho AC BD+ =9cm a) Chứng tỏ D nằm A C
b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ?
ĐÁP ÁN Bài 1:
a) a A – 5= 50 48 +546 −544 + +5 - 56 4+ −1. 25A – 5= ( 50 48 +546 −544+ +5 - 4+52−1.)
50
52 48 46
– 5 5 5 +5 - 5 + 5 5 .
= + − + −
Suy 25A A+ =552−1 Vậy A =(552−1 : 26)
b) Ta có 26.A 5+ = n mà 26A=552−1 nên 552− + =1 5n
(2)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | c) A – 5= 50 48 +546−544 + +5 - 56 4+ −1. ( có 26 số hạng)
– 5=( 50 48) (+ 546 −544)+ + - 5( 4)+ 52−1
( 50 48) ( 46 44) ( 4) ( )
– 5= + −5 + + - + −1
( ) 44 ( ) ( ) ( )
48 2
5= –1 +5 –1 + +5 –1 + −1
48 44
.24 24
5= + + +5 24+ 24.
46 42
.25.24 25.
5= + 24+ +5 .25.24+ 24.
( )
46 42 46 42
.600 600 600+ 6.100
= + + +5 24 = +5 + + +24 Suy A chia cho 100 dư 24
Bài 2:
( )
a) 9+ + + + ++ 2 –1x =225
Với x N ta có 2x – số lẻ
Đặt A = + + + + +…+ 2x – 1( )
A tổng số lẻ liên tiếp từ đến 2x – Số số hạng A là: (2x –1–1 : x) + = (Số hạng)
( )
A 2x –1 x : x
= + =
Mà A=225 x2 =225 15=
x 15
= Vậy x = 15
x x x x x 2015 2019 . b) 2 +2 + +2 + +2 + + +2 + =2 −8
2 2 2x + x + x +2 2x + +2 2x 2015 =22019 −2 3
( ) ( )
x 2015 2016 2 2+ +2 +2 + +2 =2 2 −1
Đặt M= + +1 22 +23 + +22015
Ta 2.M= +2 22 +23 +2 4 +22016 Suy M =22016 −1
Vậy ta có 2 2x ( 2016 − =1) 2 23 ( 2016 −1 ) x
2 2 x 3
= = Vậy x =3
Bài 3:
(3)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Ta có abc 37100.abc 37abc00 37
(ab 1000+c00 37) ab 999+(c00 ab+ ) 37 (ab 999+cab 37)
Mà ab 999=ab 37.27 37 cab 37
Vậy abc 37 cab 37
b) Tìm số x, y nguyên biết x.y 12+ = +x y
Ta có x.y 12+ = + x y x.y x− − +y 12=0 x y 1( − − +) y 12=0 x y 1( − − − + =) (y 1) 11 0 (x y 1− ) ( − = −) 11 1( ) Vì x, yZ nên x Z; y Z− −
Do từ ( )1 −x 1; y 1− ước -11 Các ước -11 -11; -1;1;11
+) Với x 1− = −11thì y 1.− = Suy x= −10; y = 2 ( Thỏa mãn)
+) Với x 1− = −1thì y 11.− = Suy x=0; y = 12 ( Thỏa mãn)
+) Với x 1− = y 1− = −11.Suy x=2; y = -10 ( Thỏa mãn)
+) Với x 11− = y 1− = −1.Suy x=12; y = 0 ( Thỏa mãn)
Vậy (x; y) ( − 10; ; 0;12 ; 2; 10 ; 12; ) ( ) ( − ) ( ) Bài :
Vì a chia cho dư 1, a chia cho dư 1, a chia cho dư 4, a chia cho dư Nên a ;a ; a− − −4 ; a−3 7
(4)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Mà a số tự nhiên nhỏ
+ =a 11 BCNN 2;3;5;7 ( ) Mà số 2; 3; 5; nguyên tố BCNN 2;3;5;7( )=2.3.5.7=210 + =a 11 210.
=a 199.
