Đề thi tuyển sinh lớp 10 môn toán năm 2014 2015 sở GDĐT hà nội

SỞ GIÁO DỤC& ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT Năm học: 2014 – 2015 MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 120 phút Bài (2,0 điểm) A= x +1 x −1 1) Tính giá trị biểu thức x =  x +1  x−2 P= + ÷ x +  x −1 x+2 x x ≠1 2) Cho biểu thức với x > x +1 P= x a)Chứng minh 2P = x + b)Tìm giá trị x để Bài (2,0 điểm) Giải toán cách lập phương trình: Một phân xưởng theo kế hoạch cần phải sản xuất 1100 sản phẩm số ngày quy định Do ngày phân xưởng sản xuất vượt mức sản phẩm nên phân xưởng hoàn thành kế hoạch sớm thời gian quy định ngày Hỏi theo kế hoạch, ngày phân xưởng phải sản xuất sản phẩm? Bài (2,0 điểm)   x + y + y −1 =    − = −1  x + y y − 1) Giải hệ phương trình: 2) Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng (d): y = -x + parabol (P): y = x2 a) Tìm tọa độ giao điểm (d) (P) b) Gọi A, B hai giao điểm (d) (P) Tính diện tích tam giác OAB Bài (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) có đường kính AB cố định Vẽ đường kính MN đường tròn (O; R) (M khác A, M khác B) Tiếp tuyến đường tròn (O; R) B cắt đường thẳng AM, AN điểm Q, P 1) Chứng minh tứ giác AMBN hình chữ nhật 2) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q thuộc đường tròn 3) Gọi E trung điểm BQ Đường thẳng vuông góc với OE O cắt PQ điểm F Chứng minh F trung điểm BP ME // NF 4) Khi đường kính MN quay quanh tâm O thỏa mãn điều kiện đề bài, xác định vị trí đường kính MN để tứ giác MNPQ có diện tích nhỏ Bài (0,5 điểm) Với a, b, c số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu Q = 2a + bc + 2b + ca + 2c + ab thức BÀI GIẢI + THANG ĐIỂM DỰ KIẾN Bài Bài (2,0 điểm) Đáp án A= 1) Với x = ta có 2) a) = Điểm 0,5 +1 =2 −1  x − + x  x +  ( x − 1).( x + 2)  x + P= = ÷ ÷ x ( x + 2)  x −  x ( x + 2)  x −  0,75 x +1 x b)Từ câu 2a ta có 2P = x + ⇔ x +2 = x +5 x 0,75 ⇔ x + = 2x + x x > ⇔ 2x + x − = ⇔ x= Bài (2,0 điểm) x >0 ⇔ ( x + 2)( x − ) = x >0 1 ⇔x= Gọi x sản phẩm xưởng sản xuất ngày theo kế hoạch (x > 0) 1100 ⇒ x Số ngày theo kế hoạch : 1100 x +5 Số ngày thực tế Theo giả thiết toán ta có : 1100 1100 x x +5 = ⇔ 1100(x + 5) − 1100x = 2x(x + 5) ⇔ 2x + 10x − 5500 = ⇔ x = 50 hay x = −55 (loại) Vậy theo kế hoạch ngày phân xưởng phải sản xuất 50 sản phẩm Bài 1) Hệ phương trình tương đương với: 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 (2,0 điểm) u= x+y v= y −1 Đặt Hệ phương trình thành : 4u + v = 8u + 2v = 10 9u = u = ⇔ ⇔ ⇔   u − 2v = −1  u − 2v = −1 2v = u + v = Do đó, hệ cho