................................................................................................................................................................................................................................................................................
Phòng giáo dục & đào tạo Huyện nga sơn Đề thức (Đề thi gồm có 01 trang) đề thi học sinh giỏi lớp thcs cấp huyện năm học: 2010 - 2011 Môn thi: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi: 16/ 04/ 2011 Câu ( ®iĨm): 3x2 + x −1 x2 − 5x + − − Cho biĨu thøc: A = ÷: x −1 x −1 x + x +1 x −1 a) Rút gọn A b) Tìm giá trị lớn A Câu ( điểm): Cho đa thøc P ( x) = x + x3 + x − 40 x + m − 1979 a) T×m m cho P ( x) chia hÕt cho x − b) Víi m t×m đợc, giải phơng trình P ( x) = Câu (2 điểm): Lúc giờ, An rời nhà để đến nhà Bình với vận tốc km/h Lúc 20 phút, Bình rời nhà để đến nhà An với vận tốc km/h An gặp Bình đờng hai nhà Bình, sau An trở nhà Khi đến nhà An tính quãng đờng dài gấp bốn lần quãng đờng Bình Hãy tính khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình Câu (3 điểm): Cho hình vuông ABCD Gọi E điểm cạnh BC ( E khác B C ) Qua A kẻ Ax vuông góc với AE , Ax cắt CD F Trung tuyến AI tam giác AEF cắt CD K Đờng thẳng kẻ qua E , song song víi AB c¾t AI ë G a) Chøng minh AE = AF tứ giác EGFK hình thoi b) Chứng minh AKF đồng dạng với CAF vµ AF = FK FC c) Khi E thay đổi BC , chứng minh chu vi tam giác EKC không đổi Câu (1 điểm): Cho số a, b lần lợt thoả mãn hệ thức sau: a − 3a + 5a − 2011 = , b3 − 3b + 5b + 2005 = H·y tÝnh a + b -HÕt Họ tên thí sinh: Số báo danh: Phòng giáo dục đào tạo Hun nga s¬n Híng dÉn chÊm Kú thi chän häc sinh giỏi lớp 6,7,8 năm học 2010 - 2011 Môn thi: Toán lớp Câ u Câ u1 4đ ý a (2 đ) Tóm tắt lời giải ĐK: x A= 3x + − x + x − − x − x − x −1 x −1 x − 5x + x2 + x + x −1 = x − 2x − 5x + = b (2 đ) Câ u2 a (2 x − 5x + 1 25 15 = Ta cã A = = 2 x − x + 2( x − x + ) + 16 15 2( x − ) + 15 15 15 ≤ ∀x (1) V× 2( x − ) + ≥ ∀ x nªn 2( x − ) + 8 15 DÊu “=” x¶y x = ≠ (2) Tõ (1) vµ (2) suy max A = 15 P ( x) = ( x − ) ( x + 3x + 12 x − 16 ) + m − 2011 Do ®ã P ( x) chia hÕt cho ( x − 2) ⇔ m − 2011 = §iÓ m 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 1.0 4® ®) b (2 ®) 0.5 ⇔ m = 2011 0.5 Víi m = 2011, P ( x) = ( x − ) ( x + 3x + 12 x − 16 ) Do ®ã: P ( x) = ⇔ P ( x) = ( x − ) ( x + 3x + 12 x − 16 ) = ⇔ ( x − ) ( x − 1) ( x + x + 16) = ⇔ ( x − ) ( x − 1) = x = 2 ( V× x + x + 16 = ( x + ) + 12 > ∀x ) ⇔ x =1 C© u3 4đ Câ u4 6đ Gọi khoảng cách từ nhà An đến nhà Bình x ( x >0, x ®o b»ng km) Theo bµi ta cã qu·ng ®êng An x , suy raquãng đờng Bình 2x x = Do quãng đờng Bình từ nhà đến gặp An x , quãng đờng An đI từ nhà đến gặp Bình x 3x x − = 4 3x Thêi gian An từ nhà đến gặp Bình 16 (giờ), thời gian Bình từ nhà đến gặp An lµ x (giê) 12 3x x − = Theo ra, ta có phơng trình: 16 12 16 ⇔ 9x - 4x =16 ⇔ x = = 3,2 (km) a 2.0 ® B A E G I F x D K C 0.5 0.5 1.0 1.0 1.0 1.0 0.5 0.5 Xét hai tam giác vuông ABE ADF cã AB = AD, · · BAE = CAF · ( Cïng phơ víi DAE ) VËy ∆ABE = ADF AE = AF Vì AE = AF AI trung tuyến tam giác AEF AI EF Hai tam giác vuông IEG IFK cã IE=IF, · · ( So le trong) nªn ∆ IEG= ∆ IFK IEG = IFK ⇒ EG=FK Tø gi¸c EGFK có hai cạnh đối EG FK song song nên hình bình hành Hình bình hành EGFK có hai đờng chéo GK EF vuông góc nên hình thoi b 2.0 đ c 2.0 ® C© u5 2® 0.5 0.5 0.5 0.5 · XÐt hai tam giác AKF CAF ta có ãAFK = CFA ( gãc · chung), KAF = ·ACF = 450 ( AC đờng chéo hình 0.5 vuông ABCD, AK trung tuyến tam giác vuông cân AEF) Suy tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF Vì tam giác AKF đồng dạng với tam giác CAF nªn ta AF FK = ⇔ AF = FK FC cã: FC AF Theo ý a, ta cã ∆ABE = ADF nên EB = FD Tứ giác EGFK hình thoi nên EK=KF Do đó, chu vi tam giác EKC -EK+KC+CE=CF+CE=CD+DF+CE=2CD ( không đổi) 0.5 0.5 Từ điều kiƯn ®· cho ta cã: 3 ( a − 1) + ( a − 1) − 2008 = (1), ( b − 1) + ( b − 1) + 2008 = (2) Céng theo vÕ cđa (1) vµ (2) ta cã 3 ( a − 1) + ( b − 1) + (a + b − 2) = ⇔ ( a + b − 2) (a − 1) − ( a − 1) ( b − 1) + ( b − 1) + 2(a + b − 2) = ⇔ ( a + b − 2) (a − 1) − ( a − 1) ( b − 1) + ( b − 1) + = 0.5 0.5 0.5 1.0 0.5 0.5 0.5 V× (a − 1) − ( a − 1) ( b − 1) + ( b − 1) + 1 2 = ( a − b ) + ( a − 1) + ( b − 1) + > ∀a, b 2 Nªn a + b − = ⇔ a + b = 2 0.5 Ghi chú: - Bài hình học học sinh không vẽ hình hình sai không chấm điểm - Mọi cách giải khác, cho ®iĨm tèi ®a t¬ng øng -HÕt