Vậy số tự nhiên cần tìm 199 Bài
1. 1) – Giả sử 30 điểm phân biệt khơng có điểm thẳng hàng :
+ Chọn điểm 30 điểm cho Qua điểm điểm 29 điểm lại ta vẽ 29 đường thẳng
+ Làm với 30 điểm ta vẽ tất 29.30 đường thẳng
+ Nhưng đường thẳng tính hai lần nên số đường thẳng thực tế vẽ
(29.30 : 2) =435 đường thẳng
Vậy qua 30 điểm phân biệt mà khơng có điểm thẳng hàng ta vẽ 435 đường thẳng – Tương tự trên, giả sử a điểm phân biệt khơng có điểm thẳng hàng ta vẽ
( )
a a : 2− đường thẳng
Nhưng qua a điểm thẳng hàng ta vẽ đường thẳng nên số đường thẳng bị giảm
( )
a a : 1− − đường thẳng
Theo ta có : a a : 1( − ) − =435 421 14− = a a 1( − =) 30=6.5
Vì a-1 a hai số tự nhiên liên tiếp a a− nên a =6. 2)
a) Chứng tỏ D nằm A C
Vì D nằm A B nên: AD DB+ =AB Thay AB =6 cm ta có AD DB+ =6 cm
Lại có AC DB+ =9 cm AD DB+ AC DB+ hay ADAC Trên tia AB có : ADACsuy D nằm A C
b) Tính độ dài đoạn thẳng CD ?
Vì D nằm A C suy AD DC+ = AC.
(5)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Thay AD DB+ =6 cm, ta có 6cm DC+ =9 cm( ) Vậy DC= cm( )
Đề số
Câu 1: ( điểm)
1) Chứng minh số A = 10n + 18n - chia hết cho 27 ( n số tự nhiên) 2) Chứng tỏ với số tự nhiên n phân số sau tối giản: 16
12
n n
+ +
Câu 2: (5 điểm)
1) Tìm số nguyên x, y cho: (x - 1)(3 - y) = 2) Tìm tập hợp số nguyên x , biết :
(13 6) : (11 22 20%) 11 3 :
4−4 5+ 5+ x 4+ 11 21
3) Tìm số tự nhiên x biết: 1 2013 3+ +6 10+ + x x( +1)= 2015
Câu3:(2điểm) Chứng minh : + 1 19991 1000
2+ + +3 Câu 4: (4 điểm)
Sau buổi biểu diễn văn nghệ, nhà trường tặng cam cho tiết mục Lần đầu tiết mục đồng ca hết số cam
6 quả; lần tặng tiết mục tốp ca hết
7 số cam lại
7 quả; lần tặng tiết mục đơn ca hết
4 số cam lại lần
4 vừa hết Tính số cam trường tặng số cam riêng cho tiết mục đồng ca, tốp ca đơn ca
Câu 5: ( điểm)
Cho tia Ox Trên hai nửa mặt phẳng đối có bờ Ox Vẽ hai tia Oy Oz cho góc xOy xOz 1200 Chứng minh rằng:
a xOy=xOz= yOz
b Tia đối tia Ox, Oy, Oz phân giác góc hợp hai tia cịn lại ĐÁP ÁN
Câu
1) Ta viết số A dạng sau : A = 10n + 18n - = 10n - - 9n + 27n = 99
n
- 9n + 27n = 9( 11
n
- n) + 27n
n tổng chữ số 11
n
nên ( 11
n
- n)
B C D
(6)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | Từ A 27
2) Gọi ƯCLN tử mẫu d (d N, d 1) 16n + d 12n + d 3(16n + 3) d 4(12n + 2) d
Do 3(16n + 3) - 4(12n + 2) d 48n + - 48n - d
d
Vậy d = 1 Phân số 16
12
n n
+
+ phân số tối giản
Câu
1) Ta có: (x - 1)(3 - y) =
Vì có ước - 2; -1; 1; x y; Z nên (x - 4), (3 - y) Z Do ta có:
+ 1
3 x y − = − − = − 1 x y = − + = + x y = =
+
3 x y − = − − = − x y = − + = + x y = − =
+
3 x y − = − = x y = + = − x y = =
+ 1
3 x y − = − = 1 x y = + = − x y = =
Vậy cặp số nguyên x; y thỏa mãn là: (x; y) = (0;5);( 1; 4);(3; 2);(2;1)−
