Đề thi HSG môn Toán 8 huyện Yên Lạc năm học 2016-2017

Chứng minh rằng với cách xếp đó luôn tồn tại ba số theo thứ tự liên tiếp có tổng lớn hơn hoặc bằng 17.. ---Hết--- ( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm).[r]

UBND HUYỆN YÊN LẠC

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI GIAO LƯU HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 -2017 MƠN: TỐN

( Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề)

Câu (2,0 điểm):

Cho biểu thức: M = (

x2− 1 x4− x2+1−

1 x2+1)

4

2

1

x x

x

  



 



 

a) Rút gọn M

b) Tìm giá trị x để M có giá trị số nguyên Câu (2,0 điểm):

a) Cho hai số thực x, y thoả mãn x3 3xy2 10 y3 3x y2 30 Tính giá trị biểu thức P = x2y2

b) Giải phương trình với ẩn số x:

a b

1 bx ax  

Câu (2,0 điểm):

a) Tìm cặp số (x; y) nguyên thỏa mãn phương trình: x3 + 2x2 + 3x + = y3 b) Cho số tự nhiên N = 20172016 Viết N thành tổng k (k N*) số tự nhiên n1; n2; ….;nk Đặt Sn = n13 + n23 + …+nk3 Tìm số dư phép chia Sn cho 6. Câu (3,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD, BE, CF cắt nhau H

a) Chứng minh: BH.BE + CH.CF = BC2

b) Chứng minh: H cách ba cạnh tam giác DEF

c) Trên đoạn HB, HC tương ứng lấy điểm M, N tùy ý cho HM = CN Chứng minh đường trung trực đoạn thẳng MN qua điểm cố định

Câu (1,0điểm):

a) Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn x y 3 Tìm giá trị nhỏ biểu

thức :

2 28

2

P x y

x y

   

b) Các số nguyên từ đến 10 xếp xung quanh đường tròn theo thứ tự tùy ý Chứng minh với cách xếp ln tồn ba số theo thứ tự liên tiếp có tổng lớn 17

-Hết -( Cán coi thi khơng giải thích thêm)

UBND HUYỆN YÊN LẠC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HDC ĐỀ THI GIAO LƯU HSG LỚP CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2016 -2017

MƠN: TỐN

( Thời gian làm 120 phút, không kể thời gian giao đề)

Câu Đáp án Điểm

1(2,0đ)

a) ĐKXĐ : với x R M = ( x2− 1

x4− x2+1−

x2+1) (x

4

+1− x

4

1+x2)

= ( 1)( 1) (

1 ) )( ( 2 4 2         x x x x x x x

x4+1-x2)

=

2 1 2 2 4         x x x x x x 0,25 0,5 0,5

b) Biến đổi: M = -

x2+1 , M nguyên ⇔

3

x2+1 nguyên Đặt

x2+1 = k (kZ) k ≠ Ta có kx2 + k = ⇔ x2 =

3 k k   ⇔

< k ≤ 3, mà kZ nên k{1 ; ; 3}

+ k = x =  2 M = (thỏa mãn)

+ k =

1 x 

M = -1(thỏa mãn) + k = x = M = -2 (thỏa mãn)

Vậy x  { 2 ;

1  ; 0} 0,25 0,25 0,25 2 (2Đ) a)

Ta có: x3 3xy2 10   

2 3 100

x  xy   x6 6x y4 9x y2 100

  

y3 3x y2 30   

2 3 900

y  x y   y6 6x y2 9x y4 900

  

Suy ra: x63x y4 23x y2 4y6 1000

  

3

2 1000 2 10

x y   x y 

0,25 0,25 0,25 0,25

b) Giải phương trình:

a b

1 bx ax   (1)

ĐKXĐ: x 

1

b x 

1 a

(1)  a(1 – ax) = b(1 – bx)  a – a2x = b – b2x  a2x – b2x = a – b  (a2 – b2)x = a – b

