Câu 1 (4,0 điểm). 1. Giải phương trình: . 2. Giả sử phương trình bậc hai ẩn ( là tham số): có hai nghiệm thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: . Câu 2 (1,5 điểm). Giải hệ phương trình: . Câu 3 (1,5 điểm). Cho là hai số thực dương thoả mãn điều kiện . Tìm giá trị nhỏ nhất của . Câu 4 (3,0 điểm). 1. Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng của O qua các đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tâm của tam giác ABC và L là trọng tâm tam giác MNP. Chứng minh rằng và ba điểm O, H, L thẳng hàng. 2. Cho tứ giác lồi ABCD. Giả sử tồn tại một điểm M nằm bên trong tứ giác sao cho . Chứng minh đẳng thức sau: , trong đó là số đo góc giữa hai đường thẳng AC và BD. 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I . Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm (M, N, P không trùng với các đỉnh của tam giác ABC). Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm và điểm A có hoành độ dương.
Trang 1SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
——————
ĐỀ CHÍNH THỨC
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 NĂM HỌC 2011-2012
ĐỀ THI MÔN: TOÁN Dành cho học sinh THPT không chuyên
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề
————————————
Câu 1 (4,0 điểm).
1 Giải phương trình: x2 x 1 x2 x 1 2 x
2 Giả sử phương trình bậc hai ẩn x (m là tham số): x2 2m1x m 3m12 0 có hai nghiệmx x thỏa mãn điều kiện 1, 2 x1x2 4 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
P x x x x x x
Câu 2 (1,5 điểm).
Giải hệ phương trình:
1 ( , ) (2 1) 1
x x y xy xy y
x y
x y xy x
Câu 3 (1,5 điểm).
Cho x y, là hai số thực dương thoả mãn điều kiện x 1x2 y 1y22012 Tìm giá trị
nhỏ nhất của P x y
Câu 4 (3,0 điểm).
1 Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O Gọi M, N, P lần lượt là điểm đối xứng của O qua các đường thẳng BC, CA, AB; H là trực tâm của tam giác ABC và L là trọng tâm tam giác MNP Chứng minh rằng OA OB OC OH
và ba điểm O, H, L thẳng hàng.
2 Cho tứ giác lồi ABCD Giả sử tồn tại một điểm M nằm bên trong tứ giác sao cho
MAB MBC MCD MDA Chứng minh đẳng thức sau:
cot
2 sin
AC BD
trong đó là số đo góc giữa hai đường thẳng AC và BD.
3 Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ vuông góc Oxy, cho tam giác ABC ngoại tiếp đường tròn tâm I Các đường thẳng AI, BI, CI lần lượt cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại các điểm
1; 5 , 7 5; , 13 5;
M N P
(M, N, P không trùng với các đỉnh của tam giác ABC) Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm Q 1; 1 và điểm A có hoành độ dương
—Hết—
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……….……… …….…….….….; Số báo danh………
Trang 2SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
———————
KỲ THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT KHÔNG CHUYÊN
NĂM HỌC 2011-2012 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN
———————————
I LƯU Ý CHUNG:
- Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa
- Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn
- Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó
II ĐÁP ÁN:
Ta có
x x x x x x
nên phương trình xác định với mọi x Phương trình đã cho tương đương với
x x x x x x x x
0,5
2x 2 2 x x 1 4 x x 1 1 x
2
1 1 2
1 1
0,5
0 0
x
x x
2 2,0 điểm
Phương trình đã cho có hai nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 x1x2 4
2
2
4 0
3
m
m
m
0,5
Theo định lí Viet ta có 3 2
x x m x x m m suy ra
Bảng biến thiên
-24
16
-144
0
3 2
0 -2
P
m
0,5
Từ bảng biến thiên ta được: Pmax 16 khi m 2, P min 144 khi m 2. 0,5
Ta có
2
1
x y xy x y xy
x x y xy xy y
Đặt
2
b xy
Hệ trở thành: 2 1
1
a ab b
a b
Trang 3Hệ
(*)
Từ đó tìm ra ( ; )a b (0; 1); (1; 0); ( 2; 3)
0,25
* Với ( ; ) (0; 1)a b ta có hệ
2
0
1 1
x y
x y xy
* Với ( ; ) (1; 0)a b ta có hệ
2
1 ( ; ) (0; 1);(1;0);( 1;0) 0
x y
x y xy
* Với ( ; ) ( 2; 3)a b ta có hệ
2
2
1; 3
x y
Kết luận: Hệ có 5 nghiệm ( ; )x y (1; 1);(0; 1);(1; 0);( 1; 0);( 1; 3)
0,25
Đặt t x 1x2 thì dễ thấy t 0 và
2
t x t
Từ giả thiết ta có y 1 y2 2012
t
Từ đây cũng suy ra
2012 2.2012
t y
t
Từ (1) và (2) suy ra
2 1 20122 2 2011 2012
2 2.2012 2.2012
Do đó 2011 2 2012 2011 2 2012 2011
t
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi t 2012 Từ (1) và (2) suy ra 2011
2 2012
x y
Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 2011
2012 , khi
2011
2 2012
x y
0,25
K
M
D
O H
C
A
B
Kẻ đường kính AD, khi đó tứ giác BHCD là hình bình hành nên trung điểm K của
BC cũng là trung điểm của HD, trong tam giác AHD có OK là đường trung bình nên
2OK AH OB OC OH OA OA OB OC OH
0,5
Trang 4Ta có OB OC 2OK OM
và các đẳng thức tương tự ta được:
OM ON OP OA OB OC OH
3OL 2OH
suy ra O, H, L thẳng hàng.
0,5
2 1,0 điểm
Trước hết ta có các kết quả sau: 1 sin
2
ABCD
S AC BD ;
cot
4 MAB
S
Tương tự ta được:
cot
ABCD
0,5
3 1,0 điểm
P
N
M
C B
A
Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đường tròn đi qua 3 điểm M, N, P nên ta lập
được phương trình này là: x2y23x 29 0 suy ra tâm K của đường tròn ngoại
tiếp tam giác ABC có tọa độ là 3; 0
2
K
0,25
Do ABKP nên AB có vtpt 52; 1
2
AB
n KP
Suy ra phương trình
AB x y x y Do đó tọa độ A, B là nghiệm của hệ
phương trình 22 2 3 0 2 2 3 1, 5
4, 5
0,25
Suy ra A1;5 , B 4; 5 Do ACKN nên AC có vtpt là 52;1
2
AC
n KN
Suy ra pt AC: 2x1 y 5 0 2x y 7 0 Khi đó tọa độ A, C là nghiệm
của hệ phương trình:
4, 1
Từ đây suy ra C4; 1 Vậy A1;5 , B 4; 5, C4; 1
0,5