2) (13 6) : (11 22 20%) 11 3 :
4−4 5+ 5+ x 4+ 11 21
7 12 32 245
( ) : (1 ) :
4 5 x 11 121
− + + +
1
:
4 x
35 121
11 245
+ 32
76 x
mà x Z nên x 1; 2;3; 4
3 Nhân
2 vào hai vế ta :
1 1 1 2013
6+12+20+ +x x( +1)= 2015
1 1 1 1 2013
2− + − + − + + −3 4 x x+1= 2015
1 2013
2−x+1= 2015 1 2013
2( 1) 2015
x x
−
=
(7)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang |
2013
1 2015
x x
− = +
2015x 2015 2013x 2013
− = +
2x 4028
= =x 2014 Câu
1999
1 1
1
2
+ + + + = +
2 + (
1
3+2 ) + (
1
5+ +2 ) + (
1
9+ +2 ) + …+( 1998 1999
1
2 +1+ +2 ) > + 12.2 13.22 14.23 19991 21998
2+2 +2 +2 + +2 = 1+
1
2 1999 = 1000,5 > 1000 ( ĐPCM) Câu
- Nhận xét :
4 cuối
4
4− =4 số cam lại sau lần Vậy phải tính ngược từ lên
Tiết mục đơn ca tặng 1:
4 4= = (quả) Tương tự trên, tiết mục đơn ca tốp ca tặng : (1
7+ ) :
7 = (quả)
Tương tự số cam trường tặng : (8 +
6 ) :
6 = 49 (quả)
Số cam tặng tiết mục tốp ca : - = (quả) Số cam tặng tiết mục đồng ca : 49 - = 41 (quả) Câu
a) Kẻ tia Ox, tia đối tia Ox Ta có: ,
x Oy + yOx = 1800 (kề bù)
'
x Oy
= 1800 - 1200 = 600 Tương tự: '
60
x Oz=
Ta có : x Oy' =60 ,0 x Oz' =600 tia Ox’ nằm hai tia Oy, Oz nên yOz= yOx'+x Oz' =1200
(8)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | b) Do tia Ox’ nằm hai tia Oy, Oz ' '
x Oy=x Oz nên Ox’ tia phân giác góc hợp hai tia Oy, Oz
-Tương tự tia Oy’ (tia đối Oy) tia Oz’ (tia đối tia Oz) phân giác góc xOz xOy
Đề số
Bài 1: Thực phép tính:
1) 35
8
− + − +
;
2) ( ) ( )
( ) ( )
9 11 32 43 15 12 43
− + −
− + − ;
3) 3
3
x + x − x với 2011 2012
x=
Bài 2: Tìm x, biết:
1)
2
x
x+ − = ;
2) x− =
3) (x−1 ) (x+2)0 Bài 3:
1) Tìm số có chữ số chia hết cho tổng chữ số chia hết cho 2) Chứng tỏ a; a + k; a + 2k số nguyên tố lớn k chia hết cho Bài 4:
1) Cho đường thẳng phân biệt cắt O Hỏi có tất góc đỉnh O tạo thành từ đường thẳng khơng kể góc bẹt
2) Cho góc xOy tia Oz nằm hai tia Ox Oy Gọi Ot Ot’ hai tia phân giác góc xOz zOy Chứng tỏ rằng: '
2
tOt = xOy
Bài 5: Chứng tỏ với số tự nhiên n A=16n−15n−1chia hết cho 15 ĐÁP ÁN
Bài 1) -7/4; 2) 1/3; 3)
Bài
(9)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 2) x = -1/2; x = 9/2;
3) -2 x Bài
1) Gọi số abc; 0a b c; ; 9,a0
Ta có abc=100a+10b c+ =(98a+7b) (+ 2a+3b c+ ) 72a+3b c+ Mặt khác a b c+ + 7nên suy b c− 7 b – c = -7; 0;
Với b – c = -7 c = b + a b c+ + nên ta có số thỏa mãn: 707; 518; 329 Với b – c = ta có số 770; 581; 392
Với b – c = b = c mà a b c+ + 7nên a+2b
Do a + 2b 27 nên a + 2b nhận giá trị 7; 14; 21 Từ ta có số thỏa mãn: 133; 322; 511; 700; 266; 455; 644; 833; 399; 588; 777; 966
Vậy có tất 18 số kể
2) Vì a; a + k; a + 2k số nguyên tố lớn nên số lẻ khơng chia hết cho 3, ta có: a + k – a = k chia hết cho
