Đề + Đáp án đề thi HSG Toán 8 cấp huyện( Huyện Tĩnh GIA Thanh Hoá) ................................................................................................................................................................................................................................................................................
Phòng gd - đt Huyện tĩnh gia P N đề thi hC SINH GII CP HUYN năm học 2011 - 2012 Môn : Toán Thời gian làm bài: 120 Bài (2 điểm): x + 10 x + 12 =0 x3 − 4x 2 x + 10 x + 12 = ( x + 2)( x + 3) = ⇔ ⇔ ⇔ x = −3 x − x ≠ x ≠ 0; x ≠ ±2 Để phân thức: Rút gọn với n số nguyên dương 1 2 32 43 (n + 1) 1 1 + + + + = n(n + 2) 15 n + 2n 1.3 2.4 3.5 n + n + 2( n + 1) 2 = . = n n + 2 n+2 1 Bài (3,5 điểm): x +1 x −1 Giải phương trình: x + x + − x − x + = x( x + x + 1) 1 x + x + = x + + >0 2 1 Ta có: x − x + = x − + > ⇔ ∀x ≠ 2 x + x + > x ≠ x(x + 1)(x2 – x + 1) – x(x - 1)(x2 + x + 1) = x4 – x3 + x2 + x3 – x2 + x – x4 – x3 – x2 + x3 + x2 + x = 2x = K x = (tm) Phân thức: (x (x = 2 ) ) + a (1 + a) + a x + x + ax + a + a + a x + = − a (1 − a ) + a x + x − ax − a + a + a x + ( ( ) ) ( ( )( )( A I B ) ) x2 a2 + a +1 + a2 + a +1 x2 +1 a2 + a +1 a2 + a +1 = = x2 a2 − a +1 + a2 − a +1 x2 +1 a2 − a +1 a2 − a +1 Không phụ thuộc vào x a) Xét ∆ACL ∆DAI có: Aˆ = Cˆ = 90 CDˆ L = ADˆ I (Cùng phụ Dˆ ) D C AD = CD (gt) Do đó: ∆ACL = ∆DAI (Cạnh góc vng – góc nhọn) L Suy ra: ID = DL (Cạnh tương ứng) Nên: ∆DIL cân D b) Theo cơng thức tam giác ta có: 1 CD.KL = DK DL 2 2 ⇔ CD KL = DK DL2 S ∆DKL = KL2 DK + DL2 1 1 ⇔ = ⇔ = ⇔ + = 2 2 2 2 DK DL CD DK DL CD DL DK CD Theo câu a 1 + = Khơng đổi CD (Cạnh hình vng) 2 DI DK CD Bài (2,5 điểm): Chứng minh rằng: Nếu c + 2(ab − ac − bc) = 0; b ≠ c; a + b ≠ c DI = DL => a + (a − c) a − c = Thì: b + (b − c) b − c Chứng minh: c + 2(ab − ac − bc) = ( a + b − c ) = a + b ⇒ b − c ≠ Ta có: b ≠ c a + b ≠ c a + b − c ≠ Nên: a2 = (a+ b - c)2 – b2 = (a - c).(a + 2b - c) b2 = (a + b - c)2 – a2 = (b - c).(2a + b - c) a + (a − c) (a − c)(a + 2b − c ) + (a − c) ( a − c)(2a + 2b − 2c) a − c = = = (dfcm) b + (b − c) (b − c)(2a + b − c ) + (b − c) (b − c)(2a + 2b − 2c ) b − c Bài (2, điểm): a b c 12 cm Đoạn thẳng chia thành đoạn có độ dài là: < a ≤ b ≤ c < 12 Ta có: a + b + c = 12 a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca = 144 a2 + b2 + c2 = 144 - 2ab - 2bc - 2ca Tổng diện tích hình vng là: S = a2 + b2 + c2 = 144 - 2ab - 2bc - 2ca Áp dụng BĐT côsi cho cặp số dương a2 + b2 ≥ 2ab b2 + c2 ≥ 2bc a2 + c2 ≥ 2bc Nên 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2bc + 2ca - 2S ≤ - 2ab - 2bc - 2ca 144 - 2S ≤ 144 - 2ab - 2bc - 2ca 144 - 2S ≤ S 3S ≥ 144 S ≥ 48 Dấu “=” xảy a = b = c = Vậy giá trị nhỏ tổng diện tích 48cm2 đoạn thẳng chia thành đoạn thẳng cm (Lời giải mang tính chất tham khảo)