................................................................................................................................................................................................................................................................................
Trang 1Phòng giáo dục & đào tạo
Huyện nga sơn
(Đề thi gồm có 01
trang)
đề thi học sinh giỏi lớp 8 thcs cấp huyện
năm học: 2010 - 2011 Môn thi: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 16/ 04/ 2011
Câu 1 ( 2 điểm):
Cho biểu thức:
:
A
a) Rút gọn A
b) Tìm giá trị lớn nhất của A
Câu 2 ( 4 điểm): Cho đa thức P x( )=x4 + +x3 6x2 −40x m+ −1979
a) Tìm m sao cho ( ) P x chia hết cho x−2
b) Với m tìm đợc, hãy giải phơng trình ( ) P x = 0.
Câu 3 (2 điểm):
Lúc 8 giờ, An rời nhà mình để đi đến nhà Bình với vận tốc 4 km/h Lúc 8 giờ 20 phút, Bình cũng rời nhà mình để đi đến nhà An với vận tốc 3 km/h An gặp Bình trên đờng rồi cả hai cùng đi về nhà Bình, sau đó An trở về nhà mình Khi về đến nhà mình An tính
ra quãng đờng mình đi dài gấp bốn lần quãng đờng Bình đã đi Hãy tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình
Câu 4 (3 điểm):
Cho hình vuông ABCD Gọi E là một điểm trên cạnh BC ( E
khác B và C ) Qua A kẻ Ax vuông góc với AE , Ax cắt CD tại F Trung tuyến AI của tam giác AEF cắt CD ở K Đờng thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI ở G
a) Chứng minh AE = AF và tứ giác EGFK là hình thoi.
b) Chứng minh ∆AKF đồng dạng với ∆CAF và AF = 2 FK FC.
c) Khi E thay đổi trên BC , chứng minh chu vi tam giác EKC
không đổi
Câu 5 (1 điểm):
Cho các số ,a b lần lợt thoả mãn các hệ thức sau:
3 3 2 5 2011 0
a − a + a− = , b3−3b2 +5b+2005 0=
Hãy tính a b+
Đề chính thức
Trang 2-Hết -Họ và tên thí sinh:……… ……Số báo danh:
………
Phòng giáo dục và đào tạo
Huyện nga sơn
Hớng dẫn chấm
Kỳ thi chọn học sinh giỏi lớp 6,7,8 năm học 2010 - 2011
Môn thi: Toán lớp 8 Câ
u
ý
m
Câ
u1
4đ
a.
(2
1
x≠
A
=
2
=
= 2 1
2x −5x+5
0.5 0.5 0.5
0.5
b.
(2
đ) Ta có A= 2 1
2x −5x+5= 2
1
5 25 15
4 16 8
2
1
5 15 2( )
Vì 5 2 15 15 2( )
1
5 15 2( )
Dấu “=” xảy ra khi 5
4
Từ (1) và (2) suy ra max 8
15
0.5
0.5 0.5 0.5
Câ
u2
a.
(2 P x( )= −(x 2) (x3 +3x2 +12x−16) + −m 2011
Do đó ( )P x chia hết cho ( x− ⇔ −2) m 2011 0=
1.0
Trang 34đ đ)
2011
m
0.5
b.
(2
đ)
Với m=2011, P x( )= −( x 2) (x3 +3x2 +12x−16)
Do đó: ( ) 0P x = ⇔ P x( )= −( x 2) ( x3+3x2 +12x−16) = 0 ( x 2) (x 1 () x2 4x 16) 0
⇔ − − + + = ⇔( x−2) (x− =1) 0
x + x+ = +x + > ∀x) ⇔ 2
1
x x
=
=
0.5 0.5 1.0
Câ
u3
4đ
Gọi khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình là x ( x
>0, x đo bằng km) Theo bài ra ta có quãng đờng
An đã đi đã là 2 x , suy raquãng đờng Bình đã đi
là 2
4 2
=
Do đó quãng đờng Bình đi từ nhà đến khi gặp An
là 4
x
, quãng đờng An đI từ nhà đến khi gặp Bình
4 4
Thời gian An đi từ nhà đến khi gặp Bình là 3
16
x
(giờ), thời gian Bình đi từ nhà đến khi gặp An là 12
x
(giờ)
Theo bài ra, ta có phơng trình: 3 1
16 12 3
⇔9x - 4x =16 16 3,2
5
x
⇔ = = (km)
1.0
1.0
1.0 0.5 0.5
Câ
u4
6đ
a.
2.0
đ
C D
E
F x
I K G
Trang 4Xét hai tam giác vuông ABE và ADF có AB = AD,
( Cùng phụ với ãDAE ) Vậy ∆ABE = ∆ADF ⇒ AE= AF
Vì AE AF= và AI là trung tuyến của tam giác AEF
AI
⇒ ⊥EF Hai tam giác vuông IEG và IFK có IE=IF,
⇒EG=FK Tứ giác EGFK có hai cạnh đối EG và FK song song và bằng nhau nên là hình bình hành
Hình bình hành EGFK có hai đờng chéo GK và EF vuông góc nên là hình thoi
0.5 0.5 0.5 0.5
b.
2.0
đ
Xét hai tam giác AKF và CAF ta có ãAFK CFA=ã ( góc chung), ãKAF =ãACF =450( AC là đờng chéo hình vuông ABCD, AK là trung tuyến của tam giác vuông cân AEF)
Suy ra tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF
Vì tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF nên ta
0.5
0.5 0.5 0.5
c.
2.0
đ
Theo ý a, ta có ABE∆ = ∆ADF nên EB = FD
Tứ giác EGFK là hình thoi nên EK=KF
Do đó, chu vi tam giác EKC bằng -EK+KC+CE=CF+CE=CD+DF+CE=2CD ( không
đổi)
0.5 0.5 1.0
Câ
u5
2đ
Từ điều kiện đã cho ta có:
( )3 ( )
1 2 1 2008 0
a− + a− − = (1), ( )3 ( )
1 2 1 2008 0
(2) Cộng theo vế của (1) và (2) ta có ( ) (3 )3
a− + −b + + − =a b
( ) ( ) ( )2 2
(a b 2) ( a 1) a 1 b 1 b 1 2(a b 2) 0
( ) ( ) ( )2 2
(a b 2) ( a 1) a 1 b 1 b 1 2 0
0.5 0.5
0.5
Trang 5Vì 2 ( ) ( ) ( )2
(a−1) − −a 1 b− + −1 b 1 +2 ( )2 ( )2 ( )2
2 a b 2 a 2 b
= − + − + − + > ∀a b,
Nên a b+ − =2 0⇔ + =a b 2 0.5
Ghi chú: - Bài hình học nếu học sinh không vẽ hình hoặc hình sai
cơ bản thì không chấm
điểm
- Mọi cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa tơng ứng