Gọi N là hình chiếu vuông góc của Mlên đường thẳng AB.. Chứng minh đường thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH.. Câu 5 1,0 điểm Kì thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Long An n
Trang 1SỞ GD&ĐT LONG AN
-
ĐỀ CHÍNH THỨC
(Đề thi có 01trang)
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN LONG AN
NĂM HỌC 2014-2015
Môn thi: TOÁN CHUYÊN
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (1,5 điểm)
Cho biểu thứcP x x y y xy : x y
với điều kiện x y, 0,x y
a) Rút gọn biểu thức P
b) Tìm tất cả các số tự nhiên x y, để P 3
Câu 2 (2,0 điểm)
Cho phương trình 2
0
x xm Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 sao cho x1 x2 2
Câu 3 (1,0 điểm)
Giải phương trình 2 2
x x x x
Câu 4 (2,5 điểm)
Gọi O là đường tròn tâm O, đường kính AB Gọi H là điểm nằm giữa A và O, từ Hvẽ dây CD vuông góc với AB Hai đường thẳng BC và DA cắt nhau tại M Gọi N là hình chiếu vuông góc của Mlên đường thẳng AB
a) Chứng minh: tứ giác MNAC nội tiếp
b) Chứng minh: NC là tiếp tuyến của đường tròn O
c) Tiếp tuyến tại A của đường tròn O cắt đường thẳng NC tại E Chứng minh đường thẳng EB đi qua trung điểm của đoạn thẳng CH
Câu 5 (1,0 điểm)
Kì thi tuyển sinh vào trường THPT chuyên Long An năm nay có 529 học sinh đến từ 16 địa phương khác nhau tham dự Giả sử điểm bài thi môn Toán của mỗi học sinh đều là số nguyên lớn hơn 4 và bé hơn hoặc bằng 10 Chứng minh rằng luôn tìm được 6 học sinh có điểm môn Toán giống nhau và cùng đến từ một địa phương
Câu 6 (1,0 điểm)
Cho các số thực a b c d, , , sao cho 1a b c d, , , 2 và a b c d 6
Tìm giá trị lớn nhất của 2 2 2 2
Pa b c d
Câu 7 (1,0 điểm)
Cho hình chữ nhật ABCD với ABa AD, b Trên các cạnh AD AB BC CD lần lượt , , ,
lấy các điểm , , ,E F G H sao cho luôn tạo thành tứ giácEFGH Gọi P là chu vi của tứ
giác EFGH Chứng minh: P2 a2 b2
-HẾT -
Giám thị coi thi không giải thích gì thêm
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN CHUYÊN
Câu 1a
(0,75
điểm)
0,25
Câu 1b
(0,75
điểm)
Vì P x y và P 3 nên 0 x 3; 0 y 3 0,25
,
x y cần tìm là : 0, 9, 1, 4
0,25
Câu 2
(2,0 điểm)
1 4m
Phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1
4
m
1
1 1 4 2
m
2
1 1 4 2
m
Vì x1x2 2 nên 1 1 4 2
2
m
Giá trị của mcần tìm là 2 1
4
m
Câu 3
(1,0 điểm)
2
2
7 4 0
x
0,25
Trang 33 3
x x
0,25
Câu 4a
(0,75
điểm)
Ta có : 0
90
Ta có 0
90
ACB (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)) Suy ra 0
90
ACM
0,25
Vì tứ giác MNAC có 0
180
ACMMNA nên nội tiếp 0,25
Câu 4b
(0,75
điểm)
Vì MNAC nội tiếp và MN song song CD nên ACN ADC (*) 0,25
Vì ADBC nội tiếp nên ADC ABC (**) 0,25
Từ (*) và (**) suy ra ACN ABC.Vậy NC là tiếp tuyến của O 0,25
Câu 4c
(1,0 điểm)
Gọi I là giao điểm cùa BE và CH
Ta có ABCDAC ADECA ACD Suy ra CAlà phân giác trong của tam giácECI
0,25
Ta có CBCA CB là phân giác ngoài của tam giác ECI
BI CI (1)
BE CE
0,25
Ta có IH song song EA (cùngAB) IH BI (2)
AE BE
I E
N
M
C
D
B O
A
H
Trang 4Mặt khác: AECE (3) (AE CE, là tiếp tuyến )
Từ (1), (2) và (3) suy ra CI IH
Vậy BE đi qua trung điểm của đoạn thẳngCH
0,25
Câu 5
(1,0 điểm)
Ta có 529 học sinh có điểm bài thi từ 5 điểm đến 10 điểm 0,25
Theo nguyên lý Dirichlet ta có 89 học sinh có điểm bài thi như nhau (từ 5 điểm đến 10 điểm)
0,25
Ta có 89 học sinh có điểm bài thi như nhau và đến từ 16 địa phương
0,25
Theo nguyên lý Dirichlet tìm được 6 em có cùng điểm thi môn toán
và đến từ cùng một địa phương
0,25
Câu 6
(1,0 điểm)
Ta có 1 a 2 suy raa 1 a 2 0
0,25
Suy ra 2
3 2
Suy ra a2 b2 c2 d2 3ab c d 8 10 0,25
Giá trị lớn nhất của P là 10 ( P 10với a2,b2,c1,d 1 hoặc các hoán vị )
0,25
Câu 7
( 1,0
điểm)
Gọi I, K, M theo thứ tự là trung điểm của EF, EG và GH
AEF vuông tại A có AI là trung tuyến nên AI= 1
2 EF
Tương tự MC= 1
2 GH
0,25
IK là đường trung bình của EFG nên IK=1
2 FG Tương tự KM=
1
2 EH
0,25
K
M I
C
D E F
G
H
Trang 5
Ta có: AI + IK + KM + MC AC Suy ra P 2AC= 2 2
2 a b
0,25
-HẾT -
Trang 6CHƯƠNG TRÌNH LUYỆN THI VÀO LỚP 10 CHUYÊN TRÊN HỌC247
- Chương trình luyện thi được xây dựng dành riêng cho học sinh giỏi, các em yêu thích toán và muốn thi vào lớp 10 các trường chuyên
- Nội dung được xây dựng bám sát với đề thi tuyển sinh lớp 10 các trường chuyên của cả nước trong những năm qua
- Đội ngũ giáo viên giảng dạy gồm các thầy nổi tiếng có nhiều năm kinh nghiệm trong việc ôn luyện học sinh giỏi
- Hệ thống bài giảng được biên soạn công phu, tỉ mỉ, phương pháp luyện thi khoa học, hợp lý mang lại kết quả tốt nhất
- Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên
- Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn
- Mỗi lớp từ 5 đến 10 em để được hỗ trợ kịp thời nhằm đảm bảo chất lượng khóa học ở mức cao nhất
- Đặc biệt, các em còn hỗ trợ học tập thông qua cộng đồng luyện thi vào lớp 10 chuyên của HỌC247
https://www.facebook.com/OnThiLop10ChuyenToan/