tương đương :   x + y =  x + y =  x = −1  ⇔ ⇔  y − =  y =  =1  y − 0,5 0,5 2) a) Phương trình hoành độ giao điểm (P) (d) x = − x + ⇔ x + x − = ⇔ x = hay x = −3 Ta có y (2)= 4; y(-3) = Vậy tọa độ giao điểm (d) (P) B(2;4) A(-3;9) b) Gọi A’, B’ hình chiếu A B xuống trục hoành S∆ OAB = SAA 'B'B − S∆OAA ' − S∆OBB' Ta có x B' − x A ' = x B' − x A ' = yA = yB = Ta có A’B’ = , AA’ = , BB’ = AA '+ BB' 9+4 65 A ' B' = = SAA 'B'B = 2 Diện tích hình thang : (đvdt) 27 S∆OAA ' = A ' A.A 'O = S∆OBB' = B 'B.B 'O = (đvdt); (đvdt) 65  27  ⇒ S∆ OAB = SAA 'B'B − S∆OAA ' − S∆OBB' = −  + ÷ = 15   (đvdt) Bài (3,5 điểm) 0,5 0,5 0,25 P N F O A B M E Q 1) Tứ giác AMBN có góc vuông, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn · · ANM = ABM 1,0 2) Ta có (cùng chắn cung AM) ·ABM = AQB · (góc có cạnh thẳng góc) · · ANM = AQB nên MNPQ nối tiếp 3) OE đường trung bình tam giác ABQ OF // AP nên OF đường trung bình tam giác ABP Suy F trung điểm BP Mà AP vuông góc với AQ nên OE vuông góc OF Xét tam giác vuông NPB có F trung điểm cạnh huyền BP · ONF = 900 Xét tam giác NOF = OFB (c-c-c) nên · OME = 900 Tương tự ta có nên ME // NF vuông góc với MN 4) 2SMNPQ = 2SAPQ − 2SAMN = 2R.PQ − AM.AN = 2R.(PB + BQ) − AM.AN Tam giác ABP đồng dạng tam giác QBA suy AB2 = BP.QB AB BP = QB BA ⇒ Nên áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có PB + BQ ≥ PB.BQ = (2R) = 4R AM.AN ≤ Ta có AM + AN MN = 2 2SMNPQ ≥ 2R.4R − 2R = 6R Bài (0,5 điểm) 0,75 = 2R2 SMNPQ ≥ 3R Do đó, Suy Dấu xảy AM =AN PQ = BP hay MN vuông góc AB Q = 2a + bc + 2b + ca + 2c + ab Ta có 1,0 0,5 2a + bc = (a + b + c)a + bc (Do a + b +c = 2) (a + b) + (a + c) = a + ab + bc + ca = (a + b)(a + c) ≤ (Áp dụng bất đẳng thức với số dương u=a+b v=a+c) (a + b) + (a + c) ≤ 2a + bc Vậy ta có (1) Tương tự ta có : (a + b) + (b + c) ≤ 2b + ca (2) (a + c) + (b + c) ≤ 2c + ab (3) ⇒ Q ≤ 2(a + b + c) = Cộng (1) (2) (3) vế theo vế Khi a = b = c = Q = giá trị lớn Q 0,25 0,25 ... theo kế hoạch (x > 0) 1100 ⇒ x Số ngày theo kế hoạch : 1100 x +5 Số ngày thực tế Theo giả thi t toán ta có : 1100 1100 x x +5 = ⇔ 1100 (x + 5) − 1100 x = 2x(x + 5) ⇔ 2x + 10x − 5500 = ⇔ x = 50... đương với: 0,25 0,25 0,25 0,5 0,25 (2,0 điểm) u= x+y v= y −1 Đặt Hệ phương trình thành : 4u + v = 8u + 2v = 10 9u = u = ⇔ ⇔ ⇔   u − 2v = −1  u − 2v = −1 2v = u + v = Do đó, hệ cho... giao điểm (P) (d) x = − x + ⇔ x + x − = ⇔ x = hay x = −3 Ta có y (2)= 4; y (-3 ) = Vậy tọa độ giao điểm (d) (P) B(2;4) A (-3 ;9) b) Gọi A’, B’ hình chiếu A B xuống trục hoành S∆ OAB = SAA 'B'B − S∆OAA