Đề thi tuyển HSG lớp 9 môn Toán năm 2012 - 2013 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Với Đề thi tuyển HSG lớp 9 môn Toán năm 2012 - 2013 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa sẽ giúp các bạn học sinh củng cố lại kiến thức và kỹ năng cần thiết để chuẩn bị cho kỳ kiểm tra sắp tới. Mời các bạn tham khảo.

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO THANH HỐ ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm có trang) KỲ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn thi : TỐN Thời gian làm :150 phút Câu 1: (2.0 điểm )  x 2 x 3 x 2  x     :    x 3   x    x 5 x 6 2 x Cho biểu thức : A   1/ Rút gọn biểu thức A 2/ Tìm giá trị x để  A Câu (2,0 điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2  a   đường thẳng (d): y = bx + 1/ Tìm giá trị a b để (P) (d) qua điểm M(1; 2) 2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh (P) (d) cịn có điểm chung N khác M Tính diện tích tam giác MON (với O gốc toạ độ) Câu (2.0 điểm) 2 1/ Cho phương trình: x  (2m  1) x  m  m   (m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt  x 1  y 1  2/ Giải hệ phương trình:  1 x  y 1  Câu (3.0 điểm) : Cho A điểm cố định nằm ngồi đường trịn (O) Từ A kẻ tiếp tuyến AP AQ tới đường tròn (P Q tiếp điểm) Đường thẳng qua O vng góc với OP cắt đường thẳng OQ M 1/ Chứng minh rằng: MO = MA 2/ Lấy điểm N cung lớn PQ đường tròn (O) cho tiếp tuyến với (O) N cắt tia AP, AQ B C Chứng minh rằng: a) AB  AC  BC khơng phụ thuộc vào vị trí điểm N b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp đường trịn PQ//BC Câu (1.0 điểm) Cho x, y số thực dương thoả mãn :   Chứng minh : x y 5x2  y  xy  y  Hết -Họ tên thí sinh …………………………………………… Số báo danh: ………………………… Chữ ký giám thị 1: ………………………………… Chữ ký giám thị 2: …………………… Bài giải Câu 1: (2.0 điểm )  x 2 x 3 x 2  x     :    x 3   x    x 5 x 6 2 x Cho biểu thức : A   1/ Rút gọn biểu thức A  x 2 x 3 x 2  x  A      :    (ĐK: x  0, x  4, x  ) x 3   x    x 5 x 6 2 x A=…= x 1 x4 2/ Tìm giá trị x để  A x4      x   5 x  A 2 x 1 1  x  x    3  x    x  2 0 x Kết hợp với ĐK   x  Câu (2,0 điểm ) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho Parabol (P) : y = ax2  a   đường thẳng (d): y = bx + 1/ Tìm giá trị a b để (P) (d) qua điểm M(1; 2) M (P)  …  a =  y = 2x2 M  (d)  …  b =  y = x + 2/ Với a, b vừa tìm được, chứng minh (P) (d) cịn có điểm chung N khác M Tính diện tích tam giác MON (với O gốc toạ độ) Xét pt hoành độ gđ: 2x2 = x +  2x2 - x - = x  1 y   1   M 1;  ; N   ;  1 x    y   2 2  SMON  Sthang   S1  S2    0,75 (dvv) Câu (2.0 điểm) 2 1/ Cho phương trình: x  (2m  1) x  m  m   (m tham số) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt? phương trình có hai nghiệm dương phân biệt    m  3   25     m  m2  a.c   m  m      b    2m     m     a  x   y   (1)  2/ Giải hệ phương trình:  1 (ĐK: x  1; y  1) (2)  x  y 1  (2)  x + y = xy (3) Hai vế (1) dương ta bình phương hai vế ta có: x y 22  x  1 y  1   x  y   xy   x  y     x+y=4  xy=4 Thay (3) vào ta có: x + y = kết hợp với (3) có hệ:  Áp dụng hệ thức Vi Ét ta có x; y hai nghiệm pt: X2 - 4x + =  x = 2; y = Câu (3.0 điểm) : Cho A điểm cố định nằm ngồi đường trịn (O) Từ A kẻ tiếp tuyến AP AQ tới đường tròn (P Q tiếp điểm) Đường thẳng qua O vng góc với OP cắt đường thẳng OQ M B P N A M O Q C 1/ Chứng minh rằng: MO = MA A1 = O1 A1 = A2  A2 = O1  MAO cân  MO = MA 2/ Lấy điểm N cung lớn PQ đường tròn (O) cho tiếp tuyến với (O) N cắt tia AP, AQ B C Chứng minh rằng: a) AB  AC  BC không phụ thuộc vào vị trí điểm N Theo t/c hai tia tiếp tuyến ta có …  AB + AC - BC = … = 2.AP (không đổi) b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp đường trịn PQ//BC Nếu tứ giác BCQP nội tiếp  P1 = C1 mà P1 = Q1  C1 = Q1  PQ//BC Câu (1.0 điểm) Cho x, y số thực dương thoả mãn :   Chứng minh : x y 5x2  y  xy  y  * Ta có: x  y  xy  y   x  xy  y  x  y     x  y   x2  y   2 2 2x  2x         y  * x y y x y x 2x 1 Vì : y > ; x >  2x - >  x > 1/2 Thay y  2x vào x2  y   2x 1 2x x3  x  x  x  3   (1) Ta có: x  y    x  2x 1 2x 1 3 Vì 2x - >  (1)  x  x  x  x    x  x  x   Mà x  x  x   x3  x  x  x  3x  2    x  1 x  x    x  1  x  3  2 Vậy  x  y   x  y    x  x  0; y  ... chung N khác M Tính diện tích tam giác MON (với O gốc toạ độ) Xét pt hoành độ gđ: 2x2 = x +  2x2 - x - = x  1 y   1   M 1;  ; N   ;  1 x    y   2 2  SMON  Sthang   S1  S2... y x y x 2x 1 Vì : y > ; x >  2x - >  x > 1/2 Thay y  2x vào x2  y   2x 1 2x x3  x  x  x  3   (1) Ta có: x  y    x  2x 1 2x 1 3 Vì 2x - >  (1)  x  x  x  x    x ... a) AB  AC  BC khơng phụ thuộc vào vị trí điểm N Theo t/c hai tia tiếp tuyến ta có …  AB + AC - BC = … = 2.AP (không đổi) b) Nếu tứ giác BCQP nội tiếp đường trịn PQ//BC Nếu tứ giác BCQP nội