Mặt khác chia số cho tồn số có số dư: - Nếu a a + k có số dư a + k – a = k chia hết cho
- Nếu a a + 2k có số dư a + 2k – a = 2k chia hết cho 3, mà (2, 3) = nên k chia hết cho - Nếu a + k a + 2k có số dư a + 2k – a + k = k chia hết cho
Vậy trường hợp ta ln có k chia hết cho mà (2, 3) = nên k chia hết cho 2.3 = Bài
1) đường thẳng cắt O tạo thành 10 tia gốc O Mỗi tia tạo với tia lại thành góc đỉnh O Do ta có 10.9 = 90 góc tạo thành góc tính lần có góc bẹt nên có 90 : – = 40 góc đỉnh O khơng kể góc bẹt
2) Vì Ot, Ot’ phân giác góc xOz, zOy nên ta có:
( )
1
; ' '
2
1
'
2
1
2
xOt tOz xOz zOt t Oy zOy tOz zOt xOz zOy
xOz zOy xOy
= = = =
+ = +
= + =
Bài x
t’
t
O
z
(10)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 10 Chứng minh phương pháp quy nạp
Với n = ta có A = chia hết cho 15
Giả sử toán với n = k tức A=16k−15k−1 chia hết cho 15 ta chứng minh với n = k + 1, tức A=16k+1−15(k+ −1) 1chia hết cho 15 Thật vậy, ta có
( )
( ) ( )
1
16 15 15 , 16 15 15
16 15 1 16.16 15 16
16 15 15 15 16 15 16 16 15
k k
k k
k q q N k q
k k
k q k k q k
+
− − = = + +
− + − = − −
= + + − − = + −
Đề số
Câu 1: Cho S = + 52 + 53 + ………+ 52006 a, Tính S
b, Chứng minh S 126
Câu Tìm số tự nhiên nhỏ cho số chia cho dư 1; chia cho dư ; chia cho dư 3; chia cho dư chia hết cho 11
Câu Tìm giá trị nguyên n để phân số A = 3
n n
+
− có giá trị số nguyên
Câu Cho số 18, 24, 72
a, Tìm tập hợp tất ước chung số b, Tìm BCNN số
Câu Trên tia õ cho điểm A, B, C, D biết A nằm B C; B nằm C D ; OA = 5cm; OD = cm ; BC = cm độ dài AC gấp đơi độ dài BD Tìm độ dài đoạn BD; AC
ĐÁP ÁN Câu (2đ)
a, Ta có 5S = 52 + 53 +54 +………+52007
5S –S = (52 + 53 +54 +………+52007) – (5 + 52 + 53 + ………+ 52006)
4S = 52007-5 Vậy S =
2007
5
4
−
b, S = (5 + 54) + (52 + 55) +(53 + 56) +……… + (52003 +52006) Biến đổi S = 126.(5 + 52 + 53 +………+ 52003)
Vì 126 126 S 126
Câu (3đ) Gọi số phải tìm x
Theo ta có x + chia hết cho 3, 4, 5, x + bội chung 3, 4, 5,
(11)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 11 Mặt khác x 11 cho n = 1;2;3…
Ta thấy n = x = 418 11 Vậy số nhỏ phải tìm 418
Câu (1đ) Ta có 3 3 3( 1) 5
1 1
n n n
n n n n
+ − + − +
= = = +
− − − −
Để A có giá trị nguyên
n− nguyên
Mà
n− nguyên (n-1) hay n-1 ước
Do Ư5 = 1;5 Ta tìm n =2
n =0 n =6 n = -4 Câu (2đ)
A, Tìm Ư(18); Ư (24) ; Ư(72) cho 0,5đ ƯC (18;24;72)= 1; 2; 3; 6
b, Ta có 72 B(18) 72 B(24)
BCNN (18;24;72) = 72 Câu (2đ)
O D B A C x
Vì A nằm B C nên BA +AC = BC BA +AC =4 (1) Lâp luân B nằm A D
Theo gt OD < OA D nằm O A (0,5đ) Mà OD + DA = OA + DA =5 DA =3 cm
Ta có DB + BA = DA DB +BA =3 (2) (0,25đ)
(1) –(2) AC – DB = (3) (0,25đ)