+ Nếu a2 – b20 phương trình(1) có nghiệm x = 2

a b

+ Nếu a = b phương trình có dạng: 0x =  phương trình (1) có vơ số nghiệm x

1

b x 

1 a

+ Nếu a = -b = phương trình có dạng: 0x = phương trình (1) có vơ số nghiệm x

1

b x 

1 a

+ Nếu a = -b 0 phương trình có dạng: 0x = -2b  phương

trình (1) vơ nghiệm

0,25

0,25

3 (2 Đ)

a) Ta có

2

3 2 3 2 2 0

4

 

           

 

y x x x x x y

(1)

2

3 15

( 2) 2

4 16

 

            

 

x y x x x y x

(2) Từ (1) (2) ta có x < y < x+2 mà x, y nguyên suy y = x + 1 Thay y = x + vào phương trình ban đầu giải phương trình tìm x = -1; x =

Từ tìm hai cặp số (x, y) thỏa mãn toán (1 ; 2), (-1 ; 0)

0,25

0,25

0,25 0,25 b)Vì a3 – a = a(a – 1)(a + 1) nên chia hết cho với số nguyên a

Đặt N = n1 + n2 + … + nk, ta có:

S – N = (n13 + n23 + … + nk3) – (n1 + n2 + … + nk) =

= (n13 - n1) + (n23 - n2) + … + (nk3 - nk) chia hết cho  S N có số dư chia cho

Mặt khác, 2017 chia cho dư 20172 chia cho dư N = 20172016 = (20172)1008 chia cho dư Vậy S chia cho dư 1.

0,25 0,25

0,25

0,25

O

K I

N M

E

H F

A

D B

4(3 Đ)

a) Chứng minh: BDHBEC

 BH.BE = BD.BC

CDHCFB

 CH.CF = CD.CB.

 BH.BE + CH.CF = BC.(BD + CD) = BC2 (đpcm)

0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 b) Chứng minh: AEF ABC  AEF ABC

CDECAB  CED CBA 

 AEF CED mà EBAC nên EB phân giác góc DEF

Tương tự: DA, FC phân giác góc EDF góc DFE Vậy H giao đường phân giác tam giác DEF

Nên H cách ba cạnh tam giác DEF (đpcm)

0,25 0,25

0,25 0,25 c) Gọi O giao điểm đường trung trực đoạn thẳng MN

và HC, ta có OMH = ONC (c.c.c)  OHM OCN (1)

Mặt khác ta có OCH cân O nên:OHC OCH  .(2)

Từ (1) (2) ta có: OHC OHB   HO phân giác góc BHC

Vậy O giao điểm đường trung trực HC phân giác góc BHC nên O điểm cố định

Hay trung trực đoạn MN qua điểm cố định O

0,25 0,25

0,25 5

(1,0 Đ) a)

     

     

2

2

2

2

28

28

7

28

7 4

28

7 2

P x y

x y

x y x y x y

x y

x y x x y y x y

x y

x y x y x y

x y

   

 

 

       

   

 

 

            

   

 

 

          

   

do x, y dương Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có

28 28

7 28

1

2

x x

x x

y y

y y

  

  

Lại có : (x – 2)2 ≥ ; (y – 1)2 ≥ ; x + y ≥ 3 suy : P ≥ 28 + + + + – = 24

0,25

Dấu ‘‘= ’’ xảy

28 7

1

2

2

1

3 x x

y y

x x

y y

x y

   

 





 

  

 

     

 

  

 Vậy Pmin = 24 x = y =

b) Giả sử 10 số xếp theo thứ tự tùy ý a,b,c,d,e,f,g,h,i,j Khi có 10 ba số theo thứ tự liên tiếp là: (a; b; c); (b; c; d); (c; d; e); (j; a; b) Mỗi số từ đến 10 xuất lần 10 số Suy tổng số

S = (a + b + c) + (b + c + d) + + (j + a + b) = 3(1 + + + + 10) = 165

Giả sử tất số có tổng nhỏ 16 thì: S ≤ 16 10 = 160 (mâu thuẫn)

Vậy tồn có tổng lớn 17 (đpcm)

0,25