theo đề : AC = 2BD thay (3)
Ta có 2BD – BD = BD = (0,25đ)
AC = 2BD AC = cm
(12)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 12 Câu 1: Tính tổng 12 13 1001
3 3
A= + + + +
Câu 2: Tìm số tự nhiên a, b, c, d nhỏ cho:
3
a b = ;
12 21
b
c = ;
6 11
c d =
Câu 3: Cho dãy số tự nhiên 1, 2, 3, , 50
a-Tìm hai số thuộc dãy cho ƯCLN chúng đạt giá trị lớn b-Tìm hai số thuộc dãy cho BCNN chúng đạt giá trị lớn
Câu 4: Cho bốn tia OA, OB, OC, OD, tạo thành góc AOB, BOC, COD, DOA khơng có điểm chung Tính số đo mổi góc biết rằng: BOC = AOB ; COD = AOB ;
ĐÁP ÁN Câu 1: Ta có
3A = + 1/3 + 1/32 + + 1/399
vậy: 3A-A = (1 + 1/3 + 1/32 + + 1/399)-(1/3 + 1/32 + + 1/3100) 2A= 1-1/3100 = (3100-1)/ 3100
suy A= (3100-1) )/ 2.3100
Câu 2: Ta có 12/21= 4/7, phân số 3/5, 4/5, 6/11 tối giãn nên tồn số tự nhiên k, l, m cho a=3k, b=5k, b=4n, c=7n, c= 6m, d=11m Từ đẳng thức 5k=4n, 7k = 6m ta có 4n 7n mà (4,5)=1; (7,6)=1 nên
n 5, n mặt khác (5,6) =1 n 30
để số tự nhiên a, b, c, d nhỏ phải khác , ta chọn n nhỏ 30 suy ra: k =24, m=35 a=72, b=120, c=210, d=385
câu 3: Gọi a b hai số thuộc dãy 1, 2, 3, , 50 Giả sử a>b
a.Gọi d thuộc ƯC(a,b) a-b d ta chứng minh d ≤ 25 giả sử d>25 b>25 ta có a ≤ 50 mà b>25 nên 0< a-b < 25, xảy
a-b d ; d=25 xảy a=50; b=25
vậy hai số có ƯCLN đạt giá trị lớn 50 25
b BCNN(a,b) ≤ a.b ≤ 50.49=2450 hai số có BCNN đạt giá trị lớn 50 49 câu 4: (Học sinh tự vẽ hình)
Ta thấy : AOB + BOC + AOD >180
vì trái lại góc AOD có điểm chung với ba góc Đặt AOB = ỏ ta có: AOB + BOC + AOD + COD = 360 ỏ +3ỏ+5ỏ+6ỏ=3600 ỏ = 240 Vậy:AOB = 24 ; BOC =72 ; COD = 120 ; DOA = 144 0 0
(13)W: www.hoc247.net F: www.facebook.com/hoc247.net Y: youtube.com/c/hoc247tvc Trang | 13 Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội
dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên danh tiếng
I.Luyện Thi Online
-Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng xây dựng khóa luyện thi THPTQG mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học Sinh Học -Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn
II.Khoá Học Nâng Cao HSG
-Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho em HS THCS lớp 6, 7, 8, u thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG
-Bồi dưỡng HSG Tốn: Bồi dưỡng phân mơn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học Tổ Hợp dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Pham Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III.Kênh học tập miễn phí
-HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động
-HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online Chuyên Gia
I.Luyện Thi Online - - II.Khoá Học Nâng Cao HSG III.Kênh học tập miễn phí -